当前位置:首页 >> 数学 >>

2014年高考数学第一轮复习:三角函数、解三角形


三角函数、解三角形
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 8π 1.tan 的值为( ) 3 3 3 A. B.- 3 3 C. 3 D.- 3 2.已知 tanα=2,则 sin2α-sinαcosα 的值是( ) 2 2 A. B.- 5 5 C.-2 D.2 π 3.要得到函数 y=s

in?2x+3?的图象,可将 y=sin2x 的图象( ) ? ? π A.向右平移 个单位长度 6 π B.向左平移 个单位长度 6 π C.向右平移 个单位长度 3 π D.向左平移 个单位长度 3 4.已知函数 f(x)=sinx+cosx,g(x)=2 2sinxcosx,则下列结论正确的是( ) π ? A.两个函数的图象均关于点?-4,0?成中心对称 ? π B.两个函数的图象均关于直线 x=- 对称 4 π π? C.两个函数在区间?-4,4?上都是单调递增函数 ? D.两个函数的最小正周期相同 5. b, 分别是△ABC 内角 A、 C 的对边, c=2 3b, 2A-sin2B= 3sinBsinC, a, c B、 若 sin 则 A=( ) A.30° B.60° C.120° D.150° π 6.△ABC 中,若 lga-lgc=lgsinB=-lg 2且 B∈?0,2?,则△ABC 的形状是( ) ? ? A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 7.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π, π 且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( ) 2 A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 8.甲船在岛 A 的正南 B 处,以 4 km/h 的速度向正北方向航行,AB=10 km,同时乙船 自岛 A 出发以 6 km/h 的速度向北偏东 60° 的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所 航行的时间为( )

150 15 A. min B. h 7 7 C.21.5 min D.2.15 h 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡相应位置) 4 9.已知 sinθ= ,且 sinθ-cosθ>1,则 sin2θ=________. 5 10.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2a, b 则 =________. a 11.已知 tanα,tanβ 是方程 6x2-5x+1=0 的两个根,且 α,β 都为锐角,则 α+β 的值 为________. 12.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若函数 f(x)图象上的一个对称中心到对称轴的距 π 离的最小值为 ,则 ω 的值为________. 3 π π 13.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)ω>0,|φ|< ,y=f(x)的部分图象如图 D3-1,则 f?24?= ? ? 2 ________.

图 D3-1

图 D3-2

14.如图 D3-2,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45° , 则 AD 的长度等于________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1 π 15.(12 分)已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? 5π? (1)求 f? 4 ?的值; ? π π 10 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? 13 5

16.(13 分)函数 f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)在一个周期内的图象如图 D3-3 所示,其最高 点为 M,最低点为 N,与 x 轴正半轴交点为 P.在△MNP 中,∠MNP=30° ,MP=2. (1)判断△MNP 的形状,并说明理由; (2)求函数 f(x)的解析式.

图 D3-3

π 17.(13 分)已知函数 f(x)=4cosxsin?x+6?-1. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ?

18.(14 分)已知函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx-

3 ,x∈R. 2

1 3 (1)设角 α 的顶点在坐标原点,始边在 x 轴的正半轴上,终边过点 P? ,- ?,求 f(α) 2? ?2 的值; (2)试讨论函数 f(x)的基本性质(直接写出结论).

19. 分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射 (14 高度:如图 D3-4,在 C 处进行该仪器的垂直弹射,观测点 A、B 两地相距 100 米,∠BAC 2 =60° ,在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 秒,A 地测得该仪器在 C 处时的俯角为 15° , 17 A 地测得最高点 H 的仰角为 30° ,求该仪器的垂直弹射高度 CH(声音的传播速度为 340 米/ 秒).

图 D3-4

20.(14 分)如图 D3-5 所示,某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路 OC;另一侧修 建一条观光大道,它的前一段 OD 是以 O 为顶点,x 轴为对称轴,开口向右的抛物线的一部 π 分,后一段 DBC 是函数 y=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?,x∈[4,8]的图象,图象的最高点 ? ? 8 ? 为 B?5,3 3?,DF⊥OC,垂足为 F. ? (1)求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式. (2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园 PMFE,问点 P 落在曲线 OD 上何处时, 水上乐园的面积最大?

图 D3-5

参考答案
2π π 8π 2π π [解析] tan =tan?2π+ 3 ?=tan =tan?π-3?=-tan =- 3,故选 D. ? ? ? ? 3 3 3 2 sin α-sinαcosα 2.A [解析] sin2α-sinαcosα= sin2α+cos2α ?sin2α-sinαcosα?÷ 2α tan2α-tanα 2 cos = = = ,故选 A. 5 ?sin2α+cos2α?÷ 2α cos tan2α+1 π? π π 3.B [解析] 由 y=sin?2x+3?=sin?2?x+6??,则可将 y=sin2x 的图象向左平移 个单 ? ? ? ?? 6 π? 位长度,得到函数 y=sin?2x+3?的图象,故选 B. ? π π 4.C [解析] f(x)= 2sin?x+4?,则函数周期为 2π,对称中心为?-4+kπ,0?(k∈Z), ? ? ? ? 3π π π 对称轴为 x= +kπ(k∈Z),递增区间为?- 4 +2kπ,4+2kπ?(k∈Z); ? ? 4 kπ ? π kπ g(x)= 2sin2x, 则函数周期为 π, 对称中心为? 2 ,0?(k∈Z), 对称轴为 x= + (k∈Z), ? 4 2 π π 递增区间为?-4+kπ,4+kπ?(k∈Z),排除 A、B、D,故选 C. ? ? a b c 5.A [解析] 由正弦定理,有 = = ,又 sin2A-sin2B= 3sinBsinC,则 a2 sinA sinB sinC -b2= 3bc,即 b2-a2=- 3bc, b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3b+c 由余弦定理,有 cosA= = = , 2bc 2bc 2b - 3b+2 3b 3 又 c=2 3b,则 cosA= = ,又 0<A<π,故 A=30° ,故选 A. 2b 2 6.D [解析] ∵lga-lgc=lgsinB=-lg 2, a 2 a 2 ∴lg =lgsinB=lg ,即 =sinB= . c 2 c 2 π π ∵B∈?0,2?,∴B= , ? ? 4 a2+c2-b2 3a2-b2 2 由 c= 2a,得 cosB= = = . 2ac 2 2 2a2 ∴a2=b2,∴a=b,故选 D. 2π 1 1 π π 7.A [解析] ∵ =6π,∴ω= .又∵ × +φ=2kπ+ ,k∈Z 且-π<φ≤π, ω 3 3 2 2 1 π? π π 1 π π ∴当 k=0 时,φ= ,f(x)=2sin?3x+3?,要使 f(x)递增,需有 2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ , ? 3 2 3 3 2 5π π 5 π k∈Z,解之得 6kπ- ≤x≤6kπ+ ,k∈Z.当 k=0 时,- π≤x≤ , 2 2 2 2 5 π? ∴f(x)在?-2π,2?上递增. ? 1.D

8.A [解析] 如图:设 t 时甲行驶到 D 处,AD=10-4t, 乙行驶到 C 处,AC=6t,∵∠BAC=120° , DC2=AD2+AC2-2AD· cos120° AC· =(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×cos120° =28t2-20t+100

5 675 =28?t-14?2+ , ? ? 7 5 当 t= 时,DC2 最小,即 DC 最小, 14 5 150 此时 t= ×60= (min),故选 A. 14 7 24 9. [解析] 由 sinθ-cosθ>1,得 cosθ<0,则 25 3 cosθ=- 1-sin2θ=- , 5 24 所以 sin2θ=2sinθcosθ=- . 25 a b 10. 2 [解析] 由正弦定理 = 得 asinB=bsinA,所以 asinAsinB+bcos2A= 2a sinA sinB 化为 bsin2A+bcos2A= 2a,即 b= 2a,故选 D. π 5 1 11. [解析] 由题意得,tanα+tanβ= ,tanαtanβ= , 4 6 6 5 6 tanα+tanβ ∴tan(α+β)= = =1. 1 1-tanαtanβ 1- 6 π 又 α,β∈?0,2?,所以 0<α+β<π. ? ? π 故 α+β= . 4 3 2π 12. [解析] 函数 f(x)的周期为 T= ,由已知函数图象上的一个对称中心到对称轴的 2 ω π 1 π 1 2π π 3 距离的最小值为 ,得 T= ,即 × = ,故 ω 的值为 . 3 4 3 4 ω 3 2 π 13. 3 [解析] 函数 f(x)的周期为 T= ,由图象,得 ω 1 3π π π T= - = ,则 ω=2. 2 8 8 4 π π ∴?-8,0?是图象的一个对称中心,则图象可由函数 y=Atan2x 的图象向左平移 个单 ? ? 8 π? π π 位得到,φ= ,即 f(x)=Atan?2x+4?,把点(0,1)代入,得 1=Atan ,即 A=1, ? 4 4 π? π π? π ∴f?24?=tan?12+4?=tan = 3. ? ? 3 14. 2 [解析] 在△ABC 中,由余弦定理,有 AC2+BC2-AB2 ?2 3?2 3 cosC= = = ,则∠ACB=30° . 2AC· BC 2 2×2×2 3 在△ACD 中,由正弦定理,有 AD AC = , sinC sin∠ADC 1 2× 2 AC· sin30° ∴AD= = = 2,即 AD 的长度等于 2. sin45° 2 2 5π? 1 5 π 15.[解答] (1)f? 4 ?=2sin?3×4π-6? ? ? ? π =2sin = 2. 4

10 π 1 π π =f3α+ =2sin ×3α+ - =2sinα, 13 2 3 2 6 1 π π 6 =f(3β+2π)=2sin?3×?3β+2π?-6?=2sin?β+2?=2cosβ, ? ? ? ? 5 π? 5 3 ∴sinα= ,cosβ= .又∵α,β∈?0,2?, ? 13 5 5 ?2 12 ∴cosα= 1-sin2α= 1-?13? = , ? 13 3?2 4 sinβ= 1-cos2β= 1-?5? = , ? 5 3 12 5 4 16 故 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= × - × = . 5 13 13 5 65 (2)∵ 16.[解答] (1)由函数 f(x)的图象的对称性知: MN=2OM=2MP, 因为 MP=2,所以 MN=4, MP MN 在△MNP 中, = , sin∠MNP sin∠MPN 解得 sin∠MPN=1, 所以∠MPN=90° ,△MPN 为直角三角形. (2)由(1)知,∠NMP=60° , 又 OM=MP,所以△OMP 为等边三角形. 故 M(1, 3),P(2,0), 所以 A= 3,周期 T=2OP=4, 2π π 又|ω|= ,ω>0,所以 ω= , T 2 π 所以 f(x)= 3sin x. 2 π 17.[解答] (1)因为 f(x)=4cosxsin?x+6?-1 ? ? 3 1 =4cosx? sinx+ cosx?-1 2 ?2 ? π = 3sin2x+2cos2x-1= 3sin2x+cos2x=2sin?2x+6?, ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6 1 3 18.[解答] 解法一:(1)因为点 P? ,- ?在角 α 的终边上, 2? ?2 3 1 所以 sinα=- ,cosα= , 2 2 1 3 3 1 3 3 f(α)= 3cos2α+sinαcosα- = 3×?2?2- × - =- . ? ? 2 2 2 2 2 1+cos2x 1 3 3 1 3 (2)f(x)= 3cos2x+sinxcosx- = 3× + sin2x- = sin2x+ cos2x= 2 2 2 2 2 2 π sin?2x+3?. ? ? 函数 f(x)的基本性质如下: ①奇偶性:函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;

5π π ② 单 调 性 : 函 数 f(x) 单 调 递 增 区 间 为 ?kπ-12,kπ+12? , 单 调 递 减 区 间 为 ? ?

?kπ+ π ,kπ+7π?(k∈Z). 12 12? ?
③最值:函数 f(x)的最大值为 1,最小值为-1; ④周期性:函数 f(x)的最小正周期为 π. 1+cos2x 1 3 3 1 3 解法二:(1)f(x)= 3cos2x+sinxcosx- = 3× + sin2x- = sin2x+ 2 2 2 2 2 2 π cos2x=sin?2x+3?. ? ? π 1 3 (1)因为点 P? ,- ?在角 α 的终边上,所以 α=2kπ- ,k∈Z, 3 2? ?2 π? π? π? π? 3 所以 f(α)=sin?2?2kπ-3?+3 =sin?4kπ-3?=sin?-3?=- . ? ? ? ? ? 2 (2)同解法一. 19.[解答] 由题意,设 AC=x,则 2 BC=x- ×340=x-40, 17 在△ABC 内,由余弦定理: BC2=BA2+CA2-2BA· cos∠BAC, CA· 即(x-40)2=x2+10000-100x,解之得 x=420. 在△ACH 中,AC=420,∠CAH=30° +15° =45° ,∠CHA=90° -30° =60° . CH AC 由正弦定理: = , sin∠CAH sin∠AHC sin∠CAH 所以 CH=AC· =140 6. sin∠AHC 答:该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 6米. 20.[解答] (1)对于函数 y=Asin(ωx+φ),由图象知, 8 3 2π 2π π A= ,ω= = = , 3 T 4?8-5? 6 8 8 3 ?π 5π π 将 B?5,3 3?代入到 y= sin?6x+φ?中,得 +φ=2kπ+ (k∈Z), ? ? ? 3 6 2 π π 8 3 ?π π? 又|φ|< ,所以 φ=- ,故 y= sin?6x-3?. 2 3 3 8 3 ?π π? (2)在 y= sin?6x-3?中令 x=4, D(4,4), 得 得曲线 OD 的方程为 y2=4x(0≤x≤4, y≥0), 3 t2 设点 P? 4 ,t?(0≤t≤4), ? ? t2 则矩形 PMFE 的面积为 S=?4- 4 ?t(0≤t≤4), ? ? 3t2 4 3 4 3? 4 3 ? 因为 S′=4- , S′=0, t= 由 得 , 且当 t∈?0, 时, S′>0, 递增; t∈? S 当 4 3 3 ? ? ? 3 ,4? 4 3 4 4 3? 时,S′<0,S 递减,所以当 t= 时,S 最大,此时点 P 的坐标为? , . 3 ?3 3 ?


相关文章:
2014年高考数学第一轮复习:三角函数、解三角形
2014年高考数学第一轮复习:三角函数解三角形 隐藏>> 三角函数、解三角形一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项...
【一轮效果监测】2014届高考数学一轮复习检测:《三角函数、解三角形》
【一轮效果监测】2014高考数学一轮复习检测:《三角函数解三角形》_数学_高中教育_教育专区。第三篇 (时间:120 分钟 满分:150 分) 【选题明细表】 知识点...
三角函数与解三角形(理)-2014年高考数学二轮复习精品资料(解析版)
三角函数解三角形(理)-2014年高考数学轮复习精品资料(解析版)_高考_高中教育_教育专区。【高效整合篇】 一.考场传真 1. 【 2013 年普通高等学校招生全国统...
2014高考数学一轮复习-三角函数
2014 高考数学一轮复习:三角函数复习 第一讲 任意角的三角函数及诱导公式 第二...解三角形 本教程把三角函数图像和性质从三角函数诱导公式中分离出来, 主要是因为...
2015届高三数学第一轮复习:三角函数、解三角形
第1页 2015 届高三数学第一轮复习:三角函数解三角形 (2)写出终边落在直线 y= 3x 上的角的集合; (3)如图所示,已知角 α 的终边在阴影表示的范围内(不...
2014届高考数学(理)一轮复习章节训练:三角函数与解三角形(人教A版)
2014高考数学(理)一轮复习章节训练:三角函数解三角形(人教A版)_高三数学_...则 AB+2BC 的最大值为 ___. 第3页 共6页 AB 3 BC 解析 由正弦定理...
2014高考文科数学一轮复习—三角函数
2014高考文科数学一轮复习—三角函数_数学_高中教育_教育专区。高考文科数学一轮...解三角 形 解三角形的四种类 型 三角形的面积公式 第一:三角函数概念 1....
2014高考数学第一轮复习(三角函数)
2014高考数学第一轮复习(三角函数)_数学_高中教育_教育专区。好 ...4.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知 a,b,A, 则 ...
高三文科数学一轮复习之三角函数和解三角形
高三文科数学一轮复习三角函数解三角形_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数学讲义之三角函数解三角形【主干内容】 1. 弧长公式: l ?| ? | ?r . ...
更多相关标签: