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对数函数及其性质课件ppt[1]


对数函数的概念、图象及性质
目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩

1. 理解对数函数的概念,体会对数函 数是一类重要的函数模型. 2.掌握对数函数的图象和性质. 3. 对数型函数的定义域的求法

复习:

指数函数的图象和性质

y ? a x (a ? 0且a ? 1)

r />的图象和性质:

a > 1
y y=ax

0 < a < 1
y=ax
y=1


y=1

y
(0,1)

象 性 质

(0,1)

0

x

0

x

x∈R 定义域: y∈(0 , +∞) 值 域: 过 点 ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .

在 R 上是增函数

在 R 上是减函数

x
y ? 2x

我 们知道某 细胞分裂过程中, 细 胞个数 y 是分裂次数 x 的指数函 数 y ? 2 x .因此, 知 道 x 的值 ( 输入 值是分裂次数 ) , 就能求出 y 的值 ( 输出值 是细胞个数 ) .
现 在我们来研究相反的问 题:

y

? 知道了细胞个数y , 如何确定分裂次数x ?

一. 对数函数的概念

x
x ? log 2 y

y

当已知指数函数值求指数时, 可将指数函数改写为与之等价 的对数函数进行求值。

通常,我们习惯将x作为自变量,y作 为函数值,所以写为对数函数:

y=log2x

对数函数: 一般地,函数

y ? log a x (a ? 0且a ? 1) 叫做对

数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

注意:①对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义 ,x y ? log5 5 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 注意辨别.如:

y ? 2 log2 x

②对数函数对底数的限制:a>0且a≠1

对数函数: 一般地,函数

y ? log a x (a ? 0且a ? 1) 叫做对

数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

判断:以下函数是对数函数的是 ( )
1. y=log2(3x-2) 2. y=log(x-1)x

3. y=log1/3x2
5. y ? 3log2 x ? 5

4.y=lnx

二.对数函数的图象:

1.描点画图
注意只要把指数函数y=ax (a>0,a≠1) 的变量x,y的对应值对调即可得到

y=logax(a>0,a≠1)的变量对应值表如下.

… 1/4 1/2 x 列 y ? log2 x … -2 -1

1
0 0

2 4
1 -1



表 y ? log1 描 点 连 线
y 2 1
0

2 … -2 …

2

x…

2

1

y=log2x
11 42

1 2 3

4

x
y=log1/2x

-1

-2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

对称性

1 函数 y=logax 与 y=log x 的图 a x轴 对称 象关于_____

2.思考:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象随着a 的取值变化图象如何变化?有规律吗?
猜猜: 对数函数 y
3

? log3 x和y ? log1 x 的图象。
y ? log2 x
y ? l og3 x

底 大 图 右

y 2
y=1

1
0

11 42

1 2 3

4

x
y ? log1 x
y ? l og1 x
2

-1 -2

3

y=logax(a>1)的图象

y=logax(0<a<1)的图象

一般地,对数函数y=logax在a>1及0<a<1这两种情 况下的图象和性质如下表所示: a>1 0<a<1

图 象

当x>1时, y>0 当x=1时, y=0 当0<x<1时, y<0

当x>1时, y<0 当x=1时, y=0 当0<x<1时, y>0

性 ⑵值域: R ⑶过特殊点: 过点(1,0),即x=1时y=0 质 ⑷单调性 : ⑷单调性: 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

⑴定义域:

(0,+∞)

y

图 形

y=log

2

x

y=log

10

x

0

1
y=log
0.5

y=log 0.1 x x

x

补充 底数互为倒数的两个对数函数的图象 性质 关于x轴对称。 一 补充 底数a>1时,底数越大,其图象越接近x 性质 轴。 底数0<a<1时,底数越小,其图象越接近 二
x轴。

研究下列函数图象的关系

y ? log2 x y ? log0.5 x y ? lg x

y ? log0.1 x

函数图象的应用

y ? loga x y ? logb x

y ? logc x 的

图象如图所示,那么a,b,c的大小关系是

函数y=logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位 置的影响 观察图象,注意变化规律:

函数 y = ax 与 y = logax 的定义域与值域有什么 关系? ? 提示: y = ax 的定义域为 R ,值域为 (0 ,+ ∞ ) , y = logax 的定义域为 (0 ,+ ∞ ) ,值域为 R ,即 它们的定义域和值域互换.
?

3.函数 f(x) = lg(x- 2) + 5-x的定义域为 ________.
?x-2>0 解析: 要使函数有意义, 只须使? , ?5-x≥0 ?x>2 ∴? ?x≤5

∴2<x≤5,函数定义域为(2,5].
答案: (2,5]

与对数函数有关的定义域问题 求下列函数的定义域. (1)y=log(x-1)(3-x);(2)y= log2?x+1?-1; 3x2 (3)y=lg(x+1)+ . 1-x

[解题过程] 义,

(1)要使函数 y=log(x-1)(3-x)有意

?3-x>0 ? 只须使?x-1>0 ? ?x-1≠1

∴1<x<2 或 2<x<3. ∴ 函 数 y = log(x - 1)(3 - x) 的 定 义 域 为 (1,2) ∪ (2,3) .

(2)要使函数 y= log2?x+1?-1有意义, ?x+1>0 ?x>-1 只须使? ,∴? ?log2?x+1?-1≥0 ?x+1≥2 ∴x≥1. ∴函数 y= log2?x+1?-1的定义域为[1, +∞). (3)要使函数有意义, ?x+1>0 ?x>-1 需? ,即? . ?x<1 ?1-x>0 ∴-1<x<1,∴函数的定义域为(-1,1).

2.如图是对数函数 y=logax 的图象, 已 4 3 知 a 值取 3, , , 3 5 1 , 则图象 C1, C2, 10 C3,C4 相应的 a 值 依次是( ) 4 3 1 A. 3、 、 、 3 5 10 4 3 1 C. 、 3、 、 3 5 10

4 1 3 B. 3、 、 、 3 10 5 4 1 3 D. 、 3、 、 3 10 5

4.求函数y=log3(2x-1),x∈[2,14]的最值. 解析: 因为2≤x≤14,所以3≤2x-1≤27,令t = 2x- 1 因为函数y=log3t在区间[3,27]内是增函数, 所以log33≤log3t≤log327,即1≤y≤3. 故此函数在区间[2,14]上的最小值为1,最大值 为3.


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