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高二物理带电粒子在磁场中运动的问题 临界、极值及多解等问题课件 新人教版选修3-1


(对应学生用书 P172)

带电粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动,由于多 种因素的影响,使问题形成多解.

1.带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子,可能是带正电粒子,也可 能是带负电粒子,在相同的初速度的条件下,正、负粒子在 磁场中运动轨迹不同,形成多解. 2.磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉了磁

感应强度的大小,而未具体指出磁 感应强度的方向,此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而

形成的多解.

3.临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下穿过有界磁场时,由于粒子 运动轨迹是圆弧状,因此,它可能直接穿过去,也可能转过 180°,从入射界面这边反向飞出,如图所示,于是形成了多 解.

4.运动具有周期性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时,往 往运动具有周期性,因而形成多解.

(15 分)(2012· 唐山摸底)一质量为 m、 电荷量为 q 的带负电的 粒子,从 A 点射入宽度为 d、磁感应强度为 B 的匀强磁场中, MN、PQ 为该磁场的边界线,磁感线垂直于纸面向里,如下图 所示.带电粒子射入时的初速度与 PQ 成 45° 角,且粒子恰好没 有从 MN 射出.(不计粒子所受重力) (1)求该带电粒子的初速度 v0; (2)求该带电粒子从 PQ 边界射出的出射点到 A 点的距离 x.

[思路启迪]

解答此题应注意以下几点:(1)注意入射方向

的不确定引起多解性;(2)根据题意画出带电粒子的运动轨 迹,建立半径和磁场宽度的几何关系;(3)建立洛伦兹力和圆 周运动的关系. [解题样板] 上图甲所示. (1)若初速度向右上方,设轨道半径为R1,如

则 R1=________, 可得 R1=(2+ 2)d 又 R1=________, ?2+ 2?dqB 解得 v0= m

(2 分) (1 分) (2 分) (1 分)

若初速度向左上方,设轨道半径为 R2,如上图乙所示 则 R2=________,(2 分) 可得 R2=(2- 2)d,v0=________. (1 分)

(2)若初速度向右上方,设射出点 C 到 A 点的距离为 x1 则 x1= 2R1=________ (3 分)

若初速度向左上方,设射出点 C 到 A 点的距离为 x2 则 x2= 2R2=________.
[ 答 案 ] (1)(R1 - d)/cos45° ?2- 2?dqB 2( 2+1)d 2( 2-1)d. m mv0 qB

(3 分)
(d - R2)/cos45°

L 矩形匀强磁场区域的长为 L,宽为 ,磁感应强度为 B,质 2 量为 m, 电荷量为 e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场, 欲使该电子由下方边界穿出磁场,求: (1)电子速率 v 的取值范围; (2)电子在磁场中运动时间 t 的变化范围.

[解析] (1)若电子从下边右端点 c 处穿出,如图甲所示: L2 由几何关系可知:R =L +(R- ) 2
2 2

5 可解得:R= L 4 mv 5eBL 根据半径公式 R= ,v= qB 4m

若当电子从下边左端点 d 处穿出,如图乙所示: L 由几何关系可知:R= 4 mv eBL 根据半径公式 R= ,v= qB 4m 因此,电子速率 v 的取值范围为: eBL 5eBL <v< . 4m 4m

(2)若电子从下边右端点 c 处穿出,其轨迹所对应的圆心角 为 θ,由几何关系可知: L 4 sinθ= = ,得:θ=53° R 5 θ πm 电子的运动时间:t= T=0.29 360° eB 若电子从下边左端点 d 处穿出,其轨迹为半圆,电子的运 动时间: 1 πm t= T= 2 eB

因此,电子在磁场中运动时间 t 的变化范围: πm πm 0.29 <t< . eB eB

eBL 5eBL [答案] (1) <v< 4m 4m

πm πm (2)0.29 <t< eB eB

1.有界磁场分布区域的临界问题 该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场,使

运动电荷在有限的空间内完成规定偏转程度的要求,一般求
解磁场分布区域的最小面积 ,它在实际中的应用就是磁约 束. 容易混淆点是:有界磁场的圆形区域与粒子运动径迹的 圆弧.解决的方法就是加强有界磁场圆形区域与带电粒子运

动径迹所在圆的圆心以及半径的对比.

在涉及多个物理过程问题中,依据发生的实际物理场
景,寻求不同过程中相衔接和联系的物理量,采用递推分析 或者依据发生的阶段,采用顺承的方式针对不同阶段进行分 析,依据不同的运动规律进行解决.

2.求解运动电荷初始运动条件的边界临界问题

该类问题多指运动电荷以不同的运动条件进入限定的有
界磁场区域,在有限的空间内发生磁偏转,有可能是一个相 对完整的匀速圆周运动,也有可能是圆周运动的一部分,对 于后者往往要求在指定的区域射出,但由于初速度大小以及 方向的差别,致使运动电荷在不同的位臵射出,因此也就存

在着不同情况的边界最值问题.

因外界磁场空间范围大小的限定,使运动的初始条件有
了相应的限制,表现为在指定的范围内运动.确定运动轨迹 的圆心,求解对应轨迹圆的几何半径,通过圆心角进而表述 临界最值,这应当是解决该类问题的关键.

3.找临界点的方法 以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突 破口,借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运

动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关系,找出临界点,然后利用
数学方法求解极值,常用结论如下: (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨 迹与磁场边界相切. (2)当速率v一定时,弧长(或弦长)越长,圆心角越大,则带 电粒子在有界磁场中运动的时间越长. (3)当速率v变化时,圆周角大的,对应的运动时间也越长.

(10 分)(2012· 六安期末)如右图所示,ABCD 是边长为 a 的 正方形.质量为 m、电荷量为 e 的电子以大小为 v0 的初速度沿 纸面垂直于 BC 边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有 匀强磁场.电子从 BC 边上的任意点入射,都只能从 A 点射出 磁场. 不计重力,求: (1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小; (2)此匀强磁场区域的最小面积.

[思路启迪]

根据带电粒子的电性和入射、出射方向,结

合左手定则能否判定匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大 小?由C点入射的粒子的运动轨迹,能否确定出粒子运动的上 边界?取边BC中点,画出轨迹,以D为原点、DC为x轴、DA 为y轴建立坐标系,能否写出P点的坐标,你会有什么发现?

[解题样板] 圆弧

(1)设匀强磁场的磁感应强度的大小为 B. 令

是自 C 点垂直于 BC 入射的电子在磁场中的运行轨 ①(1 分)

道.电子所受到的磁场的作用力 f=________.

应指向圆弧的圆心,因而磁场的方向应垂直于纸面向外. (1 分)

圆弧

的圆心在 CB 边或其延长线上. 依题意, 圆心在 A、

C 连 线 的 中 垂 线 上 , 故 ________ 点 即 为 圆 心 , 圆 半 径 为 v2 0 ________,按照牛顿定律有 f=m a mv0 联立得 B= . ea ②(1 分) ③(1 分)

(2)由(1)中决定的磁感应强度的方向和大小, 可知自 C 点垂 直于 BC 入射的电子在 A 点沿 DA 方向射出,且自 BC 边上其 他点垂直于 BC 入射的电子的运动轨迹只能在 BAEC 区域中. 因 而,圆弧 是所求的最小磁场区域的一个边界.(2 分)

为了决定该磁场区域的另一边界,我们来考察射中 A 点的 π 电子的速度方向与 BA 的延长线交角为 θ(不妨设 0≤θ< )的情 2 形.该电子的运动轨迹 QP 如右图所示.

图中,圆弧 圆弧

的圆心为 O,PQ 垂直于 BC 边,由③式知,

的半径仍为 a,在以 D 为原点、DC 为 x 轴、AD 为 y 轴

的坐标系中,P 点的坐标(x,y)为 x=________ y=-[a-(a-acosθ)]=-acosθ ④ ⑤

π 这意味着,在范围 0≤θ≤ 内,P 点形成以________为圆 2 心、 ________为半径的四分之一圆周 , 它是电子做________

运动和________运动的分界线,构成所求磁场区域的另一边 界. (2 分)

因此,所求的最小匀强磁场区域是分别以 B 和 D 为圆心、 a 为半径的两个四分之一圆周 1 2 1 2 π-2 2 =2( πa - a )= a. 4 2 2
[答案] (1)Bev0 B a (2)asinθ D a 直线



所围成的,其面积为 S (2 分)
圆周

确定带电粒子在有界磁场中运动的最小面积时,可将粒

子运动的边界点的运动轨迹用标准的尺规作图,然后借助数
学方法找出边界的特点,最终由几何方法求出面积.

(2012·福州模拟)如图所示,M、N为两块带等量异种电荷 的平行金属板,两板间电压可取从零到某一最大值之间的各

种数值.

静止的带电粒子带电荷量为+q,质量为m(不计重力),
从点P经电场加速后,从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区 域,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,CD为磁场 边界上的一绝缘板,它与N板的夹角为θ=45°,孔Q到板的 下端C的距离为L,当M、N两板间电压取最大值时,粒子恰垂 直打在CD板上,求: (1)两板间电压的最大值Um.

(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x.
(3)粒子在磁场中运动的最长时间tm.

[解析]

(1)M、N 两板间电压取最大值时,粒子恰垂直打

在 CD 板上,所以圆心在 C 点,如图所示,CH=QC=L 故半径 R1=L v2 1 又因 qv1B=m R1 1 2 qUm= mv1 2 qB2L2 所以 Um= . 2m

(2)设粒子在磁场中运动的轨迹与 CD 板相切于 K 点,此轨 R2 迹的半径为 R2,在△AKC 中:sin 45° = L-R2 解得 R2=( 2-1)L 即 KC 长等于 R2=( 2-1)L 所以 CD 板上可能被粒子打中的区域的长度 x=HK,即 x =R1-R2=(2- 2)L.

(3)打在 QE 间的粒子在磁场中运动的时间最长,均为半周 期 T πm 所以 tm= = . 2 Bq

qB2L2 [答案] (1) 2m

(2)(2- 2)L

πm (3) Bq

(对应学生用书P173)

物理思想方法——处理带电粒子在磁场中运动的临界极值
思维方法 物理系统由于某些原因而要发生突变时所处的状态,叫 做临界状态.突变过程是从量变到质变的过程,在临界状态 的前后,系统服从不同的物理规律,按不同的规律变化.

如光学中的“临界角”、超导现象中的“临界温度”、
核反应中的“临界体积”、光电效应中的极限频率、静摩擦 现象中的最大静摩擦力等,在中学物理中像这样的明确地指 出的临界条件是容易理解和掌握的,但在高考试题中涉及的 物理过程中常常是隐含着一个或几个临界状态,需要考生通 过分析思考,运用所学的知识和已有的能力去分析临界条 件,挖掘出临界值,这对大多数考生来说是比较困难的.而

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题是历年高考理科综合
命题中的热点.本节将结合这一问题,探讨一下如何确定它 们的临界条件?其中主要的有以下几种方法.

1.对称思想
带电粒子垂直射入磁场后,将做匀速圆周运动.分析粒 子运动,会发现它们具有对称的特点,即:粒子的运动轨迹 关于入射点P与出射点Q的中垂线对称,轨迹圆心O位于对称 线上,入射速度、出射速度与PQ线间的夹角(也称为弦切角) 相等,并有φ=α=2θ=ω·t,如图所示.

应用这一粒子运动中的“对称性”不仅可以轻松地画出
粒子在磁场中的运动轨迹,对于某些临界问题的求解也非常 便捷.

如图所示,在 x 轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强 度为 B 的匀强磁场, 一个不计重力的带电粒子从坐标原点 O 处 以速度 v 进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且 与 x 轴正方向成 120° 角,若粒子穿过 y 轴正半轴后在磁场中到 x 轴的最大距离为 a, 则该粒子的比荷和所带电荷的正负分别是 ( )

3v A. ,正电荷 2aB 3v C. ,负电荷 2aB

v B. ,正电荷 2aB v D. ,负电荷 2aB

[尝试解答] 粒子穿过 y 轴正半轴,由左手定则可判断粒 子带负电.根据带电粒子在有界磁场中运动的对称性作出粒子 在磁场中运动轨迹如图所示,由图中几何关系可得: 2 r+rsin30° =a,解得 r= a. 3 mv q 3v 由 r= 得: = . qB m 2aB

[答案] C

2.放缩法
带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时,它们 将在磁场中做匀速圆周运动,其轨迹半径随速度的变化而变 化,如图所示(图中只画出粒子带正电的情景),速度v0越大, 运动半径也越大.可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁 场后,它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP′上.

由此我们可得到一种确定临界条件的方法:在确定这类
粒子运动的临界条件时,可以以入射点P为定点,圆心位于 PP′直线上,将半径放缩作轨迹,从而探索出临界条件,使 问题迎刃而解,这种方法称为“放缩法”.

如图所示,宽度为 d 的匀强有界磁场,磁感应强度为 B, MM′和 NN′是磁场左右的两条边界线. 现有一质量为 m,电 荷量为 q 的带电粒子沿图示方向垂直射入磁场中,θ=45° .要使 粒子不能从右边界 NN′射出,求粒子入射速率的最大值为多 少?

[尝试解答]

用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如图所

示,当其运动轨迹与 NN′边界线相切于 P 点时,这就是具有 最大入射速率 vmax 的粒子的轨迹.由题图可知: v2 max R(1-cos45° )=d,又 Bqvmax=m .联立可得:vmax = R ?2+ 2?Bqd . m
?2+ 2?Bqd [答案] m

3.平移法
带电粒子以一定速度沿任意方向射入匀强磁场时,它们 将在磁场中做匀速圆周运动,其轨迹半径相同,若射入初速 度为v0,则圆周运动半径为R=mv0/(qB),如图所示.同时可 发现这样的粒子源的粒子射入磁场后,粒子在磁场中做匀速 圆周运动,圆心在以入射点P为圆心、半径R=mv0/(qB)的圆( 这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上.

由此我们也可以得到一种确定临界条件的方法:确定这
类粒子在有界磁场中运动的临界条件时,可以将一半径为R= mv0/(qB)的圆沿着“轨迹圆心圆”平移,从而探索出临界条 件,这种方法称为“平移法”.

如图所示,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面 向里, 磁感应强度的大小 B=0.60 T, 磁场内有一块平面感光板 ab,板面与磁场方向平行,在距 ab 的距离 l=16 cm 处,有一 个点状的 α 放射源 S,它向各个方向发射 α 粒子,α 粒子的速 率都是 v=3.0×106 m/s.

q 已知 α 粒子的电荷量与质量之比 =5.0×107 C/kg,现只 m 考虑在图纸平面中运动的 α 粒子,求 ab 上被 α 粒子打中的区 域的长度.

[尝试解答]

α 粒子从 S 点垂直磁场以一定大小的速度朝

各个方向射入,在磁场中均沿逆时针方向做匀速圆周运动,可 v2 v 求出它们的运动轨迹半径 R,由 qvB=m ,得 R= ,代 R ?q/m?B 入数值得 R=10 cm,可见 2R>l>R.

由于朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S,可先考查
速度沿负y方向的α粒子,其轨迹圆心在x轴上的A1点,将α粒 子运动轨迹的圆心A1点开始,沿着“轨迹圆心圆”逆时针方 向移动,如图所示.

由图可知,当轨迹圆的圆心移至 A3 点时,粒子运动轨迹与 ab 相交处 P2 到 S 的距离为 2R,P2 即为粒子打中 ab 上区域的 右边最远点,由题中几何关系得:NP2= ?2R?2-l2.

当 α 粒子的轨迹的圆心由 A3 点移至 A4 点的过程中,粒子 运动轨迹均会与 ab 相交,当移动 A4 点后将不再与 ab 相交了, 这说明圆心位于 A4 点的轨迹圆,与 ab 相切的 P1 点为粒子打中 区域的左边最远点.可过 A4 点作平行于 ab 的直线 cd,再过 A4 作 ab 的垂线,它与 ab 的交点即为 P1,同样由几何关系可知: NP1= R2-?l-R?2. 则所求长度为 P1P2=NP1+NP2, 代入数值得 P1P2=20 cm.
[答案] 20 cm

在 xOy 平面内有许多电子(质量为 m、 电荷量为 e), 从坐标 原点 O 不断地以相同的速率 v0 沿不同方向射入第一象限, 如图 所示.现加一个垂直于 xOy 平面向里,磁感应强度为 B 的匀强 磁场,要求这些电子穿过磁场区域后都能平行于 x 轴并指向 x 轴正方向运动.求符合该条件磁场的最小面积.

[尝试解答]

本题关键是作好图,由题意可知,电子是以

一定速度从原点 O 沿任意方向射入第一象限的,故而可以应用 “平移法”,先考查速度沿+y 方向的电子,其运动轨迹的圆 mv0 心在 x 轴上的 A1 点,半径为 R= 的圆.该电子沿圆弧 Be 运

动至 P 点时即朝 x 轴的正方向,可见这段圆弧就是符合条件的 磁场上边界.

如果将电子运动轨迹的圆心由 A1 点开始, 沿着“轨迹圆心 圆”顺时针方向移动,如图中 A2、A3、A4.这些轨迹圆最高点的 切线方向均平行于 x 轴并指向 x 轴正方向.因此,将“轨迹圆 心圆”在第四象限的那一段向上圆弧 平移至 OP 两点,

即为符合条件的磁场下边界.上、下边界就构成一个叶片形磁 场区域,如图中的右下角图,则符合条件的磁场最小面积为扇 形面积减去等腰直角三角形面积的 2 倍.

1 2 1 2 π-2 mv0 2 Smin=2×( πR - R )= ( ). 4 2 2 eB π-2 mv0 2 [答案] ( ) 2 eB

(对应学生用书P175) 1.如图所示,圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场,三个质 量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c,以不同的速率对准圆

心O沿着AO方向射入磁场,其运动轨迹如图所示,若带电粒
子只受磁场力的作用,则下列说法正确的是 ( )

A.a粒子动能最大
B.c粒子速率最大 C.c粒子在磁场中运动时间最长 D.它们做圆周运动的周期Ta<Tb<Tc [解析] a半径最小,所对应圆心角最大. [答案] B

2.如下图所示,边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里
的匀强磁场,边界OA上有一粒子源S.某一时刻,从S平行于纸 面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力 及粒子间的相互作用),所有粒子的初速度大小相同,经过一 段时间有大量粒子从边界OC射出磁场.

已知∠AOC=60°,从边界OC射出的粒子在磁场中运动
的最长时间等于T/2(T为粒子在磁场中运动的周期),则从边界 OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为 ( )

T A. 3 T C. 6

T B. 4 T D. 8

[解析]粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动,由于所有 粒子的速度大小相同,故弧长越小,粒子在磁场中运动的时间 T 就越短,由于粒子在磁场中运动的最大时间为 ,沿 SA 方向射 2 出的粒子在磁场中运动时间最长,如右图所示作出粒子运动轨 迹图,

由几何关系可知当粒子在磁场中做圆周运动绕过的弧所对 应的弦垂直边界 OC 时,在磁场中运动时间最短,SD⊥OC,则 1 SD= ES,即弦 SD 等于半径,相应∠DO′S=60° ,即最短时 2 60° T 间为 t= T= ,所以 A、B、C 正确. 360° 6
[答案] ABC

3.如右图所示,垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形
abcd区域内,O点是cd边的中点.一个带正电的粒子仅在磁场 力的作用下,从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形 内,经过时间t0刚好从c点射出磁场.现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od成30°的方向,以大小不同的速率射入正方 形内,那么下列说法中正确的是 ( )

A.若该带电粒子从 ab 边射出,它经历的时间可能为 t0 5 B.若该带电粒子从 bc 边射出,它经历的时间可能为 t0 3 5 C.若该带电粒子从 cd 边射出,它经历的时间为 t0 3 t0 D.若该带电粒子从 ad 边射出,它经历的时间可能为 3

[解析]作出从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹
②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④.由带正 电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内,经 过时间t0刚好从c点射出磁场可知,带电粒子在磁场中做圆周 运动的周期是2t0.

5t0 如图可知,从 ab 边射出经历的时间一定不大于 ;从 bc 6 4t0 边射出经历的时间一定不大于 ; cd 边射出经历的时间一定 从 3 5t0 t0 是 ;从 ad 边射出经历的时间一定不大于 .所以选择 C 正确. 3 3

[答案] C

4.如右图所示,半径为r=0.1 m的圆形匀强磁场区域边界
跟y轴相切于坐标原点O,磁感应强度B=0.332 T,方向垂直 纸面向里.在O处有一放射源,可沿纸面向各个方向射出速率 均为v=3.2×106 m/s的α粒子.已知α粒子质量m=6.64×10-
27kg,电荷量q=3.2×10-19C,不计α粒子的重力.求α粒子在

磁场中运动的最长时间.

v2 [解析] 由 qvB=m 得 R mv R= =0.2 m>r=0.1 m qB 因此要使 α 粒子在磁场中运动的时间最长,则需要 α 粒子 在磁场中运动的圆弧所对应的弦长最长,从图中可以看出,沿 以直径 OA 为弦、R 为半径的圆弧做圆周运动时,α 粒子在磁 场中运动的时间最长.

2πm 2θ r 由 T= ,运动时间 tm= T,又 sinθ= =0.5,得 tm qB 2π R T πm - = = ,代入数据,解得 tm=6.5×10 8 s. 6 3qB

[答案] 6.5×10-8 s


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