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必修四知识点复习


必修四知识点复习
必修 4 考试分值分布:总分估计 30 分;
9 道选择题+1 道填空题或 7 道选择题+1 道解答 题;

即为

?
n

终边所落在的区域.

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧 度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l

, 则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?
l r

主要考点分布:1.;任意角的概念(3 分)
2.任意角三角函数的定义; 分) (3 3.诱导公式和同角公式; 分) (3 4. y ? A sin( ? x ? ? ) 的最值,周期和平移(3 分 或 10 分) 5.三角函数的和,差,倍角公式应用。 分) (3 6. a sin x ? b cos x ?
a ? b sin( ? x ? ? ) 的
2 2


?

7、弧度制与角度制的换算公式: 2 ? ? 3 6 0 ,
? 180 ? ? 1 ? ,1 ? ? ? ? 5 7 .3 . 180 ? ? ?
?

?

?

8、若扇形的圆心角为 ? ? ? 为 弧 度 制 ? ,半径 为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则
l ? r ? ,C ? 2r ? l , S ?

应用。 分) (3 7.平面向量的加,减,数乘运算。 分) (6 8.平面向量的数量积的运算; (10 分) 9.会判断平面向量的平行和垂直; 分) (3

1 2

lr ?

1 2

? r .
2

9、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任 意一点 ? 的坐标是 ? x , y ? ,它与原点的距离是
r r ?

第一课时:三角函数
考纲要求:①掌握任意角的概念,能进行角度 与弧度的互化;②掌握任意角的三角函数,会 求特殊角的值;③能应用同角公式和诱导公式 求值; 知识点: 1.任意角:正角,负角,零角 2.象限角:角 ? 的顶点与原点重合,角的始边 与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限, 则称 ? 为第几象限角. 表示:第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在 x 轴上的角的集合为 终边在 y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角 ? 终边相同的角的集合为

?

x ? y
2

2

? 0

?
y x

? , 则 s i? n

y r



cos ? ?

x r

, ta n ? ?

?x

? 0? .

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为 正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正, 第四象限余弦为正. y 11、三角函数线: sin ? ? ? ? , P T co s ? ? ? ? , v tan ? ? ? ? . O M A x 12、 同角三角函数的基本关 系: ? 1 ? sin ? ? c o s ? ? 1
2 2

? sin
?2?

2

? ? 1 ? co s ? , co s ? ? 1 ? sin ?
2 2 2

?



s in ? cos ?

?

? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ?
?

?
?
n

? ta n ?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?n ? ? ? 所
*

s in ? ? ? ? s in ? ? ta n ? c o s ? , c o s ? ? ?. ta n ? ? ?

在象限的方法: 先把各象限均分 n 等份, 再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、 二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号

13、三角函数的诱导公式:
1 . sin( 2 k ? ? ? ) ? sin ?

cos ? 2 k? ? ?

??

cos ?



C. 第三象限角

D. 第四象限角

5.已知角 ? 的终边经过点 ( ? 3 , 4 ) ,则 tan ? =
tan( k ? ? ? ) ? tan ? .

A.
2 . sin( ? ? ? ) ? ? sin ?

3 4

B. ?

3 4

C.
5 13
12 13

4 3

D. ?
?
2

4 3

cos ?? ? ?

??

? cos ?

6.已知 sin x ?
ta n ? ? ? ?

, x ? (0,

), cos x ? (
5


12 13

??

ta n ? .

A.

5 13

B.

C. ?

D. ?

? 3 ? sin ? ? ? ? ?
tan ? ? ?

? sin ? , co s ? ? ?

??

co s ? ,

13

7.函数 y ? 1 ? cos x 的最大值为( )

??

? tan ? .

A. 0 B. 1 C. 2

D. 3

4 . sin( ? ? ? ) ? sin ? ,co s ? ? ? ?

??

? co s ? ,

8.已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90° 的角},那么 A、B、C 关系是( )

tan ? ? ? ?

??

? tan ? .

A.B=A∩CB.B∪C=CC.A C D.A=B=C 口诀:函数名称不变,符号看象限.
5 . sin(

?

?? ? ? ? ) ? cos ? , c o s ? ? ? ? ? s in ? 2 ? 2 ?

9.

sin

2

120

0

等于 (
3


3 2

6 . sin(

?
2

? ? ) ? cos ?



A

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?

3 2

B

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C

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?

D

1
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2

2

?? ? c o s ? ? ? ? ? ? s in ? . ? 2 ?

10.已知

sin ? ? 2 co s ? 3 sin ? ? 5 co s ?

? ? 5, 那 么 tan ?
23 16 23 16

的值为

口诀:奇变偶不变,符号看象限. 典型考例: 1. 390 是( A. 第一象限角 C. 第三象限角 2. cos 150 ? (
3 2
? ?
?

A.-2 B.2

C.

D.-

) B. 第二象限角 D. 第四象限角 )
1 2 1 2

11.若角 600 的终边上有一点 ? ? 4 , a ? ,则 a 的 值是( )
0

A

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4

3 B

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?4 3 C

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? 4 3

D

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3
2

i s 12. 已知 sin ? ? 0 , tan ? ? 0 , 1 ? n 则

? 化

简的结果为 A. ? B.
3 2



) A. cos ?

C. ?

D.

B. ? cos ? C. ? cos ? D. 以上都不对 13.若角?的终边过点(-3,-2),则( ) A.sin??tan?>0 B.cos??tan?>0 C.sin??cos?>0 D.sin??cot?>0 14
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3. cos 120 ? (
3 2 3 2


1 2 1 2

A. ?

B.

C. ?

D.

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已 知 t an ? ?

3 ,? ? ? ?

3? 2

,那么

4.已知 sin ? ? 0 , cos ? ? 0 ,则角 ? 是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角

cos ? ? s in ? 的值是(



A

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?

1? 2

3

B

?1?
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3

6. 函数 y ?

sin x sin x

?

cos x cos x

?

tan x tan x

的值域 ) (

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2
3 1?
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C

1?
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D
1 2

3 2

A.?? 1, 0 ,1, 3? B.?? 1, 0 , 3? C.?? 1, 3 ? D.?? 1,1?

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2

15.cos( ? +α )= — α ) 值为



3π 2

<α < 2 ? ,sin( 2 ? -

7.已知角 ? 的终边经过点(-3,4) ,则 tan ? =( ) A.
3 4

16.已知 tan x ? 2 ,求 课后练习:

cos x ? sin x cos x ? sin x

的值。

B. ?
? 4 5

3 4

C.

4 3

D. ?

4 3

8. cos ?
?
2

,? ? (0,? )

,则 tan ? 的值等()
4 3

1. ? 角属于第二象限, cos 设 且

?
2

? ? cos

?
2



A.

4 3

B.

3 4 4 5

C. ?

D. ?

3 4

9. 已知 sinα = 角属于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限
0

, 且α 是第二象限角, 那么 tan )
3 4

α 的值为( A. ?
4 3

B. ?

C.

3 4

D.

4 3

2.给出下列各函数值:① sin( ? 1000
sin
cos( ? 2200
0

) ;②

10.若 A.1 . 11.已知 (A)±

sin ? ? cos ? 2 sin ? ? cos ?

? 2 ,则 tan ? ? ()

7? 10

cos ?

B. - 1 C.
sin ? ? co s ? 2 sin ? ? 3 co s ?

3 4

D. ?
1 5
8 3

4 3

) ; tan( ? 10 ) ; ③ ④

tan

17 ? 9

=

,则 tanα 的值是 ( ) (D)无法确定

其中符号为负的有( A.① B.②
4 5

) D.④

8 3

(B)

8 3

(C) ?

C.③

12.△ ABC 中若 cosAcosBcosC<0,则△ ABC 是 3.已知 s in ? ? ,并且 ? 是第二象限的角 ) C.
3 4

( )

(A) 锐 角 三 角 形

(B) 直 角 三 角 形

那么 tan ? 的值等于( A. ?
4 3

(C)钝角三角形 D.
4 3

(D)锐角或钝角三角形
? ?

B. ?

3 4

4.若 ? 是第四象限的角,则 ? ? ? 是( A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 5.化简 sin 6 0 0 的值是(
3 2
0



13、 sin ? ?
?

?

19 6

? ? 的值等于(



A. ? )
3 2

3 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

o 14、 f (s 若 c

x) ? c o s

3 x , 那么 f (sin 30 ? ) 的值

A. 0 .5

B. ? 0 .5

C.

D. ?

为( A.0

) B.1 C.-1 D. 3 /2 象限的

15.若 sinθ· cosθ>0, 则 θ 是第

角; 16.sin(17π 3

第二课时:三角恒等变换
)=
3 2

.

17.cos( ? -x)= 的值为

,x∈(- ? , ? ) ,则 x



考纲要求:①掌握两角和与差的公式,能应用 求值,化简;②掌握倍角公式,能应用求值, 化简;③运用相关公式进行简单的三角恒等变 换; 知识点: 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

18.若角α 的终边经过点Α (-1, ? 3 ),则角α =_____,其中最大的负角为____________. 19.已知α 是第二象限角,则 角? 20. 若 角 α 是 第 三 象 限 角 , 则 在 21
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1) Cos (? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; 2) Sin (? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 3) tan( ? ? ? ) ?
tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

a 2

是第几象限的

?
2

角的终边 .

变形:
tan ? ? tan ? ? tan ? ? ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? ? ?

,2α 角的终边在
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? ?1 ? tan ? ? ?1 ? tan ?
?
4

tan ? ? ; tan ? ? .

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与 ? 2012

0

终边相同的最小正角是
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_______________

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22.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4 c m ,则 扇形的圆心角的弧度数是
3 2
P ( x , 2 ) ,则 ? 是第_____象限角, x =_____。

2

推导 :

当 ? ? ? ? ?? ?

时,? ? z ,



?1 ?

tan ? ??1 ? tan ? ? ? 2

23.若 cos ? ? ?

,且 ? 的终边过点

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? tan ? tan ? ? tan ?? ? ?

?

24 已知 tan x ? 2 ,
2 3 1 4
2

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2 ? ? 2 sin ? co s ? . 2) Cos 2 ? ? cos ? ? sin ?
2 2

(1)求

sin

2

x?

cos

2

x 的值

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? 2 cos
2

2

? ?1
2

(2)求 2 sin

x ? sin x cos x ? cos

x 的值

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25.一个扇形 O A B 的周长为 2 0 ,求扇形的半 径,圆心角各取何值时,此扇形的面积最大?
sin 3 3 0 ? ? tan ( ? 13 3 co s( ? 19 6

? 1 ? 2 sin

?
s , in ? ?
2

( cos ? ?
2

c o s 2? ? 1 2

1 ? c o s 2? 2

) .

?)

26.求:

的值.

? ) ? co s 6 9 0 ?

⑶ ta n 2 ? ?

2 ta n ? 1 ? ta n ?
2



27.求值:

ta n ( ? 1 5 0 ? ) ? c o s( ? 5 7 0 ? ) ? c o s( ? 1 1 4 0 ? ) ta n ( ? 2 1 0 ? ) ? sin ( ? 6 9 0 ? )

3、? sin ? ? ? c o s ? ?

? ? ? sin ? ? ? ? ? ,
2 2

其中 ta n ? ?

? ?


3? ? 3 Sin ? ? 4 Sin
3 3

8. sin 14 cos 16 ? cos 14 sin 16 的值( )
o o o o

4.三倍角公式: Sin

?

Cos 3? ? 4 Cos

? ? 3 Cos ?

A. ?

3 2

B.

1 2

C.

3 2

D. ?

1 2

5.三角化简的通性通法: 切割化弦、 降幂公式、 用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角, 异 名化同名,高次化低次; 典型考例: 1. cos 24 cos 36 ? sin 24 sin 36 的值( )
o o o o

9.已知 sin( 为 ( A.
1 2

π 4

+α )=

3 2

,则 sin(

3 π 4

-α )值

) B. —
1 2

A.0

B.

1 2

C.
?
2

3 2

D. ?

1 2

C.
??

3 2

D. —

3 2

2.已知 x ? ( ? () A.
7 24
o

, 0 ) , sin x ? ?

3 5

,则 tan2x=

10. c o s ? ? ?

3 5

,? ? ?

12 ? , ? ? ,s in ? ? ? , 13 ? 2 ?

? 是第三象限角,则 cos( ? ? ? ) ? (



B. ?
o

7 24

C.
o

24 7

D. ?
o

24 7

A ?

33 65

B

63 65

C

56 65

D ?

16 65

3. cos 24 cos 36 ? cos 66 cos 54 的值( ) A.0 4. tan70
0

11. 已知 t a n ? ? ? ? ? ? 3 , t a n? ? ? ? ? ? 5,则 B.
1 2

C.
0

3 2

D. ?
0

1 2

t a n ? 2?
0

? 的值为 (
B
4 7

) C
1 8

? tan50

?

3 tan70

tan50

?( )

A A.
3

?

4 7

D

?

1 8
5 13

B.

3 3

C.
1 2

?

3 3

D.
?
4

?

3

12. ? , ? ,
co s ?? ? ?

都 是 锐 角 , 且 s in ? ?



5.已知 t an( ? ? ? ) ? 则 tan( ? ?
?
4 ) 的值为

, t an( ? ?

) ? ?

1 3

??

?

4 5

,则 sin ? 的值是( ) C
56 65


2 2



A

33 65

B

16 65

D

63 65
3 =

13.在 ? A B C 中, tan A ? tan B ? D. 2
3 tan A tan B ,则 C 等于 (

A. 2

B. 1

C.

)
?
4 4 5

6.函数 y ? sin x ? cos x 的最大值是( ) A A.1 B. 2 C. 3
2 ? 4 3 ? 4 2 6 ? 4 2

?
3

B

2? 3

C

?
6

D

D. 2 14
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若 x ? (?
7
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?
2

, 0) ,cos x ?
? 7 24

,则 tan 2 x ? D
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7. sin 15 =(

?

) A.

6

B.

2 ? 4

6

( )A 15 A
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24
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B

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C

24
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?

24 7

7

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在△ABC 中, co s A co s B ? sin A sin B , )
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C.

D.

则△ABC 为 (
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锐角 ? B 直角 ? C 钝角 ? D 无法判定
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? 16.若 ? ? (0, ? ) ,且 c o s? ? s i n ? ?
cos 2 ? ( ?

1 3

,则

7.已知 ? , ? 为锐角,且 cos ? = cos (? ? ? ) = 11 14

1 7

)
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,

则 cos ? =________.

A

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17 9

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B

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?

17 9

C

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?

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D

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8.tan20?+tan40?+ 3 tan20?tan40?的值是
?

17 (1 ? tan 21 )
?

?

(1 ? tan 22 )

?

(1 ? tan 23 )

____. 9.sin15?cos15?=________. 10. 3 tan 2 0 ? 3 tan 5 0 ?
0 0

(1 ? tan 24 ) 的值是 (

)
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3 tan 2 0 ? tan 5 0 =_
0 0

A

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16

B

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C

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4

D

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2

18.已知 ta n x ? 2 ,则 为 19.若 ? ? ( 0 ,
?
2

3 s i n 2 x ? 2 c o s 2x c o s 2 x ? 3 s i n 2x 4 5

11. tan20? +tan40? 3 tan20? + tan40? 的值是 的值 12.计算 co s 405 ? = 13.计算 sin 15 ? ? sin 75 ? = 14.求值
o o o

. .

), sin ? ?

,则 sin 2? =
3 5

20 已知 ? ? ( 0 ,

?
2

), cos ? ?

,求 tan( ? ?

?
4

1). sin 72 cos 42 ? cos 72 sin 42
)

o

的值。 课后练习: 1.Sin165?等于(

2). cos 20 cos 70 ? sin 20 sin 70
o o o o o o

o


6 ? 4 2 6 ? 4 2

3). sin 72 cos 18 ? cos 72 sin 18 4). cos 72 cos 12 ? sin 72 sin 12
o o o o

o

1
A.

2

B.

3 2

C.

D.

2. Sin14?cos16?+sin76?cos74?的值是 ( A.
3 2

) 5).

1 ? tan 15 1 ? tan 15

? ?

6).
4 5

tan 12 ? tan 33
?

?

? ?

1 ? tan 12 tan 33

B.

1 2

C.
?
12

3 2

D.-

1 2

15、 已知 cos ? ? ?
tan ? 的值。

i , ? ? ? ? 2? , n 且 求s

? ,

3.sin

?
12

-

3 cos

的值是( )

16.求值

5?
A. 0 B. — 2 C. 2
1 3

1). sin 15 3). sin 75
?

?

2). cos 75 4). tan 15
12 13

?

D. 2 sin

12
?

4.已知 s in ? ? c o s ? ? A. ?
8 9

,则 sin 2 ? ? ( C.
8 9

) 17.已知 sin ? ? ?
cos(

B. ?
? ?

1 2

D.

1 2

, ? 是第三象限角,求

?
6

? ? ) 的值。

5.

1 ? tan 15 1 ? tan 15

=______________.
12 13

18.已知 tan ? =3,求 tan( ? ?
? ) , 那么

?
4

) 的值。

6 .如 果 cos ? = cos (? ?
?
4

? ? (? ,

3 2

19.已知 cos ? ?
cos( ? ?

3 5

,且 0 ? ? ? ? ,求

) =_______.

?
6

) 的值。

20.已知 sin( ? ? 30 ) ?
?

3 5

, 60

?

? ? ? 150 ,求
?

cos ? 的值。

对 称 轴 图

x ? k? ?

?
2

,k ? z

x ? k? , k ? z

5
5

4
4

3

3

y
2

y
2

1

1

-π /2
-8

3π /2 O π /2 2 π
4 6

x 2π
8

x
-8

-2π-6

-3π /2

-4



-2

-2π -6

-3π /2 -4



-2

-π /2

O

π /2

2

π

4

3π /2

6



8

-1

-1
-2

-2
-3

-3
-4

-4



-5

-6

-5

第三课时:三角函数的图像和性质
考纲要求:①掌握三角函数的图像和性质,能 应用性质求最值,求周期,求单调区间;②掌 握 y ? A sin( ? x ? ? ) 的图像,理解平移变换; ③ a sin x ? b cos x ? 应用。 知识点: 1. 三角函数的性质 性 质 定 义 域 值 域 周 期 性 奇 偶 性 单 调 性
y ? Sin x y ? Cos x

2.正切函数的图象与性质 (略)
n ( 3.函数 y ? A si( ? x ? ? ) , A ? 0 , ? ? 0 ) 的

性质: ①振幅:? ; ②周期: T ?
2?

?
1 T

a ? b sin( ? x ? ? ) 的
2 2

③频率: f ? ④相位:? x ? ? ⑤初相:? .

函数 y ? A sin( ? x ? ? ) ,当? x ? ? ? 2 k ? ? 时 , 取 得 最 小 值 为 ym
? x ? ? ? 2 k? ? ?
2
? ? A

?
2

R
?? 1,1?
2?

i n

; 当

时, 取得最大值为 y min ? A
y ? sin x

4.













y ? A sin( ? x ? ? ) +k?

y ? sin x ? ? ? ? y ? A sin x ?

振幅变化

奇函数
? ? ? ? 2 k? ? ,2 k? ? ? 2 2? ? ?
, k ? z , 增函数

偶函数
?2 k ?
? ? ,2 k?

? ? ? ? ? y ? A sin ? x ?

左右伸缩变化

? ?

? ? ? ? ? y ? ASin ( ? x ? ? ) ?
? ? ? ? ? y ? ASin ( ? x ? ? ) ? k ?
典型考例: 1.函数 y ? sin A. ? B. 2 ?
1 2 x 的最小正周期是( )
上下平移变化

左右平移变化

, k ? z , 增函数

? 3? ? ? 2 k? ? ,2 k? ? ? 2 2 ? ? ?
, k ? z , 减函数

?2 k ? , 2 k ?

??

, k ? z , 减函数

对 称 中 心

? k ? , 0 ?, k ?

C. 3 ?

D. 4 ?

z

? ? ? ,0 ? , k ? z ? k? ? 2 ? ?

2.函数 y ? sin x ? cos x 的最大值是( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 2

3.为了得到函数 y ? sin( x ?

1 3

), x ? R 的图象,

10.已知函数 y ? sin( ? x ? 小正周期是
2? 3

?
4

) ( ? >0)的最

只需把曲线 y ? sin x 上所有的点( A. 向左平移
1 3


1 3
1 3

,则 ? ? C.
5? 2
4 3

个单位 B.同右平移 ?
1 3

个单位 个单位

A.3 B. 3? 11.函数 y ? sin( 2 x ? 轴方程是( ) A.x ? ?
?
4

D.

3 2

C.向左平移 ?

个单位 D .向右平移

) 的图象的一个对称

4.已知 x ? [ 0 , 2 ? ] ,如果 y ? cos x 是增函数, 且 y ? sin x 是减函数,那么( A. 0 ? x ?
?
2 3? 2

Bx ? ?

?
2

C.x ?

?
8

D.x ?

5? 4



B. D.

?
2

12.函数 y ? sin( 3 x ?
? x ?? ? x ? 2?

?
4

) 是图象的一个对称中

心是( A. ? ?
? ?

)
? ,0 ? 12 ?

C. ? ? x ?

3? 2

?

B. ? ?
? ? 11 ?

?

7?

? ,0 ? 12 ?

5.函数 y ? cos 2 x 的最小正周期是( A.
?
4

) C. ?
? 7? ? ,0 ? ? 12 ?

B.

?
2

C. ?
?
4

D. 2 ? )的图象,只需将

D. ?

? ,0 ? ? 12 ?

6. 要得到函数 y=sin( x ? y=sin x 的图象( A.向左平移 C.向左平移
?
2

13.下列函数中,最小正周期为 A. y ? sin x

?

的是(

)


?
2

2 B. y ? sin x co s x

个单位 B.同右平移 个单位 D.向右平移
?
4

个单位 个单位

C. y ? ta n

x 2

D. y ? co s 4 x ; , .

?
4

?
4

14.函数 y ? cos x ? 1 的最大值为 15.函数 y ? ? sin x ? 5 的最大值是 最小值是 ,周期是
? ?

7 函数 f ( x ) ? tan( x ? A、 ( k ? C、 ( k ?
?

) 的递增区间为( )

?
2

, k? ?

?
2
?
4

)

B、 ( k ? D、 ( k ?
?

, ( k ? 1) ? )
3 4

?

3 4

? , k? ?

)

?
4

, k? ?

?)

16.使函数 y ? 3 sin ? 2 x ? 合是 取最小值的集合是

? ?

? 取最大值的的集 4 ?

8.函数 y ? 2 sin x ? 2 的最大值和最小值分别 为( ) A.2,-2B.4,0C.2,0D.4,-4 9.设 a ? 0 , 则函数 y ? sin( ax ? ? ) 的 最 小 正 周期是( A.
?
a

, . , 。 。

17. y ? tan 3 x 的 周 期 是
y ? sin( 4 x ? ? ) 的周期是

) B.
?
a

18. y ? C.
2? a

1 1 ? cos x

的定义域是
? ?

D.

2? a

19. 函 数 y ? 2 co s ? 2 x ?

? ?

? 的单调递增区间 4 ?





C.向左平移

?
3

个单位 D.向右平移
?
4

?
3

个单位

20.函数 y ? a sin x ? 1 的最大值是 3,则它的最 小值为
1 2

5 . 要 得 到 y ? 3 s i n (2 x ? 。 y=3sin2x 的图象 21.
sin 15 ? ? 3 2 cos 15 ? =

) 的图象只需将




?
4

A.向左平移 C.向左平移

?
4

个单位 B.向右平移 个单位 D.向右平移

个单位 个单位

?
8

?
8

22.已知函数 f ( x ) ? sin x ? cos x , x ? R (I)求函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自 变量 x 的集合; (II) 说明函数 f ( x ) 的图像可由 y ? sin x 的图 像经过怎样的变化得到。

6.下列函数中, 最小正周期为 π 的偶函数是 ) ( A.y=sin2x C .sin2x+cos2x 7.要得到函数 y=cos( y=sin
x 2 x 2

B. y ? cos

x 2

D. y= tan 2 x
?

?
4

)的图象,只需将 ( )
?
2

的图象
?
2

23.若函数 f ( x ) ?

1 2

sin x ?

3 2

cos x , x ? R ;

A. 向左平移

个单位 B.同右平移 个单位 .向右平移
5? 2

个单位

(I)求函数 f ( x ) 的最大值和最小值; (II)求 f ( x ) 的单调递增区间。

C.向左平移 8.

?
4

?
4

个单位

函数 y=sin(2x+ )
?
2

)的图像的一条对称轴方

程是( 课后练习: A.x= ? 1.设 M 和 m 分别表示函数 y ?

B. x= ?

?
4

C .x=
?
3

?
8

D.x=

5? 4

1 3

cos x ? 1

9..函数 y ? 2 sin( 2 x ?

) 的图象(

) ,0)对称
?
6

的最大值和最小值,则 M ? m 等于 ( ) A.
2 3

B. ?

2 3

C. ?

4 3

D. ? 2 )

A.关于原点对称 B.关于点(-

?
6

C.关于 y 轴对称 D.关于直线 x= 10.函数 y ? sin ( x ?
?
2 ), x ? R 是(

对称 )

2. 函数 y ? A.1

3 sin x ? cos x 的最大值为 (

B. 2

C.

3

D.

3 +1

3.函数 y ? 3 sin x ? 4 cos x 的最大值为( A.3 B. 4 C. 5
2? 3
y ? sin 2 x 的图像(



A.[ ?

? ?
, 2 2

] 上是增函数 B.[0, ? ] 上是减函数

D. 7
) 的图像, 需将函数

C.[ ? ? , 0 ] 上是减函数 D.[ ? ? , ? ] 上是减函数 11 函数 y=2sin(x+ (A)[2? 3
? 2 ? 4

4.要得到 y ? s in ( 2 x ? )

)在区间( )上为增函数 (B)[3? 4



? 2

]



? 4

]

A. 向左平移

2? 3

个单位 B 向右平移

个单位

(C)[- ? ,0] 12.函数 y= 方程是( (A)x=? 2 3 2

(D)[? 2

? 4



3? 4

]

18. y ? 3 sin( ? 2 x ?

?
3

) 的振幅为 1 2 x? 3 cos 1 2

初相为
x ,求:

cos(x+ )

)的图象的一条对称轴

19.已知函数 y ? sin

(B)x=-

? 4

(C)x=

? 8

(D)x= ?

(1) 函数 y 的最大值, 最小值及最小正周期; (2)函数 y 的单调递增区间 20.已知函数 y ? sin x ? sin 2 x ? 3 co s x ,求
2 2

13 函数 y ? 3 sin ( 2 x ?
( A、

?
3

) ? 1 的对称中心是 ) ( 2? 3 ,) ( 1 D、

?
3

,) B、 0 (

?
3

,) C、 1 (

?
6

,) 0

(1)函数的最小值及此时的 x 的集合。 (2)函数的单调减区间 (3)此函数的图像可以由函数 y ?
2 sin 2 x

14、 函数 y ? 2 s in ( 2 x ? A. [ k ? ?
?
6 , k? ? 5? 6

?
3

) 的单调增区间 (



的图像经过怎样变换而得到。 21. 已知函数 y ? sin
x 2 ? 3 cos x 2 , x ? R.

]( k ? Z ) 5? 6 ]( k ? Z )

B. [ 2 k ? ? C. [ k ? ?
?
12

?
6

, 2k? ? 5? 12

(1)求 y 取最大值时相应的 x 的集合; (2) 该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可 以得到 y ? sin x ( x ? R ) 的图象
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, k? ?

]( k ? Z ) 5? 12 ]( k ? Z )

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D. [ 2 k ? ?
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?
6

, 2k? ?

? ) 15 函数 y ? s i n ( 2x ? ? ) ( 0 ? ? ? 是 R 上的
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第四课时:平面向量
考纲要求:①掌握平面向量的定义;②掌握平 面向量的坐标运算,能应用公式求值和解决平 行问题;③能应用数量积解决垂直和求夹角的 问题。 知识点: 1、向量:既有大小,又有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的 非零向量. 零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相 连. AB ? BC ? CD ? AD ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

偶函数,则 ? 的值是 A
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( C
?
2


?

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0

B

?
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?
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D

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4

2 ) 的图象的一条对称轴

16. 函数 y ? cos( 2 x ? 方程是 ( A. x ? ?
?
2

) B. x ? ?
x 2

?
4 ?

C. x ?
?
3

?
8

D. x ? ? )

17.函数 y ? ? cos( A. ? 2 k ? ?
? ? ? 4 3 4

) 递增区间是(

? ,2 k ? ?

2 3 2

? ?(k ? Z )
? ?

?

B. ? 4 k ? ? ? , 4 k ? ? ? ? ( k ? Z ) 3 3 ? ? C. ? 2 k ? ?
? ? 2 3

? ,2 k? ?

8 3

? ?(k ? Z )
? ? (k ? Z ) ? ?

?



⑶三角形不等式:

? ? ? ? ? ? a ? b ? a?b ? a ? b


?

2 8 ? D. ? 4 k ? ? ? , 4 k ? ? ? 3 3 ?

⑷运算性质(略)注意: a ? 0 ? 0 ? a ? a .

?

?

?

?

⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则
a ? b ? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) .

?

?

? ? ? ? ? ? a 与 b 同向时, a ? b ? a b ; ②当

? ? ? 当 a 与 b 反向时, a

? ? ? ?b ? ? a b ;
? ? a ?a .

3、向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起 点 , 连 终 点 , 方 向 指 向 被 减 向 量. AB ? AC ? CB 设
?

? ? ?2 ?2 ? a ?a ? a ? a 或 a ?
? ③ a ?b ? ? ? ? a b



、 ? 两点的坐标分别为

? x1 ,

y1 ? ,

⑶运算律(略)
? ⑷ 坐 标 运 算 : 设 两 个 非 零 向 量 a ? ? x1 , y 1 ? ,

? x2 , y2 ?

???? ,则 ? ? ? ? x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? .

4、向量数乘运算: ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做 ? 向量的数乘,记作 ? a .
? ① ?a ? ? ? a

? b ? ? x 2 , y 2 ? ,则

? ? a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2 .
, 则
2



? a ? ? x, y ?
2

? a

2

? x ? y
2

2

, 或


?
?

? a ?


x ? y .


②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0
? ? 时, ? a ? 0 .

? a ? ? x1 , y 1 ?

? b ? ? x2 , y2 ?

, 则

⑵运算律(略) ⑶ 坐 标 运 算 : 设 a ? ? x, y ?
? a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .
? ?

? ? a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 .
, 则 设 a 、 都是非零向量, b a
?

?

?

? ? ? x1 , y 1 ? , ? ? x 2 , y 2 ? , b

? ? ? 是 a 与 b 的夹角,则.

5、向量共线定理: ? ? 设 a ? ? x1 , y 1 ? , b ?

? x2 , y2 ?

? ? ,其中 b ? 0

Cos ? ?

a?b a b

? x1

x1 x 2 ? y 1 y 2
2 ?

y1

2

x2

2 ?

y2

2

a , b 共线 ? b ? ? a ? x1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0

典型考例: 1. 向量 a ? (1, 2 ), b ? (1, ? 1), 则 a ? b ? ( ) A. ? 1
? ? ? ? ?

?? ?? ? ? 6、平面向量基本定理: a ? ? 1 e1 ? ? 2 e 2 .

不共线的向量 e1 、e 2 作为这一平面内所有向量 的一组基底。 7、平面向量的数量积: ⑴
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a b co s ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 1 8 0

??

?? ?

B. 3
?

C. (2,1)
?

D. (3,0)
?

2.向量 a ? (1, 3 ), b ? ( 2 , ? 2 ), 则 a ? b ? ( ) A. ( ? 1,1) B.
( ? 1, 5 )

C. (5,5)
?

D. (3,1)
?

?

? .零

3. 向量 a ? (1, 3 ), b ? ( 2 , ? 2 ), 则 a ? b 等于 ( A. 4 4. B. 3 C. ? 4 D. 4

?

?



向量与任一向量的数量积为 0 .
? ? ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则

? ? ? ? 已知向量 a ? ( 2 , 3 ), b ? ( k , ? 1), a ? b ,则

①a ? b ? a ?b ? 0 .

?

?

? ?

k=(



A.

3 2

B. ?

3

C.

2

D. ?

2

?

?2

3 2 3 ? ? ? ? ? ? 5.已知向量 a 与 b , a ? 2 , b ? 4 , a 与 b 的夹 且

A. a = a C. a (
? ?
?

B.λ( a ? b )= a ? (λ b )
?

?

?

?

?

? ? ? ? b )c =a ? c ? ?

? ? b ? c
? ?

角为 60 ,则 a ? b ? ( A. 4 B. 4 2 C.

?

?

?


4 3

D. a 与 b 共线 ? a ? b = a b D. 8 14.下列命题正确的个数是 ( ① AB ? BA ? 0 D. 密度 ③ AB ? AC ? BC A.1
?

?

)

?

6.下列各量中不是向量的是( ) A. 浮力 B. 风速 C. 位移 7.化简 ( AB ? MB ) ? BO ? OM =

? ? ② 0 ? AB ? 0 c ④ a ? b ) = a( b ? c ) ( ? ? ? ? ? ?

B.2

C.3

D.4

8.向量 a ? ( 3 ,1), b ? ( ? 2 , 5 ), 则 3 a ? 2 b ? ( ) A. ( 2 , 7 ) B.
?
(13 , ? 7 )

?

?

?

? ? ? ? 15.已知 a ? 3 , b ? 4 ,且( a +k b )⊥

C. (2,-7) D. (13,13)
?
? ?

(a

?
?

kb ) ,则 k 等于 (
4 3

?

)
3 5

9.已知向量 a 与 b , a ? 2 , b ? 1 ,且 a ? b ? 1,
? ? 则 a 与 b 的夹角为(

? ?

A. ?

B. ?

3 4

C. ?

D. ?

4 5

) C.
60
?

16. 已知点 A(-1,5)和向量 a ={2,3},若 AB =3 a , 则点 B 的坐标为 .
?

A. 30

?

B. 45

?

D. 90

?

? ? 17.若向量 a =(2, ? x)与 b =(x,

8)共线

10.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论正 确的是( ) D C A B A. AB ? CD B.
AB ? AD ? BD

且方向相反,则 x= 18
?

.
?

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若 a ? ( 2 , ? 2 ) ,则与 a 垂直的单位向量的
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坐标为__________
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C. AB ? AD ? AC

D. AD ? BC ? 0

? ? ? ? ? ? 19 向量 | a | ? 1, | b | ? 2, | a ? b | ? 2, 则 | a ? b |?
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11.下列命题正确的是( ) A.向量 AB 与 BA 是两平行向量? B.若 a、b 都是单位向量,则 a=b? C.若 AB = DC ,则 A、B、C、D 四点构成平行 四边形? D. 两向量相等的充要条件是它们的始点、 终点 相同
? 12.已知 a ?

20 . 已 知 a ? ( 3 , 2 ) , b ? ( 2 , ? 1) , 若
? a ? b与 a ? ? b 平行,则 λ=

.
? ?

课后练习:
, 1 已 知 向 量 a , b 满 足 a ? 1 ,b ? 4 且
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?

?

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? ? ? ? a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为(

) D
?
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? ? ? ? 3 ,b ? 2 3 , a ? b = ? 3, a 与 则

A

?
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B

?
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C

?
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? b 的夹角是

3 2 ? ? ? ? 2.向量 a ? (1, 3 ), b ? ( 3 , ? 1), 则 a ? b ? (

6

4



(

) A. ( ? 1,1) B.
( ? 2,4 )

A.150 ? B.120 ? C.60 ? D.30 ? 13.下列命题中,不正确的是 ( )

C. (5,5)

D. (5,1)

3. 向量 a ? ( 2 , 3 ), b ? ( 3 , ? 2 ), 则 a ? b 等于 ( ) A. 2
? ?
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?

?

?

?

11.向量 a ? ( k , 2 ), b ? ( 2, ? 2 ) 且 a // b ,则 k 的值为( ) B.
2

?

?

?

?

B. 1

C. ? 2

D. 0
0

4 已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 6 0 ,
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A.2

C.-2 D.-

2

那么 a ? 3 b ? ( A
7

?

?


10

12. 已知 a、b 均为单位向量,它们的夹角为 60° , 那么|a+ 3b| =( )
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B

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C

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13

D

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4

A. 7 B. 10
? ?

C. 13
?

D.4
?

5.已知向量 a与 b 反向, 下列等式成立的是 ) ( A. | a | ? | b |? | a ? b | C. | a | ? | b |? | a ? b | B. | a ? b |? | a ? b | D. | a | ? | b |? | a ? b |

13 . 已 知 a , b 满 足 : | a | ? 3 , | b | ? 2 ,
? ? ? ? | a ? b | ? 4 ,则 | a ? b | ? (

) D.10

6.在△ ABC 中,AB=AC,D、E 分别是 AB、AC 的 中点,则( ) B.DE 与 CB 共线? D. AD 与 BD 相等

A. 3

B. 5

C.3

A. AB 与 AC 共线 C. AD 与 AE 相等 7
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14. 已知 D、 F 分别是Δ( E、 ABC 的边 AB、 BC、 ) CA 的中点,则下列等式中不正确的是( ) A、FD ? DA ? FA C、 DE ? DA ? EC B、FD ? DE ? EF ? 0 D、 DA ? DE ? FD

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若平面向量 b 与向量 a ? ( 2 ,1) 平行,且 (
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| b | ? 2 5 ,则 b ?

)
( ? 4,? 2 ) ( 4,2 ) 或 ( ? 4 ,? 2 )

15.已知向量 OM ? ( ? 2 , 3 ) , ON ? ( ? 1, ? 5 ) ,
1 2

A C
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( 4,2 ) (6 ,? 3)

B

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MN =(


1 2 1 3 2

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D

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A. 1) ( ? (8, B.

, 4)

C.( , ? 4 ) D.( ? 1, ? )
2

8 下列命题中正确的是( ) A 若 a b=0,则 a=0 或 b=0 B 若 a b=0,则 a∥b C 若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a| D 若 a⊥b,则 a b=(a b)2
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16.已知向量 a ? ( 2 , ? 1) 与向量 b 共线,且满足
a ? b ? ? 10 则向量 b ? _________。

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9

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? ? 已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x , ? 3) ,且

17. 设 a ? ( , s in ? ) , b ? (c o s ? , ) , 且
2 3

?

3

?

1

? ? a ? b ,则 x ? (

) C
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? ? a // b ,则锐角 ? 为
1

A

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?3
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10

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3 ? ? ? ? b b 向量 a ? ( 2, 3) , ? ( ? 1, 2 ) , ma ? 与 若
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B

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?1

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D

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18.向量 a ? (1, 2 ), b ? ( x ,1), (1)当 a ? 2 b 与 2 a ? b 平行时,求 x ; (2)当 a ? 2 b 与 2 a ? b 垂直时,求 x .

? ? a ? 2 b 平行,则 m 等于(

) D
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A

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?2

B

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2

C

1
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?

1 2

2

19.已知非零向量 a , b 满足 | a ? b |? | a ? b | ,

求证: a ? b
?

20 已知 | a | ? 2 , | b |? 3 , a 与 b 的夹 角为 120 ? 。 求(1) ( 2 a ? b )( a ? 3 b ) . (2) | a ? b |
? ? ? ? ? ?

?

?

?


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