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广东高考理科数学前四道解答题限时训练1-10


珠海市第二中学

刘诗彪编

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得分

广东高考理科数学前四道解答题限时训练 1 16. (12 分)已知向量 a ? (sin x , ),b ? (cos x ,? 1).

17. (12 分)某次体能测试中,规定

每名运动员一开始 就要参加且最多参加四次测试,一旦测试通过,就不再 参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止,已知

?

3 ? 2

(1)当 a // b 时,求 2cos

? ?

2

x ? sin 2 x 的值;

? ? ? ? (2)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 [ ? , 0] 上的值域. 2

运动员甲的每次通过率为 0.7 (假定每次通过率相同) , 设运动员甲参加测试的次数为 ? . (1) 求运动员甲最多参加两次测试的概率 (精确到 0.1 ) ; (2)求 ? 的分布列及数学期望.

1

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得分

18. (14 分)如图,四面体 ABCD 中, O 是 BD 的中

19. (14 分)函数 f ( x) 满足 且 f (1) ?

f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ,

2 点,CA ? CB ? CD ? BD ? a ,AB ? AD ? a. 2
(1)求证:平面 AOC

1 . 2
?

? 平面 BCD ;

(1)当 n ? N 时,求 (2)设 an

f (n) 的表达式;

(2)求二面角 O ? AC ? D 的平面角的余弦值. A

? nf (n), n ? N ? ,求证:

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 2 ;
(3)设 bn D

? (9 ? n)

f (n ? 1) , n ? N ? , S n 为 bn 的 f ( n)

O B C

前 n 项和,当 S n 最大时,求 n 的值.

2

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 2 16. (12 分)等差数列 {an } 的前 n 项和记为 S n ,已知

17. (12 分)已知圆 C : x

2

? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 的

圆心在点 C ,点 A(3,5) . (1)求过点 A 的圆的切线方程; (2) O 点是坐标原点,连结 OA , OC ,求 ?AOC 的

a10 ? 20 , S20 ? 410 .
(1)求数列 {an } 的通项公式;

面积 S . (2)若 S n

? 155 ,求 n .

3

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得分

18. (14 分)设平面上向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,

?

19. (14 分)设函数

f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 24a2 x ? b 有

? ? ? 1 3 (0 ? ? ? 2? ) , b ? (? , ) , a 与 b 不共线. 2 2
(1)求证:向量 a ? b 与 a ? b 垂直; (2)当两个向量 求角 ? .

正的极大值和负的极小值,其差为 4. (1)求实数 a 的值; (2)求 b 的取值范围.

? ?

? ?

? ? ? ? 3a ? b 与 a ? 3 b 的模相等时,

4

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 3 16. (12 分)已知向量 m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x ) ,

17. (12 分)已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 am , am ? 2 , am?1 (m ? N ? ) 成等差数列,试判断

??

? ?? ? n ? (1, 2 cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n .
(1)求

S m , S m ? 2 , Sm?1 是否成等差数列,并证明你的结论.

f ( x) 的最小正周期与单调递减区间;

(2)在 ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,



f ( A) ? 4 , b ? 1, ?ABC 的面积为

3 , 2

求 a 的值.

5

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18. (14 分)正三棱柱 ABC ?

A1 B1C1 的所有棱长均

19. (14 分)已知数列 {an } 满足:

为 2, P 是侧棱 AA1 上任意一点. (1)求正三棱柱 ABC ?

a1 ?

1 1 1 , an an ?1 ? ( ) n (n ? N ? ) . 2 2 4

A1 B1C1 的体积;

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 1 ,且

(2)判断直线 B1 P 与平面 ACC1 A1 是否垂直,请证明 你的结论; (3)当 BC1 余弦值. A1 B1 P C1

? B1 P 时,求二面角 C ? B1P ? C1 的

1 求证: n ? 3 . Tn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn , T 2

A B

C

6

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 4 16. (12 分)在一次国际大型体育运动会上,某运动员 报名参加了其中 5 个项目的比赛.已知该运动员在这 5 个项目中,每个项目能打破世界纪录的概率都是 0.8, 那么在本次运动会上: (1)求该运动员至少能打破 3 项世界纪录的概率; (2) 若该运动员能打破世界纪录的项目数为 ? , ? 求 的数学期望 E? (即均值) .

17. (12 分)已知向量 a ? (2 cos2 x , 3) ,

?

?2 ? b ? (1,sin 2 x) ,函数 f ( x) ? a ? b , g ( x) ? b .
(1)求函数 g (x ) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的 对边,且

f (C ) ? 3 , c ? 1 , ab ? 2 3 ,且 a ? b ,

求 a , b 的值.

7

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18. (14 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 3 ,

19. (14 分)已知函数 ( a ? R ). (1)当 a 和最小值;

AC ? AB ? 4 , PB ? PC ? BC ? 5 , D , E 分别
是 BC , AC 的中点, F 为 PC 上的一点,且

1 f ( x) ? (a ? ) x 2 ? ln x 2

? 1 时,求 f (x) 在区间 [1, e] 上的最大值

PF : PC ? 3:1.
(1)求证: PA ? BC ; (2)试在 PC 上确定一点 G ,使得: 平面 ABG / / 平面 DEF ; (3) 在满足 (2) 的情况下, 求二面角 G ? AB ? C 的 平面角的正切值. P

(2)若在区间 (1, ??) 上,函数 线

f (x) 的图象恒在直

y ? 2ax 下方,求 a 的取值范围.

A E

F D C

B

8

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 5 16. (12 分)已知 f ( x) ? A sin(? x ? ?) 的图象如图, 其中 A ? 0 , ? (1)求

17. (12 分)旅游公司为 3 个旅游团提供了 4 条旅游线 路,每个旅游团只能任选其中一条. (1)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率;

?0,?

?
2

?? ?

?
2



(2)求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.

y ? f ( x) 的解析式; y ? f ( x) 的图象是由 y ? sin x 的图象

(2)说明

经过怎样的变换得到的?

y
4

O

?4

? 6

? x

9

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18. (14 分)已知一动圆 M 恒过点 F (1, 0) ,且总与 直线 l : x ? ?1相切. (1)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (2)探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的两点

19. (14 分)如图,在四面体 ABCD 中, O , E 分别 是 BD , BC 的中点,且 CA ? CB ? CD ? BD ? 2 ,

AB ? AD ? 2 .
(1)求证: AO ? 平面 BCD ; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 E 到平面 ACD 的距离. A

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,当 y1 y2 ? ?16 时,直线 AB
恒过定点?若存在,求出定点坐标; 若不存在, 说明理由.

D O B E C

10

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 6 16. (12 分)锐角 ?ABC 中,已知内角 A , B , C 所对

17. (12 分) 某市政府要用三辆汽车从新市政府把工作 人员接到老市政府,已知从新市政府到老市政府有两 条公路,汽车走公路①堵车的概率为 率为

?? 的边分别为 a , b , c ,向量 m ? (2sin( A ? C ) , 3) ,

?? ? ? ? B ? n n ? ? cos 2 B , 2 cos 2 ? 1? ,且向量 m, 共线. 2 ? ?
(1)求角 B 的大小; (2) 如果 b ? 1, ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值. 求

1 ,不堵车的概 4

3 ;汽车走公路②堵车的概率为 p ,不堵车的概 4

率为 1 ?

p .若甲、乙两辆汽车走公路①,丙汽车由于

其他原因走公路②,且三辆车是否堵车相互之间没有 影响. (1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为 求走公路②堵车的概率; (2)在(1)的条件下,求三辆汽车中被堵车辆的 个数 ? 的分布列和数学期望.

7 , 16

11

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18. (14 分)在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? CD , 侧面 PCD ? 底面 ABCD ,底面

19. (14 分)已知

f ( x) ? ax ? ln x , x ? (0, e] ,

ABCD 是直角梯形,

g ( x) ?

AB / /CD , ?ADC ? 900 , AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 .

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R . x
? 1 时, f (x) 的单调性、极值;

(1)讨论 a

(2)求证:在(1)的条件下, (1)求证: BC

? 平面 PBD ;
??? ? ??? ?
(3)是否存在实数 a ,使

1 f ( x) ? g ( x) ? ; 2

(2)设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 的大小为 450 . P Q

f (x) 的最小值是 3,若存

在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

D C A B

12

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 7 16. (12 分)已知函数

17. (12 分)如图, AB 为圆 O 的直径,点 E , F 在圆

O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在
的平面互相垂直.已知 AB (1)求证:平面 DAF

f ( x) ? 3 (sin 2 x ? cos2 x) ? 2 sin x cos x .
(1)求

? 2 , EF ? 1 .

f (x) 的最小正周期;

? 平面 CBF ;

(2)设 x ? [? 区间.

? ?
3 3 ,

] ,求 f (x) 的值域和单调递增

(2)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小; (3)当 AD 的长为何值时,二面角 D ? FE ? B 的 大小为 60 ?
?

C

D

B

.
A

E

O F

13

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18. (14 分)甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分(无平局) ,比赛进行到有一人比对方 多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率

19. (14 分)已知函数 其中 a

f ( x) ? a ln(1 ? 2 x) ? x 2 ,

? 0 , x ? (0, 1] .

(1)求函数

f ( x) 的单调递增区间;
? n 2 ln(1 ? 2 ) 对一切 n

1 p ( p ? ) ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛 2 5 结束时比赛停止的概率为 . 9
为 (1)若下图为统计这次比赛的局数 n 和甲、乙的总 得分数 S , T 的程序框图. 其中如果甲获胜, 输入 a

(2)若不等式 1 ? n 2 ?

正整数 n 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

? 1,

b ? 0 ;如果乙获胜,则输入 a ? 0, b ? 1 .请问在第
一、第二两个判断框中应分别填写什么条件? (2)求

p 的值;

(3)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变 量 ? 的分布列和数学期望 E? . 开始

n ? 0, S ? 0, T ? 0

输入 a, b

S ? S ? a, T ? T ? b
M ? S ?T

n ? n ?1

?

Y

N N
?

Y
输出 n, S , T

结束

14

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 8 16. 分) ?ABC 中,cos B ? ? (12 在 (1)求 sin A 的值; (2)设 ?ABC 的面积 S ?ABC

17. (12 分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到

5 4 ,cos C ? . 13 5

A , B , C , D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有
一名志愿者.

?

33 ,求 BC 的长. 2

(1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)设随机变量 ? 为这五名志愿者中参加 A 岗位 服务的人数,求 ? 的分布列.

15

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18. (14 分)如图,在直三棱柱 ABC ?

A1 B1C1 中,

19. (14 分)已知函数

f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2 x2 ? b ,

AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 , AA1 ? 4 ,点 D 是

x ? R ,其中 a, b ? R .
(1)当 a

AB 的中点.
(1)求证: AC

??

10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

? BC1 ;

(2)若函数 范围;

f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值

(2)求证: AC1 / / 平面 CDB1 ; (3)求二面角 C1 ? AB ? C 的正切值. C1 A1

(3)若对于任意的 a ? [?2, 2] ,不等式

f ( x) ? 1 在

B1

[?1,1] 上恒成立,求 b 的取值范围.

C B D A

16

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 9 16. (12 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是内角 的对边,且 a ? 4 , C (1)求 sin B ; (2)求 b 的长.

17. (12 分)某商场为刺激消费,决定按以下方案进行 促销:顾客每消费 500 元便得到抽奖券一张,每张抽奖 券的中奖概率为

A, B, C

? 2 A , cos A ?

3 . 4

1 ,若中奖,商场返回顾客现金 100 2

元.某顾客现购买价格为 2300 的台式电脑一台,得到 奖券 4 张. (1) 设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为 ? , ? 的 求 分布列; (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为 ? (元) , 用 ? 表示 ? ,并求 ? 的数学期望.

17

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18. (14 分)如图 1,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称, ?A ? 60
0

19. (14 分)已知定点 D(1,0) , M 是以点 C 为圆心的 圆 ( x ? 1)
2

, ?C ? 900 , CD ? 2 .把 ?ABD

? y 2 ? 8 上的动点,点 P 在 DM 上,点 N
???? ? ??? ??? ???? ? ? ?

沿 BD 折起(如图 2) ,使二面角 A ? BD ? C 的余弦值

在 CM 上,且满足 DM ? 2DP , NP ? DM ? 0 .动点

等于

3 .对于图 2,完成以下各小题: 3

N 的轨迹为曲线 E .
(1)求曲线 E 的方程; (2)线段 AB 是曲线 E 的长为 2 的动弦, O 为坐标 原点,求 ?AOB 面积 S 的取值范围.

(1)求 A

, C 两点间的距离;
? 平面 BCD ;

(2)证明: AC

(3)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值. C A 图2 B D C D

图1

B A

18

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 10 16. (12分)已知向量 a 互相垂直,其中 ? ? (0,

对某城市一年(365 天)的空气质量进行监测,获 得的 API 数据按照区间 [0,50] , 50,100 ] ,100,150 ] , ( (

? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? )

?
2

(150,200 ] , (200,250 ] , (250,300 ] 进行分组,得到

).
频率分布直方图如图 5. (1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微 污染的概率. (结果用分数表示.已知 5 7 ? 78125 , 2 7 ? 128 ,

(1)求 sin ? 和 cos? 的值; (2) sin(? 若

??) ?

10 ? 求 , 0 ? ? ? , cos ? 的值. 10 2

3 2 7 3 8 123 , ? ? ? ? ? 1825 365 1825 1825 9125 9125

365 ? 73 ? 5 )
频率 组距

x
2 365 7 1825 3 1825 8 9125

O

50

100 150 200 250 300

API

17. (12分)根据空气质量指数API(为整数)的不同, 可将空气质量分级如下表: API 0-50 51-100 101-150 151-200 201-250 251-300 >300 级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ1 Ⅲ2 Ⅳ1 Ⅳ2 Ⅴ 状况 优 良 轻度污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 19

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18. (14 分)如图,已知正方体 ABCD ?

A1 B1C1 D1 的

19. (14 分)若曲线 C : y ? x 2 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( xA , y A ) 和 B( xB , yB ) ,且 x A

棱长为 2,点 E 是正方形 BCC1 B1 的中心,点 F , G 分 别是棱 C1 D1 , AA1 的中点.设点 E1 , G1 分别是点 E , G 在平面 DCC1 D1 内的正投影.

? xB .记曲

线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的 平面区域(含边界)为 D .设点 P( s, t ) 是 L 上的任一 点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.

(1)求以

E 为 顶 点 , 以 四 边 形 FGAE 在 平 面

(1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点

DCC1 D1 内的正投影为底面边界的棱锥的体积;
(2)证明:直线 FG1

M 的轨迹方程;
(2) 若曲线 G : x 2

? 平面 FEE1 ;

? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ?

51 ?0与 25

(3)求异面直线 E1G1 与 EA 所成角的正弦值. D1 A1 G1 E G D C A B F C1

D 有公共点,试求 a 的最小值.

B1

E1

20


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