当前位置:首页 >> 数学 >>

2012高中数学 3.1.1、2变化率与导数 精品课件同步导学 新人教A版选修1-1


? 3.1 变化率与导数

? 3.1.1 变化率问题 ? 3.1.2 导数的概念

? 1.通过实例分析了解函数平均变化率的意义. ? 2.会求函数f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率. ? 3.了解函数的平均变化率及导数间的关系.

? 4.掌握函数在一点处导数的定义,以及函数f(x)在区间(a,
b)内导函数的概念.

? 1.理解函数平均变化率的意义.(难点)
? 2.求函数f(x)在 x0到x0+Δx之间的平均变化率.(重点) ? 3.理解函数在某点处的导数.(难点)

? 你登过泰山吗?登山过程中,你会体验到“六龙过万壑”

的雄奇,感受到“会当凌绝顶,一览众山小”的豪迈. 当爬到
“十八盘”时,你感觉怎样?是平缓的山好攀登,还是陡峭 的山好攀登?陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢. ? 从数学的角度,如何量化曲线的“陡峭”程度呢?

1.平均变化率 对于函数 y=f(x),给定自变量的两个值 x1 和 x2,当自变量 x 从 x1 f?x2?-f?x1? 变为 x2 时, 函数值从 f(x1)变为 f(x2), 我们把式子 称为函数 x2-x1 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率. 习惯上用 Δx 表示 x2-x1,即 Δx= x2-x1 ,可把 Δx 看作是相对 于 x1 的 一 个 “ 增 量 ” , 可 用 x1 + Δx 代 替 x2 , 类 似 地 , Δy =

f(x1+Δx)-f(x1)

Δy .于是,平均变化率可表示为 Δx .

2.瞬时速度 物体在
某一时刻 的速度称为瞬时速度.

3.函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim ,我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 Δx→0 Δx =lim Δx→0 Δx 处的导数,记作 f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx→0 Δx
f′(x0)或y′|x=x0

Δy ,即 f′(x0)= Δx→0 lim = Δx

.

Δy 1.函数 f(x)=2x -1 在区间(1,1+Δx)上的平均变化率 等于 Δx
2

(

) A.4 C.4+2(Δx)2 B.4+2Δx D.4x

解析: 因为 Δy=[2(1+Δx)2-1]-(2×12-1) Δy =4Δx+2(Δx) ,所以Δx=4+2Δx.故选 B.
2

? 答案: B

? 2.如果质点M按照规律s=3t2 运动,则在t=3时的瞬时速
度为( ? A.6 ? C.54
解析:

) B.18 D.81
2 2 Δs 3?3+Δt? -3×3 = =18+3Δt Δt Δt

? 答案:

Δs s′=lim =lim (18+3Δt)=18.故选 B. Δt Δt→0 Δt→0

B

? 3.函数y=x2在x=1处的导数为________.
解析: ?1+Δx?2-1 lim =lim (2+Δx)=2. Δx Δx→0 Δx→0

? 答案:

2

? 4.已知f(x)=ax2+4,若f′(1)=2.求a的值.

解析:

a?1+Δx?2+4-?a×12+4? f′(1)=lim Δx Δx→0

=lim (2a+aΔx)=2a=2
Δx→0

∴a=1.

?

已知函数f(x)=3x+1和g(x)=2x2 +1,分别计算

f(x)与g(x)在-3到-1之间和在1到1+Δx之间的平均变化率.

[规范作答] ①∵Δx=-1-(-3)=2, Δy=f(-1)-f(-3)=[3×(-1)+1]-[3×(-3)+1]=6, Δy 6 ∴Δx=2=3, 即 f(x)在-3 到-1 之间的平均变化率为 3.3 分 ∵Δx=-1-(-3)=2, Δy=g(-1)-g(-3)=[2×(-1)2+1]-[2×(-3)2+1]=-16, Δy -16 ∴ = =-8, Δx 2 即 g(x)在-3 到-1 之间的平均变化率为-8.6 分

②∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=[3×(1+Δx)+1]-(3×1+1)=3·Δx, Δy 3·Δx ∴ = =3, Δx Δx 即 f(x)在 1 到 1+Δx 之间的平均变化率为 3.9 分 ∵Δy=g(1+Δx)-g(1)=[2×(1+Δx)2 +1]-(2×12 +1)=4·Δx+ 2·(Δx)2, ?Δx? Δy 4·Δx+2· ∴Δx= =4+2·Δx, Δx
2

即 g(x)在 1 到 1+Δx 之间的平均变化率为 4+2Δx.12 分

[题后感悟]

(1)求函数 f(x)在 x1 到 x2 的平均变化率的步骤:

?

(2)由f(x)在1到1+Δx之间的平均变化率为3,说明f(x)在x

=1附近的平均变化率为定值,而g(x)在1到1+Δx之间的平 均变化率为4+2Δx,说明g(x)在x=1附近的平均变化率与Δx 的大小有关.

? 1.求函数y=x2-2x+1在x=2附近的平均变化率.

解析: 设自变量 x 在 x=2 附近的变化量为 Δx, y 的变化量 Δy 则 =[(2+Δx)2-2(2+Δx)+1]-[22-4+1] =(Δx)2+2Δx,
2 Δy ?Δx? +2Δx 所以,平均变化率 = =Δx+2. Δx Δx

?

求函数y=2x2+4x在x=3处的导数.

[解题过程] 方法一:Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3) =12Δx+2(Δx)2+4Δx=2(Δx)2+16Δx,
2 Δy 2?Δx? +16Δx ∴Δx= =2Δx+16. Δx

Δy y′|x=3=lim Δx=lim (2Δx+16)=16. Δx→0 Δx→0

2?x+Δx?2+4?x+Δx?-?2x2+4x? 方法二:f′(x)=lim Δx Δx→0 4x·Δx+2?Δx?2+4Δx =lim Δx Δx→0 =lim (4x+2Δx+4)=4x+4,
Δx→0

∴y′|x=3=f′(3)=4×3+4=16.

[题后感悟]

求函数在某一点处的导数的两种方法:

(1)定义法,简记为“一差、二比、三极限”,其步骤如下: ①求函数的增量,Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? ②求平均变化率,Δx= ; Δx Δy ③取极限:f′(x0)= lim Δx. Δx→0

?

(2)导函数的函数值法,即先利用导数的定义求出导函数

f′(x),再把x=x0代入f′(x)得f′(x0). ? 求函数在某一点处的导数,一般是先求出函数的导数, 再计算这点的导数值.

? 2.利用导数的定义求函数f(x)=-x2 +3x在x=2处的导数 .
解析: 由导数的定义知,函数在 x=2 处的导数

f?2+Δx?-f?2? f′(2)=lim Δx Δx→0 -?Δx?2-Δx =lim Δx Δx→0 =lim (-Δx-1)=-1.
Δx→0

1 2 已知物体自由落体的运动方程为 s=2gt ,求: (1)物体在 t0 到 t0+Δt 这段时间内的平均速度 v ; (2)物体在 t=t0 时的瞬时速度; (3)物体在 t=10 s 到 t=10.1 s 这段时间内的平均速度; (4)物体在 t=10 s 时的瞬时速度.(g=10 m/s2).

? 解答本题,根据瞬时速度和平均速度的意义,准确应用公 式来求.

[解题过程]

(1)当 t 由 t0 取得一个改变量 Δt 时,s 取得的相应改

1 1 2 1 2 变量为 Δs=2g(t0+Δt) -2gt0=gt0Δt+2g(Δt)2. 因此,在 t0 到 t0+Δt 这段时间内,物体的平均速度为: 1 gt0Δt+2g?Δt?2 Δs 1 v = Δt = =g· 0+2Δt).① (t Δt

(2)由①式可知,t=t0 时的瞬时速度为 1 v|t=t0=lim g· 0+2Δt)=gt0.② (t Δt→0 (3)当 t=10 s,Δt=0.1 s 时,由①式得平均速度为: 1 v =g· (10+ ×0.1)=10.05g=100.5 m/s. 2 (4)当 t=10 s 时,由②式可得瞬时速度为: v|t=10=g×10=100 m/s.

[题后感悟] 要计算物体的瞬时速度, 只要给时间一个改变量 Δt, Δs 求出相应的位移的改变量,再求出平均速度 v = ,最后计算当 Δt Δt Δs 趋近于 0 时, 趋近于的常数就是物体在该时刻的瞬时速度. Δt

? 3.某物体按照s(t)=3t2+2t+4(s的单位:m)的规律作直线 运动,求自运动开始到4 s时,物体运动的平均速度和4 s时

的瞬时速度.

解析:

自运动开始到 t s 时,物体运动的平均速度

s?t? 4 v (t)= t =3t+2+ t , 4 故前 4 s 物体的平均速度为 v (4)=3×4+2+4=15. 由于 Δs=3(t+Δt)2+2(t+Δt)+4-(3t2+2t+4) =(2+6t)Δt+3(Δt)2. lim Δs =lim (2+6t+3·Δt)=2+6t, Δt Δt→0

Δt→0

∴4 s 时物体的瞬时速度为 2+6×4=26(m/s).

? 1.关于平均变化率的几点注意

? 关于函数的平均变化率应注意以下几点:
? (1)函数f(x)在x1,x2处必须有意义; ? (2)x2 是x1 附近的任意一点,即Δx=x2 -x1≠0,但可正可负 ; ? (3)注意变量的对应:若Δx=x2 -x1 ,则Δy=f(x2)-f(x1), 而不是Δy=f(x1)-f(x2); ? (4)平均变化率可正可负,也可为零.

2.根据导数的定义,求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的步骤 (1)求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求平均变化率Δx= ; Δx Δy (3)取极限,得导数 f′(x0)=lim Δx. Δx→0

Δy Δy [特别提醒] 当对Δx取极限时,一定要把Δx变形到 Δx→0 时,分母是一个常数的形式.

3.“函数 f(x)在点 x0 处的导数”、“导函数”、“导数”三者之 间的区别与联系 (1)“函数在一点处的导数”,就是在该点的函数的改变量与自变 量的改变量的比的极限,它是一个数值,不是变数. (2)“导函数”:如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就 说 f(x)在开区间(a,b)内可导,这时对于区间(a,b)内每一个确定的值 x0,都对应着一个导数 f′(x0),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的 函数, 我们把这一新函数叫做 f(x)在开区间(a, b)内的导函数, 记作 f′(x) f?x+Δx?-f?x? Δy 或 y′,即 f′(x)=y′=lim Δx=lim . Δx Δx→0 Δx→0

(3)导函数也简称导数.所以 ? f?x?在一点x0处的导数← ? ? ? “导数”? ? 个别与一般 ? 导函数 ←? ? (4)函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x= x0 处的函数值,f′(x0)=f′(x)|x=x0. 所以求函数在一点处的导数,一般是先求出函数的导函数,再计 算这点的导函数值.

f?x0-3Δx?-f?x0? ◎设函数 y=f(x)在 x=x0 处可导,且lim =1,则 Δx Δx→0 f′(x0)等于( A.1 1 C.-3 ) B.-1 1 D.3

【错解】 3f′(x0)=1,

f?x0-3Δx?-f?x0? f?x0-3Δx?-f?x0? lim =lim [ · 3]= Δx 3Δx Δx→0 Δx→0

1 所以 f′(x0)= ,故选 D. 3

【错因】

错解虽然注意到了系数关系,但却忽略了分子 Δy 与

f?x0+Δx?-f?x0? 分母 Δx 的对应关系.在导数的定义 f′(x0)=lim 中, Δx Δx→0 Δx 是分子 f(x0+Δx)与 f(x0)中的两个自变量的差,即(x0+Δx)-x0.初学 者在求解此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号或 Δx 系数的一 致性.

【正解】

f?x0-3Δx?-f?x0? 因为lim Δx Δx→0

f?x0?-f?x0-3Δx? =-lim [ · 3]=-3f′(x0)=1, 3Δx
Δx→0

1 所以 f′(x0)=- ,故选 C. 3

? 答案:

C


赞助商链接
相关文章:
...2015学年高中数学(人教A版,选修1-1)作业:3.1.1 3.1....
【学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修1-1)作业:3.1.1 3.1.2 变化率问题 导数的概念_高中教育_教育专区。【学案导学设计】2014-2015学年高中数...
数学:新人教A版选修1-1 3.1变化率与导数(同步练习) (2)
数学:新人教A版选修1-1 3.1变化率与导数(同步练习) (2)_数学_高中教育_教育专区。数学,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课...
...导数的概念基础过关训练 新人教A版选修1-1
【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章 3.1.1 3.1.2变化率问题 导数的概念基础过关训练 新人教A版选修1-1 隐藏>> 第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导...
3.1.1 变化率问题 3.1.2导数的概念 教案(人教A版选修1-1)
3.1.1 变化率问题 3.1.2导数的概念 教案(人教A版选修1-1)_数学_高中教育_...3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 (教师用书独具) ●...
2016高中数学人教A版 选修1-1 同步练习 第三章 导数及...
人教新课标版(A)选修 1-1 3.1 变化率与导数同步练习题 【基础演练】 题型:变化率问题与导数概念 一般地, △f f ?x 2 ? ? f ?x 1 ?...
数学:新人教A版选修1-1 3.1变化率与导数(同步练习)
语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案导学人教新课标版(A)选修 1-1 3.1 变化率与导数同步练习题 【基础...
学生【数学】3.1《变化率与导数》教案(新人教A版选修1-1)
人教版高中数学选修1-1全套... 57页 免费 【数学】3.1变化率与导数... 16页 2财富值 变化率与导数学案 7页 免费 选修2-2 1.1变化率与导数(... 8页...
高中数学人教A版(选修1-1)课时同步教案:3.1 变化率与导数
高中数学人教A版(选修1-1)课时同步教案:3.1 变化率与导数_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教A版(选修1-1)课时同步教案 [教学目的] 1.了解导数形成的背景...
高中数学 2-1 第三章 导数导学案 新人教A版选修1-1文
高中数学新人教A版选修2... 56页 1下载券 选修1-1第三章 导数及其... 34...§3.1.1 变化率问题学习目标 1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中,经历...
2012高中数学 3.1.3课后练习同步导学 新人教A版选修1-1
2012高中数学 3.1.1、2课后... 3页 5财富值 2012...数学 3.1.3课后练习同步导学 新人教A版选修1-1...1 解析: 由导数的几何意义得 f′(1)=, 2 1 ...
更多相关标签: