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正弦定理、余弦定理综合练习题


正弦定理、余弦定理习题课(2) 知识点:
1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? ,b ? 2 R sin ? ,c ? 2 R sin C ; a b c ② s

in ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S ???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
为 ??? C 的外接圆的半径,则有

2 bcco s ? 4 、 余 弦 定 理 : 在 ??? C 中 , 有 a2 ? b2 ? c2 ? , b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ? , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 5、余弦定理的推论: cos ? ? , cos ? ? , 2bc 2ac cos C ? a 2 ? b2 ? c 2 . 2ab

C 的对边, b、 6、 设a、 则: ①若 a 2 ? b2 ? c2 , c 是 ??? C 的角 ? 、 ?、

则 C ? 90 ; ②若 a 2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90 ;③若 a 2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90 .

典型综合练习: 1、(09 广东)已知△ABC 中, ?A,?B,?C 的对边分别为 a,b,c. 若 a ? c ? 6 ? 2 ,且 ?A=75 ,则 b= A.2 B. 4+2 3 C. 4-2 3 D. 6- 2 AC 2、 ( 09 湖南)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A 则 的值等 cos A 于 , AC 的取值范围为 。

3、 (09 北京)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ?

?
3



4 cos A ? , b ? 3 . w.w.w.k.s.5.u.c.o. 5 (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 4、 (08 辽宁) 在 ?ABC 中, 内角 A, B,C 对边的边长分别是 a,b,c,

已知 c=2,C=

? . 3

(Ⅰ)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a,b; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积. 5、 (09 浙江)在 c,且满足 cos
AB

ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、

A 2 5 = , 2 5

AC =3.

(Ⅰ)求 ABC 的面积;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值。 6、 ( 09 天 津 ) 在 ⊿ ABC 中 , BC= 5 , AC=3 , sinC=2sinA w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (I) 求 AB 的值:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?? ? (II) 求 sin ? 2 A ? ? 的值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4? ?

2 的答案 2、 ( 2, 3) 3 解: (Ⅰ) ∵A、 B、 C 为△ABC 的内角, 且B ? ∴C ? ∴
2? 3 ? A,sin A ? , 3 5

?
3

, cos A ?

4 , 5

3 1 3? 4 3 ? 2? ? . sin C ? sin ? ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 ? 3 ? 2
( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 s iA n? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又∵ B ? 得 ∴a ? ∴
b sin A 6 ? . sin B 5 △ ABC

3 5

3 ? , Cs ?i n

4 3 , 1 0

?
3

, b ? 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,







1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 S ? ab sin C ? ? ? 3 ? ? . 2 2 5 10 50

4 解析: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a 2 ? b2 ? ab ? 4 ,
1 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ab ? 4 , ?
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

当 cos A ? 0 时, A ?

? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
所以 △ ABC 的面积 S ? 5 解析: (I) 因为 cos
1 2 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ab sin C ? 2 3

A 3 4 A 2 5 ? cos A ? 2 cos 2 ? 1 ? ,sin A ? , , ? 2 5 5 2 5

又 由 A B ?

c o ? sA A ? 3C , 得 b c

? bc,? 5 , 3

1 ? S?ABC ? bc sin A ? 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2

(II)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 ,由余弦
22 ? c b o c s 定 理 得 a 2 ? b2 ? c ? A 2?0 , a?2 5

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6 解: (Ⅰ)在△ABC 中,根据正弦定理, 于是 AB=
sinC BC ? 2BC ? 2 5 sin A AB BC ? sinC sin A

(Ⅱ) 在△ABC 中, 根据余弦定理, 得 cosA= 于是 sinA= 1 ? cos2 A ?

AB2 ? AC2 ? BD2 2 5 ? 2 AB ? AC 5

5 5 4 3 从而 sin2A=2sinAcosA= ,cos2A=cos2A-sin2A= 5 5

所以

sin(2A-

? ? ? 2 )=sin2Acos -cos2Asin = 4 4 4 10


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