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第三次课堂讨论与习题课


第五章 长期聚合风险模型习题课
【知识要点】 1、 盈余过程的基本模型
U ? t ? ? u ? ct ? S ? t ? ,
u 为初始资本

?t

? 0?

c 为单位时间收取的保费(保费率)

S ?t? ?
N

N ?t?

?
i?1

X i 为时间? 0 , t ? 内的理赔总额

? t ? 为理赔次数过程

2、 破产概率的定义 破产时间:T
? m in t t ? 0; U ? t ? ? 0

?

?
P ?U ? t ? ? 0 , ? t ? 0?

终极破产概率:? ? u ? 有限时间破产概率:
?

? P ?T ? ?

??

? u,t ? ?

P ? T ? t ? ? P ? U ? t ? ? 0 , ? t ? ? 0 , t ??

3、 破产概率的性质 (1)? ? u 2 ? ? ? ? u 1 ? ,
? u1 ? u 2 ; ? u ? 0; 0 ? t 1 ? t 2 ? ? ?

(2)? ? u , t 1 ? ? ? ? u , t 2 ? ? ? ? u ? , (3) lim ? ? u , t ? ? ? ? u ? 。
t? ?



4、泊松过程的定义 泊松过程 的定义: (1) 全局性方法:如果 N ? t ? 在长度为 h 的任意时间段内满足
P ?

? N ? t ? h ? ? N ? t ? ? k ? N ? x ? , x ? t?
??h?
k

e

??h

, ? t ? 0 , h ? 0 , k ? 0 , 1, 2 ...

则称? N ? t ? , t

k!

? 0 ? 为泊松过程。 由此定义可知,N

?t ? h? ?

N

?t?

服从参数为 ? h 的泊松分布。 (2) 等待时间间隔法:如果理赔事件发生的等待时间间隔随 机变量W 1 , W 2 , W 3 , ... 独立同分布,且分布函数服从参数为

?

的指数分布,则称? N ? t ? , t

? 0 ? 为泊松过程。

(3) 局部性方法:如果理赔次数满足下列三个条件,则称为 泊松过程: (Ⅰ)当 t (2 ) ( t , t 在
? 0 时,理赔次数为零,即 N ? 0 ? ? 0 ;

? ? t ] 内是否发生理赔与 t 时刻以前的理赔事件

无关,并与时间的起始位置无关,但与区间长度有关。 因此,泊松过程是一个平稳增量过程。 (3)在充分小的时间间隔内,至多发生一次理赔,且发 生一次理赔的概率与区间长度 h 有如下关系:
P?N

?t ? h? ?

N

? t ? ? 1? ?

?h ? ? ?h?

5、 复合泊松过程的定义
S ? t ? ? X 1 ? X 2 ? ... ? X
N ?t?

其中 X i 独立同分布, 且与理赔次数过程 N ? t ? 相互独立, 理赔次 数过程为泊松过程。 复合泊松 过程的均 值、方差 和矩母函 数:
E ? S ? t ?? ? ? ? t ? ?1 , Var ? S ? t ?? ? ? ? t ? ? 2 , M ? ? ? ?
S?t?

?r ? ?

e

?t?M ?

X

? r ??1? ?

6、 连续时间模型破产概率的计算
(1 ) 微分方程 方法 定理 5-2-3 对于泊松盈余过程,终极破产概率? ? u ? 满足

? '? u ? ? ? ?0? ?

?
c

?

?u? ?

?
c

?

u 0

?

? u ? x ? dF ? x ? ?

?
c

?1 ? F ?

? x ?? ?

1 1??

例 5-2-1 当泊松盈余过程中的理赔额服从参数为 ? 的指数分 布时,其破产概率为为:
? ?? u ? ? ?u? ? exp ? ? ? ?? 1?? ? 1?? ? 1

?0?e

? Ru



(2 )最大损失过 程方法 最大损失随机变量: L 事件{ L
? m a x ? S ? t ? ? ct t ? 0? ,
? u }等价于“破产”,因此

破产概率可定义为:

?

?u? ?

Pr ? L ? u ? ? 1 ? Pr ? L ? u ? ? 1 ? FL ? u ?

最大损失随机变量 L 可表示为:
L ? L 1 ? L 2 ? ... ? L M



其中:随机变量 L j ?
M

j ? 1, 2 , ... ? 代表U

? t ? 的第 j 个最低记录低于

第 j ? 1 个最低记录的额度,且是独立同分布的;最低记录个数 服从参数为1 ? ? ? 0 ? 的几何分布,所以最大损失 L 服从复合 几何分布,其参数也为1 ? ? ? 0 ? 。 (1)破产时刻亏量的分布:
P r ?U ? t ? ? ? ? y ? d y , ? y ? , T ? ? ? ? 1

?1 ? ? ? ?1

?1 ? P ?

? y ? ? dy ?

(2)盈余首次低于初始准备金的额度 L 1 的密度函数:
fL
1

? y? ?

? y? 1 ?1 ? ? ? ?1 ? ? 0 ?
1? P

?

1? P

? y?

?1

其中 ? 1 ,

P

? y ? 分别是个别索赔额的数学期望和分布函数。
?r? ?
k

盈余首次 低于初始 准备金的 额度 L 1 的矩母函数:
M 1
L1

?1

?

?

e
0

ry

?1 ? P ?

? y ? ? dy ?

?

1

? 1r

? M ? r ? ? 1?
X

E

? ??
Lj
M ?

? k ? 1 ? ? 1 ? k ? 1 ? ? , k ? 1, 2 , ... ? ?

(3)最大损失随机变量 L 的矩母函数:
L

?r? ?
?
?

M

M

? ln M

L1

?r ??
X

1

? ?M ?

? r ? ? 1? ?

,

推论 5-2-2 泊松盈余过程? U ? t ? , t
-

? 0 ? 的破产概率满足
X

?

? 0

e d?
ru

?u? ?

1

? ?M ?

(r ) ? 1? ?
X

1 ? ? 1 ? (1 ? ? ) rp 1 ? M

(5.2.17)
(r )

当理赔额 X 为指数分布或混合指数分布时,通过求解上述微积 分方程可得到破产概率的解析表达式。 例题 5-2-5 若个别理赔额 X 的分布服从参数为 ? 的指数分布,
? ? ?? u 根据(5.2.17)式,可求得? ? u ? ? e xp ? ?。 1?? ? ? 1 ? ? ? p1 ? 1

例 5-2-7 当理赔额分布为 f ? x ?

? p ? 1e

?

? ?1x

?

? ? 1 ? p ? ? 2e

?

??2x

?

时,其破产概率可由 ? ?
?

? 0

e d?
ru

?u? ?

k1

?1 ?1 ? r

? k2

?2 ?2 ? r

解得:

?u? ?

k 1e

? ? 1u

? k 2e
X

?? 2u

, 其 中 ? 1 ,? 2 是 ( 调 节 系 数 ) 方 程
k1 k2 ? E ?L?

1 ? ? 1 ? ? ? r p1 ? M

? r ? 的非零解,而 k 1 , k 2 由下面联立方程确定:
1 1?? ,

k1 ? k 2 ? ?

?0? ?

?1

?

?2

(3 )调节系数方 法

定义 5-4-1 对泊松盈余过程,若方程 ? ? cr ? ? M X ? r ? 或 1 ? ? 1 ? ? ? p1 r ? M X ? r ?

(5.4.1) (5.4.2)

存在正数解,则其最小正数解 R ,被称为这个过程的调 节系数。 调节系数的其它等价形式:

?
e

? 0 Rc

? e Rx ? ? 1 ? ? ? ? ?1 ? F ? ?? ? E ?e ?
RS

? x ?? dx ?

? 0; c ? 1 R
?

?; M ?

c? S

? ? R ? ? 1;

ln M

S

?R?

例 5.4.1 设理赔额 X 服从均值为 ? 的指数分布,则由(5.4.2) 式,可求得其调节系数 R 为: R
?

? ?1 ? ?

?



定理 5.4.4:设初始资本金 u
? ?u? ?
e E ?e ?
? Ru ? RU ?T

? 0 ,则破产概率为

?

T ? ?? ?

( 5 .4 .1 1)

(1)若 T ? ? ,则U ? T ? ? 0 ,故(4.18)式中的分母大于或等 于 1,因此?

?u? ?

e

? Ru

(破产概率的指数型上界) 。
?b

(2)如果个体理赔额 X 不超过 b , 则U ? t ? ?
? e ? RU ?t ? T ? ? ? ? e Rb , E 从而? ? ?

,因此有

?u? ?

e

? R?u?b?

(破产概率下界) 。
1

例 5-4-5

? ?? ? u ? 若 X 服从指数分布时,则? ? u ? ? exp ? ? 1?? ? 1?? ?

7、 离散时间模型破产概率计算
U n ? u ? G 1 ? G 2 ? ... ? G n , n ? 0 , 1, ...

G 式中U n 代表理赔总量, n 代表时间点? n ? 1, n ? 之间的收益, 1 , G 2 , ... G

是独立同分布的。破产时刻T 、 破产概率? ? u ? 和调节系数 R ? 0 :
T ? m in ? n U n
?

?

?

?

?? ? ? ? ? ? 0? ; ? ? u ? ? P r T ? ? ; M G ? ? R ? ? 1 ? ? ? ? ? ?
?

?

索 赔按复合 泊松分布 : R 索 赔按正态 分布: R
?

? R
2

? 2? ?

【例题】 例 1 设某险种承保的损失只发生一次,并已知: (1) 该损失发生在时刻 t 的概率为1 ? 1 ? t ? ;
2

(2) 理赔额的分布为 f X ? 1 0 0 ? (3) 盈余过程方程U ? t ? 计算破产概率。 解:设理赔发生时刻为T ,则
P ? u ? cT ? S ? T ? ? ? ? ? ?

? 0 .6 , f X ? 3 0 0 ? ? 0 .4 ;

? 60 ? 20t ? S ? t ?

?
i

P ? u ? c T ? x i ?P ? X ? x i ? ? ?

?
i

xi ? u ? ? P ?T ? ?P ? X ? xi ? c ? ?

代入相关数值后,计算得
P ? u ? cT ? S ?T ? ? ? ? 100 ? 60 ? ? ? P ?T ? ?P 20 ? ? 300 ? 60 ? ? X ? 100 ? ? P ? T ? ?P 20 ? ?
2 0

?

?X

? 300 ?
12

? 0 .6 ? P ? T ? 2 ? ? 0 .4 ? P ? T ? 1 2 ? ? 0 .6 ? ? 0 .6 ? 2 3 ? 0 .4 ? 12 13 ? 0 .7 6 9 2

dt

?1 ? t ?

2

? 0 .4 ?

dt

0

?1 ? t ?

2

例 2 假设泊松盈余过程的破产概率? ? u ?

?

e

?4 u

3

, ? u ? 0 ? ,个体
1

索赔额 X 服从指数分布 e xp ? ? ? ,求个体索赔额 X 的数学期望 ? 和M L ? 2 ?。
1

? ?? ? u ? 解:当索赔额 X 服从指数分布时,? ? u ? ? exp ? ?, 1?? ? 1?? ?

根据题意,有1 ? ?

? 3,

??
1??

? 4 ,由此解得? ? 2 , ? ? 6 。
? 6

因此,索赔额 X 服从参数 ?
?1 ? E ? X

的指数分布,其数学期望

??1

? ? 1 6,
? ?

个体索赔额的矩母函数为 M X ? r ?

??

? r? ? 6

? 6 ? r ?,

将其与 r
M

? 2 ,? ? 2 , ? ? 6 , ? 1 ?
?
1?? ? 1

1 6

代入方程
X

L

?r? ?

? ?M ?

? r ? ? 1? ?
X

1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? 1r ? M

?r?

求得 M L ? 2 ?

?

4 3



例 3 设泊松盈余过程的泊松参数 ?

? 1 ,个体索赔额 X

为均值

? 1 ? 2 的指数分布,保费收取费率 c ? 4 ,求破产概率。

解:由保费公式 c
? ?u? ?
1 1??
?

? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ,得? ?

c

? ?1

?1?

4 1? 2

? 1 ? 1 ,故

?u

e

?1?? ? ?1

?

1 2

?

u 4

e



例 4 设泊松盈余过程的泊松参数 ? 求初始准备金 u 。 解:由保费公式 c 故? ? u ?
? u 12

? 2 ,个体索赔额 X

为均值

? 1 ? 3 的指数分布,保费收取费率 c ? 8 ,已知 P ? L ? u ? ? 0 .5 ,

? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ,得? ?
?u

c

? ?1

?1?

8 2? 3

?1?

1 3



?

1 1??

?

e

?1?? ? ?1

? 0 .7 5 e

?

u 12

,由? ? u ?

? P ? L ? u ? ? 0 .5 ,得

0 .7 5 e

? 0 .5 , ?

u 12

? ln 2 ? ln 3 ? u ? 1 2 ln

3 2

? 4 .8 6 5 6 。

例 5 考虑泊松盈余过程U ? t ? 布如下表:
X
P

? u ? c t ? S ? t ? ,个别理赔额的分

1 0.5

2 0.3

3 0.1

4 0.1

?x?

设 L 1 为首次降到初始准备金 u 以下的部分损失,计算V a r ? L 1 ? 。 解: ? 1
? 1 ? 0 .5 ? 2 ? 0 .3 ? 3 ? 0 .1 ? 4 ? 0 .1 ? 1 .8 ,
2 2 2

? 2 ? 1 ? 0 . 5? 2 ? 0 . ? 3 ? 3 ? 1 ? 0 . 5? 2 ? 0 . ? 3
3 3

3? 3?

0?1 .
2

? 4 ? 4

0 .1 ? 0 .1 ?

4 .2 1 2

3

0?1 .
3

从而得
E ? L1 ? ?

?2
2?1

?

4 .2 2 ? 1 .8

?

7 6

, E L1 ?
2

? ?

?3
3?1

?

12 3 ? 1 .8

?

20 9



? V a r ? L1 ? ? E L1 ? E
2

? ?

2

? L1 ?

31 ?7? ? ?? ? ? ? 0 .8 6 1 1 。 9 36 ?6? 20

2

例 6 某保险公司的理赔过程是复合泊松过程,泊松参数 ? 个体理赔额的分布为
X
P

? 2,

1 0.4

2 0.3

3 0.2

4 0.1

?x?

已知调节系数 R

? 0 .5 ,计算?

? 0?。

解:理赔额分布的矩母函数为
M
X

?r? ? E e

?

rX

? ?
?
i?1

4

e

rx i

P ? X ? x i ? ? 0 .4 e ? 0 .3 e
r

2r

? 0 .2 e

3r

? 0 .1 e

4r

在公式 ?

? cR ? ? M

X

? R ? 中代入 ?

? 2 , R ? 0 .5 ,求得

c ?

? ?M ?

X

? R ? ? 1? ?

?

2 ? 0 .4 e

?

0 .5

? 0 .3 e ? 0 .2 e

1 .5

? 0 .1 e ? 1
2

?

? 8 .4 4 0 8

R 0 .5 ? 1 ? 1 ? 0 .4 ? 2 ? 0 .3 ? 3 ? 0 .2 ? 4 ? 0 .1 ? 2 ,

? ?

c

??1

?1?

8 .4 4 0 8 2? 2

? 1 ? 1 .1 1 0 2

? ?0? ?

1 1??

? 0 .4 7 3 9 。

例 7 已知破产概率? ? u ? 加费率? 和调节系数 R 。 解:? ? 0 ?

? 0 .3 e

?2 u

? 0 .2 e

?4 u

? 0 .1 e

?7 u

,求安全附

? 0 .3 ? 0 .2 ? 0 .1 ? 0 .6 ?

1 1??

? ? ?
4 u

1 0 .6
? u 7

?1?
? du ?

2 3

?

?

e
0

ru

? ?? ' ? u ? ? d u ? ? ?

?

?

e
0

ru

? 0 .6 e ? 2 u ? 0 .8 e ? ?

? 0 .7 e

?

?

? 0

0 .6 0 .8 0 .7 ? 0 .6 e ? ? 2 ? r ? u ? 0 .8 e ? ? 4 ? r ? u ? 0 .7 e ? ? 7 ? r ? u ? d u ? ? ? ? ? 2?r 4?r 7?r
?

另一方面 ? 0 因此
?

e

ru

? ?? ' ? u ? ? d u ? ? ? M

?

M

X

?r? ? 1
X

1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? 1r ? M

?r?

X

?r? ? 1
X

1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? 1r ? M

?r?

?

0 .6 2?r

?

0 .8 4?r

?

0 .7 7?r

由于调节系数方程 数R

1 ? ? 1 ? ? ? ? 1r ? M

X

?r? ?

0

使上式左边趋

于无穷大,而右端在 r 取 2,4,7 时可达到无穷大,故调节系
? m in ? 2 , 4 , 7 ? ? 2 。

【2008 年春季相关考题】19-23 题
19. 一种保单组合,至多可能发生一次理赔,概率为 0.1,并 且: I. 发生时刻T 在[0, 50]之间均匀分布; II. 总理赔额S的概率分布为:P(S =1000) = 0.8, P(S = 5000) = 0.2 。 设保险人的盈余过程为 U(t) = 900 +100t ? S(t),则破产概 率为( )。 (A) 0.012 (B) 0.014 (C) 0.016 (D) 0.018 (E) 0.020

20-21 题的条件如下: 已知某泊松盈余过程,个别理赔额变量X 服从期望为2 的指数 分布,安全系数为0.15。 20. 调节系数 R 为( )。 (A) 0.055 (B) 0.060 (C) 0.065 (D) 0.070 (E) 0.075

21. 为保证破产概率低于 0.05,最小的初始准备金应为( )。 (A) 44 (B) 45 (C) 46 (D) 47 (E) 48

22.某保单组合发生索赔的时刻为t = 0.5,1.5,2.5,...,个别理赔额变 量服从[0,4]区间上的均匀分布,安全系数为0.1,初始准备金为 2,保费在整数时间段的期初交纳。在时刻t = 2之前该保单组合 的破产概率为 ( )。 (A) 0.08 (B) 0.18 (C) 0.22 (D) 0.24 (E) 0.28

23. 某保险公司的初始准备金为 10,理赔过程是复合泊松过 程,个别理赔额的分布为 P(X =1) = 0.5, P(X = 2) = 0.3, P(X = 3) = 0.2 已知调节系数R = 0.5, 盈余首次低于初始准备金的概率为 ) ( 。 (A) 0.15 (B) 0.29 (C) 0.33 (D) 0.49 (E) 0.55


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