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山东省济南第一中学2017届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案


济南一中 2016—2017 学年度第一学期期末考试 高三数学试题(文科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 满分 150 分.考试时间为 120 分钟, 注意事项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码 区域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字 体工整、笔

迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 第 I 卷(选择题共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x x2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x y ? ln(2 ? x)} ,则 A ? B ? ( A. (1,3) B. (1,3] C. [ ?1, 2) D. (?1, 2) )
1 1 正视图 2 侧视图

)

2.若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 4 ? 2i(i 为虚数单位) ,则 | z |? ( A.

2

B.

3

C.

5

D.

10

3.某几何体的三视图(单位: cm )如右图所示,其中侧视图是一个 边长为 2 的正三角形,则这个几何体的体积是( A. 2??cm
3

) D.

B.

3??cm3

C. 3 3??cm

3

3??cm3

俯视图

第 3 题图

4.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且其图像向左平移
)

? 个单位 3

后得到函数 g ( x) ? cos ? x 的图像,则函数 f ( x) 的图像( A.关于直线 x ?

?
12

对称

B.关于直线 x ? D.关于点 (

5? 对称 12

? C.关于点 ( ,0) 对称 12

5? ,0) 对称 12

? x ? y ? 2≥0, ? 5.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? y ? 2≥0, 表示的平面区域的面积为 4,则实数 t 的 ? x≤t ?
值为( )
-1-

A.1

B.2
2

C.3

D.4 ) D. a ? 5

6.命题“ ?x ? [1,2], x ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是( A. a ? 4 B. a ? 4 C. a ? 5

7 . 已 知 定义 在 R 上的函 数 f ( x ) 满 足 f ( ? x ) ? ? f ( x ), f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) , 且当 x ? [ 0,1]

) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ,则 f (31) =(
A. 0 B. 1 C. ?1

) D. 2

8. 已知向量 a = (cosx,sinx ) , b ? ( 2, 2) , a ? b ?

? 8 ,则 cos( x ? ) ? ( 5 4
C.

)

A. ?

3 5

B. ?

4 5

3 5

D.

4 5

9. 已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形 ABCD 周长最小时,沿对角线 AC 把 ?ACD 折起, 则三棱椎 D ? ABC 的外接球表面积等于( A. 8π B. 16π ) C. 48 2 π D. 64?

10.已知圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 ,点 P ?a,b ? ( ab ? 0 )是圆 O 内一点,过点 P 的圆 O 的最短 弦所在的直线为 l1 ,直线 l2 的方程为 ax ? by ? r ? 0 ,那么(
2

)

A. l1∥l2 ,且 l2 与圆 O 相离 B. l1 ? l2 ,且 l2 与圆 O 相切 C. l1∥l2 ,且 l2 与圆 O 相交 D. l1 ? l2 ,且 l2 与圆 O 相离

开始 第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为_______. 12.若函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? 1 是偶函数,则实数 a 的值为.
2

i ? 1, S ? 0
ai ? sin i ?? 3

?

?

S ? S ? ai
i ? 8?

i ? i ?1


13.在△ ABC 中,

b cos C ? c cos B a

= _______.

否 输出 S 结束

-2-

第 11 题图

14.在区间 ?0,9? 上随机取一实数 x ,则该实数 x 满足不等 式 1 ? log2 x ? 2 的概率为__________. 15.已知双曲线
x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的渐近线被圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 截得的弦长为 2,则 a 2 b2

该双曲线的离心率为_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

1,sin 2 x) 已知向量 m=(2cos x, 3) , n=( ,函数 f ( x) ? m ? n .
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B , C 的对边,且 f (C ) ? 3, c ? 1 , ab ? 2 3 ,且

??

2

?

?? ?

a ? b ,求 a, b 的值.
17.(本小题满分 12 分) 某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的连续进球与射手在场上的位置是否有关系”的 调查活动,在所有参与调查的人中,持“有关系” “无关系” “不知道”态度的人数如表所 示: 有关系 40 岁以下 40 岁以上 (含 40 岁) 800 100 无关系 450 150 不知道 200 300

(I)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从持“有关系”态度 的人中抽取 45 人,求 n 的值; (II)在持“不知道”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体,从这 5 人中任选取 2 人,求至少一人在 40 岁以下的概率; (III)在接受调查的人中,有 8 人给这项活动打出分数如下:9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、 9.3、9.0、8.2,把这 8 个人打出的分数看做一个总体,从中任取 1 个数,求该数 与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率。

18.(本小题满分 12 分) 如图所示,在正三棱柱 ABC -A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都是 2, D 是侧棱 CC1 上任意一点,E 是 A1B1 的中点。 (I)求证:A1B1//平面 ABD;
-3-

第 18 题图

(II)求证:AB⊥CE; (III)求三棱锥 C-ABE 的体积。

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和是 S n ,且 Sn ? an ? 1 (n ? N ) .
?

1 3

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式;
? (Ⅱ)设 bn ? log 4 (1 ? Sn?1 ) (n ? N ) , Tn ?

1 1 1 ? ? ?? ? ,求 Tn b1b2 b2b3 bnbn?1

20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F1 (1, 0) ,离心率为 . 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程及左顶点 P 的坐标;

?PAB 的面积为 (Ⅱ)设过点 F 1 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点,若
21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ( x ? ax ? a) ,其中 a 是常数.
x 2

36 ,求直线 AB 的方程. 13

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上的最小值.

济南一中 2016—2017 学年度第一学期期末考试 高三数学试题(文科)答案

一、 选择题 1-5CDBCB 二、 填空题 11. 6-10 CCDBA

3

12. 0

13.1

14.

2 9

15.

6 2

三、 解答题 16.(1) f ( x) ? m ? n ? (2cos2 x , 3) ? (1, sin 2x ) ? 2cos2 x ? 3sin 2 x
-4-

??? ? ???

? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . ????????3 分 6
故最小正周期 T ?

?

2? ? ? ????????5 分 2

(2) f (C ) ? 2 sin( 2C ?

?
6

) ? 1 ? 3 ,? sin(2C ?
形 内 角 ,

?
6

) ? 1, 2C ?

?

C









?
6

?

?
2





C?

?
6

.
b2 ? a2 ? c2 3 ? 2ab 2

????????7 分

? cosC ?





a2 ? b2 ? 7 .
将 ab ? 2 3 代入可得: a 2 ?

????????9 分

12 ? 7 ,解之得: a 2 ? 3 或 4, 2 a

? a ? 3或2 ,? b ? 2或 3 ????????11 分

? a ? b, ? a ? 2, b ? 3
17.解: (Ⅰ)由题意,得

????????12 分

800 ? 100 800 ? 450 ? 200 ? 100 ? 150 ? 300 ? 45 n

? n ? 100 ??????????3 分
(Ⅱ)设所选取的人中,有 m 人在 40 岁以下,则

200 m ? ,解得 m=2. ??5 分 200 ? 300 5

就是 40 岁以下抽取了 2 人,另一部分抽取了 3 人,分别记作 A1, A2 ; B1, B 2 , B 3 , 则多中任取 2 人 的 所 有 基 本 事 件 为 共 10

( A1, B1), ( A1, B2), ( A1, B3), ( A2, B1), ( A2, B2), ( A2, B3), ( A1, A2), ( B1, B2), ( B1, B3), ( B2, B3)
个?????????????????????????????7 分 其中至少有 1 人在 40 岁以下的基本事件为

( A1, B1), ( A1, B2), ( A1, B3), ( A2, B1), ( A2, B2), ( A2, B3), ( A1, A2) 共 7 个
所以所求事件的概率 p ?

7 ????????????????10 分 10
1 (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9 8
-5-

(Ⅲ)总体的平均数为 x ?

那么与总体平均数之差的绝对超过 0.6 的数只有 8.2, 所以该数与总体平均数之差的绝对值超 过 0.6 的概率为

1 .????????????????12 分 8

18 解: (Ⅰ)证明:由正三木棱住的性质知 A1 B1 ∥AB, 因为 AB ? 平面ABD,A1 B1 ? 平面ABD, 所以 A1 B1 ∥平面 ABD.??????????????4 分 (Ⅱ)设 AB 中点为 G,连结 GE,GC。

? ?ABC为正三角形,且 G为中心, ? AB ? GC
又 EG∥ AA 1 , AA1 ? AB,? AB ? GE 又 CG ? GE ? G, 所以AB ? 平面GEC 而 CE ? 平面GEC,所以AB ? CE ??????????????8 分 (Ⅲ)由题意可知: Vc ? ABE ? VE ? ABC ?

1 ? EG ? S?ABC 3

1 1 3 2 3 ? ? 2? ? 2? 2? ? ???????????12 分 3 2 2 3
19.17. ( 1 ) 当

n ?1





a1 ? s1





1 3 , S1 ? a ? 1 ? 1 a ? 3 4

1

????????1 分

1 ? S n ? an ? 1 1 ? 1 ? 3 当 n ? 2 时, ? ? S n ? S n ?1 ? (an ? an ?1 ) ? 0 ? an ? an ?1 4 3 ?S ? 1 a ? 1 n ?1 n ?1 ? 3 ?
∴ ?an ? 是以 列. 故 an ? 6分 (2)由(1)知 1 ? S n ?1 ?

3 1 为首项, 为公比的等比数 4 4
????????4 分

3 1 n?1 1 ( ) ? 3( )n (n ? N ? ) 4 4 4
1 1 an ?1 ? ( ) n ?1 , 3 4

???????

1 bn ? log 4 (1 ? S n ?1 ) ? log 4 ( ) n ?1 ? ?( n ? 1) ??????8 分 4
-6-

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2 Tn ? b1b2 b2b3
??????12 分 20.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由题意可知: c = 1 , 所以 b = a - c = 3 . 所以椭圆 C 的标准方程为
2 2 2

c 1 ? ,所以 a = 2 . a 2

x2 y 2 ? ? 1 ,左顶点 P 的坐标是 (- 2, 0) . 4 3
??????????????4 分

(Ⅱ)根据题意可设直线 AB 的方程为 x = my + 1 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

ì ? x2 y 2 ? = 1, ? + 由í 4 可得: (3m2 + 4) y 2 + 6my - 9 = 0 . 3 ? ? ? ? x = my + 1
所以 ? = 36m + 36(3m + 4) > 0 , y1 + y2 = 2 2

6m 9 , y1 y2 = . 2 2 3m + 4 3m + 4

??????????????7 分 所以 ?PAB 的面积 S =

1 1 PF1 y2 - y1 = 创 3 2 2

( y2 + y1 ) 2 - 4 y2 y1

??????????????9 分

3 6m 2 36 18 m2 + 1 . = () + = 2 3m2 + 4 3m2 + 4 3m2 + 4
???????????????10 分 因为 ?PAB 的面积为

36 , 13

所以

m2 + 1 2 . = 3m2 + 4 13

-7-

令t =

m2 + 1 ,则

t 2 = (t ? 1) . 3t + 1 13
2

解得 t1 =

1 (舍), t2 = 2 . 6

所以 m = ?

3.

所以直线 AB 的方程为 x+ 3 y - 1 = 0 或 x ??????????????13 分 21(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由 f ( x) ? ex ( x2 ? ax ? a) 可得

3y - 1 = 0 .

f '( x) ? ex [ x2 ? (a ? 2) x] .

???????????????2 分

当 a ? 1 时, f (1) ? e , f '(1) ? 4e .???????????????4 分 所以 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? e ? 4e ? x ?1? , 即 y ? 4ex ? 3e . (Ⅱ)令 f '( x) ? e [ x ? (a ? 2) x] ? 0 ,
x 2

???????????????6 分

解得 x ? ?(a ? 2) 或 x ? 0 .

???????????????8 分

当 ?(a ? 2) ? 0 ,即 a ? ?2 时,在区间 [0, ??) 上, f '( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 是 [0, ??) 上 的增函数. 所以 f ( x ) 的最小值为 f (0) = ?a ; ???????????????10 分

当 ?(a ? 2) ? 0 ,即 a ? ?2 时, f '( x), f ? x ? 随 x 的变化情况如下表

x

0 0

(0, ?(a ? 2))


?(a ? 2)
0

(?(a ? 2), ??)
+


f '( x) f ( x)

f (0)

f (?(a ? 2))
a?4 . ea ?2

由上表可知函数 f ( x ) 的最小值为 f ( ?( a ? 2)) ?

-8-

??????????????13 分

-9-


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