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福建省泉州市五校2015届高三数学上学期摸底联考试题 理


福建省泉州五校 2015 届高三上学期摸底联考数学理试卷
第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出分四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
? ? 2 1. 已知集合 A ? {cos 0 ,sin 270 }, B ? {x | x ? x ? 0} 则 A ? B 为(
<

br />) D. {0} )

A. {0, ?1}
2

B. {?1,1}
2

C. {?1}

2.如果复数 z ? a ? a ? 2 ? (a ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为( A.-2 B.1 C .2 D.1 或 -2 )

3. 在 ?ABC 中,若 B ? 60?, AB ? 2,AC ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积(

A 、 3

B、 2 3

2 3 C、 3

x

4 3 D、 3
2

4.下列命题中,真命题是( A.

?x0 ? R, e x0 ? 0

B. ?x ? R,2 ? x

x?
C.

1 ?2 x

a 2 ? b2 ?
D.

( a ? b) 2 , a, b ? R 2


5. 函数

y ? log a (| x | ?1), (a ? 1) 的大致图像是(

A B C D 6.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了右边一 组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地 表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ( )

x y

1.99 1.5

3 4.04

4 7.5

5.1 12

6.12 18.01

y ? 2x ? 2

y?
B.

1 2 ( x ? 1) 2

C.

y ? log 2 x

1 y ? ( )x 2 D.


7.若 l 、m 、n 是互不相同的空间直线,? 、 ? 是不重合的平面,则下列结论正确的是( A. ? // ? , l ? ? , n ? ? ? l // n B. ? ? ? , l ? ? ? l ? ?

-1-

C. l ? n, m ? n ? l // m

D. l ? ? , l // ? ? ? ? ?

8. 如图过拋物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A,B,C,若|BC|= 2|BF|,且|AF|=3,则拋物线的方程为( )

3 x 2 y ? 2 A. 9 x C. y ? 2
2

B

y 2 ? 3x

D. y ? 9 x
2

9. 设 f 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕ 方程式 相异实根的个数 1 3 3 1 1 )

f ? x ? ? 20 ? 0
f ? x ? ? 10 ? 0 f ? x? ? 0

f ? x ? ? 10 ? 0 f ? x ? ? 20 ? 0

关于 f 的极小值 ? ﹐试问下列哪一个选项是正确的( A. ?20 ? ? ? ?10 B. ?10 ? ? ? 0 C. 0 ? ? ? 10

D. 10 ? ? ? 20 ﹒

10. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线 段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点 O 为中心 ﹐其中 x ﹐

? ? y


分别为原点 O 到两个顶点的向量﹒若将原点 O 到正

六角星 12 个顶点的向量﹐都写成为 a x ? b y 的形式﹐则 a ? b 的最 大值为( A. 2 B. 3

? ?

C. 4

D. 5

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置。 某三棱锥的三视图如图所示, 该三棱锥的 体积是 .
-2-

已知两个单位向量 a , b 的夹角为 30°, c ? t a ? b , d ? a ? t b . 若 c ? d ? 0 ,则正实数 t =____________ x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 13. 若变量 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, 则 a-b 的值是____________ 14、函数

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

且 z=5y-x 的最大值为 a,最小值为 b,

y ? log a ( x ? 3) ? 1 (a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx+ny+2=0

1 2 ? 上,其中 mn ? 0 ,则 m n 的最小值为

x2 y 2 - 2 =1 2 b 15、2008 年高考福建省理科数学第 11 题是: “双曲线 a ( a ? 0,b ? 0 )的两个焦
点为

F1 、 F2 ,若 P 为其上一点,且 | PF1 |? 2 | PF2 | ,则双曲线离心率的取值范围为:A. (1, | PF1 |? 2 | PF2 | ”

3) ; B. (1, 3]; C. (3, +∞) ; D. [3, +∞) ” 其正确选项是 B。 若将其中的条件 “ 更换为“

| PF1 |? k | PF2 | , k ? 0 且 k ? 1 ” ,试经过合情推理,得出双曲线离心率的取值范围

是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤。 ) 16.(本小题满分 13 分)已知向量 m ? (2 cos x, sin x) , n ? (cos x,2 3 cos x) 函数 f ( x) ? m ? n ? 1 . (1)求函数

? x ? R ? ,设

f ? x?

的单调增区间;

(2)已知锐角 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C, 若 f ( A) ? 2 , 边 BC . 17. (本小题满分 13 分) 已知等差数列

B?

?
4 ,边 AB ? 3 ,求

{an } 的各项均为正数,a1 ? 3, a3 ? 7 , S 其前 n 项和为 n ,

{bn } 为等比数列, b1 ? 2 ,且 b2 S 2 ? 32, .

-3-

1 1 1 3 ? ?? ? ? a b (Ⅱ)证明 s1 s2 sn 4 . (Ⅰ)求 n 与 n ;
(本小题满分 13 分) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AA1C1C 是 边 长 为 4 的 正 方 形 , 平 面 ABC ? 平 面

AA1C1C , AB ? 3, BC ? 5 .
(1)求证: AA1 ? 平面 ABC ; (2)求二面角 A1 ? BC1 ? B1 的余弦值; (3)证明:在线段 BC1 上存在点 D ,使得 AD ? A1 B ,

A1 B1 C1 A B C

BD BC1 的值。 并求

x2 y 2 2 ? 2 ?1 2 b 19.(本小题满分 13 分)设椭圆 E: a (a,b>0) ,短轴长为 4,离心率为 2 ,O 为
坐标原点, (I)求椭圆 E 的方程; ( II )是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且

??? ? ??? ? OA ? OB ?若存在,求出该圆的方程,若不存在说明理由。
20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ? R ) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,且对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立, 求实数 b 的取值范围;

y 1 ? ln y 与 (Ⅲ)当 0 ? x ? y ? e 且 x ? e 时,试比较 x 1 ? ln x 的大小.
2

21. 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分,如 果多做,则按所做的前两题计分,做答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑,并将所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 二阶矩阵 M 对应的变换 T 将点(2,-2)与(-4,2)分别变换成点(-2,-2)与(0,-4). ①求矩阵 M;
-4-

②设直线 l 在变换 T 作用下得到了直线 m:x-y=6,求 l 的方程. (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的非负半轴重合.若曲线 C1 的方

程为

? sin(? ? ) ? 2 3 ? 0

? 6

? x ? cos ? , ? y ? sin ? . ,曲线 C2 的参数方程为 ?

(Ⅰ) 将 C1 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若点 Q 为 C2 上的动点, P 为 C1 上的动点,求 (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=| x+3|-|x-2|. ①求不等式 f(x)≥3 的解集; ②若 f(x) ≥ |a-4|有解,求 a 的取值范围. 2014 年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中高中毕业班摸底统一考试 答题卡 一、选择题(本大题共 10 小题,共 50 分。 ) 题号 答案 二、填空题(本大题共 5 小题,共 20 分。 ) 11、 12、 13、 14、 15、 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤。 ) 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

PQ

的最小值.

-5-

17.

A1 B1
18.

C1 A B C

-6-

19.

20.

21.

-7-

2014 年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中高中毕业班摸底统一考试 答案 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出分四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
? ? 2 1. 已知集合 A ? {cos 0 ,sin 270 }, B ? {x | x ? x ? 0} 则 A ? B 为(

) D. {0}

A. {0, ?1}

B. {?1,1}

C. {?1}

解析:∵ A ? {1, ?1}, B ? {0, ?1} ∴ A ? B = {?1} ,选 C. 2.如果复数 z ? a ? a ? 2 ? (a ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为(
2 2



-8-

A.-2 B.1

C .2

D.1 或 -2

2 ? ?a ? a ? 2 ? 0 ? 2 ?a ? 3a ? 2 ? 0 解析: ?

即 a ? ?2 ,故选择答案 A )

3. 在 ?ABC 中,若 B ? 60?, AB ? 2,AC ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积(

A 、 3

B、 2 3

2 3 C、 3

4 3 D、 3

解析:改编自 2014 福建理科高考 12 题,考查三角形的解法和面积公式,答案 C 4.下列命题中,真命题是( ) A.

?x0 ? R, e x0 ? 0

B. ?x ? R,2 ? x
x

2

x?
C.

1 ?2 x

a 2 ? b2 ?
D.

( a ? b) 2 , a, b ? R 2

解析:答案为 D 5. 函数

y ? log a (| x | ?1), (a ? 1) 的大致图像是(



A B C D 解析:该函数为偶函数,答案为 B 6.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了右边一 组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地 表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ( )

x y

1.99 1.5

3 4.04

4 7.5

5.1 12

6.12 18.01

y ? 2x ? 2

y?
B.

1 2 ( x ? 1) 2

y ? log 2 x C.

1 y ? ( )x 2 D.

解析:由该表提供的信息知,该模拟函数在 (0, ??) 应为增函数,故排除 D,将 x ? 3 、4?代入 选项 A、B、C 易得 B 最接近,故答案应选 B. 7.若 l 、m 、n 是互不相同的空间直线,? 、 ? 是不重合的平面,则下列结论正确的是( A. ? // ? , l ? ? , n ? ? ? l // n C. l ? n, m ? n ? l // m B. ? ? ? , l ? ? ? l ? ? D. l ? ? , l // ? ? ? ? ?
-9-



解析:对于 A,l // n 或 l , n 异面,所以错误;对于 B,l 与 ? 可能相交可能平行,所以错误; 对于 C, l 与 m 还可能异面或相交,所以错误.故答案应选 D 8. 如图过拋物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A,B,C,若|BC|= 2|BF|,且|AF|=3,则拋物线的方程为( )

3 x A. y ? 2
2

B

y 2 ? 3x

9 x C. y ? 2
2

D. y ? 9 x
2

【答案】B 解析:如图分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D,

设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°, 在直角三角形 ACE 中,∵|AF|=3,|AC|=3+3a,∴2|AE|=|AC|

1 2 3 ? p 3 ∴3+3a=6,从而得 a=1,∵BD∥FG,∴ ,求得 p= 2 ,因此抛物线方程为 y2=3x.
9. 设 f 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕ 方程式 相异实根的个数 1 3 3 1 1

f ? x ? ? 20 ? 0
f ? x ? ? 10 ? 0 f ? x? ? 0

f ? x ? ? 10 ? 0 f ? x ? ? 20 ? 0

- 10 -

关于 f 的极小值 ? ﹐试问下列哪一个选项是正确的( A. ?20 ? ? ? ?10 解析﹕ B. ?10 ? ? ? 0 C. 0 ? ? ? 10



D. 10 ? ? ? 20 ﹒

「方程式 f ( x) ? k ? 0 ? f ( x) ? k 的相异实根数」等于「函数 y ? f ( x) 与水平线 y ? k 两图 形的交点数﹒」 依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕ (1) 当 f ( x) 的最高次项系数为正时﹕ (2) 当 f ( x) 的最高次项系数为负时﹕

因极小值点 A 位于水平线 y ? 0 与 y ? ?10 之间﹐所以其 y 坐标 ? (即极小值) 的范围为

?10 ? ? ? 0 ﹒ 故选(B)﹒
10. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线 段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点 O 为中心 ﹐其中 x ﹐

? ? y


分别为原点 O 到两个顶点的向量﹒若将原点 O 到正

六角星 12 个顶点的向量﹐都写成为 a x ? b y 的形式﹐则 a ? b 的最 大值为( A. 2 B. 3

? ?

C. 4

D. 5

解析﹕因为想求 a ? b 的最大值﹐所以考虑图中的 6 个顶点之向量即可﹒讨论如下﹕

? a, b ? ? ?1, 0 ? ﹒ (1) 因为 OA ? x ﹐所以
(2) 因为 (3) 因为

(4) 因为 所以

? ? ? ? ? ? ? ? a, b? ? ?3,1? OB ? OF ? FB ? y ? 3 x ? ? ? ? ? ? a, b? ? ? 2,1? OC ? OF ? FC ? y ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? OD ? OF ? FE ? ED ? y ? x ? OC ? y ? x ? ? y ? 2 x ? ? 2 y ? 3 x
﹐所以 ﹒ ﹐所以 ﹒

?

?



? a, b ? ? ? 3, 2 ? ﹒
- 11 -

? a, b ? ? ?1,1? ﹒ (5)因为 OE ? OF ? FE ? y ? x ﹐所以
(6)因为 OF ? y ﹐所以 ﹒ 因此﹐ a ? b 的最大值为 3 ? 2 ? 5 ﹒故选 D﹒

? ? ? ?? ? ? ? a, b? ? ?0,1?

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置。 11.某三棱锥的三视图如图所示, 该三棱锥的体积是 .

1 ? 4?3 ? 6 解析:由俯视图与侧视图可知三棱锥的底面积为 2 ,由侧视图可知棱锥的高为 2, 1 ? 6? 2 ? 4 所以棱锥的体积为 3 ,

已知两个单位向量 a , b 的夹角为 30°, c ? t a ? b , d ? a ? t b . 若 c ? d ? 0 ,则正实数 t =____________ 解析:t=1 x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 13.若变量 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0,

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

且 z=5y-x 的最大值为 a,最小值为 b,

a-b 的值是____________ 解析:本题主要考查线性规划的应用,意在考查考生对基础知识的掌握.约束条件 x+y≤8, ? ?2y-x≤4, ?x≥0, ? ?y≥0

表示以(0,0),(0,2),(4,4),(8,0)为顶点的四边形区域,

检验四个顶点的坐标可知, 当 x=4, y=4 时, a=zmax=5×4-4=16; 当 x=8,y=0 时,b=zmin=5×0-8=-8,∴a-b=24. 14、函数

y ? log a ( x ? 3) ? 1 (a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若

1 2 ? 点 A 在直线 mx+ny+2=0 上,其中 mn ? 0 ,则 m n 的最小值为

- 12 -

2007 山东卷改编答案:4

x2 y 2 - 2 =1 2 b 15、2008 年高考福建省理科数学第 11 题是: “双曲线 a ( a ? 0,b ? 0 )的两个焦
点为

F1 、 F2 ,若 P 为其上一点,且 | PF1 |? 2 | PF2 | ,则双曲线离心率的取值范围为:A. (1, | PF1 |? 2 | PF2 | ”

3) ; B. (1, 3]; C. (3, +∞) ; D. [3, +∞) ” 其正确选项是 B。 若将其中的条件 “ 更换为“ 是

| PF1 |? k | PF2 | , k ? 0 且 k ? 1 ” ,试经过合情推理,得出双曲线离心率的取值范围
k ?1 ] | k ? 1|

(1,
答案:

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤。 ) 16.(本小题满分 13 分)已知向量 m ? (2 cos x, sin x) , n ? (cos x,2 3 cos x) 函数 f ( x) ? m ? n ? 1 . (1)求函数

? x ? R ? ,设

f ? x?

的单调增区间;

(2)已知锐角 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C, 若 f ( A) ? 2 , 边 BC . 解: (1) f ( x) ? m ? n ? 1

B?

?
4 ,边 AB ? 3 ,求

? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x .
? 2 sin( 2 x ?

?
6

)
??????????4 分



x ? R,由
?

?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k?


?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? (k ? Z )
??? 6 分

∴函数

f ? x?

? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) ? 6 ? 的单调增区间为. ? 3

????????7 分

- 13 -

(2)∵ f ( A) ? 2 ,即

2 sin( 2 A ?

?
6

)?2

,∵角 A 为锐角,得

A?

?
6 , ??? 9 分

B?


?
4 ,∴

C?

7? ? ? 7 sin C ? sin ? sin( ? ) ? ? 12 4 3 12 ,∴

6? 2 4

∵ AB ? 3 ,由正弦定理得

BC ?

AB sin A 3( 6 ? 2) ? sin C 2

??? 13 分

本题由练习改编,考查向量的坐标运算,三角恒等变换,及正弦定理的应用。 17. (本小题满分 13 分) 已知等差数列

{an } 的各项均为正数,a1 ? 3, a3 ? 7 , S 其前 n 项和为 n ,

{bn } 为等比数列, b1 ? 2 ,且 b2 S 2 ? 32, .
(Ⅰ)求

an 与 bn ;

1 1 1 3 ? ?? ? ? s s2 sn 4 . (Ⅱ)证明 1
解: (1)设

?an } 的公差为 d ,且 d ? 0; ?bn } 的公比为 q

? an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? 2q n ?1 ? a3 ? 3 ? 2d ? 7 S 2b2 ? (6 ? d ) ? 2q ? 32 ?d ? 2 ?? ?q ? 2
? an ? 2n ? 1, bn ? 2n
(2) ???????7 分

S n ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ,???9 分

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ??? S S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2) ∴ 1
? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2

2n ? 3 3 1 1 1 1 ? 3? ? (1 ? ? ? ) 4 2(n ? 1)(n ? 2) 4 ???????13 分 2 2 n ?1 n ? 2

(本小题满分 13 分) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AA1C1C 是 边 长 为 4 的 正 方 形 , 平 面 ABC ? 平 面
- 14 -

AA1C1C , AB ? 3, BC ? 5 .
(1)求证: AA1 ? 平面 ABC ; (2)求二面角 A1 ? BC1 ? B1 的余弦值;

A1 B1 C1 A B

BD BC1 的值。 (3)证明:在线段 BC1 上存在点 D ,使得 AD ? A1 B ,并求

C
解: (I)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1 ⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC, 所以 AA1⊥平面 ABC.??? 3 分 (II)由(I)知 AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 AB⊥AC.

如图,以

A 为原点建立空间直角坐标系 A- xyz ,则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),

???? ? ? n ? A1 B ? 0 ?3 y ? 4 z ? 0 ? ????? ? 4x ? 0 , ?n ? A1C1 ? 0 ,即 ? 设平面 A1BC1 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则 ?
令 z ? 3 ,则 x ? 0 , y ? 4 ,所以 n = (0, 4,3) .??? 6 分

同理可得,平面 BB1C1 的法向量为 m = (3, 4, 0) ,所以

cos n,m ?

n?m 16 ? | n || m | 25 . 由题知二

16 面角 A1-BC1-B1 为锐角,所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为 25 .??? 8 分 ??? ? ???? ? BD ? ? BC ( x , y , z ) 1 . 所以 ( x, y ? 3, z ) ? ? (4, ?3, 4) . 解得 (III) 设 D 是直线 BC1 上一点,且

x ? 4? , y ? 3 ? 3? , z ? 4? .
???? 所以 AD ? (4? ,3 ? 3? , 4? ) .



???? ???? AD· A1 B ? 0

,即 9 ? 25? ? 0 .解得

??

9 25 .??? 11 分

9 ? [0,1] 因为 25 ,所以在线段 BC1 上存在点 D,
使得 AD⊥A1B.

BD 9 ?? ? BC1 25 .??? 13 分 此时,
- 15 -

x2 y 2 2 ? 2 ?1 2 b 19.(本小题满分 13 分)设椭圆 E: a (a,b>0) ,短轴长为 4,离心率为 2 ,O 为
坐标原点, (I)求椭圆 E 的方程; ( II )是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且

??? ? ??? ? OA ? OB ?若存在,求出该圆的方程,若不存在说明理由。
x2 y 2 2 ? 2 ?1 2 b 解:(1)因为椭圆 E: a (a,b>0),b=2, e= 2

?a 2 ? 8 x2 y 2 ? 2 ? ?1 b ?4 4 所以解得所以 ? 椭圆 E 的方程为 8 ??? 5 分
( 2 )假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且

? y ? kx ? m ? 2 ?x y2 ??? ? ??? ? ? ?1 2 2 ? 4 OA ? OB ,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m 解方程组 ? 8 得 x ? 2(kx ? m) ? 8 ,即

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 ,
2 2 2 2

??? 7 分
2 2

2 2 则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
2 2

,

k 2 (2m 2 ? 8) 4k 2 m 2 m 2 ? 8k 2 2 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? ? ?m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2m 2 ? 8 m 2 ? 8k 2 ??? ? ??? ? x x ? y1 y2 ? 0 ,即 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 0 ,所以 3m 2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,所以 要使 OA ? OB ,需使 1 2 3m 2 ? 8 k ? ?0 2 2 8 又 8k ? m ? 4 ? 0 , 所 以
2

? m2 ? 2 2 6 8 ? 2 m? m2 ? 3 m ? 8 ? 3 或 3 ,即 ,所以

m??

2 6 3 , 因 为 直 线 y ? kx ? m 为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为

r?

m 1? k 2 ,

r2 ?

m2 ? 1? k 2

m2 8 ? 2 2 6 8 3m ? 8 3 r? x2 ? y 2 ? 1? 3 ,所求的圆为 3 ,??? 11 分 8 ,

- 16 -

此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足

m?

2 6 2 6 m?? 3 或 3 , 而当切线的斜率不存在时切线为

x??

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 ? ?1 ( ,? ) (? ,? ) 4 3 与椭圆 8 3 3 或 3 3 满足 的两个交点为

8 ??? ? ??? ? x2 ? y 2 ? OA ? OB ,综上, 存在圆心在原点的圆 3, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两 ??? ? ??? ? 个交点 A,B,且 OA ? OB .??? 13 分
20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ? R ) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,且对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立, 求实数 b 的取值范围;

y 1 ? ln y 与 (Ⅲ)当 0 ? x ? y ? e 且 x ? e 时,试比较 x 1 ? ln x 的大小.
2

解:(Ⅰ) 当 ∴ 时, 在 在

, 上恒成立,函数 在 单调递减,

上没有极值点;



时,









∴ ∴当 当

在 时 时,

上递减,在 在 在 在

上递增,即



处有极小值.

上没有极值点, 上有一个极值点.??? 4 分 处取得极值,

(Ⅱ)∵函数 ∴ ∴ ,



- 17 -



,可得



上递减,在

上递增,



,即

.??? 9 分

(Ⅲ)解:令 由(Ⅱ)可知 在

, 上单调递减,则 在 上单调递减

∴当 当 时,

时,

>

,即



∴ 当

, 时,



??? 14 分

21. 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分,如 果多做,则按所做的前两题计分,做答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑,并将所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 二阶矩阵 M 对应的变换 T 将点(2,-2)与(-4,2)分别变换成点(-2,-2)与(0,-4). ①求矩阵 M; ②设直线 l 在变换 T 作用下得到了直线 m:x-y=6,求 l 的方程. 解 (1)设 M=?
?a-b=-1 ?-2a+b=0 ? ? ?a b? ,且? , ?,所以? ?c d ? ? ? ?c-d=-1 ?-2c+d=-2

a=1 ? ?b=2 解得? c=3 ? ?d=4

,所以 M=?

?1 2? ?.??? 4 分 ?3 4?

?x′? ?1 2??x? ?x+2y ? (2)因为? ?=? ?? ?=? ? ?y′? ?3 4??y? ?3x+4y?

- 18 -

且 m:x′-y′=6,所以(x+2y)-(3x+4y)=6, 即 x+y+3=0,∴直线 l 的方程是 x+y+3=0??? 7 分 (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的非负半轴重合.若曲线 C1 的方

程为

? sin(? ? ) ? 2 3 ? 0

? 6

? x ? cos ? , ? y ? sin ? . C 2 ,曲线 的参数方程为 ?

(Ⅰ) 将 C1 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若点 Q 为 C2 上的动点, P 为 C1 上的动点,求

PQ

的最小值.

解: (Ⅰ)由已知得

??

3 1 sin ? ? ? ? cos ? ? 2 3 ? 0 2 2 ,即 x ? 3 y ? 4 3 ? 0 ???3 分

2 2 (Ⅱ)由 C2 得 x ? y ? 1 ,所以圆心为 C2 (0, 0) ,半径为 1.

又圆心到直线 C1 的距离为 d ? 2 3 ,???????5 分 所以

PQ

的最大值为 2 3 ? 1 .??????????7 分

(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=| x+3|-|x-2|. ①求不等式 f(x)≥3 的解集; ②若 f(x) ≥ |a-4|有解,求 a 的取值范围. 解:(1) [1, + ? ) ??? 3 分 (2) |a-4|≤5 ∴-1≤a≤9??? 7 分

- 19 -


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