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等差与等比综合


数学必修 5 等差数列与等比数列
班级: 姓名: 分数:

一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列( ) (A)为常数数列 (B)为非零的常数数列 (C)存在且唯一 (D)不存在 答案:B 2 . 已 知 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 an ? 2n ? 49 , 则 Sn 达 到 最 小 值 时 , 则 n = ) A. 23 答案:B (

B.24

C.25

D.26

3.已知数列 ?an ? ,?bn ? 为等差数列,其中 a1= 1= a100 +b100=100 ,则数列 {an ? bn } 的 5,b 15, 前 100 项的和是 ( ) A.6000 答案:A

B.5000

C. 600

D.5050

4.若 x ? y ,且两个数列 x, a1 , a2 , y和x, b1 , b2 , b3 , y 各自都成等差数列,那么 ( ) A.

a 2 -a1 = b2 -b1

2 3

B.

3 4

C.

4 3

D.

3 2


答案:C 5.在 2 与 6 之间插入 n 个数,使它们组成等比数列,则这个数列的公比为( (A) n 3 答案:C 6.在等比数列 ?an ? 中, a5 ? a11 ? 3, a3 ? a13 ? 4, 则 (B)

1
n

3

(C) n?1 3

(D) n? 2 3

a15 ?( a5
1 3

)C

A.3

B.

1 3

C.3 或

1 3

D. ?3 或 ?

? a5 ? a11 ? a3 ? a13 ? 3, a3 ? a13 ? 4,? a3 ? 1, a13 ? 3 或 a3 ? 3, a13 ? 1,
? a15 a13 1 ? ? 3 或 ,故选 C。 3 a5 a3

7.在等比数列{an}中,a1=1,公比 q∈R 且 q≠1, a n =a1a 2a 3 ?a10 ,则 n 等于 ( ) B.45 C.46 D.47 A.44 答案:C

8.等比数列 ?an ? 中,已知 S 6 ? 91, S 2 ? 7 则 S 4 = ( )

A.28 B.32 C.35 D.49 答案:A 9.计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一” ,如 (1101) 2 表示二进 制数,将它转换成十进制形式是 1? 23 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 1? 20 = 13,那么将二进制数

(???)转换成十进制形式是( 1111 1 2 ? ? ?
16个1

). C. 216 ? 1 D. 215 ? 1

A. 217 ? 2

B. 216 ? 2

解析: (111?1)2 ? 1? 215 ? 1? 214 ? ?1? 21 ? 1? 20 ? 216 ? 1 ,答案:C ? ? ?
16

10.设数列{an}是由正数组成的等比数列,且公比 q=2, a1 ? a 2 ??a30 =230 ,那么 a3 ? a 6 ??? a 30 的值是 ( )

A.210
答案:B

B.220

C.216

D.215
)D

11. 在各项为正数的等比数列 ?an ? 中,q=3,前三项和为 21 ,则 a3 ? a4 ? a5 ? ( A. 33
2

B.

72

C. 84

D. 189

12.已知(z-x) =4(x-y)(y-z),则( (A)x,y,z 成等差数列 (C)

) (B)x,y,z 成等比数列 (D)

1 1 1 , , 成等差数列 x y z
2 3 4 5

1 1 1 , , 成等比数列 x y z
7 8 9 10 11 12

答案:A 1 6

二、填空题(本题共4小题,每题4分,共16分)
13.已知数列前 5 项分别为 答案: 14.在

1 1 1 1 1 , , , , ,则该数列的通项公式为_______________; 2 6 10 14 18

1 4n ? 2

8 27 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 3 2 _________. 216 15.一个等比数列各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,

则公比 q 为_______________

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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5 ?1 2

设 an ? an ?1 ? an ? 2 ? qan ? q an , q ? q ? 1 ? 0, q ? 0, q ?
2 2

?1 ? 5 2

16. 在小于 100 的正整数中,被 3 除余 2 的数的和是 . 答案:1650 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,?bn ? 为等比数列,且 a2 ? b2 , a5 ? b3 ,

a14 ? b4 ,求 ?an ? , ?bn ? 的通项公式. (本小题满分 12 分)

答案: an ? 2n ? 1, bn ? 3n?1 . 18.求数列 an ? 2n?1 ? 2n ? 3 的前 n 项和(本小题满分 12 分)

答案: ? 2 ? n ? 2n ? 1
n 2

19. 有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这四个数。 (本小题满分 12 分)

答案:设这四个数为

a , a, aq,2aq ? a q

?a ? ·a ? aq ? 216 则 ?q ?a ? aq ? (3aq ? a) ? 36 ?
③代入②,得 3aq=36,q=2


由①,得 a =216,a=6
3




∴这四个数为 3,6,12,18

20.已知数列 {an ? 1 ,n ? N * 为等比数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. } (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 ? ??? ? 1. (本小题满分 12 分) a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an

(I)解:设等差数列 {log2 (an ? 1)}的公差为 d. 由 a1 ? 3, a3 ? 9得2(log2 2 ? d ) ? log2 2 ? log2 8, 即 d=1.

所以 log2 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1)? ? n, 即 an ? 2 n ? 1. (II)证明因为

1 1 1 ? n?1 ? n , n an?1 ? an a ? 2 2

所以

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 2 ? 3 ??? n a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an 2 2 2 2

1 1 1 ? n? 2 ? 1 ? 1 ? 1. 2 ? 2 1 2n 1? 2
21.设一个等比数列的首项为 a1 (a1>0),公比为 q(q>0),其前 n 项和为 80,而其中 an=54,又其 前 2n 项和是 6560,求 a1 和 q. (本小题满分 12 分) 思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想, 解:若 q=1,则 na=80,∴2na=160 矛盾,? q ? 1

? a1 (1 ? q n ) ? 80 (1) ? (2) ? 1? q 于是 ? 得q n ? 81又q ? 0,? q ? 1? a n ? a1 q n ?1 ? 54 (3) 2n a1 (1 ? q ) (1) ? ? 6560 (2) ? ? 1? q
q n ? 81代入(1)(3)得 a ? ?1及a81 ? 54q ? a ? 2, q ? 3 1? q

22.已知数列 ?an ? ,Sn 是它的前 n 项和,且 S n?1 ? 4an ? 2(n ? N ? ), a1 ? 1 (1)设 bn ? an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列 (2)设 c n

?

an 2n

,,求证:数列 ?cn ? 是等差数列(本小题满分 14 分)

思维分析:证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前 n 项和 Sn 已知可求 an 解:(1) S n?1 ? 4an ? 2, S n?2 ? 4an?1 ? 2 ? S n?2 ? S n?1 ? 4a n?1 ?4an即an?2 ? 4an?1 ? 4an

? an?2 ? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an ),而bn ? an?1 ? 2an ?bn?1 ? 2bn ,由此可得 ?bn ? 是等比数列
且首项 b1 ? a2 ? 2a1 ? 3, 公比q ? 2,?bn ? 3 ? 2 (2) c n ?
n?1

bn a a b 3 ? 2 n ?1 3 ,? cn ?1 ? cn ? n ?1 ? n ? nn 1 ? n?1 ? 4 2n 2 n?1 2 n 2 ? 2

可知 ?cn ? 是首项 c1 ?

a1 1 3 1 3 ? , 公差d ? 的等差数列,? c n ? n ? 4 4 2 2 4


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