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(人教版)高中数学必修4教案全集


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第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 一、 教学目标: 1、知识与技能 (1)推广角的概念、引入大于 360° 角和负角; (2)理解并掌握正角、负 角、零角的定义; (3)理解任意角以及象限角的概念;(4)掌握所有与 α 角 终边相同的角(包括 α 角)的表示方法; (5)树立运动变化观点,深刻理解 推广后的角的概念; (6)揭示知识背景,引发学生学习兴趣.(7)创设问 题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 2、过程与方法 ,角有大于 360° 角、零 通过创设情境: “转体 720° ,逆(顺)时针旋转” 角和旋转方向不同所形成的角等,引入正角、负角和零角的概念;角的概 念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系,引入象限角、非象限角的概 念及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角,画出终边所在的位置, 找出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示;讲解例题,总结方法, 巩固练习. 3、情态与价值 通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识,即有正角、 负角和零角之分.角的概念推广以后,知道角之间的关系.理解掌握终边相 同角的表示方法,学会运用运动变化的观点认识事物. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和 观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境 中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.
1

我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示. 另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了 5 分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了 1.25 小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度? [取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要正向或反向 旋转,有时转不到一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于
0° ? 360° 之间,这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.

【探究新知】 1.初中时,我们已学习了 0° ? 360° 角的概念,它是如何定义的呢? [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的图形.如图 1.1-1,一条射线由原来的位置 OA ,绕着它的端 点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB ,就形成角 α .旋转开始时的射线 OA 叫做角的始边, OB 叫终边,射线的端点 O 叫做叫 α 的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到 这样的术语: “转体 720° ” (即转体 2 周)“转体1080° ” , (即转体 3 周)等, 都是遇到大于 360° 的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能 否再举出几个现实生活中“大于 360° 的角或按不同方向旋转而成的角”的例 子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见,我们规定:按 逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所
2

形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称 它形成了一个零角(zero angle). [展示课件]如教材图 1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于 750° ;图 1.1.3(2)中,正角 α = 210° ,负角 β = ?150° , γ = ?660° ;这样,我们就把角的概 念推广到了任意角(any angle),包括正角、负角和零角. 为了简单起见, 在不引起混淆的前提下, “角 α ”或“ ∠α ”可简记为 α . 3.在今后的学习中,我们常在直角坐标系内讨论角,为此我们必须了 解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么,角的终 边 (除端点外) 在第几象限, 我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle). 如教材图 1.1-4 中的 30° 角、 ?210° 角分别是第一象限角和第三象限角.要特 别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称 为非象限角. 4.[展示投影]练习: (1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直 角、钝角来回答这两个问题. (2)( 回 答 ) 今 天 是 星 期 三 那 么 7k (k ∈ Z ) 天 后 的 那 一 天 是 星 期 几 ?
7 k (k ∈ Z ) 天前的那一天是星期几?100 天后的那一天是星期几?

5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一 的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线 OB (如图 1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么 关系?请结合 4.(2)口答加以分析. [展示课件]不难发现,在教材图 1.1-5 中,如果 ?32° 的终边是 OB ,那么
3

328° , ?392° L 角的终边都是 OB ,而 328° = ?32° + 1× 360° , ?392° = ?32° + (?1) × 360° .

设 S = {β | β = ?32° + k ? 360° , k ∈ Z } ,则 328° , ?392° 角都是 S 的元素, ?32° 角也是
S 的元素.因此,所有与 ?32° 角终边相同的角,连同 ?32° 角在内,都是集合 S 的

元素;反过来,集合 S 的任一元素显然与 ?32° 角终边相同. 一般地,我们有:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个 集合
S = {β | β = α + k ? 360° , k ∈ Z } ,即任一与角 α 终边相同的角,都可以表示成角 α

与整数个周角的和. 6.[展示投影]例题讲评 例 1. 例 1 在 0° ? 360° 范围内,找出与-950°12' 角终边相同的角,并判定 它是第几象限角.(注: 0°-360° 是指 0° ≤ β < 360° ) 例 2.写出终边在 y 轴上的角的集合. 例 3. 写 出 终 边 直线 在 y = x 上 的 角 的 集 合 S , 并 把 S 中 适 合 不 等 式
?360° ≤ α < 720° 的元素 β 写出来.

7.[展示投影]练习 教材 P6 第 3、4、5 题. 注意: (1) k ∈ Z ; (2) α 是任意角(正角、负角、零角)(3)终边 ; 相同的角不一定相等;但相等的角,终边一定相同;终边相同的角有无数 多个,它们相差 360° 的整数倍. 8.学习小结 (1) 你知道角是如何推广的吗? (2) 象限角是如何定义的呢?
4

(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在 x 轴、 y 轴、 直 线 y = x 上的角的集合. 五、评价设计 1.作业:习题 1.1 A 组第 1,2,3 题. 2.多举出一些日常生活中的“大于 360° 的角和负角”的例子,熟练掌 握他们的表示, 进一步理解具有相同终边的角的特点.

1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)理解并掌握弧度制的定义; (2)领会弧度制定义的合理性; (3)掌 握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式; (4)熟练地进行角度制 与弧度制的换算;5) ( 角的集合与实数集 R 之间建立的一一对应关系.(6) 使 学生通过弧度制的学习,理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方 法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的关系. 2、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定 义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积 公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.
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3、情态与价值 通过本节的学习,使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制,理 解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而 不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集
R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的

弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等 于这个实数的角)与它对应,为下一节学习三角函数做好准备. 二、教学重、难点 重点: 理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换 算;弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义,弧度制的运用. 三、学法与教学用具 在我们所掌握的知识中,知道角的度量是用角度制,但是为了以后的 学习,我们引入了弧度制的概念,我们一定要准确理解弧度制的定义,在 理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 教学用具:计算器、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 有人问:海口到三亚有多远时,有人回答约 250 公里,但也有人回答 约 160 英里,请问那一种回答是正确的?(已知 1 英里=1.6 公里) 显然,两种回答都是正确的,但为什么会有不同的数值呢?那是因为 所采用的度量制不同,一个是公里制,一个是英里制.他们的长度单位是不 同的,但是,他们之间可以换算:1 英里=1.6 公里. 在角度的度量里面,也有类似的情况,一个是角度制,我们已经不再 陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制. 【探究新知】 1.角度制规定:将一个圆周分成 360 份,每一份叫做 1 度,故一周等 于 360 度,平角等于 180 度,直角等于 90 度等等.
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弧度制是什么呢?1 弧度是什么意思?一周是多少弧度?半周呢?直 角等于多少弧度?弧度制与角度制之间如何换算?请看课本 P6 ? P7 ,自行解 决上述问题. 2.弧度制的定义 [展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角,记作 1 rad ,或 1 弧度,或 1(单位可以省略不写). 3.探究:如图,半径为 r 的圆的圆心与原点重合,角 α 的终边与 x 轴的正 半轴重合,交圆于点 A ,终边与圆交于点 B .请完成表格.
y

弧 AB 的 长
πr

OB 旋转的方

∠AOB 的弧度

∠AOB 的度

B α O A x

向 逆时针方向





2π r

逆时针方向
r 2r 1 ?2


0
180°

180°

我们知道,角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如π,-2π等等,一般地, 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个 负数,零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. 4.思考:如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长是 l ,那么 a 的弧
7

度数是多少? 角 α 的弧度数的绝对值是: α = ,其中,l 是圆心角所对的弧长, r 是 半径. 5.根据探究中180° = π rad 填空:
1° = ___ rad , 1rad = ___ 度
l r

显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解 例 1.按照下列要求,把 67°30' 化成弧度: (1) 精确值; (2) 精确到 0.001 的近似值. 例 2.将 3.14 rad 换算成角度(用度数表示,精确到 0.001). 注意:角度制与弧度制的换算主要抓住 180° = π rad ,另外注意计算器计 算非特殊角的方法. 7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表: 度 弧 度 角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立了一一 对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应; 反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角) 与它对应. 8.例题讲评 例 3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
8



30°

45°

120°

120°

120°

120°

π
3

π
2

π

3π 2

(1) l = α R ;

(2) S = α R 2 ;

1 2

(3) S = lR .

1 2

其中 R 是半径, l 是弧长, α (0 < α < 2π ) 为圆心角, S 是扇形的面积. 例 4.利用计算器比较 sin1.5 和 sin 85° 的大小. 注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别. 9.练习 教材 P10 . 9.学习小结 (1)你知道角弧度制是怎样规定的吗? (2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗? 五、评价设计 1.作业:习题 1.1 A 组第 7,8,9 题. 2.要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同.能够使用计算器 求某角的各三角函数值. 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一) 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定 义域和函数值在各象限的符号)(2)理解任意角的三角函数不同的定义方 ; 法; (3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余 弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来; (4)掌握并能 初步运用公式一; (5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变 量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.
9

引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的 三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置 不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号. 最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法,巩固 练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的 特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法 能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广,有利于引导学生 从自己已有认知基础出发学习三角函数,但它对准确把握三角函数的本质 有一定的不利影响, “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的 一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要 通过运算才能得到,这与函数值是一个确定的实数也有不同,这些都会影 响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定 义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系,也 表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定 义域和函数值在各象限的符号) ;终边相同的角的同一三角函数值相等(公 式一). 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定 义域和函数值在各象限的符号) ;三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,本节利用单位圆上点的坐 标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到
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函数值之间的对应关系,也表明了这两个函数之间的关系. 另外,这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接,数 形结合更加紧密,这就为后续内容的学习带来方便,也使三角函数更加好 用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时 任意角的三角函数(一)
y

【创设情境】
P (a, b)

提问:锐角 O 的正弦、余弦、正切怎样表示?
O

α

r M

借助右图直角三角形,复习回顾. 引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那 么它的终边在第一象限.在 α 的终边上任
a的终边
y

取 一 点 P ( a, b) , 它 与 原 点 的 距 离
r = a 2 + b 2 > 0 .过 P 作 x 轴的垂线,垂足为

P(x,y

O

M ,则线段 OM 的长度为 a ,线段 MP 的长

x

度为 b .则 sin α =
cos α =

MP b = ; OP r tan α = MP b = . OM a

OM a = ; OP r

思考:对于确定的角 α ,这三个比值是否会随点 P 在 α 的终边上的位置 的改变而改变呢? 显然,我们可以将点取在使线段 OP 的长 r = 1 的特殊位置上,这样就可以 得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:
sin α =

MP =b; OP

cos α =

OM =a; OP

tan α =
11

MP b = . OM a

思考:上述锐角 α 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角 的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利 推广到任意角呢?本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 【探究新知】 1.探究:结合上述锐角 α 的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角 的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1, 然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆 的定义:在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P( x, y ) ,那么: (1) y 叫做 α 的正弦(sine),记做 sin α ,即 sin α = y ; (2) x 叫做 α 的余弦(cossine),记做 cos α ,即 cos α = x ; (3) 叫做 α 的正切(tangent),记做 tan α ,即 tan α = ( x ≠ 0) . 注意:当α是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边 所在) ;当α不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然 有终边,终边就必然与单位圆有交点 P( x, y ) ,从而就必然能够最终算出三角 函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该 如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关, 仅与角的 大 小 有 关 . 我 们 只 需 计 算 点 到 原 点 的 距 离 r = x2 + y 2 , 那 么
sin α = y x +y
2 2

y x

y x

, cos α =

x x + y2
2

,
12

tan α =

y .所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值 x

为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 4.例题讲评 例 1.求
5π 的正弦、余弦和正切值. 3

例 2.已知角 α 的终边过点 P0 (?3, ?4) ,求角 α 的正弦、余弦和正切值. 教材给出这两个例题,主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可 以尝试其他方法: 如例 2:设 x = ?3, y = ?4, 则 r = (?3) 2 + (?4) 2 = 5 . 于是 sin α =
y 4 x 3 y 4 = ? , cos α = = ? , tan α = = . r 5 r 5 x 3

5.巩固练习 P17 第 1,2,3 题 6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义 域填入下表;再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中: 三角函 数
sin α

定义域 角度制 弧度制

第一象 限

第二象 限

第三象 限

第四象 限

cos α
tan α

7.例题讲评 例 3.求证:当且仅当不等式组 {
sin θ < 0 tan θ > 0

成立时,角 θ 为第三象限角.

8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关 系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
13

sin(α + 2kπ ) = sin α cos(α + 2kπ ) = cos α tan(α + 2kπ ) = tan α

(其中 k ∈ Z )

9.例题讲评 例 4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1) cos 250° ; (2) sin(? ) ; (3) tan(?672° ) ;
4

π

(4) tan 3π

例 5.求下列三角函数值:

(1) sin1480°10' ; (2) cos

9π ; 4

(3) tan(?

11π ) 6

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求 0 到 2π (或 0° 到
360° )角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意

角度制的问题. 10.巩固练习 P17 第 4,5,6,7 题 11.学习小结 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域; (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟 练应用公式一吗? 五、评价设计 1.作业:习题 1.2 A 组第 1,2 题. 2.比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什 么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知
14

道推导方法.

第二课时 任意角的三角函数(二) 【复习回顾】 1、 2、 3、 4、 5、 三角函数的定义; 三角函数在各象限角的符号; 三角函数在轴上角的值; 诱导公式(一) :终边相同的角的同一三角函数的值相等; 三角函数的定义域.

要求:记忆.并指出,三角函数没有定义的地方一定是在轴上角,所以, 凡是碰到轴上角时,要结合定义进行分析;并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】 1.引入:角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的 函数——三角函数是一个数量概念(比值) ,但它是否也是一个图形概念 呢?换句话说,能否用几何方式来表示三角函数呢? 2.[边描述边画]以坐标原点为圆心,
y

以单位长度 1 为半径画一个圆,这个圆
P

a角的终 T

就叫做单位圆(注意:这个单位长度不 一定就是 1 厘米或 1 米).当角 α 为第一 象限角时,则其终边与单位圆必有一个 交点 P( x, y ) ,过点 P 作 PM ⊥ x 轴交 x 轴于 点 M ,则请你观察:
15

O

M A

x

根据三角函数的定义: | MP |=| y |=| sin α | ; | OM |=| x |=| cos α | 随着 α 在第一象限内转动, MP 、 OM 是否也跟着变化? 3. 思考: 为了去掉上述等式中的绝对值符号, (1) 能否给线段 MP 、OM 规定一个适当的方向,使它们的取值与点 P 的坐标一致? (2)你能借助单位圆,找到一条如 MP 、OM 一样的线段来表示角 α 的 正切值吗? 我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 α 的终边 不在坐标轴时,以 O 为始点、 M 为终点,规定: 当线段 OM 与 x 轴同向时, OM 的方向为正向,且有正值 x ;当线段 OM 与 x 轴反向时, OM 的方向为负向,且有正值 x ;其中 x 为 P 点的横坐标.这 样,无论那种情况都有
OM = x = cos α

同理,当角 α 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点,规定: 当线段 MP 与 y 轴同向时,MP 的方向为正向, 且有正值 y ; 当线段 MP 与
y 轴反向

时, MP 的方向为负向,且有正值 y ;其中 y 为 P 点的横坐标.这样,无论那 种情况都有
MP = y = sin α

4.像 MP、OM 这种被看作带有方向的线段, 叫做有向线段 (direct line segment). 5.如何用有向线段来表示角 α 的正切呢? 如上图,过点 A(1,0) 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与 α 的终边交于点 T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线 段 OA、AT ,我们有
16

tan α = AT =

y x

我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT ,分别叫做角 α 的 正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线. 6.探究: (1)当角 α 的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出 它们的正弦线、余弦线和正切线吗? (2)当 α 的终边与 x 轴或 y 轴重合时,又是怎样的情形呢?

7.例题讲解 例 1.已知 < α <
4

π

π
2

,试比较 α , tan α ,sin α ,cos α 的大小.

处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习 P19 第 1,2,3,4 题 9 学习小结 (1)了解有向线段的概念. (2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段, 将任意角 α 的正弦、 余弦、 正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来. (3)体会三角函数线的简单应用.
17

【评价设计】 1. 作业:

比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器) (1) sin15° 、 tan15° (2) cos150°18' 、 cos121° (3) 、 tan
5

π

π
5

2.练习三角函数线的作图.

1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系 一、教学目标: 1、知识与技能 (1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系;(2)已知某角的一个三角函 数值,求它的其余各三角函数值;(3)利用同角三角函数关系式化简三角函 数式;(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式; (5)牢固掌握同角三 角函数的三个关系式并能灵活运用于解题,提高学生分析,解决三角问题 的能力; (6)灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变 形的能力,进一步树立化归思想方法; (7)掌握恒等式证明的一般方法. 2、过程与方法 由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数 之间的关系;学习已知一个三角函数值,求它的其余各三角函数值;利用 同角三角函数关系式化简三角函数式;利用同角三角函数关系式证明三角 恒等式等.通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 3、情态与价值
18

通过本节的学习, 牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于 解题,提高学生分析,解决三角问题的能力;进一步树立化归思想方法和 证明三角恒等式的一般方法. 二、教学重、难点 重点:公式 sin 2 α + cos 2 α = 1 及
sin α = tan α 的推导及运用: (1)已知某任 cos α

意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个; (2)化简三角函数式; (3)证明简单的三角恒等式. 难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证 明三角恒等式. 三、学法与教学用具 利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:
sin 2 α + cos 2 α = 1 及 sin α = tan α ,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式, cos α

证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学设想 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样,本节课我
y

们 同
P 1 M O A(1, x

来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不 三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的 相转化. 【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标 来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?



如图:以正弦线 MP ,余弦线 OM 和半径 OP 三者的长构成直角三角形,而 且 OP = 1 .由勾股定理由 MP 2 + OM 2 = 1 ,因此 x 2 + y 2 = 1 ,即 sin 2 α + cos 2 α = 1 . 根据三角函数的定义,当 a ≠ kπ + (k ∈ Z ) 时,有
2

π

sin α = tan α . cos α

这就是说,同一个角 α 的正弦、余弦的平方等于 1,商等于角 α 的正切.
19

2. 例题讲评 例 6.已知 sin α = ? ,求 cos α , tan α 的值.
sin α , cos α , tan α 三者知一求二,熟练掌握.

3 5

3. 巩固练习 P23 页第 1,2,3 题 4.例题讲评 例 7.求证:
cos x 1 + sin x = . 1 ? sin x cos x

通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习 P23 页第 4,5 题 6.学习小结 (1)同角三角函数的关系式的前提是“同角” ,因此 sin 2 α + cos 2 β ≠ 1 ,
tan α ≠ sin β . cos γ

(2)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符 号,即要就角所在象限进行分类讨论. 五、评价设计 (1) (2) 作业:习题 1.2A 组第 10,13 题. 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到

其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.

20

第二章 平面向量 本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,是近代数学中重要和 基本的数学概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向 量概念引入后,全等和平行(平移) 、相似、垂直、勾股定理就可转化为向 量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为 向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背 景.在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的 意义,学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面 向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决 数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,并说明了向量与数量 的区别,然后介绍了向量的一些基本概念. (让学生对整章有个初步的、全 面的了解.)

第 1 课时 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学目标: 教学目标: 1. 了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向
21

量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念; 并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区 别. 3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数 学本质的能力. 教学重点: 教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的 概念,会表示向量. 教学难点: 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学 法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有

的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、 相等向量、共线向量等概念. 教 具:多媒体或实物投影仪,尺规

授课类型: 授课类型:新授课 教学思路: 教学思路: 一、情景设置: 如图, 老鼠由 A 向西北逃窜, 猫在 B 处向东追去, 设问:猫能否追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析:老鼠逃窜的路线 AC、猫追逐的路线 BD 实际上都是有方向、有 长短的量.

C A B D

22

引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方 向? 二、新课学习: (一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 (二)请同学阅读课本后回答: (可制作成幻灯片) 1、数量与向量有何区别? 2、如何表示向量? 3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? 4、长度为零的向量叫什么向量?长度为 1 的向量叫什么向量? 5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O,这是它们是不是平 行向量?这时各向量的终点之间有什么关系? (三)探究学习 1、数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b a b (黑体,印刷用)等表示;
23

a
A(起点)

B (终点)

③用有向线段的起点与终点字母: AB ; ④向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作| AB |. 3.有向线段: 具有方向的线段就叫做有向线段, 三个要素: 起点、 方向、 起点、 方向、 长度. 长度 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相 同,则这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和 方向相同,也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量, 记作 0. 0 的方向是任意的. 注意 0 与 0 的含义与书写区别. ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定 0 与任一向量 平行. 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量a、b、

c平行,记作a∥b∥c.
6、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
24

说明: (1)向量a与b相等,记作a=b; (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示, 并且与有向线段的起点无关. .......... 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线 上(与有向线段的起点无关). ........... 说明: (1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关 系; (2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关 系. (四)理解和巩固: 例 1 书本 86 页例 1. 例 2 判断: (1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平 行向量) (6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定) 例 3 下列命题正确的是( )?
25

A.a与b共线,b与c共线,则a与 c 也共 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是 行四边形的四顶点? C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量? a b a b D.有相同起点的两个非零向量不平行

线? 一 平

解:由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向 量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构 不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以 B 不正确; 向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正 确;对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑, 假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量 a b a b 与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都 a b a b 是非零向量,所以应选 C. 例 4 如图, O 是正六边形 ABCDEF 的中心, 设 分别写出图中与向量 OA 、
OB 、 OC 相等的向量.

变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11 个) 变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三:与向量共线的向量有哪些?( CB, DO, FE ) 课堂练习: 课堂练习 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.? ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;? ②单位向量都相等;?
26

③任一向量与它的相反向量不相等;? ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB = DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0;? ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不 要求两个向量 AB 、 AC 在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为 1,但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向 量, 但零向

量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图 AC 与 BC 共线,虽起点不 同,但其终点却相同. 2.书本 88 页练习 三、小结 : 1、 、 2、 、 3、 、 描述向量的两个指标:模和方向. 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 向量的图示,要标上箭头和始点、终点.

四、课后作业: 课后作业 书本 88 页习题 2.1 第 3、5 题

(吴春霞)

第 2 课时
27

§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 教学目标: 教学目标: 1、 掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向 量,培养数形结合解决问题的能力; 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法 运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学 方法; 教学重点: 教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和 向量. 教学难点: 教学难点:理解向量加法的定义. 学 法: 数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?数的加法启发我们,从运 算的角度看,位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移 的合成、力的合成来理解向量的加法,让学生顺理成章接受向量的加法定 义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算 律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具:多媒体或实物投影仪,尺规

授课类型: 授课类型:新授课 教学思路: 教学思路: 一、设置情景:

28

1、复习:向量的定义以及有关概念 强调: 向量是既有大小又有方向的量.长度相等、 方向相同的向量相等. 因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不 改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置 2、 情景设置:
A B C

(1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和: AB + BC = AC (2)若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和: AB + BC = AC
C C A B

(3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和: AB + BC = AC
A B C

(4)船速为 AB ,水速为 BC ,则两速度和: AB + BC = AC 二、探索研究:
A B

1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2、三角形法则( 首尾相接,首尾连” “首尾相接,首尾连” ) 如图,已知向量 a、b 、b.在平面内任取一点 A ,作 AB =a, BC =b,则向 b 、b 量 AC 叫做 a 与b的和, 记作 a+b 即 a+b = AB + BC = AC , +b, +b 规定: b +b + 0-= 0 + a
a a a C b b a b A a b B
29

a

a+b

a+b

探究: (1)两相向量的和仍是一个向量; (2)当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且| a + b |<| a |+| b |; (3)当 a 与 b 同向时,则 a + b 、a 、 向,且| a + b |=| a |+| b |,当 a 与 b 反向时, | a |>| b |,则 a + b 的方向与 a 相同,且
b a a B O b a A b

b同



| a + b |=| a |-| b |;若| a |<| b |,则 a + b 的方向与 b 相同,且| a +b|=| b |-| a |. (4) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的 起点,可以推广到 n 个向量连加 3.例一、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b 作法:在平面内取一点,作 OA = a AB = b ,则 OB = a + b . 4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同? 验证结果相同

从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 2)向量加法的交换律: a + b = b + a 5.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 证:如图:使 AB = a , BC = b , CD = c 则 ( a + b ) + c = AC + CD = AD , a + ( b + c ) = AB + BD = AD ∴( a + b ) + c = a + ( b + c )
30

从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例: 例二(P94—95)略 练习:P95 四、小结 1、向量加法的几何意义; 2、交换律和结合律; 3、注意:| a + b | ≤ | a | + | b |,当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业: P103 第2、3题 六、板书设计(略) 七、备用习题 1、一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的 实际航行的速度的大小为 4km / h ,求水流的速度. 2、一艘船距对岸 4
3km ,以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,到

达对岸时,船的实际航程为 8km,求河水的流速. 3、一艘船从 A 点出发以 v1 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的 流速为 v 2 , 船的实际航行的速度的大小为 4km / h , 方向与水流间的夹角是 60° , 求 v1 和 v 2 . 4、一艘船以 5km/h 的速度在行驶,同时河水的流速为 2km/h,则船的实 际航行速度大小最大是 km/h,最小是
31

km/h

5、已知两个力 F1,F2 的夹角是直角,且已知它们的合力 F 与 F1 的夹角 是 60 ° ,|F|=10N 求 F1 和 F2 的大小. 6、用向量加法证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

(吴春霞) 第 3 课时 §2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 教学目标: 教学目标: 1. 了解相反向量的概念; 2. 掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义; 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物 之间可以相互转化的辩证思想. 教学重点: 教学重点:向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点:减法运算时方向的确定. 教学难点: 学 法:减法运算是加法运算的逆运算,学生在理解相反向量的基础上结

合向量的加法运算掌握向量的减法运算;并利用三角形做出减向量. 教 具:多媒体或实物投影仪,尺规

授课类型: 授课类型:新授课 教学思路: 教学思路: 一、 复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律:
32

D

C

A

B

例:在四边形中, CB + BA + BA = 解: CB + BA + BA = CB + BA + AD = CD 二、 提出课题:向量的减法

.

1. 用“相反向量”定义向量的减法 (1) “相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量.记作 ?a (2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0 如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, b = ?a, a + b = 0 (3) 向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的 差. 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2. 用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b
a 3. 求作差向量:已知向量 a、b,求作向量 b O a

∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
B

b

a?b

作法:在平面内取一点 O, 作 OA = a, 则 BA = a ? b 即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的
33

AB = b

向量. 注意:1° AB 表示 a ? b.强调:差向量“箭头”指向被减数 2°用“相反向量”定义法作差向量,a ? b = a + (?b)
a B 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一. B’

?b

a+ (?b) a A b

O b B b

4. 探究: 1) 如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量,那么所得向

量是 b ? a.
a O b a b O a?b A ?b B B O a?b A a?b B A B’ O B a?b A

2)若 a∥b, 如何作出 a ? b ? 三、 例题: 例一、 (P97 例三)已知向量 a、b、c、d,求作向量 a?b、c?d.
34

解:在平面上取一点 O,作 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, 作 BA , DC ,
d c O C

则 BA = a?b,
A

DC = c?d
B D

b a

D

C

例二、平行四边形 ABCD 中, AB = a, AD = b, 用 a、b 表示向量 AC 、 DB . 、 解:由平行四边形法则得:
AC = a + b, DB = AB ? AD = a?b
A B

变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a?b 垂直?(|a| = |b|) 变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|?(a, b 互相垂直) 变式三:a+b 与 a?b 可能是相当向量吗?(不可能,∵ 不同) 练习:P98 四、 小结:向量减法的定义、作图法| 五、 作业:P103 第 4、5题 六、 板书设计(略) 七、 备用习题:
35

对角线方向

1.在△ABC 中, BC =a, CA =b,则 AB 等于( A.a+b ? ? B.-a+(-b)?

)? D.b-a

C.a-b ?

2.O 为平行四边形 ABCD 平面上的点,设 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d,则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 ? C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0

3.如图,在四边形 ABCD 中,根据图示填空:? a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .?

4、如图所示,O 是四边形 ABCD 内任一点,试根据图中给出的向量, 确定 a、b、c、d 的方向(用箭头表示) ,使 a+b= AB ,c-d= DC ,并画出 b-c 和 a+d.

第3题

(吴春霞)

36

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 第 4 课时 §2.3.1 平面向量基本定理 教学目的: 教学目的: (1)了解平面向量基本定理; (2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步 掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法; (3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点: 教学重点:平面向量基本定理. 教学难点: 教学难点:平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型: 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 教学过程 一、 复习引入: 复习引入: 1.实数与向量的积:实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a
r r r r r r r r

(2)λ>0 时λ a 与 a 方向相同;λ<0 时λ a 与 a 方向相 (1)|λ a |=|λ|| a |;
37

反;λ=0 时λ a = 0 2.运算定律 结合律:λ(? a )=(λ?) a ;分配律:(λ+?) a =λ a +? a , λ( a + b )=λ a +
r
r r r r r r

r

r

r

λb
r r
r

3. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是: 有且只有一个非 零实数λ,使 b =λ a . 二、讲解新课: 讲解新课: 平面向量基本定理:如果 e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么 有且只有一对实数λ1, 2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2 . λ 对于这一平面内的任一向量 a , 探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 三、讲解范例: 讲解范例: 例 1 已知向量 e1 , e2 例 2 如图 求作向量?2.5 e1 +3 e2 .
r r r

r

ABCD 的两条对角线交于点 M, 且
MD

r r r r AB = a , AD = b ,用 a , b 表示 MA , MB , MC 和

例 3 已知 E , O

ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 是 任 意 一 点 , 求 证 :

交于

OA + OB + OC + OD =4 OE
38

例 4(1)如图, OA , OB 不共线, AP =t AB (t∈R)
OA , OB 表示 OP .



uuu uu r r

(2)设 OA、 不共线,点 P 在 O、A、B 所在的 OB 内,且 OP = (1 ? t )OA + tOB(t ∈ R) .求证:A、B、P 三点共线.
uuu r uuu r uuu r

平面

例 5 已知 a=2e1-3e2,b= 2e1+3e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问 是否存在这样的实数 λ、? , 使d = λ a + ? b 与 c 共线. 四、课堂练习: 课堂练习 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈ R) 2.已知矢量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
u r r r

3.已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 .

4.已知 a、 不共线, c =λ1a+λ2b(λ1, 2∈R), c 与 b 共线, λ1= b 且 λ 若 则

λ e e 且 则 5.已知λ1>0, 2>0, 1、 2 是一组基底, a =λ1e1+λ2e2, a 与 e1_____,
39

a 与 e2_________(填共线或不共线). 五、小结(略) 小结 : 六、课后作业(略) 课后作业 七、板书设计(略) 板书设计 八、课后记: 课后记: 第 5 课时 §2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 — 教学目的: 教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 教学重点: 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点: 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 授课类型: 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 教学过程 一、复习引入: 复习引入: 1.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么 . 对于这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数λ1, 2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2 λ (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线;
40

r

r

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 二、讲解新课: 讲解新课: 1.平面向量的坐标表示 . 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位 向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一 对实数 x 、 y ,使得 1 a = xi + yj …………○ 我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 2 a = ( x, y ) …………○ 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐 2 标,○式叫做向量的坐标表示 与 a 相等的向量的坐标 向量的坐标表示.与 向量的坐标表示 . ........ 也为 ( x, y ) . .. 特别地, i = (1,0) , j = (0,1) , 0 = (0,0) . 如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA = a ,则点 A 的位置由 a 唯 一确定. 设 OA = xi + yj ,则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标
( x, y ) 也就是向量 OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都
r

是可以用一对实数唯一表示. 2.平面向量的坐标运算 . 则 (1) 若 a = ( x1 , y1 ) ,b = ( x 2 , y 2 ) , a + b = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) ,a ? b = ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 )
41

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为 i 、 j ,则 a + b = ( x1i + y1 j ) + ( x 2 i + y 2 j ) = ( x1 + x 2 )i + ( y1 + y 2 ) j 即 a + b = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) ,同理可得 a ? b = ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) (2) 若 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 AB = (x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)

(3)若 a = ( x, y ) 和实数 λ ,则 λa = (λx, λy ) . ) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设 基 底 为 i 、 j , 则 λa = λ ( xi + yj ) = λxi + λyj , 即
λa = (λx, λy )

三、讲解范例: 讲解范例:
uuu r

例 1 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),求 AB 的坐标.
r r r r r r r r

例 2 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a - b , 3 a +4 b 的坐标. 例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4), 求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解:当平行四边形为 ABCD 时,由 AB = DC 得 D1=(2, 2) 当平行四边形为 ACDB 时,得 D2=(4, 6),当平行四边形为 DACB 时, 得 D3=(?6, 0) 例 4 已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, ?5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 , 求 F3 的坐标.
42

解:由题设 F1 + F2 + F3 = 0 即: ?
?3 + 2 + x = 0 ?4 ? 5 + y = 0

得:(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0) ∴ F3 (?5,1)

∴?

? x = ?5 ? y =1

四、课堂练习: 课堂练习 1.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP =
1 MN , 2

求 P 点的坐标 .

2.若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) , 则 AB ?2 BC =

3.已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) , 求证: 四边形 ABCD 是梯形. 五、小结(略) 小结 六、课后作业(略) 课后作业 七、板书设计(略) 板书设计 八、课后记: 课后记: (王海)

第 6 课时 §2.3.4 平面向量共线的坐标表示 教学目的: 教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线.
43

教学重点: 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点: 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型: 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 教学过程 一、复习引入: 复习引入: 1.平面向量的坐标表示 . 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个 由平面向量基本定理知, 有且只有一对实数 x 、 向量 a ,
y ,使得 a = xi + yj

把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a = ( x, y ) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 特别地, i = (1,0) ,
j = (0,1) , 0 = (0,0) .

2.平面向量的坐标运算 . 若 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) , 则 a + b = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) , a ? b = ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) , λa = (λx, λy ) . 若 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 AB = (x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ) 二、讲解新课: 讲解新课:
r r r a ∥ b ( b ≠ 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0

设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2) 其中 b ≠ a .

r

r

r

r

44

由 a =λ b 得, (x1, y1) =λ(x2, y2)

r

r

? x = λx 2 ?? 1 ? y1 = λy 2

消去λ,x1y2-x2y1=0
r

探究: (1)消去λ时不能两式相除,∵y1, y2 有可能为 0, ∵ b ≠ 0 y2 中至少有一个不为 0 (2)充要条件不能写成
y1 y 2 = x1 x 2

∴x2,

∵x1, x2 有可能为 0
r

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥ b ( b ≠ 0 ) ?

r

r

a = λb x1 y 2 ? x 2 y1 = 0

三、讲解范例: 讲解范例: 例 1 已知 a =(4,2), b =(6, y),且 a ∥ b ,求 y. 例 2 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(2,5),试判断 A,B,C 三点之间 的位置关系. 例 3 设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2, y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. 例 4 若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x 解:∵ a =(-1,x)与 b =(-x, 2) 共线 ∴x=± 2 ∵ a 与 b 方向相同
r r r r

r

r

r

r r

∴(-1)×2- x?(-x)=0 ∴x= 2

r

例 5 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平 行吗?直线 AB 与平行于直线 CD 吗? 解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) , CD =(2-1,7-5)=(1,2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴ AB ∥ CD
45

又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2, ,AB =(2, 4), 6) 2×4-2×6≠0 ∴
AC 与 AB 不平行

∴A,B,C 不共线 四、课堂练习: 课堂练习

∴AB 与 CD 不重合

∴AB∥CD

1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( A.6 B.5 C.7

) D.8 )?

2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3

3.若 AB =i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、j 的方向分别与 x、y 轴正方向相同 且为单位向量). AB 与 DC 共线,则 x、y 的值可能分别为( A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4 . . )

4.已知 a=(4,2),b=(6,y),且 a∥b,则 y=

5.已知 a=(1,2),b=(x,1),若 a+2b 与 2a-b 平行,则 x 的值为

6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x), 则 x= 五、小结 (略) 六、课后作业(略) 课后作业 七、板书设计(略) 板书设计 八、课后记: 课后记: (王海) .

46

§2.4 平面向量的数量积 第 7 课时 一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义 教学目的: 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点:平面向量的数量积定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应 用 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

内容分析: 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后 便可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平 面向量数量积的认识.主要知识点:平面向量数量积的定义及几何意义;平 面向量数量积的 5 个重要性质;平面向量数量积的运算律. 教学过程:
47

一、复习引入:
r r
r

1. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个 非零实数λ,使 b =λ a . 2.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么 对于这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数λ1, 2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2 λ 3.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向 量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a = xi + yj 把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a = ( x, y ) 4.平面向量的坐标运算 若 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y 2 ) ,则 a + b = ( x1 + x2 , y1 + y 2 ) , a ? b = ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ,
λa = (λx, λy ) .
r r

r

若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB = (x2 ? x1 , y 2 ? y1 ) 5. a ∥ b ( b ≠ 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0 6.线段的定比分点及λ P1, P2 是直线 l 上的两点,P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点,存在实数 λ, 使
P1 P = λ PP2 , λ 叫 做 点 P 分 P1 P2 所 成 的 比 , 有 三 种 情 况 :
r

r

r

λ>0(内分) 7. 定比分点坐标公式:

(外分) λ<0 (λ<-1)

( 外分)λ<0 (-1<λ<0)

48

若点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),λ为实数,且 P1 P =λ PP2 ,则点 P 的 坐标为(
x1 + λx 2 y1 + λy 2 , ) ,我们称λ为点 P 分 P1 P2 所成的比. 1+ λ 1+ λ

8. 点 P 的位置与λ的范围的关系: ①当λ>0时, P1 P 与 PP2 同向共线,这时称点 P 为 P1 P2 的内分点. ②当λ<0( λ ≠ ?1 )时, P1 P 与 PP2 反向共线,这时称点 P 为 P1 P2 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式: 在平面内任取一点 O,设 OP1 =a,
OP2 =b,

可得 OP =

1 λ a + λb = a+ b. 1+ λ 1+ λ 1+ λ

10.力做的功:W = |F|?|s|cosθ,θ是 F 与 s 的夹角. 二、讲解新课: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ ≤π)叫a与b的夹角. 说明: (1)当θ=0时,a与b同向; (2)当θ=π时,a与b反向;
π

(3)当θ= 时,a与b垂直,记a⊥b;
2

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 0°≤θ≤ 180°

49

C

2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹 角是θ,则数量|a||b|cosθ叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cosθ, ? ? (0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. ?探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cosθ的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a ×b,而 a?b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向 量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. (3)在实数中,若 a≠0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a≠0,且 a?b=0,不能推出 b=0.因为其中 cosθ有可能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b≠0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c a=c

如右图:a?b = |a||b|cosβ = |b||OA|,b?c = |b||c|cosα = |b||OA| ? a?b = b?c 但 a ≠ c (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ≠ a(b?c) 显然, 这是因为左端是与 c 共线的向量, 而右端是与 a 共线的向量, 而一般 a 与 c 不共线. 3. “投影”的概念:作图
50

定义:|b|cosθ叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投 影为负值;当θ为直角时投影为 0;当θ = 0°时投影为 |b|;当θ = 180°时投影 为 ?|b|. 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosθ的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1° e?a = a?e =|a|cosθ 2° a⊥b ? a?b = 0 3° 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a |= a ? a 4° cosθ =
a ?b | a || b |

5° |a?b| ≤ |a||b| 三、讲解范例: 例 1 已知|a|=5, |b|=4, a 与 b 的夹角θ=120o,求 a·b.
51

例 2 已知|a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60o 求(a+2b)·(a-3b). 例 3 已知|a|=3, |b|=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直. 例 4 判断正误,并简要说明理由. ①a·0=0;②0·a=0;③0- AB = BA ;④|a·b|=|a||

b|;⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与 b中至少有一个为 0; ⑦对任意向量a, , 都有 a· ) =a b· ) b с ( b с ( с ;
⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2. 解:上述 8 个命题中只有③⑧正确; 对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有 0·a=0;对于②:应 有0·a=0; 对于④: 由数量积定义有|a· |=|a|· b|· b | |cosθ|≤|

a || b |,这里 θ 是 a 与 b 的夹角,只有 θ =0或 θ = π 时,才有| a·b|=|a|·|b|;
对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a·b=0; 对于⑥:由a·b=0可知a⊥b可以都非零; 对于⑦:若a与с共线,记a=λс. 则a·b=(λс) b=λ(с·b)=λ(b·с) · , ∴(a·b) с=λ(b·с)с=(b·с)λс=(b·с)a · 若a与с不共线,则(a·b)с≠(b·с)a. 评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算 律.
52

例 6 已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的 夹角是 60°时,分别求a·b. 解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°, ∴a·b=|a|·|b|cos0°=3×6×1=18; 若a与b反向,则它们的夹角θ=180°, ∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18; ②当a⊥b时,它们的夹角θ=90°, ∴a·b=0; ③当a与b的夹角是 60°时,有

a·b=|a||b|cos60°=3×6× =9
评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°] , 因此,当a∥b时,有 0°或 180°两种可能. 四、课堂练习: 1.已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60° B.30° C.135°
π
3

1 2



D.45° )

2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为 ,那么向量 m=a-4b 的模为( A.2 B.2 3 C.6 D.12 )

3.已知 a、b 是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的( A.充分但不必要条件 C.充要条件
π
3

B.必要但不充分条件? D.既不充分也不必要条件 .

4.已知向量 a、b 的夹角为 ,|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|=
53

5.已知 a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴正方向 上的单位向量,那么 a·b= .

6.已知 a⊥b、c 与 a、b 的夹角均为 60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)


=______. 7.已知|a|=1,|b|= 2 ,(1)若 a∥b,求 a·b;(2)若 a、b 的夹角为60°,求 |a+b|;(3)若 a-b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角. 8.设 m、n 是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角. 9.对于两个非零向量 a、b,求使|a+tb|最小时的 t 值,并求此时 b 与 a+tb 的 夹角. 五、小结(略) 六、课后作业(略) 七、教学后记:

(王海)

第 8 课时 二、平面向量数量积的运算律 教学目的: 1.掌握平面向量数量积运算规律;
54

2.能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解 决一些简单问题. 教学重点:平面向量数量积及运算规律. 教学难点:平面向量数量积的应用 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

内容分析: 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算 律,引导学生注意数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的 性质. ? 教学过程: 一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ ≤π)叫a与b的夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹 角是θ,则数量|a||b|cosθ叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cosθ, (0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3. “投影”的概念:作图

55

C

定义:|b|cosθ叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投 影为负值;当θ为直角时投影为 0;当θ = 0°时投影为 |b|;当θ = 180°时投影 为 ?|b|. 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosθ的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1° e?a = a?e =|a|cosθ; 2° a⊥b ? a?b = 0

3° 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a |= a ? a 4°cosθ =
a ?b ;5°|a?b| ≤ |a||b| | a || b |

二、讲解新课: 平面向量数量积的运算律 1.交换律:a ? b = b ? a 证:设 a,b 夹角为θ,则 a ? b = |a||b|cosθ,b ? a = |b||a|cosθ
56

∴a ? b = b ? a 2.数乘结合律:( λ a)?b = λ (a?b) = a?( λ b) 证:若 λ > 0,( λ a)?b = λ |a||b|cosθ, λ (a?b) = λ |a||b|cosθ,a?( λ b) = λ |a||b|cosθ, 若 λ < 0,( λ a)?b =| λ a||b|cos(π?θ) = ? λ |a||b|(?cosθ) = λ |a||b|cosθ, λ (a?b) = λ |a||b|cosθ, a?( λ b) =|a|| λ b|cos(π?θ) = ? λ |a||b|(?cosθ) = λ |a||b|cosθ. 3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c, ∵a + b (即 OB )在 c 方向上的投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和,即 + |b| cosθ2 ∴| c | |a + b| cosθ =|c| |a| cosθ1 + |c| |b| cosθ2, ∴c?(a + b) = c?a + c?b (a + b)?c = a?c + b?c 说明: (1)一般地,(a·b)с≠a(b·с) (2)a·с=b·с,с≠0 即: |a + b| cosθ = |a| cosθ1

a=b

(3)有如下常用性质:a2=|a|2, ( = с d с (a+b) с+d) a· +a· +b· +b·d (a+b)2=a2+2a·b+b2 三、讲解范例: 例 1 已知 a、b 都是非零向量,且 a + 3b 与 7a ? 5b 垂直,a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角.
57

解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0 (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0 两式相减:2a?b = b2 代入①或②得:a2 = b2
a?b b2 1 设 a、b 的夹角为θ,则 cosθ = = = 2 | a || b | 2 | b | 2

① ②

∴θ = 60°

例 2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 解:如图:平行四边形 ABCD 中, AB = DC , AD = BC , AC = AB + AD ∴| AC |2= | AB + AD | 2 = AB + AD + 2 AB ? AD 而 BD = AB ? AD , ∴| BD |2= | AB ? AD | 2 = AB + AD ? 2 AB ? AD ∴| AC |2 + | BD |2 = 2 AB + 2AD = | AB | 2 + | BC | 2 + | DC | 2 + | AD | 2 例 3 四边形 ABCD 中, AB =a, BC =b, CD =с, DA =d,且a·b =b·с=с·d=d·a,试问四边形 ABCD 是什么图形? 分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算 该四边形的边角量. 解:四边形 ABCD 是矩形,这是因为: 一方面:∵a+b+с+d=0,∴a+b=-(с+d) ,∴(a+b)


2

2

2

2

2

2

=(с+d)2 即|a|2+2a·b+|b|2=|с|2+2с·d+|d|2 由于a·b=с·d,∴|a|2+|b|2=|с|2+|d|2①

58

同理有|a|2+|d|2=|с|2+|b|2② 由①②可得|a|=|с|,且|b|=|d|即四边形 ABCD 两组 对边分别相等. ∴四边形 ABCD 是平行四边形 另一方面,由a·b=b·с,有b(a-с)=0,而由平行四边 形 ABCD 可得a=-с,代入上式得b·(2a)=0,即a·b=0,∴a ⊥b也即 AB⊥BC. 综上所述,四边形 ABCD 是矩形. 评述:(1)在四边形中, AB , BC ,CD , DA 是顺次首尾相接向量,则其 和向量是零向量,即a+b+с+d=0,应注意这一隐含条件应用; (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式 中含有边、角两种关系. 四、课堂练习: 1.下列叙述不正确的是( ) B.向量的数量积满足分配律 D.a·b 是一个实数 )

A.向量的数量积满足交换律 C.向量的数量积满足结合律

2.已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为60°,则(a+2b)·(a-3b)等于( A.72 B.-72
3 4 3 4

C.36

D.-36 )

3.|a|=3,|b|=4,向量 a+ b 与 a- b 的位置关系为( A.平行 B.垂直 C.夹角为
π
3

D.不平行也不垂直 .

4.已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 150°,则(a+b)2=
59

5.已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=______,|a-b|= 6.设|a|=3,|b|=5,且 a+λb 与 a-λb 垂直,则λ= 五、小结(略) 六、课后作业(略) 七、板书设计(略) 八、课后记: .

.

(王海)

第 9 课时 三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 平面向量数量积的坐标表示、 教学目的: ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点:平面向量数量积的坐标表示 教学难点:平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程:

60

一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a,OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ ≤π)叫a与b的夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹 角是θ,则数量|a||b|cosθ叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cosθ, (0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. C 3.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosθ的乘积. 4.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1° e?a = a?e =|a|cosθ; 2° a⊥b ? a?b = 0

3° 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a |= a ? a 4° cosθ =
a ?b ;5°|a?b| ≤ |a||b| | a || b |

5.平面向量数量积的运算律 交换律:a ? b = b ? a 数乘结合律:( λ a)?b = λ (a?b) = a?( λ b) 分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 二、讲解新课:

61

⒈ 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) ,试用 a 和 b 的坐标表示 a ? b . 设 i 是 x 轴上的单位向量, j 是 y 轴上的单位向量,那么 a = x1i + y1 j ,
b = x2 i + y2 j

所以 a ? b = ( x1i + y1 j )( x2 i + y 2 j ) = x1 x 2 i 2 + x1 y 2 i ? j + x 2 y1i ? j + y1 y 2 j 2 又 i ? i = 1 , j ? j = 1 , i ? j = j ? i = 0 ,所以 a ? b = x1 x2 + y1 y 2 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
a ? b = x1 x 2 + y1 y 2

2. 平面内两点间的距离公式 八、 设 a = ( x, y ) ,则 | a | 2 = x 2 + y 2 或 | a |= x 2 + y 2 . (2) 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、x2 , y 2 ) , ( 那么 | a |= ( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式) 九、 向量垂直的判定 设
a = ( x1 , y1 )



b = ( x2 , y 2 )





a⊥b

? x1 x 2 + y1 y 2 = 0

十、 两向量夹角的余弦( 0 ≤ θ ≤ π ) cosθ =
a ?b = | a |?| b | x1 x 2 + y1 y 2 x1 + y1
2 2

x2 + y2
2

2

十一、 讲解范例: 十二、 设 a = (5, ?7),b = (?6, ?4),求 a·b 及 a、b 间的夹角θ(精确 到 1o) 例 2 已知 A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5),试判断△ABC 的形状,并给出
62

证明. 例 3 已知 a = (3, ?1),b = (1, 2),求满足 x?a = 9 与 x?b = ?4 的向量 x. 解:设 x = (t, s),
x?a = 9 ? 3t ? s = 9 ?t=2 ?? ?? x ? b = ?4 ?t + 2 s = ?4 ?s = ?3



∴x = (2, ?3)

例 4 已知 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) ,则 a 与 b 的夹角是多 少? 分析:为求 a 与 b 夹角,需先求 a·b 及|a|·|b|,再结合夹角θ的范 围确定其值. 解:由 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) 有 a·b= 3 +1+ 3 ( 3 -1)=4,|a|=2,|b|=2 2 . 记 a 与 b 的夹角为θ,则cosθ=
π
a ?b 2 = a?b 2

又∵0≤θ≤π,∴θ=
4

评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定. 例 5 如图,以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB,使∠B = 90°,求 点 B 和向量 AB 的坐标. 解:设 B 点坐标(x, y),则 OB = (x, y), AB = (x?5, y?2) ∵ OB ⊥ AB 又∵| OB | = | AB | ∴x(x?5) + y(y?2) = 0 即:x2 + y2 ?5x ? 2y = 0 ∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2 即:10x + 4y = 29

63

? 7 3 ? x2 = ? x 2 + y 2 ? 5 x ? 2 y = 0 ? x1 = 2 ? ? 2 由? ?? 或 3 ? 7 10 x + 4 y = 29 ? ? y1 = ? ? y2 = ? 2 ? 2 ?

∴B 点坐标 ( ,? ) 或 ( , ) ; AB = (? ,? ) 或 (? , ) 例 6 在△ABC 中,AB =(2, 3),AC =(1, k), 且△ABC 的一个内角为直角, 求 k 值. 解:当 A = 90°时, AB ? AC = 0,∴2×1 +3×k = 0 ∴k = ?
3 2

7 2

3 2

3 7 2 2

3 2

7 2

7 3 2 2

当 B = 90°时, AB ? BC = 0, BC = AC ? AB = (1?2, k?3) = (?1, k?3) ∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =
11 3

当 C = 90°时, AC ? BC = 0,∴?1 + k(k?3) = 0

∴k =

3 ± 13 2

十三、

课堂练习: ) D.83 ) D.不等边三角形 )

1.若 a=(-4,3),b=(5,6),则 3|a|2-4a·b=( A.23 B.57 C.63

2.已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC 为( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形

3.已知 a=(4,3),向量 b 是垂直 a 的单位向量,则 b 等于( A. ( , ) 或 ( , ) ? C. ( ,? ) 或 (? , ) ?
3 5 4 5 4 3 5 5 3 4 5 5 4 3 5 5

B. ( , ) 或 (? ,? ) D. ( ,? ) 或 (? , ) . . .
3 5 4 5 3 4 5 5

3 4 5 5

3 5

4 5

4.a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)·(a-b)=
1 2

5.已知 A(3, B(-1, 2), -1), 若点 P(x, )在线段 AB 的中垂线上, x= 则 b= 则 6.已知 A(1, B(3, C(2, 且 a= BC , CA , a 与 b 的夹角为 0), 1), 0),
64

十四、 小结(略) 十五、 课后作业(略) 十六、 板书设计(略) 十七、 课后记: (王海)

第 12 课时 复习课 一、教学目标 1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向 量的夹角等概念。 2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接) 。 4. 了解向量形式的三角形不等式:|| a |-| b |≤| a ± b |≤| a |+| b |(试 问:取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理: 2(| a | 2 +| b | 2 )=| a - b | 2 +| a + b | 2 . 5. 了解实数与向量的乘法(即数乘的意义) : 6. 向量的坐标概念和坐标表示法 7. 向量的坐标运算(加.减.实数和向量的乘法.数量积) 8. 数量积(点乘或内积)的概念, a · b =| a || b |cos θ =x 1 x 2 +y 1 y 2 注意区别 “实数与向量的乘法;向量与向量的乘法” 二、知识与方法
65

向量知识,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用, 而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体,能与中学 数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点,所以高考中应引起 足够的重视. 数量积的主要应用:①求模长;②求夹角;③判垂直 三、典型例题 例 1.对于任意非零向量 a 与 b ,求证:|| a |-| b ||≤| a ± b |≤|
a |+| b |

证明:(1)两个非零向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向与 a , b 的方向都 不同,并且| a |-| b |<| a ± b |<| a |+| b | (3)两个非零向量 a 与 b 共线时,① a 与 b 同向,则 a + b 的方向与 a . b 相 同且| a + b |=| a |+| b |.② a 与 b 异向时, a + b 的方向与模较大的向 则 量方向相同,设| a |>| b |,则| a + b |=| a |-| b |.同理可证另一种情况也成 立。 例 2 已知 O 为△ABC 内部一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设 OA = a ,
OB = b , OC = c ,

且| a |=2,| b |=1,| c |=3,用 a 与 b 表示 c

i

j

解: 如图建立平面直角坐标系 xoy, 其中 i , j 是单位正交基底向量, 则 B (0, 1) C , (-3, , A 0) 设 (x, , y) 则条件知 x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150° -90°),即 A(1,- 3 ) ,也就是 a = i -3 a =3 3 b + c |即 c =3 a -3 3 b 例 3.下面 5 个命题:①| a · b |=| a |·| b |②( a · b ) 2 = a 2 · b 2 ③ a ⊥( b - c ), 则a ·c =b ·c ④ a · b =0,则| a + b |=| a - b |⑤ a · b =0,则 a = 0 或 b = 0 ,其 - 3 j , b = j , c =-3 i 所以

中真命题是( )
66

A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤ 四、 巩固训练 1.下面 5 个命题中正确的有( )

① a = b ? a ·c = b ·c ; ② a ·c = b ·c ? a = b ;③ a · b + c )= a ·c + b ·c ; ( ④ a · b · c )=( a · b ) c ; ( · A..①②⑤ B.①③⑤
a?b


a

2

=

a b

. D. ①③

C. ②③④

2.下列命题中,正确命题的个数为( A ) ①若 a 与 b 是非零向量 ,且 a 与 b 共线时,则 a 与 b 必与 a 或 b 中之一方向相 同;②若 e 为单位向量,且 a ∥ e 则 a =| a | e ③ a · a · a =| a | 3 ④若 a 与 b 共线,

a 与 c 共线,则 c 与 b 共线;⑤若平面内四点 A.B.C.D,必有 AC + BD = BC + AD

A

1 B

2

C

3

D

4

3.下列 5 个命题中正确的是 ①对于实数 p,q 和向量 a ,若 p a =q a 则 p=q②对于向量 a 与 b ,若| a | a =| b | b 则
a = b ③对于两个单位向量 a 与 b , a + b |=2 则 a = b ④对于两个单位向量 a 与 若| b ,若 k a = b ,则 a = b

4.已知四边形 ABCD 的顶点分别为 A(2,1), B(5,4), C(2,7), D(-1,4),求证: 四边形 ABCD 为正方形。

第三章

三角恒等变换

67

一、课标要求: 课标要求: 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式,以及 运用这些公式进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习,要 使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和 运算能力,使学生体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的 一些应用. 1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向 量方法的作用; 2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式, 二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系; 3. 运用上述公式进行简单的恒等变换,以引导学生推导半角公式,积化 和差、和差化积公式(不要求记忆)作为基本训练,使学生进一步提高运 用转化的观点去处理问题的自觉性, 体会一般与特殊的思想, 换元的思想, 方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用. 二、编写意图与特色 1. 本章的内容分为两节: “两角和与差的正弦、余弦和正切公式”“简单 , 的三角恒等变换” ,在学习本章之前我们学习了向量的相关知识,因此作者 的意图是选择两角差的余弦公式作为基础,运用向量的知识来予以证明, 降低了难度,使学生容易接受; 2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式; 3. 本章在内容的安排上有明暗两条线,明线是建立公式,学会变换,暗线
68

是发展推理和运算的能力,因此在本章全部内容的安排上,特别注意恰时 恰点的提出问题,引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题, 强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识; 4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分 强调细枝末叶的内容”的理念,严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、 难程度,尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依 据,而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 三、教学内容及课时安排建议 本章教学时间约 8 课时,具体分配如下: 3.1 两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 3.2 简单的恒等变换 复习 约 3 课时 约 3 课时 约 2 课时

两角和与差的正弦、 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、课标要求: 课标要求: 本节的中心内容是建立相关的十一个公式,通过探索证明和初步应用, 体会和认识公式的特征及作用. 二、编写意图与特色 本节内容可分为四个部分,即引入,两角差的余弦公式的探索、证明 及初步应用,和差公式的探索、证明和初步应用,倍角公式的探索、证明 及初步应用.
69

三、教学重点与难点 1. 重点:引导学生通过独立探索和讨论交流,导出两角和差的三角函数的 十一个公式,并了解它们的内在联系,为运用这些公式进行简单的恒等变 换打好基础; 2. 难点:两角差的余弦公式的探索与证明.

3.1.1 两角差的余弦公式

一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用,使学生初步理 解公式的结构及其功能,为建立其它和(差)公式打好基础. 二、教学重、难点 教学重、 1. 教学重点:通过探索得到两角差的余弦公式; 2. 教学难点:探索过程的组织和适当引导,这里不仅有学习积极性的问 题,还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题,运用已学知识和 方法的能力问题,等等. 三、学法与教学用具 1. 学法:启发式教学 2. 教学用具:多媒体 四、教学设想: 教学设想: (一)导入:我们在初中时就知道 cos 45o = 导入:
70

2 3 , cos 30o = ,由此我们能否 2 2

得到 cos15o = cos ( 45o ? 30o ) = ? 大家可以猜想,是不是等于 cos 45o ? cos 30o 呢? 根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的!下面我们就 一起探讨两角差的余弦公式 cos (α ? β ) = ? (二)探讨过程: 探讨过程: 在第一章三角函数的学习当中我们知道, 在设角 α 的终边与单位圆的交 点为 P1 ,cos α 等于角 α 与单位圆交点的横坐标,也可以用角 α 的余弦线来表 示,大家思考:怎样构造角 β 和角 α ? β ?(注意:要与它们的正弦线、余 弦线联系起来.) 展示多媒体动画课件,通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索
cos (α ? β ) 与 cos α 、 cos β 、 sin α 、 sin β 之 间 的 关 系 , 由 此 得 到
cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β ,认识两角差余弦公式的结构.

思考:我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题,两角差余弦 公式我们能否用向量的知识来证明? 提示:1、结合图形,明确应该选择哪几个向量,它们是怎样表示的? 2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果? 展示多媒体课件 比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处,体会向量方法的作用与 便利之处. 思考: cos (α + β ) = ? , cos (α + β ) = cos ?α ? ( ? β )? ,再利用两角差的余弦公式得 ? ? 出
cos (α + β ) = cos ?α ? ( ? β ) ? = cosα cos ( ? β ) + sin α sin ( ? β ) = cos α cos β ? sin α sin β ? ?

(三)例题讲解
71

例 1、利用和、差角余弦公式求 cos 75o 、 cos15o 的值. 解:分析:把 75o 、 15o 构造成两个特殊角的和、差.
cos 75o = cos ( 45o + 30o ) = cos 45o cos30o ? sin 45o sin 30o =
cos15o = cos ( 45o ? 30o ) = cos 45o cos30o + sin 45o sin 30o =

2 3 2 1 6? 2 × ? × = 2 2 2 2 4

2 3 2 1 6+ 2 × + × = 2 2 2 2 4

点评:把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法, 例如: cos15o = cos ( 60o ? 45o ) ,要学会灵活运用. 例 2、已知 sin α = ,α ∈ ? , π ? , cos β = ? , β 是第三象限角,求 cos (α ? β ) 的 ? ? 5 13 ?2 ?
4 5

π

值.
4 4 3 π 解:因为 α ∈ ? , π ? , sin α = 由此得 cos α = ? 1 ? sin 2 α = ? 1 ? ? ? = ? ? ? ? ? 5 5 ?2 ? ?5?
2

5 5 12 所以 sin β = ? 1 ? cos 2 β = ? 1 ? ? ? ? = ? 又因为 cos β = ? , β 是第三象限角, ? ? 13 13 ? 13 ? 3 5 4 ? 12 33 所以 cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β = ? ? ? × ? ? ? + × ? ? ? = ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65 ? ? ? ? ? ?

2

点评:注意角 α 、 β 的象限,也就是符号问题. 小结: (四)小结:本节我们学习了两角差的余弦公式,首先要认识公式结构的 特征,了解公式的推导过程,熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过 程中注意角 α 、 β 的象限,也就是符号问题,学会灵活运用. (五)作业: P150 .T1 ? T2 作业: (胡仕伟)

72

§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 两角和与差的正弦、余弦、

一、教学目标 理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的 方法,体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重、 1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法:研讨式教学 四、教学设想: 教学设想: (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式: 复习式导入:
cos (α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β ; cos (α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β .

这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公 式是怎样的呢? 提示:在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化, 这对我们解决今天的问题有帮助吗? 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.
?? π ? ?π ? ? ?π ? ?π ? sin (α + β ) = cos ? ? (α + β ) ? = cos ?? ? α ? + β ? = cos ? ? α ? cos β + sin ? ? α ? sin β ?2 ? ? ?2 ? ?2 ? ?? 2 ?

= sin α cos β + cos α sin β .

73

sin (α ? β ) = sin ?α + ( ? β ) ? = sin α cos ( ? β ) + cos α sin ( ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β 让 学 ? ?

生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学 生动手)
tan (α + β ) = cos (α + β ) sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β . cos α cos β ? sin α sin β

(分 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan α 、tan β 的形式呢? 式分子、分母同时除以 cos α cos β ,得到 tan (α + β ) = 注意: α + β ≠
π
2 + kπ , α ≠

tan α + tan β . 1 ? tan α tan β

π
2

+ kπ , β ≠

π
2

+ kπ (k ∈ z )

以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?
tan (α ? β ) = tan ?α + ( ? β ) ? = ? ? 1 ? tan α tan ( ? β ) + kπ , β ≠ tan α + tan ( ? β ) = tan α ? tan β 1 + tan α tan β

注意: α + β ≠

π
2

+ kπ , α ≠

π
2

π
2

+ kπ (k ∈ z ) .

(二)例题讲解
3 π π π ? 已知 sin α = ? ,α 是第四象限角, sin ? ? α ? , cos ? + α ? , tan ? α ? ? 的值. 求 ? 例 1、 ? ? ? ? 5

?4

?

?4

?

?

4?

3 3 4 解:因为 sin α = ? ,α 是第四象限角,得 cos α = 1 ? sin 2 α = 1 ? ? ? ? = , ? ? 5 5 ? 5?

2

3 ? sin α 3 tan α = = 5 =? , 4 cos α 4 5

于是有 sin ? ? α ? = sin cos α ? cos sin α = × ? × ? ? ? = ? ? ? ? 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?
2 4 2 3

π

π

π

7 2

π π 2 4 2 ? 3? 7 2 ?π ? cos ? + α ? = cos cos α ? sin sin α = × ? ×?? ? = 4 4 2 5 2 ? 5 ? 10 ?4 ?

两结果一样,我们能否用第一章知识证明?
74

3 ? ?1 ? 4 = 4 tan ? α ? ? = = ?7 π 4 ? 1 + tan α tan ? 3? ? 1+ ? ? ? 4 ? 4?

π?

tan α ? tan

π

例 2、利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1) sin 72o cos 42o ? cos 72o sin 42o ; 、 (2) cos 20o cos 70o ? sin 20o sin 70o ; 、 (3) 、
1 + tan15o . 1 ? tan15o

解:分析:解此类题首先要学会观察,看题目当中所给的式子与我们所学 的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. (1) sin 72o cos 42o ? cos 72o sin 42o = sin ( 72o ? 42o ) = sin 30o = ; 、
1 2

(2) cos 20o cos 70o ? sin 20o sin 70o = cos ( 20o + 70o ) = cos 90o = 0 ; 、 (3) 、
1 + tan15o tan 45o + tan15o = = tan ( 45o + 15o ) = tan 60o = 3 . 1 ? tan15o 1 ? tan 45o tan15o

例 3、化简 2 cos x ? 6 sin x 解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们 能否发现规律呢?
?1 ? 3 2 cos x ? 6 sin x = 2 2 ? cos x ? sin x ? = 2 2 ( sin 30o cos x ? cos 30o sin x ) = 2 2 sin ( 30o ? x ) ?2 ? 2 ? ?

思考: 2 2 是怎么得到的? 2 2 = 正、余弦分别等于 和
1 2
3 的. 2

( 2) + ( 6)
2

2

,我们是构造一个叫使它的

小结: 小结:本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公 式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用. 作业: 作业:
75

3 2 π 1 π 1、 已知 tan (α + β ) = , tan ? β ? ? = , 求 tan ? α + ? 的值. ( ) ? ? ? ?

5

?

4?

4

?

4?

22

2、 已知 0 < β < 值.

π
4

<α (

)<

3π ?π ? 3 ? 3π ? 5 ,求 sin (α + β ) 的 , cos ? ? α ? = , sin ? +β?= 4 ?4 ? 5 ? 4 ? 13

(胡仕伟) §3.1.3 二倍角的正弦、 二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正 切公式,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重、 教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、 余弦和正切公式; 教学难点:二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法:研讨式教学 四、教学设想: 教学设想: (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式, 复习式导入:
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ;

cos (α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β ;
76

tan (α + β ) =

tan α + tan β . 1 ? tan α tan β

我们由此能否得到 sin 2α , cos 2α , tan 2α 的公式呢?(学生自己动手,把上 , 述公式中 β 看成 α 即可) (二)公式推导: 公式推导:
sin 2α = sin (α + α ) = sin α cos α + cos α sin α = 2sin α cos α ;

cos 2α = cos (α + α ) = cos α cos α ? sin α sin α = cos 2 α ? sin 2 α ;

思考:把上述关于 cos 2α 的式子能否变成只含有 sin α 或 cos α 形式的式子 呢? cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 1 ? sin 2 α ? sin 2 α = 1 ? 2 sin 2 α ;
cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = cos 2 α ? (1 ? cos 2 α ) = 2 cos 2 α ? 1 .

tan 2α = tan (α + α ) =

tan α + tan α 2 tan α = . 1 ? tan α tan α 1 ? tan 2 α

注意: 2α ≠

π
2

+ kπ , α ≠

π
2

+ kπ

(k ∈ z)

(三)例题讲解 例 1、已知 sin 2α = 、
π π
4 2 5 π π , < α < , 求 sin 4α , cos 4α , tan 4α 的值. 13 4 2

解:由 < α < , 得 < 2α < π .
2

π

又因为 sin 2α =

5 12 ?5? , cos 2α = ? 1 ? sin 2 2α = ? 1 ? ? ? = ? . 13 13 ? 13 ?

2

于是 sin 4α = 2sin 2α cos 2α = 2 ×

5 ? 12 ? 120 ; ×? ? ? = ? 13 ? 13 ? 169
2

120 sin 4α 120 ? 5 ? 119 = 169 = ? cos 4α = 1 ? 2 sin 2 2α = 1 ? 2 × ? ? = ; tan 4α = . 119 cos 4α 119 ? 13 ? 169 169 ?

例2、已知 tan 2α = , 求 tan α 的值.

1 3

77

解: tan 2α =

2 tan α 1 = ,由此得 tan 2 α + 6 tan α ? 1 = 0 2 1 ? tan α 3

解得 tan α = ?2 + 5 或 tan α = ?2 ? 5 . 小结: (四)小结:本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式,我们要熟 记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用. (五)作业: 作业:
P .T3 ? T4 150

(胡仕伟) 3.2 简单的三角恒等变换(3 个课时) 简单的三角恒等变换( 个课时) 一、课标要求: 课标要求: 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角 恒等变换在数学中的应用. 二、编写意图与特色 本节内容都是用例题来展现的.通过例题的解答,引导学生对变换对 象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何 根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公 式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. 三、教学目标 通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学 生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形, 以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而 加深理解变换思想,提高学生的推理能力.

78

四、教学重点与难点 教学重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以推导积化和差、和 差化积、半角公式的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方 法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力. 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程 的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力. 五、学法与教学用具 学法:讲授式教学 六、教学设想: 教学设想: 学习和(差)公式,倍角公式以后,我们就有了进行变换的性工具, 从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富,这为我们的推理、运算能 力提供了新的平台.下面我们以习题课的形式讲解本节内容. 例 1、试以 cos α 表示 sin 2 , cos 2 , tan 2 、
2 2

α

α

α


2

解:我们可以通过二倍角 cos α = 2 cos 2 因为 cos α = 1 ? 2sin 2 因为 cos α = 2 cos 2


α
2 =

? 1 和 cos α = 1 ? 2sin 2 1 ? cos α ; 2 1 + cos α . 2

α

来做此题.
2

α
2

,可以得到 sin 2

α
2

α
2

? 1 ,可以得到 cos 2

α
2

=

又因为 tan

2

=

2 = 1 ? cos α . α 1 + cos α cos 2 2

sin 2

α

思考:代数式变换与三角变换有什么不同? 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不 同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,

79

以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找 式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换的重要特点. 例2、求证: (1) sin α cos β = ?sin (α + β ) + sin (α ? β )? ; 、 ? 2? (2) sin θ + sin ? = 2 sin 、
θ +?
2 cos 1

θ ??


2

证明: (1)因为 sin (α + β ) 和 sin (α ? β ) 是我们所学习过的知识,因此我们从 等式右边着手.
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ; sin (α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β .

两式相加得 2sin α cos β = sin (α + β ) + sin (α ? β ) ; 即 sin α cos β = ?sin (α + β ) + sin (α ? β )? ; ? 2? (2)由(1)得 sin (α + β ) + sin (α ? β ) = 2sin α cos β ①;设 α + β = θ ,α ? β = ? , 那么 α =
θ +?
2 ,β =

1

θ ??


2

把 α , β 的值代入①式中得 sin θ + sin ? = 2 sin

θ +?
2

cos

θ ??


2

思考:在例2证明中用到哪些数学思想? 例2 证明中用到换元思想, (1)式是积化和差的形式, (2)式是和差

化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式. 例3、求函数 y = sin x + 3 cos x 的周期,最大值和最小值. 解: y = sin x + 3 cos x 这种形式我们在前面见过,
?1 ? 3 π? ? y = sin x + 3 cos x = 2 ? sin x + cos x ? = 2sin ? x + ? , ?2 ? 2 3? ? ? ?

所以,所求的周期 T =



ω

= 2π ,最大值为2,最小值为 ?2 .

点评:例3是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数
80

y = A sin (ω x + ? ) 的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式中

的作用. 小结:此节虽只安排一到两个课时的时间,但也是非常重要的内容,我们 要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学 会灵活运用. 作业: 作业:
P ?P 157 158 T1 ? T4

《三角恒等变换》复习课(2 个课时)

一、教学目标 进一步掌握三角恒等变换的方法,如何利用正、余弦、正切的和差公 式与二倍角公式,对三角函数式进行化简、求值和证明: 二、知识与方法:

81

1. 11 个三角恒等变换公式中,余弦的差角公式是其它公式的基础,由它 出发,
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

用-β代替
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

β、 π
2

±β代替 β等换元
tan α + tan β 1 ? tan α tan β tan α ? tan β tan(α-β)= 1 + tan α tan β
tan(α+β)=

β、 α= 法可以 它 公

推导出其 式。你能根 回顾推导 吗?

据下图 过 程
sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α- sin2α =2cos2α-1=1-2 sin2α tan2α=

tan α + tan β 1 ? tan α tan β

82

2.化简,要求使三角函数式成为最简:项数尽量少,名称尽量少,次数 尽量底,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的求 出值来; 3.求值,要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响,较 难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。 4.证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于, 或都将左右进行变换使其左右相等。 5. 三角恒等变换过程与方法,实际上是对三角函数式中的角、名、形的 变换,即(1)找差异:角、名、形的差别; (2)建立联系:角的和差关系、 倍半关系等,名、形之间可以用哪个公式联系起来; (3)变公式:在实际 变换过程中,往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式,如升、降幂公 式, cosα= cosβcos(α-β)- sinβsin(α-β) ,1= sin2α+cos2α,
1 + tan 30 0 1 ? tan 30 0

=

tan 45 0 + tan 30 0 1 ? tan 45 0 tan 30 0

=tan(450+300)等。

例题 例 1 已知 sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 tan α 的值。
2 3 1 5
tan β

例 2 求值:cos24°﹣sin6°﹣cos72° 例 3 化简(1) β。
3 1 ? sin 20 0 sin 70 0

; (2)sin2αsin2β+cos2αcos2β- 1 cos2αcos2
2

83

例 4 设为锐角,且 3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β = 。
2

π

例 5 如图所示,某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必 须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值 m,渠深 8 米。则水渠壁的倾角 α 应为多少时,方能使修建的成本最低?

分析:解答本题的关键是把实际 题转化成数学模型, 作出 断面的图形, 要减少水与

A

E

D


8

横 水

B

C

渠壁的接触面只要使水



水渠断面周长最小,利用三角形的边角关系将倾角为 α 和横断面的 周长 L 之间建立函数关系,求函数的最小值

84


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