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3.2.1古典概型课堂实录


中学数学杂志  2014 年第 5 期   

                         

ZHONGXUESHUXUEZAZHI 

3 2 1 古典概型课堂实录
淄博第十七中学    255033    王  勇 淄博第十八中学    255033    袁  莉
1  复习回顾 师:通

过前面我们对概率意义及其性质的学习, 已 初步掌握了两个事件之间的关系与运算以及概率的基 本性质. 那么请同学们思考以下几个问题, 经小组讨论 后作答. ( 出示问题) (1) 简述两事件之间的关系 ( 包含、 相等、 互斥、 对 立、并事件、交事件) (2) 概率的加法公式是什么? 对立事件的概率有 什么关系? 生:( 各小组同学认真思考,积极参与, 一小组同学 作答后,其余同学相互补充,课堂气氛活跃. ) 师:同学们回答得很好, 下面由小组长展示各组试 验成果. 生:我们组抛硬币 60 次,正面 34 次,反面 26 次. 掷 骰子 60 次,1 点 7 次,2 点 9 次,3 点 12 次,4 点 9 次,5 点 11 次,6 点 12 次( 其余各组相继展示) . 2  概念建构 师:请同学们根据上述两个模拟试验的结果, 完成 下表. ( 出示图表)
试验材料 质地 均 匀 的 硬币 质地 均 匀 的 骰子 试验中出现的 各种结果 各结 果 之 间 有 何关系

朝上” 和“ 反面朝上” 组成. 师:在试验二中, 随机事件 “ 出现偶数点 ” 可以由 那些基本事件组成? 生:在试验二中, 随机事件 “ 出现偶数点 ” 可以由 基本事件“2 点” 、“4 点” 和“6 点” 共同组成. 师:下面我们总结一下基本事件有什么特点? 生:(1) 任何两个基本事件是互斥的;(2) 任何事 件( 除不可能事件) 都可以表示成基本事件的和. 师:在求解概率问题时, 经常需要求出基本事件的 总数,怎样求出基本事件的总数呢? 我们看下面的例 子,从字母 a,b,c,d 中任意取出两个不同字母的试验中 有哪些基本事件? ( 出示例 1) 生:( 学生在练习本上开始列举, 组员之间也有沟 通 ) 共有 6 个,分别是{ a,b} ,{ b,d} ,{ a,d} ,{ b,c} ,{ c, d} ,{ a,c} . 师:我听到好像有同学数错了,是什么原因呢? 生:漏了一个 生:数重了,有点乱. 师:那么有没有一个办法, 能让我们在寻找基本事 件的个数时做到不重不漏呢? ( 出示树状图)

试验一

试验二

    生:( 学生观察思考后迅速作答) 硬币有正面朝上 和反面朝上两种结果, 骰子有 1 至 6 种点数共六个结 果,两个试验中每个结果的出现互不影响. 师:我们把在一个试验中不能同时发生的两个事 件叫做 …… 生:互斥事件. ( 迫不及待) 师:同时它们每个事件出现的可能性是 …… 生:一样的. 师:( 将图表补充完整) 互斥且等可能是两个试验 各结果之间的关系. 师:我们把上述试验中的每一个可能结果称为 基 本事件,那么在试验一中, 必然事件由那些基本事件组 成呢? 生:在试验一中, 必然事件应该由基本事件 “ 正面

师:目前我们通常用列举法来求基本事件的总数, 而树状图可以让我们直观地看出基本事件的总数, 而 且在列举的时侯不易发生重复和遗漏. 现在同学们通 过对下面两个题目的解答来体会一下树状图在列举基 本事件个数时的应用. ( 出示题目) 变式 1. 从字母 a,b,c,d 中任意取出三个不同字母的试 验中,基本事件的个数是多少? 2. 从字母 a,b,c,d,e 中任意取出三个不同字母的 试验中,基本事件的个数是多少? ( 两名学生板演, 教师指导, 多数同学掌握了树状 图列举基本事件个数的方法. ) 生:( 举手提问) 变式 1 中任意取出一个字母的方 法和任意取出 3 个字母的方法是相同的.
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师:刚才这名同学的发言很好, 为我们提供了一种 求基本事件总数的简洁方法. 同学们课后可根据这种 方法去思考一下变式 2. 师:仔细观察一下,两个模拟试验和例 1 有什么共 同特点? 并完成下表. ( 出示表格)
基本事 件个数 试验一 试验二 例1 每个基本事件 出现的可能性 共同特点

 

       

中学数学杂志  2014 年第 5 期
1 . 2

件) = 1.

试验二中,出现各个点的概率相等, 即 P( “1 点 ” ) = P( “2 点” ) = P( “3 点” ) = P( “4 点” ) = P ( “5 点” ) = P ( “6 点” ) . 利用概率的加法公式,有 P( “1 点 ” ) + P( “2 点 ” ) + P( “3 点 ” ) + P( “4 点” ) + P( “5 点” ) + P( “6 点” ) = P( 必然事件) = 1, 点” ) = P( “5 点” ) = P ( “6 点” ) = 所以 P( “1 点” ) = P( “2 点” ) = P( “3 点” ) = P( “4 师:一般的, 如果一个古典概型共有 n 个基本事 1 . n 1 . 6

因此 P( “ 正面朝上” ) = P ( “ 反面朝上” ) =

    生:他们的基本事件个数分别是 2,6,6, 每个事件 出现的可能性相等. 师:如果试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个;而且每个基本事件出现的可能性相等. 我们就把 具有这两个特点的概率模型称为 古典概率模型, 简称 古典概型. 师:大家观察这两个试验是古典概型吗? ( 出示例 子) (1) 从整数集中任取一个整数的试验. (2) 从我们班( 男生 29 人,女生 26 人) 随机地抽取 一位学生代表, 出现两个可能结果 “ 男同学代表 ” “ 女 同学代表” . ( 小组再次讨论,由小组代表发言) 生:不是古典概型, 因为试验的所有可能结果数是 无限的,虽然每一个试验结果出现的“ 可能性相同” ,但 这个试验不满足古典概型的第一个条件. 生:不是古典概型, 因为试验的所有可能结果只有 2 个,而“ 男同学代表” “ 女同学代表 ” 出现不是等可能 的,即不满足古典概型的第二个条件. 师:同学们回答得很好, 同学们继续思考在试验 一、试验二中, 每个基本事件出现的概率是多少? 如何 求出? 3  公式探究 1 生:试验一每个事件发生的概率应该是 , 试验二 2 1 每个基本事件出现的概率应该是 . 6 师:这些概率你是怎么得出的? 生:从可能性角度分析得到的, 因为每个事件出现 的可能性相等. 师:很好, 可以看到同一个试验中任意两个基本事 件都是互斥且等可能, 同时任何事件 ( 包括必然事件 ) 都可以表示为基本事件的和, 我们可以利用概率的加 法公式来得出结论. ( 展示推导过程, 由学生进行小组 讨论,教师巡视,解决学生遇到的困难) 试验一中,出现正面朝上与反面朝上的概率相等, 即 P( “ 正面朝上” ) = P ( “ 反面朝上” ) 由概率的加法公式,得 P( “ 正面朝上” ) + P ( “ 反面朝上 ” ) = P( 必然事
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件,那么每个基本事件在一次试验中发生的概率是多 少呢? 生:( 异口同声)

少?

师:在试验二中, 事件 “ 出现偶数点 ” 的概率是多 生:因为事件“ 出现偶数点” 由三个互斥事件“2 点”、 1 1 1 3 1 + + = = . 6 6 6 6 2

“4 点” 和“6 点” 共同组成,利用概率加法公式可以计算这 个事件的概率 P(“ 出现偶数点”) = P(“2 点”) + P(“4 点”) + P(“6 点”) = 师:观察试验二的基本事件总数, 与随机事件 “ 出 生:出现偶数点的概率正好等于 “ 出现偶数点 ” 所 ( 教师 帮 助 学 生 形 成 公 式:P( “ 出 现 偶 数 点 ” ) = 师:对于古典概型,事件 A 在一次试验中发生的概 生 :P ( A ) = A 包含的基本事件的个数 . 基本事件的总数

现偶数点” 所包含的基本事件的个数与出现偶数点的 概率之间有什么关系? 你能得到什么样的结论? 包含的基本事件的个数比基本事件总数

“ 出现偶数点” 所包含的基本事件的个数 ). 基本事件的总数 率如何计算呢? 4 

典例应用

示例题 2) 例 2 

师:我们看如何使用公式来解决下面的问题. ( 出 单选题是标准化考试中常用的题型, 一般

是从 A,B,C,D 四个选项中选择一个正确答案, 请大家 完成下列问题: 数的概率为(     ) . A. (1) 抛掷一枚质地均匀的骰子, 得到的点数是奇 1 1 1 1     B.     C.     D. 2 3 4 6

appears frontage to face on the probability is(     ) .

(2) Throws two quality of material even coins,all

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A.

                         

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人选 B,2 人选 A,1 人选 D. 第 2 题 11 人选 A,13 人选 B, 17 人选 C,14 人选 D. 师:单从两个题目的选项来看, 差别还是比较大 的,你能解释一下原因吗? 生:第 1 题很容易,但第 2 题, 没读懂它的意思, 时 间到了,只能随机选一个 师:如果将两个题的选项结果看作两个试验, 则每 个试验有 4 个结果构成,他们是不是古典概型呢? 题目都没看懂, 随便猜一个, 每个选项的选取是等可能 的,符合古典概型的特点. 师:回答得很好, 看来同学们对古典概型的理解又 加深了一步. 留给大家两个思考题. ( 出示题目) 思考:( 课后分组讨论完成)

1 1 1 1     B.     C.     D. 2 3 4 6 师:给大家两分钟的时间独立完成题目, 小组长统 计选项的分布情况,科代表汇总. 生:( 两分钟后, 科代表 ) 统计的结果是第 1 题 52

1 2 3 4 5 6

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,4) (4,5) (4,6) (5,5) (5,6) (6,6) 6

1 2 3 4 5 6

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)











生:第 1 个不是, 在知道考察内容下, 肯定选择唯 一选项,每个选项的选取是不等可能的. 第 2 个应该是,

果有一个考生答对了 10 道题, 他是随机选择的可能性 大,还是他掌握了一定知识的可能性大? 变式 2:在标准化考试中既有单选题又有多选题, 多选题是从 A,B,C,D 四个选项中选出所有正确的答 案,同学们可能有一种感觉, 如果不知道正确答案, 多 选题更难猜对,这是为什么? 师:如果将试验一中的一枚硬币换成两个, 它们的 基本事件总数是多少呢? 生:三个,正正,正反,反反 师:其他同学还有什么补充吗? 生:( 小组讨论后) 应该是四个, 还有一个反正, 因 为在列举的时候,应该按第 1 枚正,第 2 枚正,反;第 1 枚 反,第 2 枚正,反; 只有这样才能保证每个事件发生的 可能性是相等的. 师:这名同学分析得很全面, 我们接着看下面这个 例子( 出示例 3) 例 3  同时掷两个质地均匀的骰子,计算: (1) 一共有多少种不同的结果? (2) 其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3) 向上的点数之和是 5 的概率是多少? ( 学生经过思考列举后, 出现了分歧, 有同学说 21 种,有同学说 36 种. ) 师:首先大家先看一下所列的结果是不是符合古 典概型的特征. ( 教师将列举的结果以表格的形式展示, 要求学生 观察类比)

变式 1:现行的高考数学试卷中有 12 道单选题,如

A 所包含的基本事件的个数 4 1 = = . 基本事件的总数 36 9 师:下面请同学们对本节课所学的知识进行小结 ( 出示总结提纲,学生自我总结,教师补充) . 5  自我总结 1. 古典概型的特点; 2. 利用古典概型概率计算公式求解概率的步骤; 3. 求基本事件的个数的常用方法. 师:( 出示检测题,学生课后限时训练,小组反馈. ) 6  课后检测 1. 求从字母 a,b,c,d,e 中随机任意取出 1 个和 4 个 字母的基本事件个数, 比较他们的数量关系, 你能说明 这种关系吗? 取出 2 个与 3 个呢? 2. 掷两枚质地均匀硬币,(1) 出现两个正面的概率 为       ;(2) 至少出现一次正面的概率为       . 3. 一枚硬币连掷 3 次,只有一次出现正面的概率为       . P( A) =
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    师:如果我们关注两个不加识别骰子出现的点数, 则有 21 种结果;如果我们把两个骰子标上记号 1,2 以 便区分,由于 1 号骰子的结果都可以与 2 号骰子的任意 一个结果配对,我们用一个 “ 有序实数对 ” 来表示组成 同时掷两个骰子的一个结果 ( 如表 ) , 其中第一个数表 示 1 号骰子的结果, 第二个数表示 2 号骰子的结果. 从 表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有 36 种. 值得 关注的是第一、 二种情形中的结果不是等可能的, 不能 直接运用古典概型公式计算事件的概率; 生:原来是这样. ( 恍然大悟) 师:那么余下的两问就由同学们完成吧. 生:上面结果中,向上的点数之和为 5 的结果有 4 种:(1,4) ,(2,3) ,(3,2) ,(4,1) 生:由于所有 36 种结果是等可能的, 其中向上点 数之和为 5 的结果( 记为事件 A) 有 4 种,因此,由古典 概型的概率计算公式可得

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4. 同时掷两个质地均匀的骰子, 所得点数之积为 6 的概率为       . 5. 思考题: 抛掷一枚质地均匀的骰子, 由骰子的点 数为奇数还是偶数来决定乒乓球比赛中的发球权, 公 平吗? 同时抛掷两枚质地均匀的骰子, 由两枚骰子的 点数之和为奇数还是偶数来决定乒乓球比赛中的发球 权,公平吗? 教学评价与分析 本节课的教学设计符合学生的实际, 体现了以学 生为本的教学理念, 教学中通过学生的试验引出问题, 利用表格填写试验结果, 清晰地展现出试验结果间的 关系,根据学生没有学习排列组合知识的情况, 较直观 的介绍了一些求基本事件总数的方法, 为求概率奠定 了良好的基础, 遵循了学生的认知规律, 利用从特殊到

 

       

中学数学杂志  2014 年第 5 期

一般的思想方法, 归纳总结出了求古典概型的计算公 式,这是本节课的一个亮点. 从课堂教学实践来看, 师生之间, 生生之间相互讨 论,交流热烈, 目标达成度高. 例题的选择适当, 起到了 巩固概念,培养数学思想方法的目的. 课后检测目的清 楚,难度适中, 既能复习巩固知识, 又利于以后的学习, 这也是本节一个亮点. 不足的是, 在概念和公式的推导 过程中不够简练, 以至于没有充足的时间进行随堂练 习.
评选一等奖) ( 本课例曾获得教育部课程教材研究所教材实验优质课

莉,1977 年 5 月生,中学一级教师.

作者简介  王勇,男 1977 年 11 月生, 中学一级教师. 袁

椭圆中一个三角形最大面积问题
上海市宝山区宝林路宝林六村 42 号 101 室    201999    姜坤崇
    问题   设椭圆 E: a b 为 O,A、B 是椭圆上的两点( A、B、O 不共线) ,求 △AOB 面积的最大值. 对于这个问题, 笔者经过探讨, 得到了如下两个有 趣的结论. x2 y2 定理 1  设椭圆 E : 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的中 a b 心为 O,A、B 是椭圆 E 上的两点( A、B 、O 不共线) ,则当 x2 y2 1 且仅当直线 AB 与椭圆 F : 2 + 2 = 相切时,S △AOB 取 2 a b 1 ab. 2 证明   ( ⅰ) 当直线 AB 不 与 x 轴 垂 直 时 ( 如 图 1) , 设 A( x 1 ,y 1 ) ,B( x 2 ,y 2 ) , 直 线 AB 的方程为 y = kx + m( m ≠ 0) ,代 入椭圆 E 的方程整理得 ( a 2 k 2 + b 2 ) x 2 + 2a 2 kmx + a 2( m 2 - b 2 ) = 0 .         ① 得最大值 x2




y2


= 1( a > b > 0) 的中心

x1 + x2 = -

所以 AB 2 = ( k 2 + 1) ( x 1 - x 2 ) 2

2a 2 km a 2( m 2 - b 2 ) ,x 1 x 2 = . 2 2 a k +b a2 k2 + b2


= ( k 2 + 1) [ ( x 1 + x 2 ) 2 - 4x 1 x 2 ]

图1

由于直线 AB 与椭圆 E 有两个公共点,故关于 x 的 二次方程 ① 有两个不相等的实数根,设方程 ① 根的判 别式为 Δ 1 ,则 = 4a 2 b 2( a 2 k 2 + b 2 - m2 ) > 0, 所以 a 2 k 2 + b 2 - m2 > 0. 由于 x 1 、x 2 为方程 ① 的两根,故由韦达定理得 Δ 1 = 4 a 4 k 2 m 2 - 4 a 2( a 2 k 2 + b 2 ) ( m 2 - b 2 )

m2 ,于 k2 + 1 1 a 2 b 2 m 2( a 2 k 2 + b 2 - m 2 ) = 是 S2 AB 2 ·d 2 = . △AOB 4 ( a2 k2 + b2 ) 2 1 - a2 b2 所以 S 2 △AOB 4 a 2 b 2 m 2( a 2 k 2 + b 2 - m 2 ) 1 = - a2 b2 2 2 2 2 4 (a k + b ) a 2 b 2( a 2 k 2 + b 2 - 2 m 2 ) 2 =- ≤ 0. 4( a 2 k 2 + b 2 ) 2 因此当且仅当 a 2 k 2 + b 2 - 2m2 = 0 时,S △AOB 取得最 1 大值 ab. 2 另将直线 AB 的方程 y = kx + m 代入椭圆 F 的方程 整理得: 2( a 2 k 2 + b 2 ) x 2 + 4a 2 kmx + a 2(2m2 - b 2 ) = 0.     ② 设关于 x 的二次方程 ② 根的判别式为 Δ 2 ,则 又设点 O 到直线 AB 的距离为 d,则 d 2 = Δ 2 = 16a 4 k 2 m2 - 8a 2( a 2 k 2 + b 2 ) (2m2 - b 2 )

4 2 2 4 a 2( m 2 - b 2 ) ù é 4a k m - = ( k 2 + 1) ê ú 2 2 2 2 ê a2 k2 + b2 ú ?( a k + b ) ? 4a 2 b 2( k 2 + 1) ( a 2 k 2 + b 2 - m2 ) = . ( a2 k2 + b2 ) 2

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