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2.7 函数的图象


§ 2.7

函数的图象

1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、 周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象. 2.图象变换 (1)平移变换

(2)对称变换 ①y=f(x) ― ― → y=-f(x); ②y=f(x) ― ― → y=f(-x); ③y=f(x) ― ― → y=-f(-x); ④y=ax (a>0 且 a≠1) ― ― → y=logax(a>0 且 a≠1). ⑤y=f(x)将x轴下方图象翻折上去 ― ― → y=|f(x)|. ⑥y=f(x)
保留y轴右边图象,并作其 关于y轴对称的图象 保留x轴上方图象 关于y=x对称 关于原点对称 关于y轴对称 关于x轴对称

― ― →

y=f(|x|).

(3)伸缩变换

②y=f(x)0<a<1,纵坐标缩短为原来的 ― ― → a倍,横坐标不变 y=af(x).

a>1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相同. (2)函数 y=af(x)与 y=f(ax)(a>0 且 a≠1)的图象相同. (3)函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于原点对称.

( × ( × ( ×

) ) )

(4)若函数 y=f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称. ( √ (5)将函数 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y=f(-x-1)的图象.( × (6)不论 a(a>0 且 a≠1)取何值,函数 y=loga2|x-1|的图象恒过定点(2,0). ( × 2.(2013· 山东)函数 y=xcos x+sin x 的图象大致为 ( ) ) ) )

答案 D π 解析 函数 y=xcos x+sin x 为奇函数,排除 B.取 x= ,排除 C;取 x=π,排除 A,故选 2 D. 3.(2013· 北京)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称, 则 f(x)等于 A.ex C.e
+1

( B.ex D.e
-1

)

-x+1

-x-1

答案 D 解析 与 y=ex 图象关于 y 轴对称的函数为 y=e x.依题意,f(x)图象向右平移一个单位,


得 y=e x 的图象.∴f(x)的图象由 y=e x 的图象向左平移一个单位得到.∴f(x)=e
- -

-(x+1)



e

-x-1

. ( )

4.已知图①中的图象对应的函数为 y=f(x),则图②中的图象对应的函数为

A.y=f(|x|) C.y=f(-|x|) 答案 C

B.y=|f(x)| D.y=-f(|x|)

? ?f?-x?,x≥0 解析 y=f(-|x|)=? . ?f?x?,x<0 ? ? ?2,x>m, 5.已知函数 f(x)=? 2 的图象与直线 y=x 恰有三个公共点,则实数 m 的取值 ? ?x +4x+2,x≤m

范围是 A.(-∞,-1] C.[-1,2] 答案 B 解析 方法一 特值法,令 m=2,排除 C、D,令 m=0,排除 A,故选 B. 方法二 令 x2+4x+2=x,解得 x=-1 或 x=-2, 所以三个解必须为-1,-2 和 2,所以有-1≤m<2.故选 B. B.[-1,2) D.[2,+∞)

(

)

题型一 作函数的图象 例1 分别画出下列函数的图象: (2)y=2x 2; x+2 (4)y= . x-1


(1)y=|lg x|; (3)y=x2-2|x|-1;

思维启迪 根据一些常见函数的图象,通过平移、对称等变换可以作出函数图象. ?lg x ?x≥1?, ? 解 (1)y=? 图象如图①. ? ?-lg x ?0<x<1? (2)将 y=2x 的图象向左平移 2 个单位.图象如图②.

2 ? ?x -2x-1 (3)y=? 2 ?x +2x-1 ?

?x≥0? ?x<0?

.图象如图③.

3 3 (4)因 y=1+ ,先作出 y= 的图象,将其图象向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单 x x-1 x+2 位,即得 y= 的图象,如图④. x-1

思维升华

(1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂 m 函数、形如 y=x+ (m>0)的函数是图象变换的基础; x

(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧,可以帮助我们简化作图过程. 作出下列函数的图象. x+2 (1)y=sin |x|;(2)y= . x+3 解 (1)当 x≥0 时,y=sin |x|与 y=sin x 的图象完全相同,

又 y=sin |x|为偶函数,其图象关于 y 轴对称,其图象如图.

x+2 1 1 (2)y= =1- ,该函数图象可由函数 y=- 向左平移 3 个单位再向上平移 1 个单 x x+3 x+3 位得到,如下图所示.

题型二 识图与辨图 例2 (1)(2013· 四川)函数 y= x3 的图象大致是 3x-1 ( )

?-2x,?-1≤x≤0? (2)已知 f(x)=? ,则下列函数的图象错误的是 ? x,?0<x≤1?

(

)

思维启迪 (1)根据函数的定义域,特殊点和函数值的符号判断; (2)正确把握图象变换的特征,结合 f(x)的图象辨识. 答案 解析 (1)C (2)D x3 (1)由 3x-1≠0 得 x≠0,∴函数 y= x 的定义域为{x|x≠0},可排除选项 A;当 x 3 -1

?-1?3 3 64 =-1 时,y= = >0,可排除选项 B;当 x=2 时,y=1,当 x=4 时,y= ,但从 1 2 80 -1 3 选项 D 的函数图象可以看出函数在(0,+∞)上是单调递增函数,两者矛盾,可排除选项 D.故选 C. (2)先在坐标平面内画出函数 y=f(x)的图象,再将函数 y=f(x)的图象向右平移 1 个单位长 度即可得到 y=f(x-1)的图象,因此 A 正确; 作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴的对称图形,即可得到 y=f(-x)的图象,因此 B 正确; y=f(x)的值域是[0,2],因此 y=|f(x)|的图象与 y=f(x)的图象重合,C 正确; y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当 0≤x≤1 时,y=f(|x|)= x,相应这部分 图象不是一条线段,因此选项 D 不正确. 综上所述,选 D. 思维升华 函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复; (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象. 1 (1)已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图象大致为 ln?x+1?-x

(

)

(2)把函数 y=f(x)=(x-2)2+2 的图象向左平移 1 个单位, 再向上平移 1 个单位, 所得图象 对应的函数解析式是 A.y=(x-3)2+3 C.y=(x-1)2+3 答案 解析 (1)B (2)C (1) (特殊值检验法) B.y=(x-3)2+1 D.y=(x-1)2+1 ( )

当 x=0 时,函数无意义,排除选项 D 中的图象, 1 1 1 当 x= -1 时,f( -1)= =-e<0,排除选项 A、C 中的图象,故只能 e e 1 1 ln? -1+1?-? -1? e e

是选项 B 中的图象. 1 (注:这里选取特殊值 x=( -1)∈(-1,0),这个值可以直接排除选项 A、C,这种取特值 e 的技巧在解题中很有用处) (2)把函数 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位,即把其中 x 换成 x+1, 于是得 y=[(x+1)-2]2+2=(x-1)2+2, 再向上平移 1 个单位,即得到 y=(x-1)2+2+1 =(x-1)2+3. 题型三 函数图象的应用 1 例 3 (1)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 2 2 2 A.(0, ) B.( ,1) 2 2 C.(1, 2) D.( 2,2) )

(

)

(2)(2013· 湖南)函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象的交点个数为( A.3 B.2 C.1 D.0 思维启迪 (1)可以通过函数 y=4x 和 y=logax 图象的位置、特征确定 a 的范围; (2)画两函数图象、观察即可. 答案 解析 (1)B (2)B 1 (1)方法一 ∵0<x≤ ,∴1<4x≤2, 2

∴logax>4x>1,∴0<a<1. 令 f(x)=4x,g(x)=logax,

1 1 当 x= 时,f( )=2.(如图) 2 2 1 1 2 而 g( )=loga =2,∴a= . 2 2 2 又∵g(x)=logax,x0∈(0,1), a1,a2∈(0,1)且 a1<a2 时,loga2x0>loga1x0, 1 ∴要使当 0<x≤ 时,4x<logax 成立, 2 2 需 <a<1.故选 B. 2 1 方法二 ∵0<x≤ ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1, 2 ∴0<a<1,排除答案 C,D;

1 1 取 a= ,x= ,则有 4 2 2

1 2

1 =2,log 1 =1,显然 4x<logax 不成立,排除答案 A;故选 B. 2
2

(2)画出两个函数 f(x),g(x)的图象,

由图知 f(x),g(x)的图象的交点个数为 2. 思维升华 (1)根据函数图象,可以比较函数值大小,确定参数范围; (2)利用函数图象,可以解决一些形如 f(x)=g(x)方程的解或函数零点问题. (1)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=x2,那么函数 y=f(x)的图 象与函数 y=|lg x|的图象的交点共有 A.10 个 C.8 个
2

(

)

B.9 个 D.1 个

(2)直线 y=1 与曲线 y=x -|x|+a 有四个交点, 则a 的取值范围是________. 5 答案 (1)A (2)1<a< 4 解析 (1)观察图象可知,共有 10 个交点. ?x2-x+a,x≥0, ? (2)y=? 2 作出图象,如图所示. ?x +x+a,x<0, ? 1 1 此曲线与 y 轴交于(0,a)点,最小值为 a- ,要使 y=1 与其有四个交点,只需 a- <1<a, 4 4 5 ∴1<a< . 4

高考中的函数图象及应用问题

一、已知函数解析式确定函数图象 典例:(5 分)函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数的图象大致是 ( )

思维启迪 根据函数的定义域、值域、单调性和特征点确定函数图象. 解析 由函数 y=f(x)的图象知,当 x∈(0,2)时,f(x)≥1, 所以 log 1 f(x)≤0.
2

又函数 f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数, 所以 y=log 1 f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数.
2

结合各选项知,选 C. 答案 C 温馨提醒 (1)确定函数的图象,要从函数的性质出发,利用数形结合的思想. (2)对于给出图象的选择题,可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除. 二、函数图象的变换问题 典例:(5 分)若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为 ( )

思维启迪 从 y=f(x)的图象可先得到 y=-f(x)的图象,再得 y=-f(x+1)的图象. 解析 要想由 y=f(x)的图象得到 y=-f(x+1)的图象,需要先将 y=f(x)的图象关于 x 轴对 称得到 y=-f(x)的图象,然后再向左平移一个单位得到 y=-f(x+1)的图象,根据上述步 骤可知 C 正确. 答案 C 温馨提醒 (1)对图象的变换问题,从 f(x)到 f(ax+b),可以先进行平移变换,也可以先进 行伸缩变换,要注意变换过程中两者的区别. (2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定. 三、图象应用 |x2-1| 典例:(5 分)已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取 x-1 值范围是________.

|x2-1| 思维启迪 先作函数 y= 的图象,然后利用函数 y=kx-2 图象过(0,-2)以及与 y x-1 |x2-1| = 图象两个交点确定 k 的范围. x-1
?x+1?x>1或x<-1?, |x2-1| ? 解析 根据绝对值的意义,y= =? x-1 ? ?-x-1?-1≤x<1?.

在直角坐标系中作出该函数的图象, 如图中实线所示. 根据图象可知, 当 0<k<1 或 1<k<4 时有两个交点. 答案 (0,1)∪(1,4) (1) 本题求解利用了数形结合的思想,数形结合的思想包括“以形助数”或

温馨提醒

“以数辅形”两个方面, 本题属于“以形助数”, 是指把某些抽象的问题直观化、 生动化, 能够变抽象思维为形象思维,解释数学问题的本质. (2)利用函数图象也可以确定不等式解的情况,解题时可对方程或不等式适当变形,选择 合适的函数进行作图.

方法与技巧 (1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等;(2)可通过函 数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等;(3)可通过方程的同解变形,如作函 数 y= 1-x2的图象. 2.合理处理识图题与用图题 (1)识图 对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函 数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (2)用图 函数图象形象地显示了函数的性质, 为研究数量关系问题提供了“形”的直观性, 它是探 求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.常用函数图象 研究含参数的方程或不等式解集的情况. 失误与防范 (1)解题时要注意运用“以形助数”或“以数辅形”; (2)要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别.

A 组 专项基础训练 一、选择题

1.函数 y=ln(1-x)的大致图象为

(

)

答案 C 解析 将函数 y=ln x 的图象关于 y 轴对折, 得到 y=ln(-x)的图象, 再向右平移 1 个单位 即得 y=ln(1-x)的图象.故选 C. 1 2.函数 y=5x 与函数 y=- x的图象关于 5 A.x 轴对称 C.原点对称 答案 C 1 - 解析 y=- x=-5 x,可将函数 y=5x 中的 x,y 分别换成-x,-y 得到,故两者图象关 5 于原点对称. 3.若 loga2<0(a>0,且 a≠1),则函数 f(x)=loga(x+1)的图象大致是 ( ) B.y 轴对称 D.直线 y=x 对称

(

)

答案 B 解析 ∵loga2<0,∴0<a<1, 由 f(x)=loga(x+1)单调性可知 A、D 错误, 再由定义域知 B 选项正确. x+3 4.为了得到函数 y=lg 的图象,只需把函数 y=lg x 的图象上所有的点 10 A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 答案 C 解析 y=lg x+3 =lg(x+3)-1, 10

(

)

将 y=lg x 的图象向左平移 3 个单位长度得到 y=lg(x+3)的图象, 再向下平移 1 个单位长度,得到 y=lg(x+3)-1 的图象. 5.使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是 A.(-1,0) C.(-2,0) 答案 A 解析 在同一坐标系内作出 y=log2(-x),y=x+1 的图象,知满足 条件的 x∈(-1,0),故选 A. B.[-1,0) D.[-2,0) ( )

二、填空题 1 6. 已知 f(x)=( )x,若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象对应的函数 3 为 g(x),则 g(x)的表达式为________. 答案 g(x)=3x
-2

解析 设 g(x)上的任意一点 A(x,y),则该点关于直线 x=1 的对称点 B 为 B(2-x,y),而 该点在 f(x)的图象上. 1 - - - ∴y=( )2 x=3x 2,即 g(x)=3x 2. 3 7.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0), 则 f(x)的最大值为__________. 答案 6 解析 f(x)=min{2x, x+2,10-x}(x≥0)的图象如图. 令 x+2=10-x,

得 x=4. 当 x=4 时,f(x)取最大值,f(4)=6. 2 ? ?x , x≥2, 8. 已知函数 f(x)=? 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不

? ??x-1?3, x<2.

同的实根,则实数 k 的取值范围是________. 答案 (0,1)

解析 画出分段函数 f(x)的图象如图所示,结合图象可以看出,若 f(x)=k 有两个不同的实根,也即函数 y=f(x)的图象与 y=k 有两个 不同的交点,k 的取值范围为(0,1). 三、解答题 9.已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图象;

(3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间; (4)若方程 f(x)=a 只有一个实数根,求 a 的取值范围. 解 (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即 m=4.

(2)f(x)=x|x-4| 2 ? ?x?x-4?=?x-2? -4,x≥4, =? 2 ?-x?x-4?=-?x-2? +4,x<4. ? f(x)的图象如图所示: (3)f(x)的减区间是[2,4]. (4)从 f(x)的图象可知,当 a>4 或 a<0 时,f(x)的图象与直线 y=a 只有一 个

交点,方程 f(x)=a 只有一个实数根,即 a 的取 值范围是(-∞, 0)∪(4, +∞). 1 10.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x (1)求 f(x)的解析式; a (2)若 g(x)=f(x)+ ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. x 解 (1)设 f(x)图象上任一点 P(x,y),则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(-x,2-y)在 h(x)的

图象上, 1 1 即 2-y=-x- +2,∴y=f(x)=x+ (x≠0). x x a+1 a+1 a (2)g(x)=f(x)+ =x+ ,g′(x)=1- 2 . x x x ∵g(x)在(0,2]上为减函数, a+1 ∴1- 2 ≤0 在(0,2]上恒成立,即 a+1≥x2 在(0,2]上恒成立,∴a+1≥4,即 a≥3,故 a x 的取值范围是[3,+∞). B 组 专项能力提升
2 ? ?x +2x-1,x≥0, ? 1.已知函数 f(x)= 2 则对任意 x1,x2∈R,若 0<|x1|<|x2|,下列不等式成立 ?x -2x-1,x<0, ?

的是 A.f(x1)+f(x2)<0 C.f(x1)-f(x2)>0 答案 D 解析 函数 f(x)的图象如图所示: 且 f(-x)=f(x),从而函数 f(x)是偶函数且在[0,+∞)上是增函数. 又 0<|x1|<|x2|, ∴f(x2)>f(x1),即 f(x1)-f(x2)<0. 1 2.函数 y= 的图象与函数 y=2sin πx (-2≤x≤4)的图象所有交点的横 1-x 坐标之和等于( ) B.f(x1)+f(x2)>0 D.f(x1)-f(x2)<0

(

)

A.2 答案 D

B.4

C.6

D.8

解析 令 1-x=t,则 x=1-t. 由-2≤x≤4,知-2≤1-t≤4,所以-3≤t≤3. 又 y=2sin πx=2sin π(1-t)=2sin πt. 1 在同一坐标系下作出 y= 和 y=2sin πt 的图象. t

由图可知两函数图象在[-3,3]上共有 8 个交点,且这 8 个交点两两关于原点对称. 因此这 8 个交点的横坐标的和为 0,即 t1+t2+?+t8=0. 也就是 1-x1+1-x2+?+1-x8=0, 因此 x1+x2+?+x8=8. ?2-m?x 3.若函数 f(x)= 2 的图象如图,则 m 的取值范围是________. x +m 答案 1<m<2 解析 ∵函数的定义域为 R,∴x2+m 恒不等于零, ∴m>0. 由图象知,当 x>0 时,f(x)>0,∴2-m>0?m<2. 2-m 又∵在(0,+∞)上函数 f(x)在 x=x0(x0>1)处取得最大值,而 f(x)= , m x+ x ∴x0= m>1?m>1.综上,1<m<2. 4.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+x)=f(2-x). (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称; (2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1, 求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式. (1)证明 设 P(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点, 则 y0=f(x0),点 P 关于直线 x=2 的对称点为 P′(4-x0,y0). 因为 f(4-x0)=f[2+(2-x0)] =f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0, 所以 P′也在 y=f(x)的图象上, 所以函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称. (2)解 当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],

所以 f(-x)=-2x-1.又因为 f(x)为偶函数, 所以 f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0]. 当 x∈[-4,-2]时,4+x∈[0,2], 所以 f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7, 而 f(4+x)=f(-x)=f(x), 所以 f(x)=2x+7,x∈[-4,-2]. ? ?2x+7,x∈[-4,-2], 所以 f(x)=? ?-2x-1,x∈[-2,0]. ? 5.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}. 2 ? ??x-2? -1, x∈?-∞,1]∪[3,+∞? ? 解 f(x)= 2 ? ?-?x-2? +1, x∈?1,3?

作出函数图象如图. (1)函数的增区间为[1,2],[3,+∞); 函数的减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐标系中作出 y=f(x)和 y=m 的图象,使两函数图象有四个 不 同的交点(如图).由图知 0<m<1,∴M={m|0<m<1}.


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