当前位置:首页 >> 数学 >>

高一数学圆的标准方程课件


§2.3.1 圆的标准方程

圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集 合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.

根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b), 半径是r的圆的方程?

圆的标准方程
圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程. 设点M (x,y)为圆C上任一点,则 |MC|= r

圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r } y M(x,y)

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

O

C

x

2 2 2 (x-a) +(y-b) =r

三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.

圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y) O C x

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

标准方程 特别地,若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x ?y ?r
2 2

2

练习1 1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4
y

(2)、(x+1)2+y2=1
y

-2 C(0、0) r=2

0

+2

x

-1 C(-1、0) r=1

0

x

例1 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的 方程,并判断点M1(5,-7),M2(- 5 ,-1)是否在这个 圆上.
解: 所求的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25
方法一: 利用点的坐标代入方程 是否满足方程去判断; 方法二:若点到圆心的距离为d, d>r时,点在圆外; d=r时,点在圆上; d<r时,点在圆内;
y

O M2 A M1

x

例2、写出下列圆的方程
(1)圆心在点C(-2,1),并过点A(2,-2); 2)过点(0,1)和点(2,1),半径为 5

(2)解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ? 已知a=1,b=3 ? 因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的距 离, ? 所以 r= |3×1-4 ×3-6| 15 =3 2 2 = 5 3 ? ( ?4 ) ? 所以圆的方程为

(x-1)2+(y-3)2=9

(3)解:设所求圆的方程为(x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? 5. 因为已知圆过点(0,1),(2,1),所以可得:
2 2 ? a ? (1 ? b ) ?5 ? ? 2 2 (2 ? a ) ? (1 ? b ) ?5 ? ?

解得 ?a1 ? 1 ?a2 ? 1 或? ? ?b1 ? ?1 ?b2 ? 3 因此,所求圆的方程为
2 (x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5或( x ? 1) 2 ? (y-3) ? 5.

练习2
2、圆心在(-1、2),与y轴相切
Y

c

C(-1、2) r=1

-1

0

X

(x+1)2+(y-2)2=1

练习3
3、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程.
Y

C(8、3) P(5、1) X

0

(x-8)2+(y-3)2=13

例3. 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2), 且圆心C在直线上l:x -y +1=0,求圆心为C的圆的标 准方程.
y A(1,1) O C 弦AB的垂 直平分线

D

x B(2,-2)

l : x ? y ?1 ? 0
圆心:两条直线的交点 半径:圆心到圆上一点

典型例题
解法1:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点D的坐 ? 2 ?1 3 标 1 ? ?3 ( ,? ), 直线AB的斜率: k AB ? 2 ?1 2 2 ' 因此线段AB的垂直平分线 l 的方程是 1 1 3 即 x ? 3y ? 3 ? 0 y ? ? (x ? ) 2 3 2

? x ? ?3, x ? 3 y ? 3 ? 0 ? 得 ? 解方程组 ? ? y ? ?2. x ? y ? 1 ? 0 ? (?3,?2) 所以圆心C的坐标是
所以,圆心为C的圆的标准方程是

圆心为C的圆的半径长
2

r ?| AC |? (1 ? 3) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5
2

( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 25

解法2:设所求圆的方程为( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 . 由题意得 ?(1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?(2 ? a ) ? (?2 ? b) ? r ?a ? b ? 1 ? 0 ? 解得

待定系数法 ?a ? ?3 ? ?b ? ?2 ?r ? 5 ? 所以所求圆的方程为(x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25

4、求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 y 相切的圆. 解: 设所求圆的半径为r 则:
C O M x

练习4

| 3 ? 1- 4 ? 3 - 7 | 1 6 r? = 2 2 5 3 ?4
2 2

196 ∴所求圆的方程为: ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 25
圆心:已知 半径:圆心到切线的距离

赵州桥的跨度为40米,拱高约8米

学以致用
例4.如图是赵州桥的圆拱示意图,该拱跨度 AB=40米,拱高OD=8米,求这座圆拱桥的拱圆所 在圆的标准方程。
Y

解:以A.B所在的直线 B
X

D A r
O

为X轴,O点为坐标原 点,建立如图所示平 面直角坐标系

例4.
∵ 圆心在y轴上,
∴ 设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,

那么圆的方程是
2

x2+(y-b)2=r2
2
2

因为点(0 , 7.2)和(18.51 , 0)在圆上。于是得方程组

0 +(7.2-b) =r 2
2

18.51 + (0 -b ) =r 2 解得 b=-20.19 ,r=27.39

所以这个圆的方程是x2+(y+20.68)2= 27.392

今天的收获
(1)、牢记: 圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2 (2)、明确:三个条件a、b、r确定一个圆 (3)、方法: ①数形结合法 ②待定系数法
哈哈!我会了!

作业
习题2-3A第1、2、3题 习题2-3B第1、2题 (注意解题步骤)

例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
解:设所求圆的方程为:

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
?a?2 ? (5 ? a ) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? ? 2 2 2 ? ?b ? ? 3 (7 ? a ) ? ( ? 3 ? b ) ? r ? ? r ?5 ?(2 ? a ) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ? ?

所求圆的方程为

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

待定系数法


相关文章:
高一数学圆的标准方程与一般方程
高一数学圆的标准方程与一般方程_数学_高中教育_教育专区。由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 2.2.1 圆的标准方程 一、三维目标: 知识与技能...
2015年高一数学知识:圆的标准方程
搜试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 资格考试/认证...2015年高一数学知识:圆的标准方程_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。在高中...
圆的标准方程(高一数学)
搜试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...圆的标准方程(高一数学)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修二(圆...
圆的标准方程教案
圆的标准方程教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。《圆的标准方程》教学设计 一、教材分析 学习了 “曲线与方程” 之后, 作为一般曲线典型例子, 安排了本节的...
高一数学教案:4.1.1圆的标准方程.doc
第一课时 4.1.1 圆的标准方程 教学要求:使学生掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地 写出圆的标准方程, 能运用圆的标准方程正确地...
圆的标准方程
圆的标准方程_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第四章 圆与方程 4.1 圆的方程...与圆的方程的简单应用 圆与圆的位置关系 1 教具准备 课堂模式 多媒体课件和...
高中数学 4.1.1圆的标准方程教案 新人教版必修2
高中数学 4.1.1圆的标准方程教案 新人教版必修2_数学_高中教育_教育专区。4.1.1 圆的标准方程 大家好!我今天说课的题 目是《圆的标准方程》,选自人教版高中...
圆的标准方程说课课件
圆的标准方程说课课件_高一数学_数学_高中教育_教育专区。圆的标准方程 试卷讲评学习指导书 【知识沙盘】正弦定理 解三角形余弦定理 正余弦定理的综合应用 判断一个...
公开课高中数学人教A版4.1.1圆的标准方程
公开课高中数学人教A版4.1.1圆的标准方程_高一数学_数学_高中教育_教育专区。公开课教案 4.1.1 圆的标准方程 (一)教学目标 1.知识与技能 (1)掌握圆的标准方程...
更多相关标签:
椭圆的标准方程课件 | 双曲线的标准方程课件 | 椭圆及其标准方程课件 | 抛物线的标准方程课件 | 圆的标准方程课件 | 椭圆标准方程课件 | 椭圆及标准方程课件 | 双曲线标准方程课件 |