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圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习


圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习 1、定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的孤相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心 ⌒ = A'B' ⌒ ,AB=A'B',AM=A'M' 距相等。若∠AOB=∠A'OB',则 AB

2、 推论: 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

特别提示:①弧、弦、圆心角、弦心距之间的等量转化的前提是在同圆或等圆中; ②同一条弦对应两条弧,其中一条是优弧,一条是劣弧,同时在本定理和推论中的“弧”是指同 为劣弧或优弧,一般选择劣弧。 ③“在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等”, 这里说的相等是指角的度数与弧的度数 相等。而不是角与弧相等,在书写时要防止出现“ ?AOB ? AB ”之类的错误。因为角与弧是 两个不能比较变量的概念。 相等的弧一定是相同度数的弧, 但相同度数的弧却不一定是相等的弧; ④在同圆或等圆中,如果弦不等,那么弦心距也就不等,大弦的弦心距较小,小弦的弦心距反而 大,反之弦心距较小时,则弦较大。当弦为圆中的最大弦(直径)时,弦心距缩小为零;当弦逐 步缩小时,趋近于零时,弦心距逐步增大,趋近于半径。 ⑤在同圆或等圆中,如果弧不等,那么弧所对的弦、圆心角也不等,且大弧所对的圆心角较大, 反之也成立;但不能认为大弧所对的弦也较大,只有当弧是劣弧时,这一命题才能成立,半圆对 的弦最大,当弧为优弧时,弧越大,对的弦越短。 3、应用 (1)在解答圆的问题时,若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答; (2)有弦的中点时常作弦心距,利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题; 另外,证明两弦相等也常作弦心距。 (3)在计算弧的度数时,或有等弧的条件时,或证等弧时,常作弧所对的圆心角。 (4)有弧的中点或证弧的中点时,常有以下几种引辅助线的方法: (I)连过弧中点的半径;(II)连等弧对的弦;(III)作等弧所对的圆心角。

?

例: 如图,CD为⊙O的弦, AC ? BD ,OA、OB交CD于F、E。 求证:OE=OF 证法一:连结 OC、OD

?

?

? OC ? OD, ??C ? ?D ? ? ? AC ? BD , ? ?COA ? ?BOD(等弧所对的圆心角相等)
? ?COF ? ?DOE

?OE ? OF
O C A F E B D C A F O E B D
C A F O N M E B D

? ? ? CM ? MD

证法二:过 O 点作 OM⊥CD 于 N 交⊙O 于 M

? ? ? ? 又 ? CA ? BD , ? AM ? MB

? ?AOM ? ?BOM
? ?OFN ? ?OEN

又 ? ?F N O ? ?E N O ? 90? ,ON ? ON

?OF ? OE

练习 一、选择题 1、下列说法中正确的是( ) A、相等的圆心角所对的弧相等 B、相等的弧所对的圆心角相等 C、相等的弦所对的弦心距相等 D、弦心距相等,则弦相等 2、半径为 4cm,120°的圆心角所对的弦长为( ) A. 5cm B. 4 3cm C. 6cm D. 3 3cm 3、在同圆或等圆中,如果圆心角∠BOA 等于另一个圆心角∠COD 的 2 倍,则下列式子中 能成立的是( ) A. AB ? 2CD B. AB ? 2 CD C. AB ? 2 CD D. AB ? 2 CD 4. 在⊙O 中, 圆心角∠AOB=90°, 点 O 到弦 AB 的距离为 4, 则⊙O 的直径的长为 (

?

?

?

?

?

?



A. 4 2 B. 8 2 C. 24 D. 16 5. 在⊙O 中,两弦 AB<CD,OM、ON 分别为这两条弦的弦心距,则 OM、ON 的关系是 ( ) A. OM ? ON B. OM ? ON C. OM ? ON D. 无法确定 ? 6、如图 1, ?ABC 内接于⊙ O , ?C ? 45 ,AB ? 4 则⊙ O 的半径为( ). A. 2 2 B.4 C. 2 3 D.5
?

7、如图 2,在⊙ O 中,点 C 是 AB 的中点, ?A ? 40 ,则 ?BOC 等于( ? ? ? ? A. 40 B. 50 C. 70 D. 80

).

8、如图 3,AB 为⊙O 的直径,C、D 是⊙O 上的两点, ?BAC ? 20? , AD ? CD ,则∠ DAC 的度数是( ) A. 70°
D C A O B

?

?

B. 45°

C. 35°

D. 30°

如图 3 如图 2 1 二、填空题 1、 如图 3, A、 B、 C、 D 是⊙ O 上四点, 且 D 是 AB 的中点, CD 交 OB 于 E, ?AOB ? 100? , ?OBC ? 55? ,

?OEC =
是 .

度.

2 、如图 4,已知 AB 是⊙ O 的直径, C 、 D 是⊙ O 上的两点, ?D ? 130? ,则 ?BAC 的度数 3、如图 5,AB 是半圆 O 的直径,E 是 BC 的中点,OE 交弦 BC 于点 D,已知 BC=8cm,DE=2cm,则 AD 的长为 cm.

如图 4 如图 6 如图 5 4、 一条弦把圆分成 1:3 两部分,则劣弧所对的圆心角的度数为____________。 5、一条弦等于其圆的半径,则弦所对的优弧的度数为____________。 6、在半径为 R 的圆中,垂直平分半径的弦长等于____________。 4. 在⊙O 中,弦 CD 与直径 AB 相交于 E,且∠AEC=30°,AE=1cm,BE=5cm,那么弦 CD 的弦心距 OF=_______cm,弦 CD 的长为________cm。 7、 已知⊙O 的半径为 5cm,过⊙O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm,则 OP=_______。

? ? ? AB 、 BC 、 CA 8 ‘已知 A、 B、 C 为⊙O 上三点, 若 度数之比为 1: 2: 3, 则∠AOB=_______,
∠BOC=________,∠COA=________。

1 ? 9、 已知⊙O 中,直径为 10cm, AB 是⊙O 的 4 ,则弦 AB=_______,AB 的弦心距=______。
三、解答题 1. 如图 1:已知,OA 为⊙O 的半径,AC 是弦,OB⊥OA 并交 AC 延长线于 B 点,OA=6, OB=8,求 AC 的长。 2. 如图 2, ?ABC 中,?A ? 70? ,⊙O 在 ?ABC 的三边上所截得的弦长都相等,求∠BOC 的度数。 3、如图 3,C 是⊙O 直径 AB 上一点,过点 C 作弦 DE,使 CD=CO,使 AD 的度数 40°,

?

求 BE 的度数。

?

A
D

O

O

A

C E
3

O

B

A
1

C

B B
2

C

四、证明题 1、已知:如图1,∠AOB=90°,C、D是弧AB的三等分点,AB分别交OC、OD于点E、F。求证: AE=BF=CD。
D O M A B N

A

C E

C

O D
3

B

1

2

2、如图:已知,⊙O中, AB ? BC ? CD ,OB、OC分别交AC、DB于M、N。 求证: ?OMN 是等腰三角形。 3、 如图,⊙O中弦AB=CD,且AB与CD交于E。求证:DE=AE。

?

?

?


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