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2017年高考(文)数学一轮复习第6节 正弦定理和余弦定理及其应用


第 6 节 正弦定理和余弦定理及其应用

【选题明细表】 知识点、方法 用正、余弦定理解三角形 与面积相关的问题 判断三角形的形状 实际应用问题及综合问题 基础对点练(时间:30 分钟) 1.(2016 石景山区模拟)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,a=4,b=4 ,A=30°,则 B 等于( B ) (A)60° (B)60°或 120° (C)30° (D)30°或 150° 解析:因为 a=4,b=4 ,A=30°, 由正弦定理 = ? sin B= = ,因为 B 是三角形的内角,且 b>a,所 题号 1,3,5,6,7,11 4,8,10,12,14 2,9 13,15,16

以 B=60°或 120°. 2.(2015 广州四校联考)在△ABC 中,已知 2sin Acos B=sin C,那么△ ABC 一定是( C ) (A)直角三角形 (B)等腰直角三角形 (C)等腰三角形 (D)正三角形 解析:在三角形中,2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=

sin Acos B+cos Asin B? sin Acos B-cos Asin B= sin(A-B)=0, 所以 A=B,即三角形为等腰三角形. 3.(2015 高考广东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=2,c=2 ,cos A= 且 b<c,则 b 等于( C ) (A)3 (B)2 (C)2 (D)

解析:由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,即 4=b2+12-6b? b2-6b+8=0? (b-2)(b-4)=0,由 b<c,得 b=2. 4.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为 ,则 BC 的长为( B ) (A) (B) (C)2 (D)2

解析:S= AB·ACsin 60°= ×2× AC= , 所以 AC=1, 所以 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 60°=3, 所以 BC= . 5.(2015 兰州质检)在△ABC 中,B= ,AB= ,BC=3,则 sin A 等于( A )

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:因为 B= ,c= ,a=3,b2=a2+c2-2accos B, 所以 b= ,

根据正弦定理

=

? sin A=

=

.

6.(2015 合肥模拟)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c. 若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C 等于( B ) (A) (B) (C) (D)

解析:因为 3sin A=5sin B, 所以由正弦定理可得 3a=5b, 所以 a= b. 因为 b+c=2a,所以 c= b, 所以 cos C= =- .

因为 C∈(0,π ),所以 C= . 7.(2015 高考福建卷)若△ABC 中,AC= ,A=45°,C=75°,则 BC= . 解析:在△ABC 中,因为 AC= ,A=45°,C=75°, 所以 B=60°.根据正弦定理 得 = , = ,

解得 BC= . 答案:

8.在?ABCD 中,AB=6,AD=3,∠BAD=60°,则?ABCD 的面积 为 .

解析:?ABCD 的面积 S=2S△ABD =AB·AD·sin∠BAD =6×3sin 60° =9 . 答案:9 9.设△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且( + )· =0,则△ABC 的形状是 .

解析:由题得 2B=A+C,3B=π 得 B= ,

设 AC 中点 D,则( + )· =2 即 ⊥ 得 a=c.

· =0,

所以△ABC 为等腰三角形, 又因为 B= , 所以△ABC 为等边三角形. 答案:等边三角形 10.(2015 高考新课标全国卷Ⅰ)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sin Asin C. (1)若 a=b,求 cos B; (2)设 B=90°,且 a= ,求△ABC 的面积.

解:(1)由题设及正弦定理可得 b2=2ac. 又 a=b,可得 b=2c,a=2c. 由余弦定理可得 cos B= (2)由(1)知 b2=2ac. 因为 B=90°,由勾股定理得 a2+c2=b2. 故 a2+c2=2ac,得 c=a= . 所以△ABC 的面积为 1. 11.(2015 黑龙江四校联考)△ABC 的三个内角 A,B,C 对应的三条边长 分别是 a,b,c,且满足 csin A+ acos C=0. (1)求 C 的值; (2)若 cos A= ,c=5 ,求 sin B 和 b 的值. 解:(1)因为 csin A+ acos C=0,由正弦定理得 2Rsin Csin A+2R sin Acos C=0, 由 sin A≠0, 所以 tan C=- , 又 C∈(0,π ),所以 C= . (2)由 cos A= ,A∈(0, ), 得 sin A= =, =.

sin B=sin(π -A-C) =sin(A+C)

=sin Acos C+cos Asin C = ×(- )+ × = 由 . = ,得 b= =3 -4. 能力提升练(时间:15 分钟) 12.(2015 武威一中模拟)在△ABC 中,如果 a+c=2b,B=30°,△ABC 的面 积为 ,那么 b 等于( B ) (A) (C) (B)1+ (D)2+

解析:由三角形面积公式 S△ABC= acsin B= ac= , 所以 ac=6, 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-6 , 而已知 4b2=(a+c)2=a2+c2+12, 两个式子作差得到 3b2=12+6 , 所以 b=1+ . 13.(2015 济南模拟)在 200 米高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔 底的俯角分别为 30°,60°,则塔高为( C ) (A) m (B) m

(C)

m

(D)

m

解析:如图,设 AB 表示山高,CD 表示塔高,则∠DBC=60°-30°=30°, ∠ABC=90°-60°=30°,连接 AC,

在 Rt△BAC 中, cos∠ABC= , 所以 BC= 在△BDC 中, ∠DBC=30°,∠DCB=90°-60°=30°, 所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=120°, 由正弦定理得, = 故 DC= , = . = = ,

14.(2016 漳州模拟)在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 知角 C=120°,c=4,三角形的面积 S= ,则 a+b= 解析:由题意得 即 所以(a+b)2-ab=16,即(a+b)2=20, .

因为 a,b>0,所以 a+b=2 . 答案:2 15.(2015 高考山东卷)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已 知 cos B= ,sin (A+B)= ,ac=2 ,求 sin A 和 c 的值. 解:在△ABC 中,由 cos B= ,得 sin B= , 因为 A+B+C=π , 所以 sin C=sin(A+B)= . 因为 sin C<sin B,所以 C<B,可知 C 为锐角, 所以 cos C= , 因此 sin A=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C = × + × = . 由 = ,可得 a= = =2 c.

又 ac=2 ,所以 c=1. 16.某炮兵阵地位于地面 A 处,两观察所分别位于地面 C 和 D 处,已知 CD=6 km,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面 B 处时,测量得 ∠BCD=30°,∠BDC=15°,如图,求炮兵阵地到目标的距离.

解:在△ACD 中, ∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°, CD=6,∠ACD=45°, 根据正弦定理得 AD= 同理,在△BCD 中, ∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°, CD=6,∠BCD=30°, 根据正弦定理得 BD= = CD. = CD.

又在△ABD 中,∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°, 根据勾股定理有 AB= = = CD = (km). km. CD

所以炮兵阵地到目标的距离为

精彩 5 分钟

1.(2015 浏阳一中模拟)已知△ABC 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 若 cos B= ,b=2,sin C=2sin A,则△ABC 的面积为( B ) (A) (B) (C) (D)

解题关键:关键求 a,c,选用△ABC 面积公式 S△ABC= acsin B. 解析:由正弦定理 = ,得 c=2a, ①

由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 4=a2+c2-2ac× , 由①②得 a=1,c=2, 又 sin B= = , ②

所以 S△ABC= ac sin B= ×1×2× = . 2.(2014 高考江苏卷)若△ABC 的内角满足 sin A+ sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是 .

解题关键:关键由 sin A+ sin B=2sin C 转化为边关系,再由余弦定 理化为两边代数式,运用基本不等式. 解析:由正弦定理可得 a+ b=2c, 又 cos C= =

= ≥ = , .

当且仅当 a= b 时取等号,所以 cos C 的最小值是 答案:

3.(2015 临沂模拟)某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军 舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为 45°距离为 10 海里 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向,以 9 海里/小时的速 度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 海里/小时的速度前去营救,则 舰艇靠近渔轮所需的时间为 小时.

解题关键:首先根据题意画出图形,再根据两船所用时间相同,在三角 形中利用余弦定理列方程求解. 解析:如图,设舰艇在 B′处靠近渔轮,所需的时间为 t 小时,则 AB′ =21t,CB′=9t,

在△AB′C 中,根据余弦定理,则有 AB′2=AC2+B′C2-2AC·B′Ccos 120°, 可得 212t2=102+81t2+2×10×9t× ,

整理得 360t2-90t-100=0, 解得 t= 或 t=- (舍去). 故舰艇需 小时靠近渔轮. 答案:


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