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珠海二模文科数学参考答案(已修改)


一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C【解析】 A ? {x | x2 ? 4 ? 0} ? ??2,2? A I B ? {2} ,故选 C

2i ? 1 ? 2 ? i ,对应的点为 ? 2,1? ,因此点在第一象限 i 3.【答案】A【解析】试题分析:因为两向

量平行,所以可得 1? 4 ? 2 ? x ? x ? 2 ,故选择 A
2.【答案】A【解析】 z = 4.【答案】B【解析】掷两颗均匀的骰子,共有 36 种基本事件,点数之和为 6 的事件有(1,5) , (2,4) , (3,3) , (4,2) , (5,1)这五种,因此所求概率为

5 ,选 B. 36

5. 【答案】A【解析】因为 sin(? ? ) ? sin ? ? 公式可知 sin(? ?

? 3

3 3 ? 4 3 ,利用互补角的诱导 sin ? ? cos ? ? 3 sin(? ? ) ? ? 2 2 6 5

? 4 ? 5? 4 ) ? ? ? sin(? ? ( ? ?) ? sin( ? ?) ,因此所求的值为 ? ,选 A. 6 5 6 6 5

6. 【答案】B.【解析】解:由三视图可知该几何体是四棱锥,利用勾股定理可求出棱长分别为 2 ,2, 5 ,3 等,故选 B

a6 2 7. 【答案】 D. 【解析】a4a8 ? a6 ? 2a5 , 得 2 ? 2, 故 q2 ? 2 , 而q ? 0, 所以 q ? 2 ,而 a10 ? a2q8 ? ( 2)8 ? 16 . a5
2 2

8. 【答案】 B. 【解析】 A 点坐标为 (2, 0) , B 点坐标为 (?2, 0) ,设点 P 坐标为 ( x , y ) ,则 PA ? (2 ? x, ? y) ,

uur

uur uur uur 3 PB ? (?2 ? x, ? y) ,故 PA ? PB ? x 2 ? 4 ? y 2 ? x 2 ? 3 ,而 x ? 2或x ? ?2 ,故最小值为 0 4 2 2 9.【答案】A【解析】 ,向右平移 后得到 y ? 2sin(2 x ? ? ) .所以函数 y ? 2sin(2 x ? ? ) 图 3 3 2? ? k? 7? ? k? ? , x ? ? (x ? Z ) 象的对称轴为 2 x ? 3 2 2 12 1 1 1 1 1 10.【答案】C【解析】根据题意有,在运行的过程中, A ? 1, i ? 1, A ? , i ? 2 ; A ? 4 ? , i ? 3 ; A ? 7 ? , 7 7 10 10 4 4 7 1 1 i ? 4 ; A ? 10 ? , i ? 5 ,以此类推,就可以得出输出的 A 是以1 为分子,分母构成以 3 为首项,以 3 为公差的等 13 13 10 1 差数列,输出的是第 672 项,所以输出的结果为 ,故选 C. 2017
11.【答案】B. 【解析】把对角面 A1C 绕 A1B 旋转,使其与△AA1B 在同一平面上,连接 AD1,则在 VAA 1D 中,由

AD1 ? a 2 ? a 2 ? 2a 2 cos135o ? a 2 ? 2 ,而 a 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ,所以 a ? 2
12. 【 答 案 】 C . 【 解 析 】 由 题 意 可 知 Q f ? x ? ? x ? x ? a ?1 , f ? ? x ? ? 3x ? 2x , 在 区 间 0, a 存 在
3 2 2

?

?

文科数学试题 B

第 1 页 共 6 页

x1 , x2

? a ? x1 ? x2 ? b?



f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ?

f ? a ? ? f ? 0? a

? a2 ? a



Q f ? x ? ? x3 ? x2 ? a ?1 ,

? f ? ? x ? ? 3x2 ? 2x ,? 方程 3x2 ? 2 x ? a 2 ? a 在区间 ? 0, a ? 有两个不相等的解,令 g ? x ? ? 3x2 ? 2x ? a2 ? a ,则
? ? ? 4 ?12 ? ? a 2 ? a ? ?0 ? ? g ? 0 ? ? ?a 2 ? a ? 0 ? ?1 ? ,所以实数 a 的取值范围是 ? ,1? ,故选 C. ? g ? a ? ? 2a 2 ? a ? 0 ?2 ? ? ? 1 0? ?a ? 3 ?
13.【答案】-3【解析】 y ' ? 3ax2 ? 6 x ? 3 ,而 f '(1) ? 3a ? 9 ? 0, a ? ?3 . 14.【答案】81【解析】 : Q a1 ? a4 ? a7 ? 33, a3 ? a6 ? a9 ? 21?3a4 ? 33,3a6 ? 21? a4 ? 11, a6 ? 7

S9 ?

9 ? a1 ? a9 ? 9(a4 ? a6 ) ? ? 81 2 2

y

24 3 12 【解析】 .如图, x ? y ? 6 过点 A(k , k ) , k ? . B 5 2 5 在点 B 处取得最小值, B 点在直线 24 12 3 24 . x ? 2 y ? 0 上, B ( ? , ) ,∴ zmin ? x ? y ? ? 5 5 2 5
15. 【答案】 ? 16.【答案】[64, ??) 【解析】联立方程 ?

A

O

x

? x ? my ? 8
2 ? y ? 8x

2 ,得 y ? 8my ? 64 ? 0 ,? ? 0 , y1 ? y2 ? 8m , y1 y2 ? ?64 ,

因为 x ? my ? 8 ? 0 过定点(8,0), SOAB ?

1 y1 ? y2 ? 8 ? 4 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 4 64m 2 ? 4 ? 64 ,当 m ? 0 时, 2

Smin ? 64 故答案为 [64, ??) .
17.【解析】⑴ 由已知得,

a 2 ? b2 ? c 2 2 tan C ? 2ab 2

则 cos C ? tan C ? ∴C=

2 2 ? sin C ? 2 2
????6 分

? 3? 或 C= . 4 4

(2)∵ c ? 2 , b ? 2 2 ,∴ C =

c 2 ? a 2 ? (2 2) 2 ? 2a ? 2 2 ? cos

?
4

? 2 2 2 ,由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C 得 4
2 整理得 a ? 4a ? 4 ? 0 ,解得 a ? 2 ,

文科数学试题 B

第 2 页 共 6 页

△ABC 面积为 S ?

1 1 ac ? ? 2 ? 2 ? 2 . 2 2

????12 分

18.【解析】 ⑴由统计表可知,在抽取的 100 人中, “马迷”有 25 人,从而完成 2×2 列联表如下: 非马迷 男 女 合计 30 45 75 马迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算得:

K2 ?
关.

100 ? (30 ?10 ? 45 ?15)2 100 ? ? 3.030 ? 3.841 ,所以我们没有 95% 的把握认为“马迷”与性别有 75 ? 25 ? 45 ? 55 33
????6 分

⑵ 由统计表可知, “超级马迷” 有 5 人, 其中 2 名女性, 3 名男性, 设 2 名女性分别为 a1 , a2 , 3 名男性分别为 b1 , b2 , b3 , 从中任取 2 人所包含的基本事件有:

(a1, a2 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a1, b3 ),(a2 , b1 ),(a2 , b2 ),(a2 , b3 ),(b1, b2 ),(b1, b3 ),(b2 , b3 ) 共 10 个
用 A 表示“任意选取的两人中,至少有 1 名女性观众”这一事件,A 包含的基本事件有:

(a1, a2 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a1, b3 ),(a2 , b1),(a2 , b2 ),(a2 , b3 ) 共 7 个,所以 P ( A) ?
19. 【解析】 ⑴证明:连接 EB

7 . 10

????12 分

? 所以 ? EBC 为等腰三角形, 又 ?BCD ? 60 , 故 ? EBC ? ABCD 为等腰梯形,E 为 CD 中点, ? BE ? AD ? BC ,

为等边三角形. ? BE ? BC PD ? PC , E 为 CD 的中点, PE ? CD , PE ? PE , E ? E B PB ? PC , 由 BE ? BC , 得 ? PEB 全等于 ? PEC , 知P

E ? A B C D BE ? BC ? B , , 故P



AD ? ABCD ,得 AD ? PE .
⑵ 因 为

????6 分

PC ? 4



EC ? 3







PE ? 7



S ABCD ?

1 3 27 (3 ? 6) ? 3? 3 2 2 4



1 27 9 VP ? ABCD ? ? 7 ? 3? 21 3 4 4 u u r u u u r u 3 H ? P H 20. 【解析】 ⑴ 设 P 点坐标为 ( x0 , y0 ) ,M 点坐标为 ( x, y ) , 由M 5

????12 分

? x ? x0 ? 2 2 得,? 而 P 点在 x ? y ? 25 3 , y ? y0 ? 5 ?

x2 y 2 ? ?1. 上,代入得 25 9

????5 分

⑵由题设知, F 0) ,则 MN : y ? k1 ( x ? 4) , PQ : y ? k2 ( x ? 4) 1 (?4 , 将 MN 与 C 的方程联立消 y 得: (25k1 ? 9) x ? 200k1 x ? 400k1 ? 225 ? 0?? “ ?”
2 2 2 2

文科数学试题 B

第 3 页 共 6 页

设 M ( x1 ,y1 ) ,N ( x2 ,y2 ) ,则 x1 、x 2 是“*”的二根

? 200k12 ? x1 ? x2 ? ? 25k12 ? 9 ? 则? 2 ? x x ? 400k1 ? 225 1 2 ? 25k12 ? 9 ?
则 | MN |?
2 1

????7 分

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? k12 )( x1 ? x2 ) 2
2 2 1

400k14 ? 4(400k12 ? 225)(25k12 ? 9) ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k ) ? (25k12 ? 9) 2

?

90(1 ? k12 ) 25k12 ? 9
2 90(1 ? k2 ) 2 25k2 ? 9

????8 分

同理: | PQ |?

Q k1k2 ? 1

?

1 1 1 1 ? ? ? 2 2 ) | MN | | PQ | 90(1 ? k1 ) 90(1 ? k2 2 2 25k1 ? 9 25k2 ? 9
2 2 2 25k12 ? 9 25k2 ? 9 (25k12 ? 9)(1 ? k2 ) ? (25k2 ? 9)(1 ? k12 ) ? ? 2 2 90(1 ? k12 ) 90(1 ? k2 ) 90(1 ? k12 )(1 ? k2 )

????10 分

?

?

2 2 18 ? 34k12 ? 34k2 ? 50(k1k2 )2 68 ? 34k12 ? 34k2 ? 2 2 90[1 ? k12 ? k2 ? (kk )2 ] 90(2 ? k12 ? k2 )

2 34(2 ? k12 ? k2 ) 17 ? ? 2 2 90(2 ? k1 ? k2 ) 45

?

17 1 1 ? 为定值,值为 . 45 | MN | | PQ |

????12 分

(2)解法 2:由上知,

| MN | ?

2 90(1 ? k12 ) 90(1 ? k2 ) , | PQ | ? 2 2 25k2 ? 9 25k1 ? 9

Q k1k2 ? 1

90k1 ? 90 2 2 k1 90k1 ? 90 ?| PQ |? ? ? 2 2 1 25 ? 9k1 25 ? 9k1 25 2 ? 9 2 k1 k1 90(1 ? 1 ) 2 k1

2

?

1 1 25k1 ? 9 25 ? 9k1 17 ? ? ? ? 2 2 | MN | | PQ | 90(1 ? k1 ) 90k1 ? 90 45
文科数学试题 B 第 4 页 共 6 页

2

2

21. 【解析】⑴ f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

h( x ) ? x ?
h?( x) ? 1 ?

1? a ? a ln x , x
????1 分 ????2 分

1? a a ? x2 x

h '( x) ?

x2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? x2 x2

因为 a ? 0 ,所以 a ? 1 ? 1 ? ?1 ,因此在 (0,1 ? a) 上 h?( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增; ⑵ 在 1,e 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,即 在 1,e 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即 函数 h( x) ? x ?
1? a ? a ln x 在 1,e 上的最小值小于零. x

????5 分

? ? ? ?

? ?

h '( x) ?

x2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? x2 x2

x1 ? ?1, x2 ? 1 ? a

①当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在 1,e 上单调递减, 所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ? 因为

? ?

e2 ? 1 1? a , ? a ? 0 可得 a ? e e ?1
????7 分

e2 ? 1 e2 ? 1 ; ? e ? 1 ,所以 a ? e ?1 e ?1

②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在 ?1, e? 上单调递增, 所以 h( x) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ????8 分 ????10 分

③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, 可得 h( x) 最小值为 h(1 ? a) , 因为 0 ? ln(1 ? a) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a) ? a 故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 此时, h(1 ? a) ? 0 不成立.

e2 ? 1 或 a ? ?2 . ????12 分 e ?1 22. 【解析】⑴BE 平分∠ABC.∵CD=AC,∴∠D=∠CAD.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∵∠EBC=∠CAD,∴∠EBC=∠D=∠CAD.∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD, ∴∠ABE=∠EBC,即 BE 平分∠ABC ??????.5 分
综上讨论可得所求 a 的范围是: a ?

文科数学试题 B

第 5 页 共 6 页

(2)由(1)知∠CAD=∠EBC =∠ABE. ∵∠AEF=∠AEB,∴△AEF∽△BEA.?

AE EF ? BE AE

∵AE=6, BE=8.

AE 2 36 9 ∴ EF ? ? ? BE 8 2

??????.10 分

考点:1.圆周角定理;2.三角形相似;3.角平分线定理. 23. 【解析】 (1)直线 l 的极坐标方程为 θ= ,所以直线斜率为 1,直线 l:y=x; ???.1 分

曲线 C 的参数方程为 ? ,可得曲线 C: x ? y ? 1
2 2

? x ? cos? (?为参数) ,消去参数 ? ? y ? sin ?
??????.4 分

? ? x ? x0 ? ? (2)设点 M ?x0 . y0 ? 及过点 M 的直线为 L1 : ? ?y ? y ? 0 ? ?
由直线 L1 与曲线 C 相交可得:

2 t 2 (t为参数) 2 t 2

??????.5 分

t 2 ? 2 ?x0 ? y0 ?t ? x0 ? y0 ? 1 ? 0
2 2

??????.6 分

因为|MA|?|MB|=3 所以 x0 ? y0 ? 1 ? 3 ,即: x0 ? y0 ? 4
2 2
2 2

??????.8 分

?y ? x ? m ? 2 x 2 ? 2m x ? m 2 ? 1 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ? 1
由? ? 0? ? 2 ? m ?

2

??????.9 分

故 点 M 的 轨 迹 的 直 角 坐 标 方 程 为 :

x2 ? y 2 ? 4 ( 夹 在 两 直 线 y ? x ? 2 之 间 的 两 段 圆

弧) ??????.10 分 24. 【解析】 (1)由||x﹣1|+2|<5,得﹣5<|x﹣1|+2<5 ∴﹣7<|x﹣1|<3, 得不等式的解为﹣2<x<4

??????.5 分

(2)因为任意 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2)成立, 所以{y|y=f(x)}?{y|y=g(x)}, 又 f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|≥|(2x﹣a)﹣(2x+3)|=|a+3|, g(x)=|x﹣1|+2≥2,所以|a+3|≥2,解得 a≥﹣1 或 a≤﹣5, 所以实数 a 的取值范围为 a≥﹣1 或 a≤﹣5. ??????.10 分

文科数学试题 B

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