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学生 高一数学数学必修4平面向量复习题


b =0,则 1. 设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a ·
A. ?2 B. 2 ? 2

? a ? c ? ? ?b ? c ? 的最小值为
C. ?1 D. 1 ? 2

(

)

2. 已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2 ,则 | b |? ( ) A.

5

B.

10
0

C. 5

D. 25

3. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2, 0) , b ? 1 则 a ? 2b ? ( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 D.2

4. 在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点, AM=1,点 P 在 AM 上且满足学 PA ? 2PM ,则 PA ? ( PB ? PC) 等于 ( ) A. 5.

4 9

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

4 9
)

已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0 ? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为 ( A. ?

1 7

B.

1 7

C. ?

1 6

D.

1 6

6. 设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则 AD ? BE ? CF 与 BC A.反向平行 B.同向平行 ( ) C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

7. 已知 a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 c 的最大值 是 ( ) A.1 B.2 C. 2 D.

2 2


好 8. 已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么( A. AO ? OD B. AO ? 2OD C. AO ? 3OD D. 2 AO ? OD

3) , a 在 b 上的投影为 9. 设 a ? (4,

5 2 , b 在 x 轴上的投影为 2,且 | b |≤14 ,则 b 为( 2 2? ? 7?
C. ? ?2, ?



14) A. (2,

B. ? 2, ?

? ?

? ?

2? 7?

8) D. (2,

10. 设 a, b 是非零向量,若函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? (a ? xb) 的图象是一条直线,则必有( )

A. a ⊥ b

B. a ∥ b

C. | a |?| b |

D. | a |?| b |

,? 为实数. 11. 设两个向量 a ? (? ? 2,? 2 ? cos2 ? ) 和 b ? ? m 其中 ?,m 若 a ? 2b , , ? sin ? ? ,


? ?

m 2

? ?

? 的取值范围是 ( ) m
B. [4, 8] C. (-6,1] D.[-1,6] )

A.[-6,1]

12. 已知向量 a ? (1 ,n),b ? (?1,n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? ( A. 1 B. 2 C. 2 D.4

13. 如图,已知正六边形 P 1P 2P 3P 4P 5P 6, 下列向量的数量积中最大的是( A. P 1P 2 ,P 1P 3 C. P 1P 2 ,P 1P 5 )

B. P 1P 2 ,P 1P 4

PP D. P 1P 2 , 1 6
)

14. 已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |,则 ( A. a ⊥ e B. e ⊥( a - e ) C. a ⊥( a - e )

D.( a + e )⊥( a - e )

15.已知向量 OA , OB 的夹角为 的最小值为( ) A. 3 B. 2 3

π , | OA |? 4 , | OB |? 1 ,若点 M 在直线 OB 上,则 | OA ? OM | 3

C.

6

D. 2 6

16.在平行四边形 ABCD 中, AE ?

1 1 AB, AF ? AD, CE 与 BF 相交于 G 点.若 3 4

AB ? a, AD ? b, 则 AG ? (
A.

)

2 3 3 1 4 2 a? b a? b a? b C. D. 7 7 7 7 7 7 17. 设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (2,1) , a ? 2b ? (4, 5) ,则 cos ? 等于(
B. A.

2 1 a? b 7 7

)

10 10

B.

3 10 10

C.

3 5

D.

4 5

18.已知向量 a , b 的夹角为 的夹角等于( ) A.

? ,且 | a |? 2 , | b |? 1 ,则向量 a 与向量 a ? 2b 3
C.

5? 6

B.

? 2

? 3

D.

? 6

19. 已知向量 p ?

a b ,其中 a 、 b 均为非零向量,则 | p | 的取值范围是 ? |a| |b|
B. [0,1] C. (0, 2] D. [0, 2] ) D. 4 3

( )

A. [0, 2]

20. 已知单位向量 a,b 的夹角为 A. 2 3

? ,那么 a ? 2b ? ( 3

B. 7

C.2 7

21. 在△ABC 中, AR ? 2RB, CP ? 2PR, 若AP ? m AB ? n AC, 则m ? n ? ( A.



2 3

B

7 9

C.

8 9

D.1 )

22. 已知向量 a 和 b 的夹角为 120 ? , | a |? 2 ,且 (2a ? b) ? a ,则 | b |? ( A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

23. 已知向量 OA ? (0,2),OB ? (2,0), BC ? ( 2 cos? , 2 sin ? ),则OA 与OC 夹角的取值范围是 ( A. [0, )

?
4

]

B. [

? 2?
3 , 3

]

C. [

? 3?
4 , 4

]

D. [

? 5?
6 , 6

]

24. (上海)直角坐标系 xOy 中,i ,j 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量.在直角三角形 ABC 中,若 AB ? 2 i ? j , A.1

?

?

? ? AC ? 3 i ? k j ,则 k 的可能值个数是( )
B.2 C.3 D.4 )

25.若四边形 ABCD 满足 AB ? CD ? 0 , ( AB ? AD) ? AC ? 0 ,则该四边形一定是( A.直角梯形 26.已知向量m, n 的夹角为 B.菱形 C.矩形 D.正方形

? ,且| m| ? 3,| |n 2 ? ,在△ABC 中, AB ? 2m ? 2n , AC ? 2m ? 6n , 6

D 为 BC 边的中点,则 | AD |? ( ) A.2 B.4 C .6 D.8

27. 已知 | OA |? 1, | OB |? 3 , OA ? OB =0 , ?AOC ? 30 , 设 OC ? mOA ? nOB (m, n ? R) , 则

m ? ( n
A.3

) B. 3 C.

3 1 D. 3 3 28. 如图,将 45°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起, 其中 45°直角三角板的斜边与 30°直角三角板的 30°角 所对的直角边重合.若 DB ? x ? DC ? y ? DA , 则 x ,y 等于( )

A. x ? 3, y ? 1 C. x ? 2, y ? 3 二、填空题

B. x ? 1 ? 3, y ? 3 D. x ? 3, y ? 1 ? 3

b ? 2 且 a 与 b 的夹角为 1. 若向量 a , b 满足 a ? 1,
答案

? ,则 a ? b ? 3



7

2. 设向量 a ? (1 ,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线,则 ? ? 答案 2 3. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? 4 ,那么 b ? (2a ? b) 的值为 答案 0

4. 已知平面向量 a ? (2, 4) , b ? (?1, 2) .若 c ? a ? (a ? b )b ,则 | c |? _____________. 答案

8 2


5. a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ? 答案 7 6. 设向量 AB ? 2, AC ? 3, AB ? AC ? 19, 则?CAB ? _________ 答案

60 ?

7.

? 若向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? b ? 1 ,则 a ? a ? b ? _________.

?

?

答案

1 2

8. 若向量 a, b 满足 a ? 2, b ? 2, (a ? b) ? a ,则向量 a与b 的夹角等于 答案

? 4

9. O 为平面上定点,A, B, C 是平面上不共线的三若( OB ?OC )· ( OB ?OC ?2OA )=0, 则?ABC 的形 状是 . 等腰三角形

10. 不共线的向量 m1 , m2 的模都为 2,若 a ? 3m1 ? 2m2 , b ? 2m1 ? 3m2 , 则两向量 a ? b 与 a ? b 的夹角为

?

?

?

?

?

?

90°

11.定义一种运算 S ? a ? b ,在框图所表达的算法中揭示了 这种运算“ ? ”的含义.那么,按照运算“ ? ”的含义, 计算 tan15 ? tan 30 ? tan 30 ? tan15 ? __ 1 _.

12、已知向量 a ? (cos15 ,sin15 ) , b ? (? sin15 , ? cos15 ) , 则 ? a ? b ? 的值为 .

答案 1 13、已知 Rt△ABC 的斜边 BC=5, 则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于 答案 -25 14. 在直角坐标系 xOy 中, i, j 分别是与 x 轴, y 轴平行的单位向量,若直角三角形 ABC 中, .

AB ? i ? j , AC ? 2i ? m j ,则实数 m=
答案 -2 或 0 三、解答题 1、已知 | | a ? 4,|b| ? 3,(2a- 3b) ?(2a ?b) ?61 , (1)求 a ? b 的值;



(2)求 a与b 的夹角 ? ;
2 2

(3)求 的值; | a?b |

解: (1)由(2a-3b) ? (2a ? b) ? 61得4a ? 4a ? b ? 3b ? 61 又由 | | a ? 4,|b| ? 3 得 a ? 16, b ?9 代入上式得 64 ? 4a ? b ? 27 ? 61 ,∴ a ? b ? ?6 (2) cos ? ?
2 2

2? a ?b ?6 1 ? ? ? ,故 ? ? 3 2 | a || b | 4 ? 3
2 2

2 (3) | a ? b | ? a ? 2a ? b ? b ? 16 ? 2 ? (?6) ? 9 ? 13

故 | a ? b |? 13

2. (1) | a |? 3 , | b |? 4 ,且 (a ? 2b) ? (a ? 3b) ? ?93, 求向量 a 与 b 的夹角 ? a, b ? ; (2) 设向量 OA ? (?1, ?2), OB ? (1, 4), OC ? (2, ?4) , 在向量 OC 上是否存在点 P, 使得 PA ? PB , 若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由。

3. 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值;

(2)求 | b ? c | 的最大值;

(3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .

4. 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

解 (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得 sin ? ? ?

? 2 5 5 ,又 ? ? (0, ) , , cos? ? ? 2 5 5

∴ sin ? ?

2 5 5 . , cos? ? 5 5

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2



则 cos(? ? ? ) ? 1 ? sin (? ? ? ) ?
2

3 10 , 10

5. 已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (1)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (2)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ?, 求 ? 的值。 于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ? 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.
2

解 (1) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? , (2)由 | a |?| b | 知, sin
2

1 . 4

? ? (cos? ? 2sin ? )2 ? 5,

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1, 于是 sin(2? ?

?
4

)??

? ? 9? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 2

5? ? 7? ? 3? . ,或 2? ? ? .因此 ? ? ,或 ? ? 4 4 4 4 4 2 3 6、 已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1). 2
所以 2? ?

?

?

(1)当 a // b 时,求 2cos x ? sin 2 x 的值; (2)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ? ?
2

?

?

?

? ? ? , 0 上的值域. ? 2 ? ?

解(1)

a || b

,∴

3 3 cos x ? sin x ? 0 ,∴ tan x ? ? 2 2
(5 分)

2 cos2 x ? sin 2 x ?
(2)

2 cos2 x ? 2 sin x cos x 2 ? 2 tan x 20 ? ? . sin 2 x ? cos2 x 1 ? tan2 x 13

1 a ? b ? (sin x ? cos x, ) 2

f ( x ) ? ( a ? b) ? b ?

2 ? sin(2 x ? ) 2 4
3? ? ? ? 2 ? 2 x ? ? ,∴ ?1 ? sin(2 x ? ) ? 4 4 4 4 2
∴函数 f ( x)的值域为 ??

∵?

?
2

? x ? 0 ,∴ ?

∴?

2 1 ? f ( x) ? 2 2

? ?

2 1? , ? 2 2?

(10 分)

7、已知△ABC 的面积 S 满足 3 ? S ? 3 3, 且AB ? BC ? 6, AB与BC的夹角为? (1)求 ? 的取值范围; (2)求函数 f (? ) ? sin 2 ? ? 2sin ? ? cos? ? 3cos2 ? 的最大值 解 (1)由题意知 AB ? BC ?| AB | ? | BC |cos? ? 6 .

S?

1 1 1 6 | AB | | BC | sin(? ? ? ) ? | AB | ? | BC | sin ? ? ? ? 3 tan ? ; 2 2 2 cos ? 3 ? S ? 3 3,即3 ? 3tan? ? 3 3 ,

?1 ? tan ? ? 3, 又 ? ? [0, ? ]?? ? [ ? ] 4 3 2 2 2 (2) f (? ) ? sin ? ? 2sin ? cos? ? 3cos ? ? 1 ? sin 2? ?2cos ? ? 2 ? sin 2? ? cos 2?

? ?

? 2 ? 2 sin(2? ? ) 4
4 3

?

? ? ? 3? 11? ? ? [ , ],? 2? ? ? [ ? ]
4 4

8、已知向量 a ? ? sin x, cos x ? , b ?

?

12

3 cos x, cos x 且 b ? 0 ,函数 f ? x ? ? 2a ? b ? 1

?

(I)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间;

(II)若 a ? b ,分别求 tan x 及

cos 2 x 的值。 f ? x? ?1
cx o? s
2 2 x c? o s?

f ? x? ? 2 3 s ix n
(I)解;

1

cosx 2? 1 x3?s i? n 2 2 ? 2

1

?? ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?
?T ? ? 令 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ?Z

得到的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

k ?Z

a b, 则 sin x ? 3 cos x, cos x ? 0 ? tan x ? 3
(II) cos 2 x

f ? x? ?1

?

cos 2 x ? sin 2 x 1 ? tan 2 x 1? 3 1 ? ? ?? 2 4 2 3 sin x cos x ? 2 cos x 2 3 tan x ? 2 2 3 ? 3 ? 2

9、在 ?ABC 中, AB ? 1, AC ? 2, BC ? [ 3, 5] ,记 AB与AC 的夹角为 ? . (Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (? ) ? 2sin (
2

?
4

? ? ) ? 3 cos 2? 的最大值和最小值.



(1)由余弦定理知: cos ? ?

12 ? 22 ? a 2 5 ? a 2 ? ,又 a ? [ 3, 5] , 2 ?1? 2 4

所以 0 ? cos ? ?

1 ? ? (0,?) ? ? ? [ , ] 即为 ? 的取值范围; ,又 ? ? 2 3 2
2

(Ⅱ) f (? ) ? 2sin (

?

? ? ) ? 3 cos 2? ? 2sin(2? ? ) ? 1 ,因为 4 3

?

? ? ? 2? 3 ? ? ? [ , ] ? ? 2? ? , 所以 因此 f (? )max ? 3 ,f (? )min ? 3 ? 1. ? 2sin(2? ? ) ? 1 , 3 2 3 3 2 3
10 . 已 知 锐 角 △ ABC 三 个 内 角 分 别 为 A, B, C 向 量 p ? ( 2 ? 2 s i n A , co As ?

s A i与 n向 )量

q?(sin A ? c oA s ? ,1 s A是共线向量. in )
(1)求 ? A 的值; (2)求函数 y =2sin B ? cos
2

C ? 3B 的值域. 2

解: (1)∵ p , q 共线, ∴(2-2sin A)(1+sin A)=(cos A+sin A)(sin A-cos A), 3 ∴sin2A= .分 4

3 π ,∴A= . 2 3 π (π- -B)-3B 3 C - 3 B (2)y=2sin2B+cos =2sin2B+cos 2 2 π 1 3 =2sin2B+cos( -2B)=1-cos 2B+ cos 2B+ sin 2B 3 2 2 3 1 π = sin 2B- cos 2B+1=sin(2B- )+1. 2 2 6 π π π π ∵B∈(0, ),又因为 B+A> ∴ <B< 2 2 6 2 3 π π 5π ∴2B- ∈( , ). ∴y∈ ( , 2] 6 6 6 2 又△ABC 为锐角三角形∴sin A= 11. 设向量 a ? (1, cos2? ),b ? (2,1), c ? ( 4 sin ? ,1), d ? ( sin ? ,1) ,其中 ? ? (0, (1)求 a ? b ? c ? d 的取值范围; (2)若函数 f ( x) ?| x ? 1 |,比较f (a ? b)与f (c ? d ) 的大小 解 (1)∵ a ? b ? 2 ? cos 2?,c ? d ? 2sin ∴ a ? b ? c ? d ? 2cos 2? , ∵0 ?? ?
2

1 2

?
4

).

? ? 1 ? 2 ? cos 2? ,

?
4

,∴ 0 ? 2? ?

?
2

,∴ 0 ? 2 cos 2? ? 2 ,

∴ a ? b ? c ? d的取值范围是(0, 2) 。 (2)∵ f (a ? b) ?| 2 ? cos 2? ?1|?|1 ? cos 2? |? 2cos2 ? ,

f (c ? d ) ?| 2 ? cos 2? ?1|?|1 ? cos 2? |? 2sin 2 ? ,
∴ f (a ? b) ? f (c ? d ) ? 2(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 2cos 2? , ∵0 ?? ?

?
4

,∴ 0 ? 2? ?

?
2

,∴ 2 cos 2? ? 0 ,∴ f (a ? b) ? f (c ? d )


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