当前位置:首页 >> 数学 >>

2015-2016学年上海市华师大二附中高二(上)期中数学试卷


2015-2016 学年上海市华师大二附中高二(上)期中数学试卷
一、填空题(每题 4 分,满分 40 分) 1. (4 分)计算: = .

2. (4 分)关于 x,y 的方程组

的增广矩阵是



3. (4 分)方程

的解为


/>
4. (4 分)已知 M(2,5) ,N(3,﹣2) ,点 P 在直线 标为 .
*

上,且满足

=3

.则点 P 的坐

5. (4 分)已知数列{log2(an﹣1)}(n∈N )为等差数列,且 a1=3,a2=5,则 = .

6. (4 分)已知无穷等比数列{an}的所有项的和为 3,则 a1 的取值范围为 . 7. (4 分)直线过(﹣1,3)且在 x,y 轴上的截距的绝对值相等,则直线方程为 . 8. (4 分)在△ABC 中,A(2,4) ,B(1,﹣3) ,C(﹣2,1) ,则边 BC 上的高 AD 所在 的直线的点斜式方程为 . 9. (4 分)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于 点 P(x,y) .则|PA|?|PB|的最大值是 . 10. (4 分)已知 (0,π) ,β∈(π,2π) , 与 的夹角为 θ1, = . 与 的夹角为 θ2,且 ,α∈

二、选择题(每题 4 分,满分 16 分) 11. (4 分)如图给出了一个算法流程图,该算法流程图的功能是(



第 1 页(共 16 页)

A.求三个数中最大的数 B.求三个数中最小的数 C.按从小到大排列 D.按从大到小排列 12. (4 分)下列有关平面向量分解定理的四个命题中: ①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基; ②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基; ③平面向量的基向量可能互相垂直; ④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合. 正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 13. (4 分)对于向量 (i=1,2,…n) ,把能够使得| |+| |+…+| |取到最小

值的点 P 称为 Ai(i=1,2,…n)的“平衡点”.如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O, 延长 BC 至 E,使得 BC=CE,联结 AE,分别交 BD、CD 于 F、G 两点.下列结论中,正确 的是( )

A.A、C 的“平衡点”必为 O B.D、C、E 的“平衡点”为 D、E 的中点 C.A、F、G、E 的“平衡点”存在且唯一 D.A、B、E、D 的“平衡点”必为 F 14. (4 分)在平面直角坐标系中定义两点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)之间的交通距离为 d(P, Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.若 C(x,y)到点 A(1,3) ,B(6,9)的交通距离相等,其中 实数 x,y 满足 0≤x≤10,0≤y≤10,则所有满足条件的点 C 的轨迹的长之和为( ) A.1 B. C.4 D.5( +1)

第 2 页(共 16 页)

三、解答题(共 5 题,满分 44 分) 15. (8 分)用在矩阵行列式中所学的知识和方法,解方程组: .

16. (8 分)已知命题 P:

,其中 c 为常数,命题 Q:把三阶行列式

中第一行、第二列元素的代数余子式记为 f(x) ,且函数 f(x)在 增.若命题 P 是真命题,而命题 Q 是假命题,求实数 c 的取值范围. 17. (8 分)已知 0<k<4,直线 l1:kx﹣2y﹣2k+8=0 和直线

上单调递



两坐标轴围成一个四边形,求使这个四边形面积取最小时的 k 的值及最小面积的值. 18. (8 分) M 为△ABC 的中线 AD 的中点, 过点 M 的直线分别交两边 AB, AC 于点 P, Q, 设 ,记 y=f(x) .

(1)求函数 y=f(x)的表达式; (2)求 的取值范围.
*

19. (12 分)对于任意的 n∈N ,若数列{an}同时满足下列两个条件,则称数列{an}具有“性 质 m”: ① ;

②存在实数 M,使得 an≤M 成立. (1)数列{an}、{bn}中,an=n(n∈N ) 、 质 m”; (2)若各项为正数的等比数列{cn}的前 n 项和为 Sn,且 具有“性质 m”,并指出 M 的取值范围; (3)若数列{dn}的通项公式 (n∈N ) .对于任意的 n≥3(n∈N ) ,
* * *

(n∈N ) ,判断{an}、{bn}是否具有“性

*



,证明:数列{Sn}

数列{dn}具有“性质 m”,且对满足条件的 M 的最小值 M0=9,求整数 t 的值.

第 3 页(共 16 页)

2015-2016 学年上海市华师大二附中高二(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(每题 4 分,满分 40 分) 1. (4 分) (2013?长宁区一模)计算: 【考点】极限及其运算. = .

菁优网版权所有

【分析】先分子分母同除以 n ,再利用极限的运算性质可求.

2

【解答】解:由题意,

,故答案为 .

【点评】本题主要考查极限的运算及性质,属于基础题.

2. (4 分) (2015 秋?上海校级期中)关于 x,y 的方程组 . 【考点】矩阵的应用.
菁优网版权所有

的增广矩阵是

【分析】先把方程组方程组 求解. 【解答】解:二元一次方程组

改写为

,再由增广矩阵的概念进行

,即



∴二元一次方程组

的增广矩阵是

, 故答案为: 【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式,是基础题,解题时要认真审题,注意熟练掌 握增广矩阵的概念.

第 4 页(共 16 页)

3. (4 分) (2009?嘉定区一模)方程

的解为 x1=2,x2=log25 .

【考点】三阶矩阵. x 【分析】可以用三阶矩阵的化简方法把方程左边化简,得到一个关于 2 的一元二次方程, 解出 x 即可
菁优网版权所有

【解答】解:由
x x x

,化简得:

方程﹣20×2 +4 +11×2 +20=0 x 2 x 则方程同解于(2 ) ﹣9×2 +20=0 x x 得 2 =4 或 2 =5, x1=2,x2=log25 故方程的解为 x1=2,x2=log25. 故答案为:x1=2,x2=log25 【点评】考查学生转化三阶矩阵的方法,掌握三阶矩阵的计算方法.

4. (4 分) (2016 春?石河子校级期末)已知 M(2,5) ,N(3,﹣2) ,点 P 在直线 且满足 =3 .则点 P 的坐标为 (
菁优网版权所有

上,







【考点】线段的定比分点.

【分析】由题意可得点 P 分

成的比为 λ=

=3,由定比分点坐标公式求出点 P 的坐标.

【解答】解:由题意可得点 P 分

成的比为 λ=

=3,由定比分点坐标公式可得

x=

=

,y= , ) .

=﹣ ,故点 P 的坐标为(



) .

故答案为: (

【点评】 本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义, 线段的定比分点坐标公式 的应用,属于基础题. 5. (4 分) (2010?抚州模拟) 已知数列{log2(an﹣1) } (n∈N ) 为等差数列, 且 a1=3, a2=5, 则 = 1 .
*

【考点】数列的极限;等差数列的通项公式. * 【分析】由题意,可先由数列{log2(an﹣1)}(n∈N )为等差数列,且 a1=3,a2=5 得出数 列{log2(an﹣1)}的首项为 1,公差为 1,由此解出 log2(an﹣1)=1+(n﹣1)×1=n,从而
菁优网版权所有

第 5 页(共 16 页)

求出 an=1+2 ,再研究 an+1﹣an=2

n

n+1

+1﹣2 ﹣1=2 即可得出 = , 结合等比数列的

n

n

求和公式计算出所求的极限即可 * 【解答】解:数列{log2(an﹣1)}(n∈N )为等差数列,且 a1=3,a2=5 数列的公差为 log24﹣log22=1, n n 故 log2(an﹣1)=1+(n﹣1)×1=n,即 an﹣1=2 ,an=1+2 , n+1 n n ∴an+1﹣an=2 +1﹣2 ﹣1=2 ∴ =

故答案为 1 【点评】本题考查数列与极限的综合,考查了等差数列的性质,通项公式,对数的运算,等 n 比数列的求和等,涉及到的知识点多,综合性强,解题的关键是由题设条件求出 an=1+2 , 难度较高 6. (4 分) (2015 秋?上海校级期中)已知无穷等比数列{an}的所有项的和为 3,则 a1 的取值 范围为 {x|0<x<6,且 x≠3} . 【考点】等比数列的通项公式.
菁优网版权所有

【分析】由题意可得:

=3,0<|q|<1,解出即可得出.

【解答】解:由题意可得:

=3,0<|q|<1,

∴a1=3(1﹣q)∈(0,6) ,且 a1≠3. ∴a1 的取值范围为{x|0<x<6,且 x≠3}. 故答案为:{x|0<x<6,且 x≠3}. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式性质、极限的性质,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. 7. (4 分) (2015 秋?上海校级期中)直线过(﹣1,3)且在 x,y 轴上的截距的绝对值相等, 则直线方程为 3x+y=0、x﹣y+4=0,或 x+y﹣2=0 . 【考点】直线的截距式方程. 【分析】当直线经过原点时,斜率为﹣3,可得要求的直线方程.当直线不经过原点时,设 要求的直线方程为 x±y=k,再把点(﹣1,3)代入求得 k 的值,可得要求的直线方程,综 合可得结论.
菁优网版权所有

【解答】 解: 当直线经过原点时, 斜率为

=﹣3, 要求的直线方程为 y=﹣3x, 即 3x+y=0.

第 6 页(共 16 页)

当直线不经过原点时,设要求的直线方程为 x±y=k,再把点(﹣1,3)代入可得﹣1﹣3=k, 或﹣1+3=k, 求得 k=﹣4,或 k=2,故要求的直线方程为 x﹣y+4=0,或 x+y﹣2=0. 综上可得,要求的直线方程为 3x+y=0、x﹣y+4=0,或 x+y﹣2=0, 故答案为:3x+y=0、x﹣y+4=0,或 x+y﹣2=0. 【点评】本题主要考查求直线的方程,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题. 8. (4 分) (2015 秋?上海校级期中)在△ABC 中,A(2,4) ,B(1,﹣3) ,C(﹣2,1) , 则边 BC 上的高 AD 所在的直线的点斜式方程为
菁优网版权所有

y= x+



【考点】直线的点斜式方程. 【分析】先求出 BC 所在直线的斜率,根据垂直得出 BC 边上的高所在直线的斜率,由点斜 式写出直线方程,并化为一般式. 【解答】解:BC 边上的高所在直线过点 A(2,4) ,斜率为 =﹣ = ,由点斜

式写出 BC 边上的高所在直线方程为 y﹣4= (x﹣2) ,即 y= x+ 故答案为:y= x+ . 【点评】本题考查两直线垂直时,斜率间的关系,用点斜式求直线方程的方法. 9. (4 分) (2014?四川)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y ﹣m+3=0 交于点 P(x,y) .则|PA|?|PB|的最大值是 5 . 【考点】点到直线的距离公式. 【分析】 先计算出两条动直线经过的定点, 即 A 和 B, 注意到两条动直线相互垂直的特点, 则有 PA⊥PB;再利用基本不等式放缩即可得出|PA|?|PB|的最大值. 【解答】解:有题意可知,动直线 x+my=0 经过定点 A(0,0) , 动直线 mx﹣y﹣m+3=0 即 m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点 B(1,3) , 注意到动直线 x+my=0 和动直线 mx﹣y﹣m+3=0 始终垂直,P 又是两条直线的交点,
菁优网版权所有

则有 PA⊥PB,∴|PA| +|PB| =|AB| =10. 故|PA|?|PB|≤ =5(当且仅当 时取“=”)

2

2

2

故答案为:5 【点评】本题是直线和不等式的综合考查,特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答 的突破口,从而有|PA| +|PB| 是个定值,再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等 式相结合,不容易想到,是个灵活的好题. 10. (4 分) (2015 秋?上海校级期中)已知 , α∈ (0, π) , β∈ (π,
2 2

第 7 页(共 16 页)

2π) , 与 .

的夹角为 θ1, 与

的夹角为 θ2,且

= ﹣

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由 α∈(0,π) ,可得 得 θ2= ﹣ ,再利用 θ1﹣θ2=

菁优网版权所有

的范围.利用向量的夹角公式化简可得 θ1= ,即可得出 sin ∈(0, ) . = ,| |=1, 的值.

,同理可

【解答】解:α∈(0,π) ,∴ ∵ ? =1+cosα,| |=

∴cosθ1= ∴θ1= .

=

=

=

=cos



∵β∈(π,2π) ,∴ ∴ ∈(0,

∈( ) .

,π) ,

∵ ? =1﹣cosβ,| |=

=



∴cosθ2=

=

=

=sin

=cos(



) ,

∴θ2=



, ,∴ ﹣( ﹣ )= ,化为 =﹣ ,

∵θ1﹣θ2= sin

=sin(﹣

)=﹣ .

故答案为:﹣ . 【点评】 本题考查了向量的夹角公式、 数量积运算、 倍角公式, 考查了推理能力和计算能力, 属于中档题. 二、选择题(每题 4 分,满分 16 分) 11. (4 分) (2015 秋?上海校级期中)如图给出了一个算法流程图,该算法流程图的功能是 ( )

第 8 页(共 16 页)

A.求三个数中最大的数 B.求三个数中最小的数 C.按从小到大排列 D.按从大到小排列 【考点】程序框图. 【分析】 本题主要考查了条件结构叠加, 程序执行时需依次对“条件 1”、 “条件 2”、 “条件 3”… 都进行判断,只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作,结合流程图进行判断即可. 【解答】解:条件结构叠加,程序执行时需依次对“条件 1”、“条件 2”、“条件 3”…都进行判 断,只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作.根据流程图可知当 a>b 时取 b,当 b >c 时取 c 可知求三个数中最小的数 故选:B. 【点评】本题主要考查了选择结构,根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型, 算法和流程图是新课标新增的内容, 在近两年的新课标地区高考都考查到了, 这启示我们要 给予高度重视,属于基础题.
菁优网版权所有

12. (4 分) (2015 秋?上海校级期中)下列有关平面向量分解定理的四个命题中: ①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基; ②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基; ③平面向量的基向量可能互相垂直; ④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合. 正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】向量的物理背景与概念. 【分析】根据平面向量的基本定理,作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线,由 此对四个选项作出判断即可. 【解答】解:一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基,∴① 错误,②正确; 平面向量的基向量可能互相垂直,如正交基,∴③正确; 平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合, 如果是三个不共线的向量,表示法不唯一,∴④错误.
菁优网版权所有

第 9 页(共 16 页)

综上,正确的命题是②③. 故选:B. 【点评】 本题考查了平面向量基本定理的应用问题, 解题的关键是理解作为基底的两个向量 不共线,是基础题目. 13. (4 分) (2015?福建模拟)对于向量 (i=1,2,…n) ,把能够使得| |+| |+…+|

|取到最小值的点 P 称为 Ai(i=1,2,…n)的“平衡点”.如图,矩形 ABCD 的两条对角 线相交于点 O,延长 BC 至 E,使得 BC=CE,联结 AE,分别交 BD、CD 于 F、G 两点.下 列结论中,正确的是( )

A.A、C 的“平衡点”必为 O B.D、C、E 的“平衡点”为 D、E 的中点 C.A、F、G、E 的“平衡点”存在且唯一 D.A、B、E、D 的“平衡点”必为 F 【考点】向量在几何中的应用;平面向量的基本定理及其意义. 【分析】利用平面向量知识求解. 【解答】解:A、C 的“平衡点”为线段上的任意一点,故 A 错误; D、C、E 的“平衡点”为三角形内部对 3 边张角均为 120°的点,故 B 错误; A、F、G、E 的“平衡点”是线段 FG 上的任意一点,故 C 错误; ∵矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O,延长 BC 至 E, 使得 BC=CE,联结 AE,分别交 BD、CD 于 F、G 两点, ∴A、B、E、D 的“平衡点”必为 F,故 D 正确. 故选:D. 【点评】本题考查“平衡点”的求法,是中档题,解题时要注意平面向量知识的合理运用.
菁优网版权所有

14. (4 分) (2009?天心区校级模拟)在平面直角坐标系中定义两点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) 之间的交通距离为 d(P,Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.若 C(x,y)到点 A(1,3) ,B(6,9) 的交通距离相等,其中实数 x,y 满足 0≤x≤10,0≤y≤10,则所有满足条件的点 C 的轨迹 的长之和为( ) A.1 B. C.4 D.5( +1) 【考点】轨迹方程. 【分析】根据已知条件可推断出|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|,对 y≥9,y≤3 和 3≤y≤9 时分类讨论求得 x 和 y 的关系式,进而根据 x 的范围确定线段的长度,最后相加即可. 【解答】解:由题意得,C(x,y)到点 A(1,3) ,B(6,9)的交通距离相等, 所以|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|…(1) 当 y≥9 时, (1)化为|x﹣1|+6=|x﹣6|,无解; 当 y≤3 时, (1)化为|x﹣1|=6+|x﹣6|,无解; 当 3≤y≤9 时, (1)化为 2y﹣12=|x﹣6|﹣|x﹣1|.
菁优网版权所有

第 10 页(共 16 页)

若 x≤1,则 y=8.5,线段长度为 1; 若 1≤x≤6,则 x+y=9.5,则线段长度为 5 ; 若 x≥6,则 y=3.5,线段长度为 4. 综上可知,点 C 的轨迹构成的线段长度之和为 1+5 +4=5(1+ ) , 故选:D. 【点评】本题主要考查了新定义,两点间的距离公式的应用,以及分类讨论思想化简绝对值 方程,考查了学生分析问、解决问题的能力. 三、解答题(共 5 题,满分 44 分) 15. (8 分) (2015 秋?上海校级期中)用在矩阵行列式中所学的知识和方法,解方程组: . 【考点】二元一次方程组的矩阵形式. 【分析】先求出 D=
2

菁优网版权所有

=﹣m ﹣3m,当 D≠0 时,原方程组有唯一的解;当 D=0 时,

原方程组无解或有无数个解. 【解答】解:∵
2



∴D=
2

=﹣m ﹣3m,

当 D=﹣m ﹣3m≠0,即 m≠0 且 m≠﹣3 时, 方程组有唯一的解
2

= ,y=

=﹣2.

当 D=﹣m ﹣3m=0,即 m=0 或 m=﹣3 时,原方程无解或有无数个解. 【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式的解法及应用,是基础题,解题时要注意系数 矩阵的性质的合理运用. 16. (8 分) (2015 秋?上海校级期中)已知命题 P: ,其中 c 为常数,命题 Q:

把三阶行列式

中第一行、第二列元素的代数余子式记为 f(x) ,且函数 f(x)



上单调递增.若命题 P 是真命题,而命题 Q 是假命题,求实数 c 的取值

范围. 【考点】复合命题的真假. 【分析】先由已知命题 P 是真命题,得:c 为常数,根据三阶行列式中第一行、第二列元素 2 的代数余子式写出 f(x)=﹣x +cx﹣4,结合函数 f(x)在上单调递增.求得 c 的取值范围, 最后即可解决问题.
菁优网版权所有

第 11 页(共 16 页)

【解答】解:由已知命题 P:

,其中 c 为常数,是真命题,得:c 为常数

三阶行列式

中第一行、 第二列元素的代数余子式记为 ( f x) , 则( f x) =﹣x +cx+4,

2

且函数 f(x)在上单调递增. ∴函数 f(x)在 ∵命题 Q 是假命题,∴c< . ∴命题 P 是真命题,而命题 Q 是假命题, 实数 c 的取值范围是﹣1<c< . 【点评】本题主要考查了极限及其运算、三阶矩阵等,解答的关键是条件:“复合命题的真 假判断”的应用. 17. (8 分) (2015 秋?上海校级期中)已知 0<k<4,直线 l1:kx﹣2y﹣2k+8=0 和直线 与两坐标轴围成一个四边形,求使这个四边形面积取最小时的 k 的值及最小面积的值. 【考点】直线的一般式方程. 【分析】求出两直线经过的定点坐标,再求出直线与 x 轴的交点,与 y 轴的交点,得到所 求的四边形, 求出四边形的面积表达式, 应用二次函数的知识求面积最小时的 k 值与最小面 积值. 【解答】解:如图所示: 直线 L:kx﹣2y﹣2k+8=0 即 k(x﹣2)﹣2y+8=0,过定点 B(2,4) , 与 y 轴的交点 C(0,4﹣k) , 2 2 2 直线 M:2x+k y﹣4k ﹣4=0,即 2x+k (y﹣4)﹣4=0, 2 过定点(2,4 ) ,与 x 轴的交点 A(2k +2,0) , 由题意,四边形的面积等于三角形 ABD 的面积和梯形 OCBD 的面积之和,
菁优网版权所有

上单调递增, ≥ ? c≥ ,

∴所求四边形的面积为 ×4×(2 k +2﹣2)+ ×(4﹣k+4)×2=4k ﹣k+8, ∴当 k= 时,所求四边形的面积最小,最小面积的值为 .

2

2

第 12 页(共 16 页)

【点评】本题考查了直线过定点问题,以及二次函数的最值问题,考查了数形结合思想的应 用问题,是基础题. 18. (8 分) (2015 秋?上海校级期中)M 为△ABC 的中线 AD 的中点,过点 M 的直线分别 交两边 AB,AC 于点 P,Q,设 (1)求函数 y=f(x)的表达式; (2)求 的取值范围. ,记 y=f(x) .

【考点】函数解析式的求解及常用方法;向量的线性运算性质及几何意义. 【分析】 (1)由 D 为 BC 的中点,M 为 AD 的中点,

菁优网版权所有

,结合平面向量

的基本定理及三点共线的充要条件, 可得关于 xy 的方程, 进而可得函数 y=f (x) 的表达式; (2)设△ABC 的面积为 1,则△APQ 的面积 S=xy= 出函数的值域,可得答案. 【解答】解: (1)如图所示: ∵D 为 BC 的中点,M 为 AD 的中点, ∴ = = ( )= , , ( ≤x≤1) ,利用导数法,求

又∵PQM 三点共线, 故 =λ +(1﹣λ) = ,







=1, , ( ≤x≤1)

即 y=f(x)=

(2)设△ABC 的面积为 1, 则△APQ 的面积 S=xy= , ( ≤x≤1)

故 S′=



当 ≤x

时,S′<0,函数为减函数,

当 <x≤1 时,S′>0,函数为增函数,
第 13 页(共 16 页)

故当 x= 时,S 取最小值 , 当 x= ,或 x=1 时,S 取最大值 ,



∈[ , ].

【点评】 本题考查的知识点是函数的解析式的求解, 向量的线性运算, 向量共线的充要条件, 三角形面积公式,难度中档. 19. (12 分) (2015 秋?上海校级期中)对于任意的 n∈N ,若数列{an}同时满足下列两个条 件,则称数列{an}具有“性质 m”: ① ;
*

②存在实数 M,使得 an≤M 成立. (1)数列{an}、{bn}中,an=n(n∈N ) 、 质 m”; (2)若各项为正数的等比数列{cn}的前 n 项和为 Sn,且 具有“性质 m”,并指出 M 的取值范围; (3)若数列{dn}的通项公式 (n∈N ) .对于任意的 n≥3(n∈N ) ,
* * *

(n∈N ) ,判断{an}、{bn}是否具有“性

*



,证明:数列{Sn}

数列{dn}具有“性质 m”,且对满足条件的 M 的最小值 M0=9,求整数 t 的值. 【考点】数列的求和;数列的应用.
菁优网版权所有

【分析】 (1) 由于 =1﹣ 判断出; <1﹣

=an+1, 不满足条件①, 因此 {an}不具有“性质 m”; 由于 <1﹣ =bn+1,又 <1(n∈N ) ,即可
*

第 14 页(共 16 页)

(2)等比数列{cn}的公比为 q>0 且 q≠1,由



,可得



解得 c1,q.可得 Sn=2
*

.进而验证即可证明. <dn+1,化为:t

(3)对于任意的 n≥3(n∈N ) ,数列{dn}具有“性质 m”,利用 > ,可得 t>1.另一方面:

≤9,可得 t≤3,即可得出.

【解答】 (1) 解:

=

=n+1=an+1, 不满足条件①, 因此 {an}不具有“性质 m”;

=

=1﹣

=1﹣

<1﹣

<1﹣

=bn+1,因此{bn}满足条件①,又

<1(n∈N ) ,

*

因此存在 M=1,使得 bn<M,综上可得{bn}是否具有“性质 m”.

(2) 证明: 等比数列{cn}的公比为 q>0 且 q≠1, ∵



, ∴



解得 c1=1,q= .

∴Sn=

=2

.∵

=

=2

=2

﹣ 又 Sn=2

<2﹣

=Sn+1,∴数列{Sn}满足条件①.

<2,∴存在 M=2,使得 Sn<M,数列{Sn}满足条件②.综上可得:数列

{Sn}具有“性质 m”,M 的取值范围是[2,+∞) . * (3)对于任意的 n≥3(n∈N ) ,数列{dn}具有“性质 m”, ∴ <dn+1,化为:t> ,∴t>1.

另一方面:

≤9,
第 15 页(共 16 页)



=3+

,∴t≤3,

∴1<t≤3, ∴整数 t=2,3. 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、不等式的性质、新 定义、有界数列,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

第 16 页(共 16 页)


相关文章:
2015-2016学年上海中学高二(上)期中数学试卷
2015-2016学年上海中学高二(上)期中数学试卷_数学_高中教育_教育专区。解析版 2015-2016 学年上海中学高二(上)期中数学试卷一.填空题(本大题共 12 题,每题 3...
2015-2016学年上海市华师大二附中高二(上)期中数学试卷
(共 16 页) 2015-2016 学年上海市华师大二附中高二(上)期中数学 试卷参考答案与试题解析 一、填空题(每题 4 分,满分 40 分) 1. (4 分) (2013?长宁区...
上海市华师大二附中2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(解析版)
(共 22 页) 2015-2016 学年上海市华师大二附中高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题 1.计算: 【考点】极限及其运算. 【专题】计算题. 【分析...
上海华东师范大学第二附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题
上海华东师范大学第二附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。华东师大二附中 2017 届高二期中数学考试试卷 满分 100 分 时间 ...
上海师大附中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
(3)已知 k 为常数,M,N 的中点为 T,且 ,当 P 变化时,求|OT|的取值范围. 2015-2016 学年上海师大附中高二(上)期中数学试卷一.填空题(本大题满分 56 ...
2015-2016学年上海市华东师大二附中高三(上)期中数学试卷
2015-2016 学年上海市华东师大二附中高三(上)期中数学试卷一、填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填 写结果,每个...
上海华东师范大学第二附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题
上海华东师范大学第二附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。华东师大二附中 2017 届高二期中数学考试试卷 满分 100 分 时间 ...
上海理工大附中2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(解析版)
b2?b3…bn,类比(2)的结论,写出一个与 Tn 有关的类似的真命题,并证明. 第 3 页(共 16 页) 2015-2016 学年上海理工大附中高二(上)期中数学试卷参考答案...
上海市南洋模范中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷
上海市南洋模范中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷_数学_高中教育_教育专区。南洋模范 2015-2016 年高二第一学期期中考试试卷一、填空题(本大题满分 56 ...
更多相关标签:
上海市华师大二附中 | 上海市华师大一附中 | 上海市华师大三附中 | 上海市华师大四附中 | 华师大四附中2016中考 | 华师大二附中2016高考 | 华师大二附中 | 华师大一附中 |