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§10 格林函数法求解稳定场问题


第十讲 格林函数法求解稳定场问题

1 格林函数法求解稳定场问题 格林函数法求解稳定场问题(Green’s Function) Green’s Function, 又名源函数 源函数,或影响函数 影响函数,是数学物理中 源函数 影响函数 的一个重要概念。 从物理上看, 一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这 种场的源之间关系: 热传导方程(Heat Eq.) :

2u a 2 2u = f ( r , t ) t 2
表示温度场

u 与热源 f ( r , t ) 之间关系
ε0

Poission’s Eq.:

2u = f ( r ) = ρ
表示静电场

u 与电荷分布 f ( r ) 之间的关系

场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生, 也可以由一个点源产生。但是,最重要的是连续分布源所产生的 场,可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如,在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势:

1

φ r =∫
V
'

()

ρ
4πε 0 r r
'

dV '

这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加 表示。 或者说,知道了一个点源的场,就可以通过叠加的方法算出 任意源的场。 所以, 研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。 这里就引入 Grenn’s Functions 的概念。 Green’s Functions:代表一个点源所产生的场 点源所 点源 产生的场。 下面,我们先给出 Green’s Functions 的意义,再介绍如何在 几个典型区域求出格林函数,并证明格林函数的对称性,最后用 格林函数法求解泊松方程的边值问题。 (我们将不介绍格林函数法在热传导问题和波动方程求解中 的应用。 ) 普遍而准确地说, 格林函数是一个点源在一定的边界条件和 初始条件下所产生的场。 初始条件下所产生的场。所以,我们需要在特定的边值问题中来 特定的边值问题中来 讨论 Green’s Functions. 我们只限于讨论泊松方程的第一类边 值问题所对应的 Green’s Functions. 2 泊松方程的格林函数 静电场中常遇到的泊松方程的边值问题:

2

1 2 u (r ) = ρ f (r ) ε0 α u ( r ) + β u ( r ) = ( r ) n s
这里讨论的是静电场 格林函数 G

u ( r ) , ρ f ( r ) 代表自由电荷密度。

( r , r ′) :位于 r ' 的单位正电荷在 r 处所激发的

满足齐次边界条件的电势。 定解问题为: 三维 Green’s Functions 定解问题



1 2 ′) = δ 3 ( r r′) G ( r , r ε0 α G ( r , r ′ ) + β G ( r ) = 0 n S
这里 δ
3

( r r ′) 表述了单位正电荷的体密度。

注意:对于第二类齐次边界条件且对于有限的研究区域,这 个定解问题无解。这是因为,虽然方程说明 V 内有单位正电荷

G ( r , r ′ ) = 0 说明点源产生的场在边界 存在,而边界条件 n S

S

上电场的法向分量

En =

G ( r , r ′ ) n
3

处处为零, 说明边界

条件与方程不相容。另外,可以对方程作积分

V

∫ G ( r , r′)dv = ∫ ε δ ( r r′)dv
2 0

1

这时要包含 r ′ 点,用高斯定理得 了!! !


S

G 1 ds = n ε 0 这就矛盾

注: 高斯定理

∫ Adv = ∫ n Ads
V S

这时引入广义格林函数 广义格林函数



1 2 G ( r , r ′) = δ 3 ( r r ′) + C ε0 G ( r , r ′ ) = 0 n S
其中 C 为常数,还要增加一个条件,以保证解的唯一性。

求解上面方程组①或②,可得在给定区域 V 的泊松方程的各 类边值问题的格林函数。

4

3 镜像法求 G. F. 镜像法求 用 Green’s Functions 去求解数理方程的定解问题, 首先要求 出相同边界、同类边值问题的 Green’s Function.

3.1 镜像法的基本概念 很多物理问题没有一个普遍奏效的解法, 人们发展了许多方 法,而每一种方法只能解决一部分问题。其中的一种办法是所谓 “猜解” ,即“尝试解” 。这要有所谓的“唯一性定理”保证。

唯一性定理: 某些物理问题(如静电边值问题)有唯一解。可以通过并 不唯一的方法找到这个唯一解, 这样就保证了解题方法的多样性 和灵活性。

静电镜像法是一种特殊的猜解方法,其基本思想 基本思想是:利用 基本思想 利用 点电荷模拟边界面上的感应电荷或极化电荷。 点电荷模拟边界面上的感应电荷或极化电荷

可用于镜像法解决的问题包括: 在点或线电荷与导体(或介质)存在的系统中,空间任一 点的场是由点(或线)电荷与界面上感应(或极化)电荷共同产 生的,而感应(或极化)电荷事先并不知道。通过分析边界条件 可以找到一个 (或多个) 像电荷来等效地代替导体面 (或介质面)
5

上的感应(或极化)电荷,从而把点(或线)电荷与界面上感应 (或极化) 电荷在待求区域产生场的求解问题转化为真实点电荷 和虚像电荷在待求区域所产生场的简单叠加。

镜像法求边值问题的一般步骤为(以静电场为例) : 1) 列出定解问题: 电势在待求区域所满足的微分方程和 边界条件; 2) 根据边界条件分析镜像电荷的个数、位置; 3) 写出电势分布的形式表达式(尝试解) ; 4) 把边界条件带入形式表达式以确定像电荷的量值和 位置; 5) 把已求出的像电荷带入形式解以得到真实的电势分 布; 6) 根据题意要求可由电势求场强、 电荷分布及受力等问 题。 静电镜像法分为: 反射镜像法: 平面镜法 球面镜法 半透镜法:平面镜法 球面镜法

6

3.2 无界空间 定解问题

1 2 G ( r , r′) = δ 3 ( r r ′) ε0 G ( r , r ′ ) =0 r →∞
对应物理问题:单位正电荷 q

= 1 置于

r ′ ,求空间任一点

r = ( x, y, z ) 处的电势 G ( r , r ′ ) = ?
G ( r ′, r ′ )

r

r′

1

库仑定律给出的解――无界区域的 Green’s Function: 无界区域的

G ( r , r ′) = =

1 4πε 0 r r ′ 1
2 2 2

4πε 0

( x x′ ) + ( y y ′ ) + ( z z ′ )

又叫基本解 基本解。 基本解

7

3.2 上半空间 定解问题

1 2 G ( r , r′) = δ 3 ( r r′) , z > 0; ε0 G ( r , r ′ ) = 0, G ( r , r ′ ) r →∞ = 0 z =0
这里实际上可以给出满足第一类边界条件的 G. F. of the first kind. 物理问题: 在

z=0
q

处, 有一无限大接地金属板, r ′ 处 在

有一单位正电荷

,求金属板上方任一点

r

处的电势

G ( r , r′) = ?
z

r
o

r+

r′

q =1

r

σ

q ′ = 1
镜像法的基本思想用在这里:当电荷 q 置于导体板的上方 时,由于静电感应,板上出现异号电荷,空间电场是由电荷 q 及

8

感应电荷共同激发的,即 G

= G0 + G1 。

格林等效层定理: 格林等效层定理 带电导体面上的电荷分布在导体外产生的 电势,可以用导体面内的一定的等效电荷分布来代替。 我们通过电场分布分析, 引进像电荷 像电荷――假想电荷――来代 像电荷 替感应电荷作用。在这里,我们在电荷 q 相对于 z 镜像位置引进 q ′

= 0 平面的

= 1 ,那么 q′ 和 q

激发电场与

q 和真实

感应电荷激发的电场相同。 这里 q′ 要满足 q′ 和 q 共同在导体面 上产生的电势为零。

像电荷的正确引进要符合: ① 像电荷用在求解区域之外引入,因为感生电荷在上半空 间的场 G1 处处满足 Laplace’s Eq. G1 = 0 , 即在上半平面内
2

是无源的。 ② 像电荷的电量 q′ 和位置要满足边界条件:

G ( r , r ′ ) r = 0 = 0 和 G ( r , r ′ ) r →∞ = 0 。
Then, q = 1 和 q′

= 1 激发的电势是待求的格林函数。

9

G ( r , r′) = 1 = 4πε 0

1 4πε 0 r+



1 4πε 0 r 1 + 2 2 2 ( x x′ ) + ( y y ′ ) + ( z + z ′ ) 1

( x x′ ) + ( y y ′ ) + ( z z ′ )
2 2

2

金属板上的面电荷密度

σ = ε
应能证明:

G =? z z =0

金属板上总电荷

∫ σ dS = 1
1 则是 q

这说明金属板上总感应电荷等于像电荷。 这是因为接地的导体平 面相当于一面镜子,而 q′ = 像电荷。 3.3 球外空间 这里还是考虑第一类 G.F.函数的求解问题。 定解问题

= 1 的像, q′ = 1 称

1 2 G ( r , r′) = δ 3 ( r r′) , r > r0 ; ε0 G ( r , r ′ ) = 0, G ( r , r ′ ) r →∞ = 0 r = r0
对 应 物 理 问 题:接 地 金 属 球 外

r ′ 处, 有 一 单 位 正电荷

q = 1 ,求球外空间任一点 r 处的电势 G ( r , r ′ ) = ?
10

q′ r ′′
o

r′
r0

q =1

α

r

p

首先引进像电荷 q′ ,要不违反泊松方程,也就是让 q′ 产生 的电势 G1 满足 Laplace’s Eq., G1 = 0 ,
2

q′ 必须在求解区域

之外一球内,考虑到对称性, q′ 还必须在 r ′ 上,放在

r ′′ 处。

为了保证球面电势为零,即 G ( r , r ′ ) r = r0 = 0 成立, q′ 为负电 荷。

q′ =?, r ′′ =?
应由边界条件定:

G ( r , r ′ ) r =r
也就是

0

1 q q′ = + 4πε 0 r r ′ r r ′′

=0 r =r

11

q q′ = r0 r ′ r0 r ′′ q′ r0 r ′ r ′′ r0 = = = = const q r0 r ′′ r0 r ′
注意,有两个相似三角形。 由此确定了像电荷的位置和电量

r0 2 r ′′ = r′ r0 q′ = q r′
这样, q 和 q′ 激发的电势就是 Green’s Function

1 q q′ G ( r , r′) = + 4πε 0 r r ′ r r ′′
用球坐标表示: 场点:



r = ( r ,θ , ) ,
r ′ = ( r ′,θ ′, ′ ) ,

q 电荷所在位置:

像电荷 q′ 所在位置:

r02 r ′′ = , θ ′, ′ = ( r ′′, θ ′′, ′′ ) , (这里 θ ′ = θ ′′, ′ = ′′ ) r′
12

r r ′ = r 2 + r ′2 2rr ′ cos α
(余弦定理)

r r ′′ = r 2 + r ′′2 2rr ′′ cos α r r02 = r 2 + 2r cos α r′ r′
2 0 2

(余弦定理)

where

r r′ = rr′cosα = xx′ + yy′ + zz′ = rr′( sinθ cossinθ′cos′ +sinθ sinsinθ′sin′ +cosθ cosθ′) cosα =sinθ sinθ′cos(′) +cosθ cosθ′
( cos

= rr′( sinθ sinθ′cos(′) +cosθ cosθ′)

( ′) ――加法公式)
r r
我们得

q = 1 , q′ = 0′ q , 在考虑

1 1 1 ′) = G (r , r 2 2 4πε 0 r + r ′2 2rr ′ cos α rr ′ 2 + r0 2rr ′ cos α r0



13

场强:

E = G ( r , r ′ )
σ = ε 0
φ r r = r0

球面上电荷分布:

球面上总电荷:

∫ σ ds = 1
F = qq′i 4πε 0 ( r ′ r ′′ )2 1

由于球面上感应电荷在球外的场与像电荷- q′ 的场等效,

所以电荷

q 受感应电荷的力为

4

Green’s Function’s 对称性

G ( r , r ′ ) = G ( r ′, r )
重要物理意义: p′ 点的点源,在一定边界条件下,在 生的场等于:在 产生的场。

p产

p 置同样强度点源,在相同边界条件下在 p′

p′

p

这就是物理学中常说的倒易性-互易性。实际上,并非所有
14

格林函数都具有这种对称性,这与边值问题有关。 Proof. 泊松方程的 Green’s Fnuctions’ 对称性。 定解问题 :

1 2 G ( r , r′) = δ 3 ( r r′) , ε0 αG ( r , r ′ ) + β G ( r , r ′ ) = 0, n s
又有:

(1)

r ′ : 源点 r:场点

1 2 G ( r , r ′′ ) = δ 3 ( r r ′′ ) , ε0 α G ( r , r ′′ ) + β G ( r , r ′′ ) = 0, n s

(2)

r ′′ : 源点 r:场点
对 V 积分后:

G ( r , r ′′ ) Eq(1) G ( r , r ′ ) Eq(2)
V

G ( r , r ′′ ) 2G ( r , r ′ ) G ( r , r ′ ) 2G ( r , r ′′ ) dV ∫ = = G ( r , r ′′ ) δ 3 ( r r ′ ) G ( r , r ′ ) δ 3 ( r r ′′ ) dV ∫ ε0 V G ( r ′, r ′′ ) G ( r ′′, r ′ ) ε0
根据 Green 公式第二式

1 1

15

u v u 2 v v 2u ) dV = ∫ u v dS ∫( n n V s
可得
G ( r ′, r ′′ ) G ( r ′′, r ′ ) = ε0 1 G ( r , r ′ ) G ( r , r ′′ ) G ( r , r′) G ( r , r ′′ ) dS ∫ n n S

(5) 与上类似,对定解条件做如下处理得

G ( r , r ′ ) + β G ( r , r ′′ ) G ( r , r ′ ) α G ( r , r ′′ ) n S G ( r , r ′′ ) α G ( r , r ′ ) + β G ( r , r ′ ) G ( r , r ′′ ) = 0 n S G ( r , r ′ ) G ( r , r ′′ ) G ( r , r ′′ ) G ( r , r′) =0 n n S
所以(5)式右边

∫ 0dS = 0
s

G ( r ′, r ′′ ) = G ( r ′′, r ′ )
这就是格林函数的对称性。

5 求解泊松方程的第一类边值问题 泊松方程的第一类边值问题

16

2 ρ f (r ) , u ( r ) = ε0 u ( r ) = ( r ) , s
写出与 u

(1) (2)

ρ f :自由电荷体密度
u ( r ) : 静电势,

( r ) 有相同边界、同类边值问题的格林函数所满足的方
(3)

程与边界条件

1 2 G ( r , r′) = δ 3 ( r r′) , ε0 G ( r , r ′ ) = 0, s
写出自变量为 r ′ 的 Green’s Formula

∫ ( u ( r′) ′ v ( r ′) v ( r′) ′ u ( r ′) ) dV ′
2 2 V

v ( r ′ ) u ( r ′ ) = ∫ u ( r′) v ( r ′) dS ′ ′ ′ n n s
letting

u ( r ′ ) 为待求电势,

v ( r ′ ) = G ( r ′, r ) ,
便有(上式左端代入(3)和(1) ,右端 u
2

( r′) S = ( r′) )
2

∫ u ( r ′) ′ G ( r ′, r ) G ( r ′, r ) ′ u ( r ′) dV ′
V

G ( r ′, r ) u ( r ′ ) ′) ′, r ) = ∫ u (r G (r dS ′ n′ n′ s

17




V

u ( r ′ ) δ 3 ( r ′ r ) G ( r ′, r ) ρ f ( r ′ ) dV ′ ε0

1

G ( r ′, r ) ( r ′ ) ′) ′, r ) = ∫ ( r G (r dS ′ n′ n′ s 利用 δ 函数性质和 G ( r , r ′ ) s = G ( r ′, r ) S = 0
1

ε0

u (r ) =

1

ε0 V

∫ G ( r , r ′) ρ f ( r ′) dV ′ + ∫ ( r ′)
s

G ( r ′, r ) dS ′ n′

u ( r ) = ∫ G ( r , r ′ ) ρ f ( r ′ ) dV ′ ε 0 ∫ ( r ′ )
V s

G ( r ′, r ) dS ′ n′

Where

∫ G ( r , r ′) ρ ( r ′) dV ′
f V

为 V 内整个电荷分布在 r 处激发电势;

ε 0 ∫ ( r ′ )
s

G ( r ′, r ) dS ′ 为 V 外电荷分布在 r 处激发的电 n′

势。

6. 用正交函数组展开格林函数 . 的重要方法。 一个求有界区域 GF 的重要方法。 Example: 求矩形区域内的 Laplace’s Eq. 第一边值问题的 GF :

2 2 G 2G ' ' G ≡ 2 + 2 = δ ( x x ) δ ( y y ) , x y (0 < x < a, 0 < y < b) G = 0, x =0, xy= a y = 0, =b

(1)

(2)

满足条件(2)的一组正交函数函数为:
18

m π m π Φmn ( x, y) =sin xsin y, a b
其正交归一关系为:

, ( mn =1,2,...)
(3)

ab ' ∫∫Φmn ( x, y) Φmn' ( x, y)dxdy = 4 δmm'δnn', 00
(4) 注意这里选得正交函数组实际上是有条件的: 1) 满足边界条件 2) 实际上是如下本征方程的解-本征函数:
2 Φmn ( x, y) =λmnΦmn ( x, y)

ab

展开所求 GF:

G( x, y; x' , y' ) =∑gmn ( x' , y' ) Φmn ( x, y)
m ,n

(5) 带入原方程(1)得:

19

2G=∑gmn ( x' , y' ) 2 Φmn ( x, y)
m ,n

m 2 nπ 2 π ' ' = ∑gmn ( x , y ) + Φmn ( x, y) m ,n a b =δ ( xx' ) δ ( y y' )

对于上式做以下积分:

m 2 nπ 2 π ' ' ' ∫∫∑gmn ( x , y ) a + b Φmn ( x, y) Φmn' ( x, y) dxdy ,n 00 m
ba

= ∫∫δ ( xx' ) δ ( y y' ) Φm'n' ( x, y) dxdy
00

ba

We obtain that

mπ 2 nπ 2 ab ' ' g mn ( x ' , y ' ) + =Φ mn ( x , y ) a b 4

So

20

4 g mn ( x , y ) = 2 π ab m 2 n 2 + a b
' '

Φ mn ( x ' , y ' )

And

4 g mn ( x , y ) = 2 π ab m 2 n 2 + a b
' '

Φ mn ( x ' , y ' )

4 G( x, y; x , y ) =∑ 2 Φmn ( x, y) 2 2 m π ab m n ,n + a b m nπ m ' nπ ' π π sin xsin ysin x sin y 4 a b a b =∑ 2 π ab m2 n2 m ,n + a b
' '

Φmn ( x' , y' )

(6) 问题:这里的二重级数收敛很慢,在使用到求普遍问题的解时不 问题 太合适。

21

改进: 改进 用一个变数的正交函数组

m π mn ( x, y) =sin x, a
其正交归一关系为

( m=1,2,...)

a ∫m ( x, y)m' ( x, y) dx = 2δmm', 0
这组函数满足边界条件

a

m ( 0 ) = m ( b ) = 0 ,
同时具有

π m 2 mn ( x, y) = mn ( x, y) a
2



使用

{ ( x, y )} 对 GF 做展开有
mn

G( x, y; x' , y' ) =∑gm ( y; x' , y' ) m ( x, y)
m

(7) 带入原方程(1)得:

22

∑( g k g ) ( x) = =δ ( xx )δ ( y y )
'' m 2 m m ' ' m m

(8) Where

mπ k = a
2 m

2

做运算

∫Eq.(7)* ( x) dx
m' 0

a

可得:

2 g k g = sinkmx' i δ ( y y' ) a
'' m 2 m m
(9) 把(7)式带入原边界条件(2)式,可得相应边条件:

gm ( 0) =0,

gm ( b) =0。

这样构成了一个本征值问题:

23

g'' k2g =Cδ ( y y' ) g( b) =0 g( 0) =0,
这里已经暂时去掉了下标 m,并且令

(10)

2 C = sin km x ' 。 a

y ≠ y ' 时,方程(10)是齐次方程,其通解为 当
g ( y ) = A sh ky + B ch ky
由边界条件 g ( 0 ) = 0 得

B = 0,

so

g ( y ) = A sh ky 。
但看另一端边界条件 要求

g (b) = 0

,以上解不能满足。它却

A sh kb + B ch kb = 0
i.e.

A=
we have

B ch kb sh kb

24

ch kb g ( y ) = B ch ky sh ky sh kb = B 'sh k ( b y )
所以,定解问题(10)的解为

A sh ky g ( y) = B sh k ( b y )
其中系数待定。 问题是

( y<y ) ( y>y )
' '

g ( y) 在

y = y' 点 应 该 是 连 续 的 , 否 则

g ' ( y ) 在该点会变成无穷大,这与方程(10)的奇异性不符合,
因为该式右边的 δ ( y y ' ) 函数的积分值是有限的。So

A sh ky ' = B sh k ( b y ' )
因此

A sh ky g ( y) = sh ky ' sh k ( b y ) A ' sh k ( b y )

( y<y )
'

( y>y )
'

(11)

y ' 点附近求积分 如何定 A=?对(10)式在
25

y' +ε



g '' dy k 2

y' +ε



gdy = C

y ' ε

y ' ε

Letting

ε → 0 ,因
g'
'

g 连续,左方第二项积分趋于零,而得
y = y' 0

g' y= y +0

=C

(12)

这说明:是 g ( y ) 的一阶导数在 跳越;

y = y ' 点是间断的-有一个

由(12)式可以定出(11)式中的 A:

sh ky ' ch k ( b y ' ) Ak ch ky ' = C Ak sh k ( b y ' )
A= C k sh ky 'ch k ( b y ' ) + sh k ( b y ' ) ch ky ' sh k ( b y ' )

' C sh k ( b y ) = k sh kb

so

C sh k ( b y ' ) sh ky k sh kb g ( y) = C sh ky ' sh k ( b y ) k sh kb
26

(y < y )
'

y >y ' ) (

方程(9)在边界条件(10)之下的解是:

sh km ( b y ' ) sh km y 2sin km x gm ( y ) = km a sh kmb sh km y 'sh km ( b y )
'

y > y' ) (

y < y' ) (

代入(7)式得到

π π m m ' sh m b y' sh m y π π ( ) a sin xsin x a a × G( x, y; x' , y' ) =∑ a m π π π m =1 sh m y'sh m ( b y) m sh b a a a
因 为 只 要

( y< y )
'

( y>y )
'

y ≠ y'

, 当 m 很 大 时 , 级 数 的 通 项

e mα
傅立叶展开。

(α > 0 ) ,这个级数收敛较快。

实际上,可以证明(6)式右方的二重级数是上式关于 y 的

27


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