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2014高考数学(理)一轮总复习(人教新课标)配套单元测试:第四章三角函数 Word版含解析


第四章

三角函数 单元测试

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项 符合题目要求) nπ nπ 1. 集合 M={x|x=sin 3 , n∈Z}, N={x|x=cos 2 , n∈N}, 则 M∩N 等于( A.{-1,0,1} C.{0} 答案 解析 C nπ 3 3 ∵M={x|x=sin 3 ,n∈Z}={- 2 ,0, 2 }, B.{0,1} D.? )

N={-1,0,1}, ∴M∩N={0}.应选 C. π 3 π 2.已知 α∈(2,π),sinα=5,则 tan(α+4)等于 1 A.7 1 C.-7 答案 解析 A π 3 ∵α∈(2,π),∴tanα=-4. 3 -4+1 1 3 =7. 1+4 ( ) B.7 D.-7 ( )

π ∴tan(α+4)=

π 3. 已知函数 f(x)=sin(πx-2)-1,则下列命题正确的是 A.f(x)是周期为 1 的奇函数 B.f(x)是周期为 2 的偶函数 C.f(x)是周期为 1 的非奇非偶函数 D.f(x)是周期为 2 的非奇非偶函数 答案 B

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解析

f(x)=-cosπx-1,周期为 2,且为偶函数,故选 B.

π π 4. (2013·山东模拟)把函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2)的图像向左平移3个 单位,所得曲线的一部分如图所示,则 ω、φ 的值分别为

π A.1,3 π C.2,3 答案 解析 π 3)+φ=π. π ∴φ=-3.故选 D. D

π B.1,-3 π D.2,-3

1 2π 7π π π π 由题知,4× ω =12-3,∴ω=2,∵函数的图像过点(3,0),∴2(3+

π π 5.函数 y=2sin(x-6)+cos(x+3)的一条对称轴为 π A.x=3 π C.x=-3 答案 解析 C π π y=2sin(x-6)+cos(x+3) π B.x=6 5π D.x=- 6

(

)

π π π =2sin(x-6)+sin[2-(x+3)] π π π =2sin(x-6)+sin(6-x)=sin(x-6). 方法一 方法二 把选项代入验证. π π 2 由 x-6=kπ+2,得 x=kπ+3π(k∈Z).

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π 当 k=-1 时,x=-3. 6.如图,一个大风车的半径为 8 m,每 12 min 旋转一周,最低点离地面为 2 m.若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点 P 离地面的 距离 h(m)与时间 t(min)之间的函数关系是 ( )

π A.h=8cos6t+10 π C.h=-8sin t+10 6 答案 解析 D

π B.h=-8cos3t+10 π D.h=-8cos t+10 6

排除法,由 T=12,排除 B,当 t=0 时,h=2,排除 A、C.故选 D. ( )

sinx+a 7.设 a>0,对于函数 f(x)= sinx (0<x<π),下列结论正确的是 A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值也无最小值 答案 解析 B

sinx+a a 令 t=sinx, 则函数 f(x)= sinx (0<x<π)的值域为函数 y=1+ t , t∈(0,1]

a 的值域,又 a>0,所以 y=1+ t ,t∈(0,1]是一个减函数.故选 B. 8.甲船在岛 A 的正南 B 处,以 4 km/h 的速度向正北航行,AB=10 km,同 时乙船自岛 A 出发以 6 km/h 的速度向北偏东 60° 的方向驶去, 当甲、 乙两船相距 最近时,它们所航行的时间为 150 A. 7 min C.21.5 min 答案 A 15 B. 7 h D.2.15 h ( )

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解析

如右图:设 t 小时甲行驶到 D 处 AD=10-4t,

乙行驶到 C 处 AC=6t,∵∠BAC=120° , DC2=AD2+AC2-2AD· AC· cos120° =(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×cos120° =28t2-20t+100. 当 t= 5 5 150 h 时 DC2 最小,DC 最小,此时 t= ×60= min. 14 14 7 )

9.在△ABC 中,已知 sinC=2sin(B+C)cosB,那么△ABC 一定是( A.等腰直角三角形 C.直角三角形 答案 解析 B C=π-(A+B),B+C=π-A. B.等腰三角形 D.等边三角形

有 sin(A+B)=2sinAcosB,sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB. 即 sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0,则 A=B. ∴△ABC 为等腰三角形.故选 B. π 10.已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤|f(6)|对 x∈R 恒成 π 立,且 f(2)>f(π),则 f(x)的单调递增区间是 π π A.[kπ-3,kπ+6](k∈Z) π B.[kπ,kπ+2](k∈Z) π 2π C.[kπ+6,kπ+ 3 ](k∈Z) π D.[kπ-2,kπ](k∈Z) 答案 解析 C π π π 因为当 x∈R 时,f(x)≤|f(6)|恒成立,所以 f(6)=sin(3+φ)=± 1,可得 ( )

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π 5π π φ=2kπ+6或 φ=2kπ- 6 .因为 f(2)=sin(π+φ)=-sin φ>f(π)=sin(2π+φ)=sin φ, 5π 5π 故 sin φ<0,所以 φ=2kπ- 6 ,所以 f(x)=sin(2x- 6 ),函数的单调递增区间为- π 5π π π 2π + 2 k π ≤ 2 x - ≤ + 2 k π ,所以 x ∈ [ k π + , k π + 2 6 2 6 3 ](k∈Z),故选 C. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线 上) 11.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y =2x 上,则 cos 2θ=________. 答案 解析 3 -5 由角 θ 的终边在直线 y=2x 上可得 tan θ=2,cos 2θ=cos2θ-sin2θ=

cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 2 2 = 2 =- . 5 cos θ+sin θ 1+tan θ 12.函数 f(x)=sin4x+cos2x 的最小正周期为________. 答案 解析 π 2 法一:f(x)=(1-cos2x)2+cos2x=1+cos4x-cos2x=1+cos2x(cos2x-1)

1 1 1-cos4x 7 1 =1-cos2x· sin2x=1-4sin22x=1-4( )=8+8cos4x. 2 法二:f(x)=(sin2x)2+cos2x 1-cos2x 2 1+cos2x =( )+ 2 2 3 1 7 1 =4+4cos22x=8+8cos4x. 13.已知等腰△ABC 的三个内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,设 向量 p=(a+c,b),q=(b+a,c-a),若 p∥q,则角 A 的大小为________. 答案 解析 得 cosC= 30° 由 p∥q, 得(a+c)(c-a)=b(b+a), 即-ab=a2+b2-c2, 由余弦定理, a2+b2-c2 -ab 1 = =- <C<180° ,所以 C=120° .又由△ABC 为 2ab 2ab 2.因为 0°

1 等腰三角形得 A=2(180° -120° )=30° .
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14.若 答案 解析 =

1+tanα 1 =2 012,则cos2α+tan2α=________. 1-tanα 2 012
2 1 1 sin2α ?sinα+cosα? cos2α+tan2α=cos2α+cos2α= cos2α-sin2α

sinα+cosα tanα+1 = =2 012. cosα-sinα 1-tanα

15.在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2,∠ADB=135° . 若 AC= 2AB,则 BD=________. 答案 2+ 5

解析

1 2 如图,设 AB=c,AC=b,BC=a,则由题可知 BD=3a,CD=3a,

2 2 1 所以根据余弦定理可得 b2=( 2)2+(3a)2-2× 2×3acos45° ,c2=( 2)2+(3a)2- 1 1 2× 2×3acos135° , 由题意知 b= 2c, 可解得 a=6+3 5, 所以 BD=3a=2+ 5. 16.下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π. kπ ②终边在 y 轴上的角的集合是{α|α= 2 ,k∈Z}. ③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图像和函数 y=x 的图像有三个公共点. π π ④把函数 y=3sin(2x+3)的图像向右平移6得到 y=3sin2x 的图像. π ⑤函数 y=sin(x-2)在[0,π]上是减函数. 其中,真命题的编号是________.(写出所有真命题的编号) 答案 解析 ①④ 考查①y=sin2x-cos2x=-cos2x,所以最小正周期为 π.

②k=0 时,α=0,则角 α 终边在 x 轴上. ③由 y=sinx 在(0,0)处切线为 y=x, 所以 y=sinx 与 y=x 图像只有一个交点.

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π π ④y=3sin(2x+3)图像向右平移6个单位得 π π y=3sin[2(x-6)+3]=3sin2x. π ⑤y=sin(x-2)=-cosx 在[0,π]上为增函数,综上知①④为真命题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 6cos4x+5sin2x-4 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)= ,求 f(x)的定义域, cos2x 判断它的奇偶性,并求其值域. 解析 π kπ π 由 cos2x≠0,得 2x≠kπ+2,解得 x≠ 2 +4,k∈Z.

kπ π 所以 f(x)的定义域为{x|x∈R 且 x≠ 2 +4,k∈Z}. 因为 f(x)的定义域关于原点对称, 6cos4?-x?+5sin2?-x?-4 且 f(-x)= cos?-2x? 6cos4x+5sin2x-4 = =f(x), cos2x 所以 f(x)是偶函数. kπ π 当 x≠ 2 +4,k∈Z 时, f(x)= 6cos4x+5sin2x-4 cos2x

?2cos2x-1??3cos2x-1? = =3cos2x-1, cos2x 1 1 所以 f(x)的值域为{y|-1≤y< 或 <y≤2}. 2 2 π 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2sinxcosx+sin(2-2x).求: π (1)f(4)的值; (2)f(x)的最小正周期和最小值; (3)f(x)的单调递增区间.

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答案 解析

(1)1

(2)π,- 2

π ? 3π ? (3)?- 8 +kπ,8+kπ?(k∈Z) ? ?

π π π π π (1)f(4)=2sin4cos4+sin(2-2×4)

2 2 =2× 2 × 2 +0=1. 2 2 (2)f(x)=sin2x+cos2x= 2( 2 sin2x+ 2 cos2x) π π π = 2(sin2xcos4+cos2xsin4)= 2sin(2x+4). 所以最小正周期为 π,最小值为- 2. π π π (3)由-2+2kπ≤2x+4≤2+2kπ(k∈Z), 3π π 可得- 8 +kπ≤x≤8+kπ(k∈Z). π ? 3π ? 所以函数的单调递增区间为?- 8 +kπ,8+kπ?(k∈Z). ? ? 19.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 B=C,2b= 3a. (1)求 cos A 的值; π (2)求 cos(2A+4)的值. 答案 解析 1 (1)3 (2)- 8+7 2 18

3 (1)由 B=C,2b= 3a,可得 c=b= 2 a.
2 2 2

3 2 3 2 2 4a +4a -a b +c -a 1 所以 cos A= 2bc = =3. 3 3 2× 2 a× 2 a 1 2 2 (2)因为 cos A=3, A∈(0, π), 所以 sin A= 1-cos2A= 3 , cos 2A=2cos2A 7 4 2 -1=-9.故 sin2A=2sin Acos A= 9 . π π π 所以 cos(2A+4)=cos 2Acos4-sin 2Asin4

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8+7 2 7 2 4 2 2 =(-9)× 2 - 9 × 2 =- 18 . 20.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且满足 ac=a2+c2-b2. (1)求角 B 的大小; → -BC → |=2,求△ABC 面积的最大值. (2)若|BA 答案 解 π (1)3 (2) 3 (1)∵在△ABC 中,ac=a2+c2-b2, a2+c2-b2 1 =2. 2ac

∴cosB=

π ∵B∈(0,π),∴B=3. → -BC → |=2,∴|CA → |=2,即 b=2. (2)∵|BA ∴a2+c2-ac=4. ∵a2+c2≥2ac,当且仅当 a=c=2 时等号成立. ∴4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,即 ac≤4. 1 3 ∴△ABC 的面积 S=2acsinB= 4 ac≤ 3. ∴当 a=b=c=2 时,△ABC 的面积取得最大值为 3. 21.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b, →· → =8,∠BAC=θ,a=4. c,AB AC (1)求 bc 的最大值及 θ 的取值范围. π (2)求函数 f(θ)=2 3sin2(4+θ)+2cos2θ- 3的最值. 解析 →· → =8,∠BAC=θ,∴bc· (1)∵AB AC cosθ=8.

又∵a=4,∴b2+c2-2bccosθ=42,即 b2+c2=32. 又 b2+c2≥2bc,∴bc≤16,即 bc 的最大值为 16. 8 8 而 bc=cosθ,∴cosθ≤16. 1 π ∴cosθ≥2.又 0<θ<π,∴0<θ≤3.
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π (2)f(θ)=2 3sin2(4+θ)+2cos2θ- 3 π = 3· [1-cos(2+2θ)]+1+cos2θ- 3 π = 3sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+6)+1. π π π 5π ∵0<θ≤3,∴6<2θ+6≤ 6 . 1 π ∴2≤sin(2θ+6)≤1. π 5π π 1 当 2θ+6= 6 ,即 θ=3时,f(θ)min=2×2+1=2; π π π 当 2θ+6=2,即 θ=6时,f(θ)max=2×1+1=3. 1 π π 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=(1+tanx)sin2x+msin(x+4)sin(x-4). π 3π (1)当 m=0 时,求 f(x)在区间[8, 4 ]上的取值范围; 3 (2)当 tan α=2 时,f(α)=5,求 m 的值. 解析 (1)当 m=0 时,f(x)=sin2x+sinxcosx

1 1 2 π 1 =2(sin2x-cos2x)+2= 2 sin(2x-4)+2. π 3π π 5π π 2 又由 x∈[8, 4 ],得 2x-4∈[0, 4 ],所以 sin(2x-4)∈[- 2 ,1],从而 f(x) 1+ 2 2 π 1 = 2 sin(2x-4)+2∈[0, 2 ]. 1-cos2x 1 m m 1 (2)f(x)=sin2x+ sinxcosx - 2 cos2x= +2 sin2x- 2 cos2x= 2[sin2x- (1 2 1 +m)cos2x]+2, 由 tanα=2,得 sin2α= 2sinαcosα 2tanα 4 2 2 = 2 = , sin α+cos α 1+tan α 5

cos2α-sin2α 1-tan2α 3 cos2α= 2 2 = 2 =- . 5 sin α+cos α 1+tan α 3 14 3 1 所以5=2[5+(1+m)5]+2,得 m=-2.
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1. (2011· 上海)若三角方程 sinx=0 与 sin 2x=0 的解集分别为 E, F, 则( A.E∩F=E C.E=F 答案 A B.E∪F=E D.E∩F=?

)

π 2.下列函数中,其中最小正周期为 π,且图像关于直线 x=3对称的是( π A.y=sin(2x- ) 3 π C.y=sin(2x+6) 答案 解析 B π B.y=sin(2x- ) 6 x π D.y=sin(2+6)

)

π ∵T=π,∴ω=2,排除 D,把 x=3代入 A、B、C 只有 B 中 y 取得最

值,故选 B. π π → +OB → )· → =( 3.函数 y=tan(4x-2)的部分图像如图所示,则(OA AB )

A.6 C.-4 答案 解析 A

B.4 D.-6

π π π π 由 tan(4x-2)=0,得4x-2=kπ(k∈Z),x=4k+2(k∈Z),结合图形可

π π π π π 知 A(2,0),由 tan(4x-2)=1,得4x-2=4+kπ(k∈Z),∴x=3+4k(k∈Z),结合 → +OB → )· → =(5,1)· 图形可知 B(3,1),∴(OA AB (1,1)=6. 4.(本小题满分 12 分)如图(a),一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行 驶. 在 A 处分别测得山顶上铁塔的塔顶 E 的仰角为 θ 和山脚点 O(点 O 是点 E 在

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公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北 φ,再行驶 a km 到达 B 处,测得山脚 点 O 的方位角是西偏北 β.

(1)设计一个方案,用测量的数据和有关公式写出计算 OE 的步骤; π (2)函数 f(x)=asin(βx+φ)的部分图像如图(b)所示,θ=6,求塔顶 E 到公路的 距离. 解析 (1)第一步:求 OA,在△AOB 中,∠ABO=π-β,∠AOB=β-φ,AB asin?π-β? asinβ = ;第二步:求 OE,在 Rt△EOA sin?β-φ? sin?β-φ? asinβtanθ . sin?β-φ?

=a,由正弦定理,得 OA=

中,∠EAO=θ,∠EOA=90° ,则 OE=OAtanθ=

π π π (2)由图像易得 a= 3,β=3,φ=6,又 θ=6,则 π π 3sin3tan6 OE= π π = 3. sin?3-6?

过点 E 作 EF⊥直线 AB 于点 F,连接 OF,因为 AB⊥OE,又 OE∩EF=E, π 所以 AB⊥平面 EOF,所以 AB⊥OF.在△AOB 中,∠OAB=∠AOB=6,则 OB= π π 3 3 AB=a= 3,在 Rt△BFO 中,∠OBF=3,则 OF=OBsin3= 3× 2 =2,又在 Rt△EOF 中,OE= 3,所以 EF= OE2+OF2= 3 21 ? 3?2+?2?2= 2 .

5.(本小题满分 12 分)(2010· 福建文)设函数 f(θ)= 3sin θ+cos θ,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合, 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边过点 P(x, y), 且 0≤θ≤π. 1 3 (1)若点 P 的坐标为(2, 2 ),求 f(θ)的值;

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?x+y≥1, (2)若点 P(x,y)为平面区域 Ω:?x≤1, ?y≤1
取值范围,并求函数 f(θ)的最小值和最大值. 答案 (1)2

上的一个动点,试确定角 θ 的

π (2)0≤θ≤2,f(θ)最大值 2,最小值 1 3 ? ?sinθ= 2 , 的坐标和三角函数的定义可得? 1 ? ?cosθ=2.

解析

(1)由点 P

于是 f(θ)=

3 1 3sinθ+cosθ= 3× 2 +2=2. (2)作出平面区域 Ω(即三角区域 ABC)如图所示, 其中 A(1,0), B(1,1), C(0,1). 于 π 是 0≤θ≤2.

π π π 2π 又 f(θ)= 3sinθ+cosθ=2sin(θ+6),且6≤θ+6≤ 3 , π π π 故当 θ+6=2,即 θ=3时,f(θ)取得最大值,且最大值等于 2; π π 当 θ+6=6,即 θ=0 时,f(θ)取得最小值,且最小值等于 1.

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