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广东省广州市2014届高三数学调研测试试题答案 理 新人教A版


广州市 2014 届高三年级调研测试数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根 据比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的得分, 但所给分数不得超过该部分正确解答应得分

数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 D 5 A 6 B 7 C 8 A

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分, 满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 题号 答案 9 3 10 4 11 12 13 36 14 1 15

1 3

?? 1,0?

? 3 3? , ?? ? 3 3 ? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? .………………………………………………………………1 分

cos
所以

A?C ? ?B ? cos 2 2 …………………………………………………………………………2 分

? sin

B 3 ? 2 3 .………………………………………………………………………3 分

cos B ? 1 ? 2sin 2
所以

B 2 ……………………………………………………………………………5 分

?

1 3 .………………………………………………………………………………………7 分 cos B ? 1 3,

(2)因为 a ? 3 , b ? 2 2 ,
2 2 2

由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,………………………………………………………………9 分 得 c ? 2c ? 1 ? 0 .……………………………………………………………………………………11 分
2

解得 c ? 1 .……………………………………………………………………………………………12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由茎叶图可知,甲城市在 2013 年 9 月份随机抽取的 15 天中的空气质量类别为优或良的天数 为 5 天.…………………………………………………………………………………………………1 分 所以可估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数为 10 天.…………2 分 (2) X 的取值为 0,1,2,………………………………………………………………………………3 分

P ? X ? 0? ?
因为

0 2 C5 C10 3 ? 2 C15 7 ,………………………………………………………………………5 分

1 C1 10 5 C10 P ? X ? 1? ? ? 2 C15 21 ,……………………………………………………………………………7 分

P ? X ? 2? ?

2 0 C5 C10 2 ? 2 C15 21 .…………………………………………………………………………9 分

所以 X 的分布列为:

X

P

0 3 7

1

10 21

2 2 21

……………………10 分

3 10 2 2 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 7 21 21 3 .…………………………………………………12 分 所以数学期望
18. (本小题满分 14 分) (1)证明 1:因为 AB ? 2BC , ?ABC ? 60 , 在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC .……………………………………………………2 分 所以 AC ? BC ? AB .
2 2 2 ?

所以 AC ? BC .………………………………………………………………………………………3 分 因为 AC ? FB , BF ? BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所以 AC ? 平面 FBC .………………………………………………………………………………4 分 证明 2:因为 ?ABC ? 60 ,设 ?BAC ? ?
?

?0

?

? ? ? 120? ?

,则 ?ACB ? 120 ? ? .
?

在△ ABC 中,由正弦定理,得

BC AB ? sin ? sin ?120? ? ? ?

.…………………………………………1 分

因为 AB ? 2BC ,所以

sin ?120? ? ? ? ? 2sin ?



tan ? ?
整理得

3 3 ,所以 ? ? 30? .…………………………………………………………………2 分

所以 AC ? BC .………………………………………………………………………………………3 分 因为 AC ? FB , BF ? BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所以 AC ? 平面 FBC .………………………………………………………………………………4 分

(2)解法 1:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC ? CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD .……………………………………………………6 分 取 AB 的中点 M ,连结 MD , ME , 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?DAM ? 60 ,
?

所以 MD ? MA ? AD .所以△ MAD 是等边三角形,且 ME ? BF .…………………………7 分 E F 取 AD 的中点 N ,连结 MN , NE ,则 MN ? AD .………8 分 因为 MN ? 平面 ABCD , ED ? FC ,所以 ED ? MN . D 因为 AD ? ED ? D ,所以 MN ? 平面 ADE . ……………9 分 所以 ?MEN 为直线 BF 与平面 ADE 所成角. ……………10 分 因为 NE ? 平面 ADE ,所以 MN ? NE .…………………11 分 A N M C B

MN ?
因为

3 AD 2 2 2 , ME ? MD ? DE ? 2 AD ,…………………………………………12 分
sin ?MEN ? MN 6 ? ME 4 .……………………………………………………13 分

在 Rt △ MNE 中,

6 所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为 4 .……………………………14 分

解法 2:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC ? CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD .……………………………………………………6 分 所以 CA , CB , CF 两两互相垂直, 建立如图的空间直角坐标系 C ? xyz .………………………7 分 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?ABC ? 60 所以 CB ? CD ? CF . 不妨设 BC ? 1 ,则
?

E

z

F

D x A

C B y

B ? 0,1, 0 ?



F ? 0, 0,1?



A

?

3, 0, 0

?,

? 3 1 ? ? 3 1 ? D? , ? ,1 ? ? 2 ,? 2 ,0? ? E? ? 2 ? ? ?, ? 2 ?,

所以

??? ? BF ? ? 0, ?1,1?

??? ? ? 3 1 ? ???? DA ? ? ? 2 , 2 ,0? ? DE ? ? 0, 0,1? ? ? , , .………………………………………9 分

? 3 y ??? ? x ? ? 0, ? ? ?n ? DA ? 0, ? 2 2 ? ???? ? ?n ? DE ? 0. 即 ? z ? 0. 设平面 ADE 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ?
取 x ? 1 ,得 n ?

?1, ?

3, 0

? 是平面 ADE 的一个法向量.………………………………………11 分

设直线 BF 与平面 ADE 所成的角为 ? ,



??? ? ??? ? ? 0, ?1,1?? 1, ? 3, 0 BF ? n 6 sin ? ? cos? BF , n? ? ??? ? ? ? 4 2 ?2 BF ?n

?

?

.……………………………13 分

6 所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为 4 . ………………………………………………14 分
19. (本小题满分 14 分)

an?1 ?
解: (1)因为

3an 1 1 2 ? ? 2an ? 1 ,所以 an ?1 3an 3 .…………………………………………………1 分

? 1 1? 1 ? 1 ? ? ? 1? a 3 ? an ? 所以 n ?1 .…………………………………………………………………………3 分

因为

a1 ?

1 2 3 ?1 ? 3 .…………………………………………………………………………4 分 5 ,则 a1

?1 ? 2 1 ? ? 1? a ? 是首项为 3 ,公比为 3 的等比数列.…………………………………………5 分 所以数列 ? n 1 2 ?1? ?1 ? ? ? ? a 3 ?3? (2)由(1)知, n
n ?1

?

2 3n an ? n n 3 ,所以 3 ? 2 .……………………………………7 分

假设存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件,

? ? m ? t ? 2 s, ? 2 as ? 1? ? ? am ? 1?? at ? 1? . ? ? ? 则有 ……………………………………………………………………9 分
3n 2 an ? n as ? 1? ? ? am ? 1?? at ? 1? ? 3 ? 2 由 与 ,
? 3s ? ? 3m ? ? 3t ? ? 1 ? ? 1 ? 1? ? s ? ? m ?? t 3 ? 2 ? ? 3 ? 2 ?? 3 ? 2 ? 得? .……………………………………………………10 分
即3
m ?t
2

? 2 ? 3m ? 2 ? 3t ? 32s ? 4 ? 3s .……………………………………………………………11 分
m t s

因为 m ? t ? 2s ,所以 3 ? 3 ? 2 ? 3 .……………………………………………………………12 分 因为 3 ? 3 ? 2 3
m t m ?t

? 2 ? 3s ,当且仅当 m ? t 时等号成立,

这与 m , s , t 互不相等矛盾.……………………………………………………………………13 分 所以不存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件.……………………………………………14 分 20. (本小题满分 14 分)

1 f ? x ? ? x3 ? ax g ? x ? ? bx 2 ? 2b ? 1 3 解: (1)因为 , ,
所以

f ? ? x ? ? x2 ? a



g ? ? x ? ? 2bx

.…………………………………………………………………1 分

因为曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 在它们的交点 ?1, c ? 处有相同切线,

? ? 所以 f ?1? ? g ?1? ,且 f ?1? ? g ?1? 。
1 ? a ? b ? 2b ? 1 即3 ,且 1 ? a ? 2b , ………………………………………………………………2 分 a?
解得

1 1 ,b ? 3 3 .……………………………………………………………………………………3 分

1 1? a 2 h ? x ? ? x3 ? x ? ax ? a ? a ? 0 ? 3 2 (2)当 a ? 1 ? 2b 时, ,
所以 令

h? ? x ? ? x 2 ? ?1 ? a ? x ? a ? ? x ? 1?? x ? a ?
,解得 x1 ? ?1, x 2 ? a ? 0 .

.…………………………………………………4 分

h? ? x ? ? 0

? 当 x 变化时, h ? x ?, h? x ? 的变化情况如下表:

x
h ?? x ?

?? ?,?1?
?


?1
0 极大值

?? 1, a ?
?


a
0 极小值

?a,?? ?
?


h? x ?
所以函数 故

h ? x?

的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?a,?? ? ,单调递减区间为 ?? 1, a ? .………………5 分

h ? x?

在区间 ?? 2,?1? 内单调递增,在区间 ?? 1,0 ? 内单调递减.………………………………6 分

?h ? ?2 ? ? 0, ? ?h ? ?1? ? 0, ? h ? 0 ? ? 0. h ? x? 从而函数 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,当且仅当 ? ………………………7 分
? 8 ?? 3 ? 2 ?1 ? a ? ? 2a ? a ? 0, ? ? 1 1? a ? a ? a ? 0, ?? ? 2 ? 3 ??a ? 0. 1 0?a? ? 3. 即? 解得
? 1? ? 0, ? a 所以实数 的取值范围是 ? 3 ? .……………………………………………………………………8 分
(3)当 a ? 1 , b ? 0 时, 所以函数

h ? x? ?

1 3 x ? x ?1 3 .

h ? x?

的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?1,?? ? ,单调递减区间为 ?? 1,1? .

由于

h ? ?2 ? ? ?

5 5 h ?1? ? ? 3, 3 ,所以 h ? ?2 ? ? h ?1? .……………………………………………9 分

①当 t ? 3 ? 1 ,即 t ? ?2 时,………………………………………………………………………10 分

1 h ?t ? ? t 3 ? t ?1 h x ? ? ? ? ? ? ? min 3 .……………………………………………………………………11 分
②当 ?2 ? t ? 1 时,

5 h ?1? ? ? ? ?h ? x ?? ? min ? 3 .……………………………………………………………………………12 分

h ? x? ③当 t ? 1 时, 在区间 ?t , t ? 3? 上单调递增,
1 h ?t ? ? t 3 ? t ?1 h x ? ? ? ? ? ? ? min 3 .……………………………………………………………………13 分
综上可知,函数

h ? x?

在区间 ?t , t ? 3? 上的最小值为

? ?h ? x ?? ? min

?1 3 t ? t ? 1, ? ?3 ? ?? 5 , ?? ? 3

t ? ? ??, ?2 ? ? ?1, ?? ? , t ? ? ?2,1? .

……………………………………………14 分

21. (本小题满分 14 分)

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 解: (1)因为双曲线方程为 a ,

y??
所以双曲线的渐近线方程为

b x a .……………………………………………………………1 分

b ?1 ? 因为两渐近线的夹角为 60 且 a ,所以 ?POF ? 30 .
?

3 b ? tan 30? ? 3 .……………………………………………………………………………2 分 所以 a
所以 a ?

3b .
2 2 2

l1

y

P A

因为 c ? 2 ,所以 a ? b ? 2 , 所以 a ? 3 , b ? 1. l2

O l B

F

x

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆 C 的方程为 3 .…………………………………………………………………4 分
(2)因为 l ? l1 ,所以直线 l 与的方程为

y?

a ( x ? c) 2 2 b ,其中 c ? a ? b .………………………5 分

因为直线 l 2 的方程为

y?

b x a ,

? a 2 ab ? P? , ? c c ? l l 2 联立直线 与 的方程解得点 ? .………………………………………………………6 分

| FA | ?? ??? ? ??? ? | AP | FA ? ? AP 设 ,则 .………………………………………………………………………7 分
因为点

F ? c, 0 ?

,设点

A ? x0 , y0 ?



? x0 ? c, y0 ? ? ? ?
则有

? a2 ? ab ? x0 , ? y0 ? c ? c ?



x0 ?
解得

c2 ? ?a2 c ?1 ? ? ?

y0 ?


? ab c ?1 ? ? ?

.………………………………………………………………8 分

x2 y 2 ? 2 ?1 2 A ? x0 , y0 ? b 因为点 在椭圆 a 上,

? ? ab ? ? 2 2 a 2c 2 ?1 ? ? ? b2c 2 ?1 ? ? ? 所以
2 2

?c

? ?a2 ?

2

?1
. .
2 2 2

?c 即

2

? ? a 2 ? ? ? 2 a 4 ? ?1 ? ? ? a 2 c 2
2 2

4 等式两边同除以 a 得 (e ? ? ) ? ? ? e (1 ? ? ) , e ? (0,1). ……………………………………10 分
2 2

?2 ?
所以

e2 ? e4 2 ? ? ? ? ? 2 ? e2 ? ??3 2 2?e 2 ? e 2 ? ………………………………………………………11 分 ?
2

? ?2

2 ?2 ? e ?? 2 ? e

2

? 3 ? 3? 2 2 ?

?

2 ?1

?

2

.……………………………………12 分

2 ? e2 ?
所以当

2 2 ? e2 ,即 e ? 2 ? 2 时, ? 取得最大值 2 ? 1 .…………………………13 分

| FA | 故 | AP | 的最大值为 2 ? 1 .………………………………………………………………………14 分


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