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2015年松江区高三数学一模


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2015 年上海市松江区高三一模数学试卷
(满分 150 分,考试时间 120 分钟) 2015.1

一. 填空题 1. 若复数 z 满足

z ?4 ? 0 ,则 z 的值为 1 z
?1



>2. 已知 f ( x) ? log a x ( a ? 0 , a ? 1 ) ,且 f

(?1) ? 2 ,则 f ?1 ( x ) ?

; ; ;

3. 在等差数列 {an } 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ?

??? ? ??? ? 4. 已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ?

5. 如图,在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BC1 与平面 ABCD 所成的角为 60°,则 BC1 与 AC 所成的角为 (结果用反三角函数表示) ;

6. 若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴都相切,则该圆的标 准方程是 ;

7. 按如图所示的流程图元素,则输出的 S ? 8. 已知函数 f ( x ) ? sin(? x ?



? ) ( x ? R , ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,将 y ? f ( x ) 图像 3 ? 向左平移 ? 个单位长度( 0 ? ? ? )所得图像关于 y 轴对称,则 ? ? ; 2 x2 y2 9. 已知双曲线 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合, 则该双曲线的焦点到其 4 b
渐近线的距离为 ;

10. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 5 的 概率为 11. 已知函数 f ( x ) ? 值范围为 资料整理 谭峰 ;

1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ,若 f ( x ) ? log 2 t 对 x ? R 恒成立,则 t 的取 2 2


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2 2

12. 某同学为研究函数 f ( x ) ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? x ) ( 0 ? x ? 1 )的性质,构造了如图所 示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC , 点 P 是边 BC 上的一个动点, 设 CP ? x , 则 f ( x ) ? AP ? PF ,此时 f max ( x) ? f min ( x ) ? ;

13. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且当

1 x ? [?2, 0] 时, f ( x) ? ( ) x ? 1 ,若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? log a ( x ? 2) ( a ? 1 )在区间 2

(?2, 6] 恰有 3 个不同的零点,则 a 的取值范围是
14. 在正项等比数列 {an } 中,已知 a1 ? a2015 ? 1 ,若集合



? ? 1 1 1 ? ? A ? ?t (a1 ? ) ? (a2 ? ) ? … ? (at ? ) ? 0, t ? N* ? ,则 A 中元素个数为 a1 a2 at ? ? ? ?
二. 选择题 15. 已知 p , q ? R ,则“ q ? p ? 0 ”是“ | A. 充分非必要条件; C. 充要条件; 16. 若二项式 (3 x ? A. 4;
2



p |? 1 ”的( q



B. 必要非充分条件; D. 既非充分又非必要条件;

3

2 n ) ( n ? N * )展开式中含有常数项,则 n 的最小值是( x
C. 6; D. 7; )



B. 5;

??? ? ??? ? ??? ? 17. 设 P 是△ ABC 所在平面内一点, BC ? BA ? 2 BP ,则( ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? A. PA ? PB ? 0 ; B. PB ? PC ? 0 ; ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? C. PC ? PA ? 0 ; D. PA ? PB ? PC ? 0 ;
2 2

18. 已知满足条件 x ? y ? 1 的点 ( x, y ) 构成的平面区域面积为 S1 ,满足条件 [ x] ? [ y ] ?

2

2

1 的点 ( x, y ) 构成的平面区域的面积为 S 2 ,其中 [ x ] 、 [ y ] 分别表示不大于 x 、 y 的最大
整数,例如: [?0.4] ? ?1 , [1.7] ? 1 ,则 S1 与 S 2 的关系是( A. S1 ? S2 ; B. S1 ? S 2 ; C. S1 ? S 2 ; ) D. S1 ? S2 ? ? ? 3 ;

三. 解答题 资料整理 谭峰

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(1)求 A 的大小;

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19. 在△ ABC 中, a、 c 分别为内角 A 、 B、 且满足 a ? b ? c , b、 C 所对的边, b ? 2a sin B ;

(2)若 a ? 2 , b ? 2 3 ,求△ ABC 的面积;

20. 已知函数 f ( x ) ? a|x ?b| ( a ? 0 , a ? 1 , b ? R ) ; (1)若 f ( x ) 为偶函数,求 b 的值; (2)若 f ( x ) 在区间 [2, ??) 上是增函数,试求 a 、 b 应满足的条件;

21. 沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组 成, 开始时细沙全部在上部容器中, 细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为 该沙漏的一个沙时,如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为 8cm , 细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的
3

2 (细管长度忽略不计) ; 3

( 1) 如果该沙漏每秒钟漏下 0.02cm 的沙, 则该沙漏的一个沙时为多少秒 (精确到 1 秒) ? (2)细沙全部漏入下部后,恰好堆一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,求此锥形沙堆的高度 (精确到 0.1cm )

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1 2 k n

22. 已知数列 {an } 的首项为 1,记 f ( n) ? a1Cn ? a2 Cn ? … ? ak Cn ? … ? an Cn ( n ? N )
*

(1)若 {an } 为常数列,求 f (4) 的值; (2)若 {an } 为公比为 2 的等比数列,求 f (n) 的解析式; (3)是否存在等差数列 {an } ,使得 f ( n) ? 1 ? ( n ? 1) ? 2n 对一切 n ? N* 都成立?若存在, 求出数列 {an } 的通项公式;若不存在,请说明理由;

23. 对于曲线 C : f ( x, y ) ? 0 ,若存在最小的非负实数 m 和 n ,使得曲线 C 上任意一点

P( x, y ) , | x |? m , | y |? n 恒成立,则称曲线 C 为有界曲线,且称点集 {( x, y ) || x |? m, | y |? n} 为曲线 C 的界域
(1)写出曲线 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 的界域; (2)已知曲线 M 上任意一点 P 到坐标原点 O 与直线 x ? 1 的距离之和等于 3,曲线 M 是 否为有界曲线,若是,求出其界域,若不是,请说明理由; ( 3 ) 已 知 曲 线 C 上 任 意 一 点 P( x, y ) 到 定 点 F1 ( ?1, 0) , F2 (1, 0) 的 距 离 之 积 为 常 数

a (a ? 0) ,求曲线的界域;

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