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第1部分 第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念


理解教 材新知

第 二 章

2.1

把握热 点考向

考点一 考点二 考点三

应用创 新演练

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问题1:在日常生活中,有很多量如面积、质量、速

度、位移等,这些量有什么区别?
提示:速度和位移既有大小,又有方向;而面积、 质量只有大小,没有方向. 问题2:在学习三角函数线时,我们学习了有向线段, 试想有向线段应包含什么要素?

提示:起点、方向、长度.

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问题3:对既有大小、又有方向的量,如何形象、直
观地表示出来?

提示:利用有向线段表示.
问题4:如何表示? 提示:有向线段的方向表示量的方向,长度表示量 的大小.

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1.向量和数量 (1)向量:既有 大小 ,又有 方向 的量叫做向量. (2)数量:只有 大小 ,没有 方向 的量称为数量. 2.向量的几何表示 (1) 带有方向 的线段叫做有向线段,它包含三个要素: 起点 、方向 、 长度 .

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(2)向量可以用 有向线段 表示,向量 AB 的大小,也 就是向量 AB 的 长度 (或称模),记作 AB .向量也可以用 字母a,b,c,…表示,也可以用有向线段的起点和终点字 母表示,如:AB , CD .

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3.向量的有关概念 零向量 长度等于 零 的向量,记作 0 方向 相同或相反 的非零向量. 向量a,b平行,记作 a∥b . 规定:零向量与任一向量 平行 长度 相等 且方向 相同 的向量.

单位向量 长度等于 1个单位 的向量
平行向量

(共线向量)

相等向量

向量a,b相等,记作 a=b

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1.向量和数量. 向量不同于数量,数量只有大小,没有方向,是一个代数 量,可以进行代数运算,能比较大小;向量有方向和大小双重 性,且不能比较大小. 2.向量与有向线段. 向量用有向线段表示,说明向量被赋予了几何意义,也显 示了图形的直观性,但有向线段是向量的表示,并不是说向量 就是有向线段.

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3.共线向量与平行向量. (1)共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方 向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合, 其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义.

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(2)共线向量有四种情况:方向相同且模相等,方向相同且 模不等,方向相反且模相等,方向相反且模不等.这样,也就 找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等 向量,而相等向量一定是共线向量. (3)如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是 平行向量.

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[例1]

给出下列命题:

①若a≠b,则a一定不与b共线; ②若 AB = DC ,则A、B、C、D四点是平行四边形的四 个顶点; ③在平行四边形ABCD中,一定有 AB = DC ; ④若向量a与任一向量b平行,则a=0; ⑤若a=b,b=c,则a=c. 其中所有正确命题的序号为________.

[思路点拨]

严格按向量的有关概念进行判断.
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[精解详析] 两个向量不相等,可能是长度不同,方向可 以相同或相反,a与b有共线的可能,故①不正确; AB = DC , A、B、C、D四点可能在同一条直线上,故②不正确;在平行 四边形ABCD中,| AB |=| DC |, AB 与 DC 方向相同,所以 AB =
DC

,故③正确;只有零向量的方向是任意的,与任一向量平

行,故④正确;a=b,则|a|=|b|,且a与b方向相同;b=c,则 |b|=|c|,且b与c方向相同,则a与c方向相同且模相等,所以a= c, 故⑤正确.

[答案] ③④⑤ 返回

[一点通]

对向量有关概念的理解要严谨、准确,特别

注意向量不同于数量,数量的关系只考虑大小,而向量的关 系既要考虑大小,又要考虑方向.另外,零向量是比较特殊 的向量,解题时要注意不可忽视零向量的存在.

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1.下列说法正确的个数为

(

)

①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量; ②零向量没有方向; ③向量的模一定是正数; ④与非零向量共线的单位向量是唯一的. A.0 C.2 B.1 D.3

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解析:①错误.只有速度,位移是向量;②错误.零向量 有方向,它的方向是任意的;③错误.|0|=0;④错 误.与非零向量a共线的单位向量有两个,一个与a同向, 一个与a反向.

答案:A

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2.对于下列各种情况,各向量的终点的集合分别是什么图形? (1)把所有单位向量的起点平移到同一点 P; (2)把平行于直线 l 的所有单位向量的起点平移到直线 l 上的 点 P; (3)把平行于直线 l 的所有向量的起点平移到直线 l 上的点 P.
解:(1)是以 P 点为圆心,以 1 个单位长为半径的圆. (2)是直线 l 上与点 P 的距离为 1 个单位长的两个点. (3)是直线 l.

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[例2]

一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,

然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点,最后又改 变方向,向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量 AB 、 BC 、 CD ; (2)求 AD .
[思路点拨] 先作出表示东西南北的方向图及100 km长度 的线段,然后回答问题.

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[精解详析] (1)向量 AB 、 BC 、 CD 如右图. (2) 由题意,易知 AB 与 CD 方向相反,故
AB ∥ CD ,又| AB |=| CD |,

∴四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AD = BC ,| AD |=| BC |=200 km. ∴ AD 的大小为 200 km,方向为西偏北 50° .
[一点通 ] 准确画出方位图和表示单位长度的线段是解题的

关键,画向量时,先确定始点,然后根据向量的方向和大小确定 终点.

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3.如图所示,分别以图中各点为起点和终点,最多可以写 出多少个非零向量?

解:以A为起点的向量 AB 、 AC 、 AD 、 AE 、 AF 共 5个,同理,以B,C,D,E,F为起点的向量分别有 5个,所以最多可以写出6×5=30个非零向量.

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4.在如图所示的坐标系中,用直尺和圆规画出下列向量.

(1)| OA |=3,点A在点O正西方向; (2)| OB |=3 2,点B在点O北偏西45°方向; (3)| OC |=2,点C在点O南偏东60°方向.

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解:如图所示.

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[ 例 3]

(12 分 ) 如图,已知四边形

ABCD 中,M、N 分别是 BC、 AD 的中点, 又 AB = DC . 求证: CN = MA .

[思路点拨] 证明 CN 与 MA 的方向相同且长度相等.

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[精解详析] 由条件 AB = DC 可知| AB |=| DC |且 AB ∥ DC , (2 分) 从而四边形 ABCD 为平行四边形,从而 AD = BC . 1 2 (4 分) 1 2

又 M,N 分别是 BC,AD 的中点,于是| AN |= | AD |,| MC |= | BC |,所以| AN |=| MC |, 又 AN ∥ MC ,所以四边形 AMCN 是平行四边形. 于是得| MA |=| CN |,且 MA , CN 方向一致, 所以 CN = MA .

(6 分) (10 分)

(12 分)

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[一点通]

利用向量解决平面几何问题是向量作为工具的

必然,其产生的目的也在于此.由本题,我们还能得到一个重 要结论,即若 AB = DC ,且四点 A,B,C,D 不共线,则四 边形 ABCD 为平行四边形, 这是证明四边形为平行四边形的向 量方法.

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5.如图, 四边形 ABCD 与 ABEC 都是平行四边形, 在以 A,B,C,D,E 为起点或终点的向量中. (1)写出与向量 AB 共线的向量; (2)写出与向量 AB 相等的向量.
解:(1)与 AB 共线的向量有 BA , DC ,CE ,CD , EC , DE 和 ED . (2)与 AB 相等的向量有 DC 和 CE .

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6.如图,O为正方形ABCD对角线的交 点,四边形OAED、OCFB都是正方 形.在图中所示向量中,(1)分别写出 与 AO 、 BO 相等的向量;(2)写出与 AO 共线的向量;(3)写出 与 AO 模相等的向量.

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解:(1) AO = BF , BO = AE ; (2)与 AO 共线的向量有 CO , BF , DE ; (3)与 AO 模相等的向量有 CO , BF , DE , AE , BO , DO ,CF .

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1.判断一个量是不是向量,就是看它是否同时具备两个 要素:大小和方向.只有大小没有方向,或只有方向没有大小 的量都不是向量. 2.向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向; 向量与向量模的区别在于向量的模是指向量的长度,是数量, 可以比较大小,但向量不能比较大小.

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3. AB = DC 包括两种情况: ①A,B,C,D在同一条直线上;②四边形ABCD是平行 四边形.只有A,B,C,D四点不共线时,由 AB = DC 才可得 出四边形ABCD为平行四边形.

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