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天津市五区县2016届高三第二次模拟考试数学(理)试题


天津市五区县 2016 年高三质量调查试卷(二) 数学试卷(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1、 i 是虚数单位,复数

2 ? i3 = 1? i
C.

A.

3 ? 3i 2

B.

1 ? 3i 2

1? i 2

D.

3?i 2

?2 x ? y ? 0 ? 2、设实数 x, y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?y ? x ? 0 ?
A.

9 2

B.4

C.3

D.0

3、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为 A.81 4、计算 A.2 B.27 C.16 D.9

?

4

0

x ? 2 dx 的值为
B.4 C.6 D.14

5、已知双曲线 C 的左右焦点为 F1 , F2 为双曲线右支上任意一点,若乙 F 1 为圆心,以 的圆与以 P 为圆心, PF2 为半径的圆相切,则 C 的离心率为 A. 2 B. 3 C.2 D.4

1 F1 F2 为半径 2

6、如图,圆 O 的直径 AB 长度为 10,CD 是点 C 处的切线, AD ? CD , 若 BC ? 8 ,则 CD ?

15 2 18 C. 5
A.

40 3 24 D. 5
B.

2 2 7、设 p : ?x0 ? R, mx0 ?1 ? 0, q : x ? R, x ? mx ?1 ? 0 ,若 p ? q 为真命题,则实数 m 的取值范

围是 A. (??, 2) B. (2, ??) C. (?2, 2) D. (??, 2] ? [2, ??)

8、定义函数 F ? a, b ? ?

1 (a ? b ? a ? b )(a, b ? R) ,设函数 f ? x ? ? ?x2 ? 2x ? 4, g ? x ? ? x ? 2 ( x ? R) 2

函数 F ( f ( x), g ( x)) 的最大值与零点之和为 A.4 B.6 C. 4 ? 2 5 D. 2 5 ? 2

第Ⅱ卷(满分 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卷的横线上.. 9、某单位工作人员的构成如图所示,现采用分层抽样的方法抽取 工作人员进行薪资情况调查,若管理人鱼抽取了 6 人, 则抽到的技师人数为 10、一个几何体的三视图(单位:m)如图所示, 则此几何体的表面积为

m2

2 11、等比数列 ?an ? 的前 n 项乘积为 Tn ,若 2a3 ? a4 ,

则 Tn ? 12、在 ?ABC 中, A ? 60 , AB ? 2 ,且 ?ABC 的面积为
?

3 ,则 BC 的长为 2

13、在极坐标系中,曲线 ? ? 4sin ? 和 ? cos ? ? 1相交于 A、B 两点,则 AB ? 14、已知函数 f ? x ? ? ? 是

? ? x ? 2, x ? 1 ,若函数 y ? f ( x) ? ax ? 1 恰有两个零点,则实数 a 的取值范围 1? x 2 , x ? 1 ? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin wx cos wx ? 2 3 sin 2 wx ? 3(w ? 0) 的最小正周期为 ? . (1)求函数 f ? x ? 的单调增区间; (2)将函数 f ? x ? 的图象向左平移

? 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,得到函数 y ? g ? x ? 6

的图象,求函数 y ? g ? x ? 在 [?

, ] 上的最值. 12 3

? ?

16、(本小题满分 12 分) 为迎接 2016 年“猴年”的到来,某电视台举办猜奖获得,参与者需先后回答两道选择题:问题 A 有三个选项,问题 B 有四个选项,每题有且只有一个选项是正确的,正确回答问题 A 可获奖金 1 千 元,正确回答 B 可获奖金 2 千元,活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第一问题回 答正确,则继续答题,否则该参与者猜奖获得终止,假设某参与者回答问题前,选择每道题的每个 选项机会是等可能的. (1)如果该参与者先回答问题 A,求其恰好获得奖金 1 千元的概率; (2)试确定哪种回答问题的顺序能使得参与者获奖金额的期望值较大.

17、(本小题满分 13 分) 如图,在三棱台 ABO ? A1B1O1 中,侧面 AOO1 A 1 与侧面 OBB 1O 1 是全等的直角梯形, 且 OO1 ? OB, OO1 ? OA ,平面 AOO1 A1 ? 平面 OBB1O1 , OB ? 3, O1B1 ? 1, OO1 ? 3 . (1)证明: AB1 ? BO1 ; (2)求直线 AO1 与平面 AOB1 所成的角的正切值; (3)求二面角 O ? AB1 ? O1 的余弦值.

18、(本小题满分 13 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为 4, 以椭圆 C 的短轴为直 a b
径的圆 O 经过两个焦点, A, B 是椭圆 C 的长轴端点.

(1)求椭圆 C 的标准方程和圆 O 的方程; (2)设 P、Q 分别是椭圆 C 和圆 O 上位于 y 轴两侧的动点, 若直线 PQ 与 x 平行,直线 AP、BP 与 y 轴的交点即为 M、N, 试证明 ?MQN 为直角.

19、(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足:① a1 ? a ? 0, b1 ? b ? 0 ;②昂 k ? 2 时,若 ak ?1 ? bk ?1 ? 0 , 则 ak ? ak ?1 , bk ?

ak ?1 ? bk ?1 a ? bk ?1 ,若 ak ?1 ? bk ?1 ? 0 ,则 bk ? bk ?1 , ak ? k ?1 . 2 2

(1)若 a ? ?1, b ? 1 ,求 a2 , b2 , a3 , b3 的值; (2)设 Sn ? (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ?? (bn ? an )(n ? N ?) ,试用 a , b 表示 Sn ;
? (3)若存在 n ? N ,对任意正整数 k ,当 2 ? k ? n 时,恒有 bk ?1 ? bk ,求 n 的最大值

(用 a , b 表示).

20、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? ln x(a ? R)
2

(1)当 a ? 1 时,求函数 y ? f ? x ? 的单调区间; (2)若 ?x ? (0,1] , f ? x ? ? 1 恒成立,求 a 的取值范围; (3)若 a ?

e x ?1 ,证明: e f ? x ? ? x . 2

天津市五区县 2016 年高三质量调查试卷(二) 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题: (1)—(4)DBAB (5—(8)CDAB

二、填空题: (9)9 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) (10)12π +12 (11)512 (12) 3 (13)2 3 (14) (?1, 2)

解: (Ⅰ)由题意得

f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3
? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 2sin(2? x ? ) 3
由周期为 ? ,得 ? ? 1 . 得 f ? x ? ? 2sin(2 x ?

?

??????2 分

?
3

)

??????4 分

由正弦函数的单调递增区间得

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

,得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? ,k ?Z 12
??????6 分

所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 [k? ? (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向左平移

?
12

, k? ?

5? ] ,k ?Z 12

? 个单位,再向上平移 1 个单位, 6

得到 y ? 2sin 2 x ? 1 的图象,所以 g ( x) ? 2sin 2 x ? 1 ??????????9 分 因为 x ? ? ? 小值为 0. (16) (本小题满分 13 分) 解: (I)设事件 C 为“参与者先回答问题 A ,且恰好获得奖金 1 千元”,则由题意知正确回答 A 的 概率为

? ? ?? ? ? 2? ? , ? ,所以 2 x ? ? ? , ? ,故 2sin x ???1,2? ,所以函数 g ( x) 的最大值为 3,最 ? 12 3 ? ? 6 3 ?
??????????13 分

1 1 1 3 1 ,正确回答 B 的概率为 , P (C ) ? ? ? .?????????4 分 3 4 3 4 4

(II)设参与者获得的奖金为 ? .先回答问题 A 时, ? 所有可能的值为 0,1,3. ????????5 分

2 1 3 1 1 1 1 , P (? =1) ? ? ? ; P(? =3) ? ? = ; 3 3 4 4 3 4 12 2 1 1 1 此时数学期望为 E? =0 ? +1? ? 3 ? = .?????????9 分 3 4 12 2 P (? =0) ?
先回答问题 B 时, ? 所有可能的值为 0,2,3.??????????10 分

3 1 2 1 1 1 1 , P (? =1) ? ? ? ; P(? =3) ? ? = ; 4 4 3 6 4 3 12 3 1 1 7 此时数学期望为 E? =0 ? +2 ? ? 3 ? = . 4 6 12 12 P (? =0) ?
所以先回答问题 B 时该参与者获奖金额的期望值较大.?????????13 分 (17) (本小题满分 13 分) ( I ) 证 明 : 由 题 设 知 OA ⊥ OO1 , 且 平 面 AOO1 A1 ? 平 面 OBB1O1 , 平 面 AOO1 A1 ? 平 面

OBB1O1 ? OO1 ,则 OA⊥平面 OBB1O1 ,所以 OA⊥OB,OA⊥ BO1 ,
又因为 OO1 ? 3 . O1B1 ? 1, OB ? 3 ,所以∠OO1B=60°,∠O1OB1=30°, 从而 OB1 ? BO1 , 又因为 OA ? BO1 , OB1 ? OA ? O , BO1 ? 平面 AOB1 ,

AB1 ? 平面 AOB1 , AB1 ? BO1 .

???4 分

(II)解:以 O 为原点,OA、OB、OO1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图, 则 A(3,0,0) ,B(0,3,0) , B1(0,1, 3 ) ,O1(0,0, 3 ). 由( I ) BO1 ⊥平面 OA B1 , BO1 是平面 OA B1 的一个法向量 . 且

???? ? BO1 ? (0, ?3, 3) , ???? ? AO1 ? (?3,0, 3) ,设直线 AO1 与平面 AOB1 所成的角为 ? ,则:
???? ? ???? ? sin ? ? cos ? AO1 , BO1 ? ? 3 1 ? . 2 3?2 3 4
????8 分

(III)由(II)知 BO1 是平面 OA B1 的一个法向量.且 BO1 ? (0, ?3, 3) , 设 n ? ( x, y, z) 是平面 O1A B1 的一个法向量,

???? ?

? ???? ? ? ?n ? AB1 ? 0 ??3x ? y ? 3z ? 0, ?? 由 ? ? ????? ? y ? 0. ? ?n ? O1B1 ? 0 ?
设二面角 O—AB1—O1 的大小为 ? ,

取z ? 3, 得 n ? (1,0, 3) .

则 cos ? ? cos ? n , BO1 >= n ? BO1 ? 3 . 4 | n | ? | BO1 | 即二面角 O—AB1—O1 的余弦值是

3 . 4

????13 分

(18) (本小题满分 13 分) 解: (I)由椭圆定义可得 2a ? 4 ,又 b ? c 且 b2 ? c 2 ? a 2 ,解得 a ? 2, b ? c ? 2 ,即椭圆 C

的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 2 .?????.4 分 4 2

(II)?MQN 是定值 90? , 证明如下: 设 P( x0 , y0 ) , 直线 AP :y ? k ( x ? 2)( k ? 0 ) , 令x ?0 可得 M (0, 2k ) . ?????.5 分



x2 y 2 ? ? 1 和 y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 ) 联 立 可 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0 , 则 4 2 8k 2 ? 4 2 ? 4k 2 2 ? 4k 2 4k 4k x ? P ( , 2 ) ,???.8 分 y ? , , ,故 0 0 2 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1
y0 1 1 1 ? ? ,直线 BP : y ? ? ( x ? 2) ,令 x ? 0 可得 N (0, ) . k 2k x0 ? 2 2k
????.10 分

?2 x0 ?

直线 BP 的斜率为 k BP ?

设 Q( xQ , y0 ) ,则 QM ? (? xQ , 2k ? y0 ), QN ? (? xQ , 可 得 QM ? QN ? xQ ? y0 ? 2 ?
2 2

???? ?

????

4k 1 2 2 ? y0 ) ,由 xQ ? y0 ? 2 , y0 ? 2 , 2k ? 1 k

???? ? ????

???? ? ???? 2k 2 ? 1 y0 ? 0 , 所 以 QM ? QN , ?MQN 是 定 值 k
?????.13 分

90? .
(19) (本小题满分 14 分)

1 , b3 ? 0 ;????? 4 分 2 a ? bk ?1 b ?a a ?b b ?a ? ak ?1 ? k ?1 k ?1 , bk ?1 ? k ?1 k ?1 ? k ?1 k ?1 ,所以不论 (Ⅱ)因为 k ?1 2 2 2 2 b ?a ak ?1 ? bk ?1 ? 0 还是 ak ?1 ? bk ?1 ? 0 ,都有 bk ? ak ? k ?1 k ?1 ,数列{ bn ? an }是以 b1 ? a1 ? b ? a 为 2 1 首项、公比为 的等比数列. ?????6 分 2 1 Sn ? (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (bn ? an ) ? 2(b ? a )(1 ? n ) , 2 1 即 S n ? 2(b ? a )(1 ? n ) ; ?????8 分 2
(Ⅰ)当 a ? ?1, b ? 1 时, a2 ? ?1, b2 ? 0, a3 ? ? (Ⅲ)因为当 2 ? k ? n 时,恒有 bk ?1 ? bk ,所以 ak ?1 ? bk ?1 ? 0 , ak ? ak ?1 ,当 k ? [2, n] 时,

恒有 ak ? a ,且 bk ? ak ? (b ? a ) ? 解得 k ? 2 ? log 1
2

1 1 1 ,bk ? a ? (b ? a ) ? k ?1 ,ak ?1 ? bk ?1 ? a ? a ? (b ? a ) ? k ? 2 , k ?1 2 2 2

? ?2a ? ? ?2a ? ?2a ,所以 n 的最大值为 ? 2 ? log 1 ? ( ? 2 ? log 1 ? 表示不超过 b?a ? 2 b?a? ? 2 b?a?

2 ? log 1
2

?2a 的最大整数). ??14 分 b?a

(20) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? x2 ? ln x , f ?( x) ? 2 x ?

1 2 x2 ?1 ? . x x
2 2 ,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? , 2 2

函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,则由 f ?( x) ? 0 得 x ?

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (

2 2 , ??) ,单调递减区间为 (0, ). 2 2
??????????4 分

(Ⅱ)由已知得 f ?( x ) ? 2ax ?

1 . x 1 1 1 恒成立,所以 2a ? ( 2 ) min ? 1 , a ? . 2 x x 2

①若 f ?( x) ? 0 在 ? 0,1? 上恒成立,则 2a ? 即a ?

1 时, f ( x ) 在 ? 0,1? 单调递减, ? f ( x) ?min ? f (1) ? a ,与 f ( x) ? 1恒成立矛盾. 2
??????????6 分

②当 a ?

1 1 时,令 f ?( x ) ? 2ax ? ? 0 ,得 x ? 2 x

1 ? ? 0,1? . 2a

所以当 x ? ? 0, 递增.

? ? ?

? 1 ? 1 ? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减;当 x ? ? ? ? ? 2a ,1? 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调 2a ? ? ?

? 1 ? 1 1 1 1 所以 ? f ( x) ?min ? f ( ) ? a? ? ln ? ? ln 2a . ? ? ? 2a 2a 2 2 ? 2a ? 1 1 e 由 f ( x) ? 1得, ? ln 2a ? 1 ,所以 a ? . 2 2 2
综上,所求 a 的取值范围是 ? , ?? ? .

2

?e ?2

? ?

??????????9 分

(Ⅲ) a ?

e 1 1 时,由(Ⅱ)得 ? f ( x) ? min ? ? ln 2a ? 1 . 2 2 2 x x 1? x 令 h( x) ? x ?1 ,则 h?( x) ? x ?1 ? x ?1 . e e e

??????11 分

所以当 x ? ? 0,1? 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单增;当 x ??1, ?? ? 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单减. 所以 h( x) ? h(1) ? 1. 所以 f ( x) ? h( x) ,即 e x?1 f ( x) ? x . ??????????13 分 ?????????14 分


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