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空间向量与立体几何.板块六.用空间向量解锥体问题(2).学生版


板块六.用空间向量解锥体问 题 典例分析
【例1】 如图, 在四面体 ABOC 中, OC ? OA , OC ? OB , ? AOB ? 120 ? ,且
OA ? OB ? OC ? 1 .

⑴设 P 为 AC 的中点. 证明: AB 上存在一点 Q , PQ ?OA , 在 使 并计算 ⑵求二面角 O ? AC ? B 的平面角的余弦值.
C

AB AQ

的值;

P O A

B

【例2】 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,
PD ? DC ? BC ? 1 , AB ? 2 , AB∥ DC , ? BCD ? 90 ?

⑴ 求证: PC ? BC ; ⑵ 求点 A 到平面 PBC 的距离.
P

D

C

A

B

【例3】 已知三棱锥 P ? ABC 中,PA ? 平面 ABC ,AB ? AC ,PA ? AC ?

1 2

AB

,N 为 AB

上一点, AB ? 4 AN , M , S 分别为 PB , BC 的中点.
⑴证明: CM ? SN ; ⑵求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

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1

P

M N B

A S

C

【例4】 如图,四棱锥 S ? ABCD 中, SD ? 底面 ABCD , AB ∥ DC , AD ? DC ,
AB ? AD ? 1 , DC ? SD ? 2 , E
S

为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC .

E

A

D B

C

⑴证明: SE ? 2 EB ; ⑵求二面角 A ? DE ? C 的大小 .

AB AC 【例5】 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为等腰梯形, ∥ CD , ? BD 垂足为 H ,

PH

是四棱锥的高, E 为 AD 中点.
P

D E A H

C B

⑴证明: PE ? BC ⑵若 ? APB ? ? ADB ? 60 ? ,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值.

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2

【例6】 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D , 底 面 A B C D是 矩 形 , PA ? 平 面 A B C D, 中
AP ? AB ? 2 , BC ? 2 2

, E , F 分别是 AD , PC 的中点.

⑴证明: PC ? 平面 BEF ; ⑵求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小.
z P

F A B x C E D y

【例7】 如 图 , 正 方 形 A B C D和 四 边 形 ACEF 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 , CE ? AC ,
EF ∥ AC

, AB ? 2 , CE ? EF ? 1 .
E F

C

B

D

A

(Ⅰ)求证: AF ∥ 平面 BDE ; (Ⅱ)求证: CF ? 平面 BDE ; (Ⅲ)求二面角 A ? BE ? D 的大小.

【例8】 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 矩 形 , PA ? 底 面 A B C D,
PA ? AB ? 6

,点 E 是棱 PB 的中点.

⑴求直线 AD 与平面 PBC 的距离; ⑵若 AD ? 3 ,求二面角 A ? EC ? D 的平面角的余弦值.
P

E A B C D

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3

【例9】 如图,在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD , BD 交 AC 于点
E

, F 是 PC 中点, G 为 AC 上一点.

⑴求证: BD ? FG ; ⑵确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG //平面 PBD ,并说明理由. ⑶当二面角 B ? PC ? D 的大小为
P

2π 3

时,求 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值.

F

A E G B C

D

【例10】 在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD , E 为 PC 中点,底

面 ABCD 是直角梯形, AB ∥ CD , ? ADC =90° AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 . ,
⑴求证: BE ∥ 平面 PAD ; ⑵求证: BC ? 平面 PBD ; 45° .
P E D C

⑶设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 为

????

????

A

B

【例11】 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 A B C D ,底面 A B C D 为直角梯形,
? ABC ? ? BAD ? 90 ? , PA ? AB ? BC ?

1 2

AD

. E 为 AB 中点, F 为 PC 中点.

⑴求证: PE ? BC ; ⑵求二面角 C ? PE ? A 的余弦值; ⑶若四棱锥 P ? ABCD 的体积为 4 ,求 AF 的长.

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4

P

F A E B C D

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