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平行四边形培优讲义新打印版


平边四边形知识点
一.知识框架

二.知识概念

平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形不相邻的两顶点 连成的线段叫做它的对角线。 平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 平行四边形的判别方法: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。 矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。 (矩形是轴对称图形, 有两条对称轴) 矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角 线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 S 菱形=1/2×ab(a、b 为两条对角线) 或底×高 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 (正方形是轴对称图形,有 四条对称轴) 正方形常用的判定: 有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形;
1

对角线互相垂直的矩形;对角线相等的菱形; 梯形的定义: 一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 直角梯形的定义:有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义:两腰相等的梯形。 等腰梯形的性质:等腰梯形同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等。 等腰梯形判定定理:同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 梯形常用辅助线:

2

平行四边形的判定及性质巩固练习题
1、如图,已知在四边形 ABCD 中,AD=BC,∠D=∠DCE.求证:四边形 ABCD?是平行四边形.

2、如图,在□ABCD 中,E、F 分别是 BC、AD 上的点,且 AE∥CF,AE 与 CF 相等吗?说明理由.

3、有一个四边形的四边长分别是 a,b,c,d,且有 a2+b2+c2+d2=2(ac+bd).求证:此四边形是平行四边 形.

4、□ABCD 中,AC、BD 交于点 O,AE=CF,求证:BE=DF

A E O B F C

D

5、(变式练习 2)□ABCD 中,AC、BD 交于点 O,AE=CF,BM=DN 求证:四边形 MFNE 是平行四边形
A E O M B C F N D

6、 (变式练习 3)如图,平行四边形 ABCD 中,E、F 是 AC 上两点,且 AE=CF,又点 M、N 分别在 AB、CD 上, 且 MF∥EN,MN 交 AC 于 O。求证:EF 与 MN 互相平分。

3

7、(变式练习 4)如图所示,□ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O,EF 过点 O 交 AD 于 E,交 BC 于 F,G 是 OA 的中点,H 是 OC 的中点,四边形 EGFH 是平行四边形,说明理由.

8、(变式练习)□ABCD 中,DE 平分∠ADC 交 BC 的延长线于 E,BF 平分 ∠ABC 交 AB 的延长线于 F,求证:四边形 DEBF 是平行四边形

F D C

A E

B

9、(变式练习 1)如图所示,平行四边形 ABCD 中,M、N 分别为 AD、BC 的中点,连结 AN、DN、BM、CM, 且 AN、BM 交于点 P,CM、DN 交于点 Q.四边形 MGNP 是平行四边形吗?为什么?

10、(变式练习 2)如图,E、F 分别为口 ABCD 的边 AD、BC 的中点。求证: (1)BE=DF; (2)O 为 GH 的中点。 A E O D H

A G
B

E

D

G O H C
F

B
D

F
F

C

11、□ABCD 中,E 在 AB 上,F 在 CD 上,且 AE=CF,M 为 DE 中点,N 为 FB 中点,求证:FM=NE ME=NF
C N

M

A

E

B

4

12、已知如图:在 ABCD 中,延长 AB 到 E,延长 CD 到 F,使 BE=DF, 则线段 AC 与 EF 是否互相平分?说明理由.

13、.如图所示,已知点 D 是△ABC 的边 AB 上的中点,点 E 是 AC 上的一点,DF∥BE,EF∥AB,证明:AE、DF 互相平分

A D E B C F

14、如图,已知 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线,△BME 是△AMD 绕点 M 按顺时针方向旋转 180°得到的,连 结 AE,求证:DE=AC.

15、如图,在□ABCD 中,∠DAB=60°,点 E、F 分别在 CD、AB 的延长线上,且 AE=AD,CF=CB. 求证:四边形 AFCE 是平行四边形.

16、如图所示,某城市部分街道示意图,AF∥BC,EC⊥BC,BA∥DE,BD∥AE,EF=FC,甲、乙两人同 时从 B 站乘车到 F 站,甲乘 1 路车,路线是 B→A→E→F,乙乘 2 路,路线是 B→D→C→F,假设两车速 度相同,途中耽误时间相同,那么谁先到达 F 站,请说明理由.

5

17、在平行四边形 ABCD 中,BN=DM,BE=DF,求证:四边形 MENF 是平行四边形.

18、如图,在

ABCD 中,AB=2AD,延长 AD 到 F,使 DF=AD,再延长 DA 到 E,使 AE=AD,求证:BF⊥CE.
E A D F

B

C

19、如图 19-1-30,分别以△ABC 的三边为边长,在 BC 的同侧作等边三角形 ABD,等边三角形 BCE, 等边三角形 ACF,连接 DE,EF。求证:四边形 ADEF 是平行四边形。

20、如图 3,在 △ ABC 中, D 是 BC 边的中点, F,E 分别是 AD 及其延长线上的点, CF ∥ BE ,连结

BF,CE ,试判断四边形 BECF 是何种特殊四边形,并说明理由。

图3

21、如图 2,平行四边形 ABCD 中,E、G、F、H 分别是四条边上的点,且 AE=CF,BG=DH,试说明: EF 与 GH 相互平分.

6

矩形拓展题
1、如图,四边形 ABCD 的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是( A.AB=CD A O B 第1题 2、如图①,矩形 ABCD,AB=12cm,AD=16cm,现将其按下列步骤折叠: (1)将△BAD 对折,使 AB 落在 AD 上, 得到折痕 AF, 如图② (2) 将△AFB 沿 BF 折叠, AF 与 DC 交点 G, 如图③则所得梯形 BDGF 的周长等于 ( ) A.12+2 2 B.24+2 2 C.24+4 2 D.12+4 2 C D B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD )

① ② ③ 3、如图,边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠 无缝隙),若拼成的矩形一边长为 3,则另一边长是( ) A.2m+3 B.2m+6 C.m+3 D.m+6

3 m+3 m (第 3 题)

N

4、如图,矩形 ABCD 中,AB>AD,AB=a,AN 平分∠DAB,DM⊥AN 于 点 M,CN⊥AN 于点 N.则 DM+CN 的值为(用含 a 的代数式表示)( A.a )

D M A a
(第 4 题)

C

4 B. a 5

2 a C. 2

D.

3 a 2

B

5、如图,已知矩形纸片 ABCD ,点 E 是 AB 的中点,点 G 是 BC 上的一点,?BEG ? 60 ,现沿直线 EG 将纸片折叠,使点 B 落在纸片上的点 H 处,连接 AH ,则与 ?BEG 相等的角的个数为( A.4 B. 3 C.2 D.1 )

?

6、矩形纸片 ABCD 中,AB=3,AD=4,将纸片折叠,使点 B 落在边 CD 上的 B’处,折痕为 AE.在折痕 AE 上存在一点 P 到边 CD 的距离与到点 B 的距离相等,则此相等距离为________.

7

7.小明尝试着将矩形纸片 ABCD(如图①,AD>CD)沿过 A 点的直线折叠,使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处,折痕为 AE(如图②) ;再沿过 D 点的直线折叠,使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处,E 点落在 AE 边上 的点 M 处,折痕为 DG(如图③) .如果第二次折叠后,M 点正好在∠NDG 的平分线上,那么矩形 ABCD 长与宽的比值为 A D . A F D A N M B ① C B ② E C B G ③ E C D

8、 如右上图, 将矩形 ABCD 纸片沿 EF 折叠, 使 D 点与 BC 边的中点 D’重合, 若 BC=8, CD=6, 则 CF=________。 9、如图 2,在矩形 ABCD 中,AD =4,DC =3,将△ADC 按逆时针方向绕点 A 旋转到△AEF(点 A、B、E 在同 一直线上) ,连结 CF,则 CF = .

10、如图矩形纸片 ABCD,AB=5cm,BC=10cm,CD 上有一点 E,ED=2cm,AD 上有一点 P,PD=3cm, 过 P 作 PF⊥AD 交 BC 于 F,将纸片折叠,使 P 点与 E 点重合,折痕与 PF 交于 Q 点,则 PQ 的长是 ________cm. A' 11、把一张矩形纸片(矩形 ABCD)按如图方式折叠,使顶点 B 和点 D 重合, ′ 2 E 折痕为 EF.若 AB = 3 cm,BC = 5 cm,则重叠部分△DEF 的面积是 cm . A D ( B' )

B

F
第 11 题图

C

12、如图所示,已知平行四边形 ABCD,AC、BD 相交于点 O,P 是平行四边形 ABCD 外一点,且∠APC =∠BPD=90°.求证:平行四边形 ABCD 是矩形.

13、 如图自矩形 ABCD 的顶点 C 作 CE⊥BD,E 为垂足,延长 CE 至 F,使 CF=BD, 连接 AF,求∠BAF 的大小

8

菱形的性质及判定巩固练习题
1、下列四边形中不一定为菱形的是( A.对角线相等的平行四边形 C.对角线互相垂直的平行四边形 2 下列命题中错误 的是 ( .. A.平行四边形的对边相等 C.矩形的对角线相等 ) B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D.对角线相等的四边形是矩形 ) B C A D ) B.每条对角线平分一组对角的四边形 D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形

3 如图,下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为( ① AC ? BD A.①③ ② ?BAD ? 90 B.②③
?

③ AB ? BC

④ AC ? BD

C.③④

D.①②③ )

4 菱形的周长为 32cm,一个内角的度数是 60° ,则两条对角线的长分别是( A.8cm 和 4 3 cm B.4cm 和 8 3 cm C.8cm 和 8 3 cm

D.4cm 和 4 3 cm

5 如图,菱形 ABCD 中,∠B=60°,AB=2,E、F 分别是 BC、CD 的中点,连接 AE、EF、AF,则△AEF 的周长为( A. )
A

E
3 3
C.

2 3

B.

4 3

D.

3
B E F C D

A

D

6 如右图,四边形 ABCD 是菱形,过点 A 作 BD 的平行线交

CD 的延长线于点 E ,则下列式子不成立 的是( ...
A. DA ? DE B. BD ? CE



B

O
C
D C O A E A B E C
A O B F C E D

C. ?EAC ? 90 ° D. ?ABC ? 2?E

7 如右图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 为 AB 的中点,且 OE ? a , 则菱形 ABCD 的周长为( A. 16a B. 12a C. 8 a ) D. 4 a

B

AE 垂直平分 BC , AB ? 4cm . 8、 如图, 菱形 ABCD 中, 垂足为 E , 那么, 菱形 ABCD
的面积是 ,对角线 BD 的长是 . cm D

2 9、 已知菱形 ABCD 的面积是 12 cm , 对角线 AC ? 4 cm, 则菱形的边长是

10、如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=3,对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD, BC 于点 E、F,连接 CE,则 CE 的长________. 11、 如图所示, 两个全等菱形的边长为 1 厘米, 一只蚂蚁由 A 点开始按 ABCDEFCGA 的 顺序沿菱形的边循环运动,行走 2008 厘米后停下,则这只蚂蚁停在 点.

9

12、如图,菱形 ABCD 中, O 是对角线 AC,BD 的交点, AB ? 5cm , AO ? 4cm ,则 BD ?

cm.

13、如图所示,已知□ABCD,AC,BD 相交于点 O,?添加一个条件使平行四边形为菱形,添加的条件为 ________. (只写出符合要求的一个即可)

13 题图 12 题图

14 题图

14、 如图所示,D,E,F 分别是△ABC 的边 BC,CA,AB 上的点,且 DE∥AB,DF∥CA,要使四边形 AFDE 是菱形,则要增加的条件是________. (只写出符合要求的一个即可) 15、菱形 ABCD 的周长为 48cm,∠BAD:?∠ABC=?1:?2,?则 BD=?__ ___,?菱形的面积是____ __.

16、在菱形 ABCD 中,AB=4,AB 边上的高 DE 垂直平分边 AB,则 BD=_____,AC=_____. 17、如图,四边形 ABCD 是菱形,DE⊥AB 交 BA 的延长线于 E,DF⊥BC,交 BC 的延长线于 F。请你猜 想 DE 与 DF 的大小有什么关系?并证明你的猜想

18、已知:如图,AD 平分∠BAC,DE∥AC 交 AB 于 E,DF∥AB 交 AC 于 F.求 证:四边形 AEDF 是菱形.

A E
3 12

F D C

B

19、如图,四边形 ABCD 中, AB ∥ CD , AC 平分 ? BAD , CE ∥ AD 交 AB 于 E . (1)求证:四边形 AECD 是菱形; (2)若点 E 是 AB 的中点,试判断 △ ABC 的形状,并说明理由.

10

20、如图 8,在平行四边形 ABCD 中, E,F 分别为边 AB,CD 的中点,连接 DE,BF,BD . (1)求证: △ ADE ≌△CBF . (2)若 AD ? BD ,则四边形 BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论.

D

F

C

A

E

B

21、如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D,CE 平分∠ACB,交 AD 于 G,交 AB 于 E,EF⊥ BC 于 F,四边形 AEFG 是菱形吗?
A

E

G C

B F D

22、如图,三角形 ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,E 是 AC 上一点,AE=AB,EF∥BC 交 AD 于 F,BE 与 AD 交与 G,求证:四边形 BDEF 是菱形。

A

F

E

B

C D

11

23、如图、在三角形 ABC 中,∠A=90 ?,∠B 的平分线交 AC 于 D,交高 AH 于 E,,DF⊥BC,F 为垂足, 求证:四边形 AEFD 为菱形。

24、如图,菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,过点 A 作 AH⊥BC,交 BD 于 E,垂足为 H,已知 CH=4, AH=8 (1)求菱形的周长; (2)求 OE 的长度.

25、如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,BC=5 3 ,∠C=30°.点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 2 个单位 长的速度向点 A 匀速运动,同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动,当 其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点 D、E 运动的时间是 t 秒(t>0).过点 D 作 DF⊥ BC 于点 F,连接 DE、EF. (1)求证:AE=DF; (2)四边形 AEFD 能够成为菱形吗?如果能,求出相应的 t 值;如果不能,说明理由. (3)当 t 为何值时,△DEF 为直角三角形?请说明理由.

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正方形练习题
1、正方形 ABCD 的边长为 1,它的两条对角线相交于点 O,则△ABO 的周长为_____ ,面积为_______ 2、如图,E 是正方形 ABCD 边 BC 延长线上一点,EC=AC,AE 交 CD 于 F,则∠AFC=____
A D
D C
D F C

F

F
M

B

C

E

A

E

B

A

2 题图

3 题图

6 题图

E

B

3、如图,在正方形 ABCD 中,AB=8,AE=2, EF= 2 5 . 点 E 在 AB 上,点 F 在 AD 上,则 CF=_____ 4、在正方形 ABCD 中,E 是 BC 上一点,AE 把正方形分成两部分,且 S?ABE : S梯形AECD ? 1: 5 ,AB=6, 则 AE=________ 5、若正方形面积缩小为原来的

1 ,则它的边长是原来边长的______ 3

6、如图,ABCD 是正方形,M 是 BC 中点,将正方形折起,使点 A 与点 M 重合,设折痕为 EF, 若正方形 面积为 64,那么△AEM 的面积是_________ 7、如图,以正方形 ABCD 的对角线 BD 为边作正三角形 BDE,过 E 作 EF⊥AD,交 DA 的延长线于 F,则∠ AEF=_____;若正三角形 BDE 的周长是 12 2 ,正方形面积为_______
D C

A E

P

D

A

E

D

F
A B E

P

C 7 题图 8 题图 10 题图 8 、如图,在正方形 ABCD 中,P 是 AD 上任一点,PE⊥AC,PF⊥BD,点 E、F 分别是垂足,BD+AC=14,则 PE+PF=______ 9、正方形 ABCD 边长为 8,M 在 DC 上,且 DM=2,N 是 AC 上的一动点,则 DN+MN 的最小值为_________

F

B

C

B

10、如图,已知边长为 1 的正方形 ABCD,E 为 AD 中点,P 为 CE 的中点,则 S?BPD =_____ 11 、 在 △ ABC 中 , AB=AC , D 是 BC 中 点 , DE ⊥ AB,DF ⊥ AC, 垂 足 分 别 为 E,F, 只 添 加 一 个 条 件 ____________________,使四边形 AEDF 为正方形(写出一个条件即可) 12、如图,将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°,至正方形 AB C D ,则旋转后两个正 方形重叠部分的面积是_______
C B
' ' '

B'

D C'

A

13
D'

13、如图,在正方形 ABCD 中,M 为 BC 上任一点,N 是 CD 的中点,且 AM=DC+CM 求证:AN 平分∠DAM
A D

N

B

M

C

14、已知正方形 ABCD 中,M 是 AB 的中点,E 是 AB 延长线上一点,MN⊥DM 且交∠CBE 的平分线于 N. 求证: MD=MN. 若 M 是 AB 上任意一点,MD=MN 还成立吗?若成立,请证明之;若不成立,请说明理由。

15、如图,在正方形 ABCD 中,E 是 BC 边上一点,过点 E 作 AE 的垂线分别交 CD、AB 的延长线于点 F、 G. 求证:BE=BG+CF
A D

F B E C

G

16、如图,在正方形 ABCD 中,△PAQ 是正三角形,设 AB=10,求 PB 的长
D Q C

P A B

14

17、如图,在正方形 ABCD 中,F 是对角线 AC 上任一点,BF⊥EF,求证:BF=EF
D F E C

A

B

18、如图,正方形 ABCD 边长为 1,E 是 CD 的中点,点 F 在 BC 边上移动.试判断当点 F 移到什么位置时, AE 是∠DAF 的平分线?
A D

E

B

F

C

19、如图,在正方形 ABCD 中,E 是 DB 延长线上的一点,且∠ECB=15°.求证:EC=BD
A D

G

B E

C

15

四边形综合培优题
1、以△ABC 的边 AB、AC、BC 为边作等边△ABD、等边△ ACE 和等边△BCF。 (1)求证四边形 ADFE 是平行四边形. (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形 ADFE 是矩形; (3)当△ABC 满足什么条件时,平行四边形 ADFE 不存在; (4)当△ABC 分别满足什么条件时,平行四边形是菱形、正方形.

2、如图:正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,E 是 AC 上的一点,连接 EB,过点 A 作 AM⊥BE, 垂足 M,AM 交 BD 于点 F. ①求证 OE=OF ②如图 2 所示,若点 E 在 AC 的延长线上,AM⊥EB 的延长线于点 M,交 DB 的延长线于点 F,其他条件 都不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
A D

O F M B
A

E

C
D

O

M B F

C

E

3、如图,在梯形 ABCD 中,∠A+∠B=90°,AB//CD,M,N 分别是 AB,CD 的中点,求证:MN=

1 ( AB ? CD) . 2

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4、 已知: 如图, 在△ ABC 中, AB=AC, AD⊥BC, 垂足为点 D, AN 是△ ABC 外角∠CAM 的平分线, CE⊥AN, 垂足为点 E, (1)求证:四边形 ADCE 为矩形; M (2)当△ ABC 满足什么条件时,四边形 ADCE 是一个正方形?并给出证明.
A E N

B

D

C

5、在□ABCD 中,∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E,交直线 DC 于点 F. (1)在图 1 中证明 CE=CF; (2)若∠ABC=90°,G 是 EF 的中点(如图 2) ,求∠BDG 的度数

A B 图1

D E C F D

(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连结 DB、DG(如图 3) ,求∠BDG 的度数. A

B

E G 图2

C F

A E

D

B

C G F

图3

17

6、已知正方形 ABCD,点 P 是对角线 AC 所在直线上的动点,点 E 在 DC 边所在直线上,且始终保持 PE=PD. (1)如图 1,当点 P 在对角线 AC 上时,观察、猜想 PE 与 PB 有怎样的关?并证明你的结论。 (2)如图 2,当点 P 运动到 CA 的延长线上时, (1)中猜想的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果 不成立,请说明理由; (3)如图 3,当点 P 运动到 CA 的反向延长线上时,请你利用图 3 画出满足条件的图形, 并判断此时 PE 与 PB 有怎样的关系?并证明你的结论。 D A P E
图1

B

C

P A B

E

D
图2

C

A

B

D
图3

C

P

7、如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD.过点 C 作 CE⊥AB 于 E,交对角线 BD 于 F, 点 G 为 BC 中点,连结 EG、AF. A (1)求 EG 的长; (2)求证:CF=AB+AF. (用两种方法证明) E F D

B

G

C

A E F

D

B

G

C

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8、以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为 E、F、 G、H,顺次连结这四个点,得四边形 EFGH. (1)如图 1,当四边形 ABCD 为正方形时,我们发现四边形 EFGH 是正方形;如图 2,当四边形 ABCD 为 矩形时,请判断:四边形 EFGH 的形状并说明理由; (2)如图 3,当四边形 ABCD 为一般平行四边形时,设∠ADC= ? (0° < ? <90° ) , ① 试用含 ? 的代数式表示∠HAE;② 求证:HE=HG;③ 四边形 EFGH 是什么四边形?并说明理由.

9、如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,E、F 分别是 AB、DC 边的中点,AB=4,∠B=60° (1)求点 E 到 BC 边的距离; (2)点 P 为线段 EF 上的一个动点,过 P 作 PM⊥BC,垂足为 M,过点 M 作 MN∥AB 交线段 AD 于点 N, 连接 PN、探究:当点 P 在线段 EF 上运动时,△PMN 的形状是否发生变化?若不变,请求出△PMN 的面 积和周长;若变化,请说明理由.

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10、将一副三角尺如图拼接:含 30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含 45°角的三角尺(△ACD)的 斜边恰好重合.已知 AB=2 3 ,P 是 AC 上的一个动点. (1)当点 P 运动到∠ABC 的平分线上时,连接 DP,求 DP 的长; (2)当点 P 在运动过程中出现 PD=BC 时,求此时∠PDA 的度数; (3)当点 P 运动到什么位置时,以 D,P,B,Q 为顶点的平行四边形的顶点 Q 恰好在边 BC 上?求出此时□ DPBQ 的面积.
D C

A (第 10 题)

B

D C

A (备用图)

B

11、如图 1,在△ABC 中,AB=BC=5,AC=6.△ECD 是△ABC 沿 BC 方向平移得到的,连接 AE.AC 和 BE 相交 于点 O. (1)判断四边形 ABCE 是怎样的四边形,说明理由; (2)如图 2,P 是线段 BC 上一动点(图 2) , (不与点 B、C 重合) ,连接 PO 并延长交线段 AE 于点 Q,QR⊥ BD,垂足为点 R.四边形 PQED 的面积是否随点 P 的运动而发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出四 边形 PQED 的面积; E A
O

B A

C (第 11 题图 1) Q E 1

D

O

B

P

R C (第 11 题图 2)

D

20

12 已知:正方形 ABCD 中, ?MAN ? 45 , ?MAN 绕点 A 顺时针旋转,它的两边分别交 CB,DC (或
?

它们的延长线)于点 M ,N . (1) 、 当 ?MAN 绕 点 A 旋 转 到 BM=DN 时 如 ( 图 1 ) , BM 、 DN 与 MN 之 间 的 数 量 关 系 是 ______________________;(不需说明) (2) 、 当 ?MAN 绕点 A 旋转到 BM ? DN 时如 (图 2) , 线段 BM ,DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系? 写出猜想,并加以说明. (3) 、当 ?MAN 绕点 A 旋转到如(图 3)的位置时,线段 BM ,DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系?请 直接写出你的猜想.

13、如图:Rt△ABC 中,∠C=900,∠A=300,AB=4,将一个 300 角的顶点 P 放 在 AB 边上滑动,保持 300 角的一边平行于 BC,且交边 AC 于点 E,300 角的另一边交射线 ..BC 于点 D,连 ED (1)如图 1,当四边形 PBDE 为等腰梯形时,求 AP 的长; (2)四边形 PBDE 有可能为平行四边形吗?若可能,求出 PBDE 为平行四边形时 AP 的长; 若不可能,说明理由; (3)若 D 在 BC 边上(不与 B、C 重合) ,试写出线段 AP 取值范围。 P E
300

A

B

C
(图 1)

D

A

B

C
21 (备用图)

14、正方形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F,连接 DF,G 为 DF 中点, 连接 EG,CG. (1)求证:EG=CG; (2)将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45?,如图②所示,取 DF 中点 G,连接 EG,CG.问(1)中的结 论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. (3)将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然 成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)

22


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