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天津市河东区2016届高三第二次模拟考试数学(理)试题


天津市河东区 2016 年高三年级第二次模拟考试

数学试卷(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。 答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一 并交回。 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要 求.

1. i 是虚数单位,已知 A. ? 2 B.0

ai ? 1 ? bi ? 1 ,则 a ? b 为( i
C .2 D. 1 ? i )



开 始

2. 执行右图所示的程序框图,则 S 的值为( A.55 B.65 C.36

a ? 0, i ? 1, S ? 0
a ? 2i ? 1
)

D.78

3. 已知双曲线的一个焦点为 F1 (5,0) 它的 渐近线方程为 y ? ?

4 x ,则该双曲线的方 程为( 3
B.

S ?S ?a i?i?2


结束

A.

x2 y2 ? ?1 16 9 x2 y2 ? ?1 9 16

y2 x2 ? ?1 16 9 y2 x2 ? ?1 9 16

输出 S

C.

D.

i ? 12




4. 已知函数 f ( x) ? ln x 与 g ( x ) ? A.0 B.1

x ,则它们的图象交点个数为( e
D.不确定

C.2

2 2 2 5. “ a ? 2 ”是 “点 P(2,0) 不在圆 x ? 2ax ? a ? y ? 4 y ? 0 外”的什么条件(



A.充分不必要条件 C. 既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件 D. 充要条件

6. 在三角形 ABC 中, ? A 的平分线为 AD ,点 D 在边 BC 上, AD ? 3 , AC ? 4 , CD ? 2 ,则

cos A 的值为(
A.

) B.

27 32

3 4

C. ?

17 32

D.

17 32

7. 如右图所示,在三角形 ABC 中, AD ? BC , AD ? 1 , BC ? 4 ,点 E 为 AC 的中点,

DC ? BE ?
A.2 C. 2

15 ,则 AB 的长度为( 2 3 B. 2
D. 3

)

B

D A

E

C

8. 已 知 f (c) ? (c ? a)(c ? b) ,其中 a ? b ? 1 ? c 且 c ? 0, a ? 0, b ? 0 ,则 f ?c ? 的取 值范围 为 ( ) A. ?? ,1? 8

? 1 ? ? ?

B. ?0,1?

C. ?0, ? 4

? 1? ? ?

D. ? ?

? 1 ? ,1? ? 9 ?

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.) 9. 某学校的学生人数为高一年级 150 人,高二年级 180 人,高三年级 210 人,为了调查该学校学生 视力情况需要抽取 72 人作为样本,若采用分层抽样的方式,则高一和高二年级一共抽取的人数为 ________. 10. 在 ( x ?

2
3

x

) 5 的二项展开式

中,常数项为___________. 11. 如右图所示,一 款儿童玩具的 三视图中俯 视图是以 3 为半径的圆, 则该儿童玩具 的体积为______. 12. 正弦曲线 y ? sin x 与直线 y ?

2

?

x 所围成的封闭图形的面积为



[来源:学科网]

E 13. 如右图所示,圆 O 上的弦 AB 不为直径, DA 切圆 O 于点 A ,点 E 在 BA 的延长线上且 DE // AC , 点 C 为 BD 与圆交点,若 AE ? 3, DE ? 6, CD ? 2 , 则 AD ? ________. B A

·O C

D

14. 已知函数 f ?x? ? x ? a ? a , g ?x? ? 4 ? x 2 ,若存在 x ? R 使 g ?x ? ? f ?x ? ,则 a 的取值范围是 ____________.

三、解答题: (本大题 6 个题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分)
[来源:Zxxk.Com]

已知函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

?
6

)sin2x -

1 4

( x ? R)

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期及其单调减区间; (2)求函数 f ( x) 在 ??

? ? ? ,0? 上的最大值和最小值. ? 4 ?

16. (本小题满分 13 分) 某外语学校的一个社团中有 7 名同学,其中 2 人只会法语,2 人只会英语,3 人既会法语又会英 语,现选派 3 人到法国的学校交流访问. (1)在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率; (2)在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数 ? 的分布列与期望.

17. (本小题满分 13 分) 如图四 棱锥 P ? ABCD ,三角形 ABC 为正三角形,边长为 2, AD ? DC , AD ? 1 , PO 垂

P 直于平面 ABCD 于 O,O 为 AC 的中点, PO ? 1 . (1)证明 PA ? BO ; (2)证明 DO // 平面 PAB ; (3)平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值. 18.(本小题满分 13 分) B C A O D

x2 y 2 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 Q , O 为坐标原点,过 OQ 的中点作 x 轴的垂线 a b
与椭圆在第一象限交于点 A ,点 A 的纵坐标为 (1)求椭圆的离心率; (2)过点 A 斜率为 P(

3 c , c 为半焦距. 2

1 的直线 l 与椭圆交于另一点 B ,以 AB 为直径的圆过点 2

1 9 , ),求三角形 APB 的面积. 2 2

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?bn ? 为等差数列, b1 ? ?1, bn ? 0 ( n ? 2 )

b2 Sn ? an ? 2 且 3a2 ? 2a3 ? a1 .
(1) 求 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

b b1 b 5 1 , Tn ? ? 2 ? ? ? n ,证明: Tn ? . 2 an c1 ? 1 c2 ? 1 cn ? 1
1 2 x ? x. 2

20. (本小题满分 14 分 已知函数 f ( x) ? ae x ? 2ae ?
x x

(1)求函数 f ( x) 在 (2, f (2)) 处切线方程; (2)讨论函数 f ( x) 的单调区间; (3)对任意 x1 , x2 ? ?0,1?, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a ? 1 恒成立,求 a 的范围.

河东区 2016 年高三年级 二模考试 数学(理)答案
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 9. 11. 44 1 B 2 D 10。 12。 3 C 4 B 5
[来源:学科网

6 D

7 C

8 A

ZXXK]

D

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分.

? 80

54?
4

2?

?
2

13.

14。

17 ? ? ? ? ?, ? 8? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或推理过程. 15、 (1)

f ( x) ?

3 1 1 3 1 1 sin 2 x cos 2 x ? sin 2 2 x ? ? sin 4 x ? (1 ? cos 4 x) ? 2 2 4 4 4 4 3 1 1 ? sin 4 x ? cos4 x ? sin(4 x ? ) 4 4 2 6
??3 分

?

f ( x) 的最小正周期为

2? ? ? ??5 分 4 2 ? ? 3? ? 1 5? 1 ? 2k? ) 即 x ? ( ? k? , ? k? ) k ? Z 时 f ( x) 为 当 4 x ? ? ( ? 2k? , 6 2 2 6 2 12 2
单调减函数 ??7 分 ??9 分

(2) x ? ??

? ? 7 1 ? ? ? ? ,0?,4 x ? ? ?? ? ,? ? ? 6 ? 6 6 ? ? 4 ?
??11 分 最大值为

? ? 1? sin(4 x ? ) ? ?? 1, ? 6 ? 2?

1 1 ,最小值为 ? ??13 分 4 2

16、 (1)事件 A“选派的三人中恰有 2 人会法语的概率为

P( A) ?

1 C52C2 4 ? 3 C7 7

??5 分

(2) ? 的取值为 0、1、2、3,则
3 C4 4 P(? ? 0) ? 3 ? C7 35 1 2 C4 C3 12 P(? ? 2) ? ? 3 35 C7 2 1 C4 C3 18 P(? ? 1) ? ? 3 35 C7 3 C3 1 P(? ? 3) ? 3 ? C7 35

分布列为:

?
P

0

1

2

3

4 35

18 35

12 35

1 35
??13 分

E? ? 1 ?

18 12 1 45 9 ? 2 ? ? 3? ? ? 35 35 35 35 7

17、 (1)如图以 A 为原点建立空间直角坐标系 A ? xyz

AD ? 1, AC ? 2, AD ? DC ?CD ? 3, ?ACD ? 30o ? BC ? CD
A (0,0,0) B ( 3 ,-1,0) C ( 3 ,1,0)D(0,1,0)O(

3 1 , ,0) 2 2
??2 分

P(

3 1 , ,1) 2 2 3 1 , ,1) 2 2
3 3 1, ,0) 2 2
B ??5 分 x A

z P

AP ? (

BO ? ( ?

D O y

AP ? BO ? 0
PA ? BO

C

(2) AP ? (

3 1 , ,1) , AB ? ( 3 ,-1,0)设平面 APB 法向量为 n1 ? ( x? , y? , z? ) 2 2
令 x? ? 1,则 n1 ? (1, 3 , ? 3 )

? 3 1 ? x? ? y ? ? z ? ? 0 ? 2 2 ? 3 x ? ? y? ? 0 ?

??7 分

DO ? (

1 3 , ? ,0) 2 2

DO ? n1 ? 0 DO // 平面 PAB

??9 分

(3) DP ? (

1 3 , ? ,1), DC ? ( 3 ,0,0) 2 2

设平面 DPC 法向量为 n2 ? ( x? , y? , z? )

? 3 1 ? x? ? y ? ? z ? ? 0 ? 2 2 ? 3 x? ? 0 ?

令 y? ? 1 ,则 n2 ? (0,1,

1 ) 2

??11 分

cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 n2

?

105 35
105 35

平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值为

??13 分

18、 (1)由已知可知椭圆过点 A( ,

a 3c ) ,代入方程有 2 2

a 2 9c 2 4 ? 4 ? 1 ,?b 2 ? 3c 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 a2 b2 1 a 2 ? 4c 2 ,? e ? 2 3 1 (2)点 A(c, c ) ,直线 l : y ? x ? c 2 2

??5 分

1 ? y ? x?c ? ? 2 解为 B(?2c,0) ,由已知 PA ? PB ? 0 代入解得 c ? 2 ?11 分 ? 2 2 x y ? ? ?1 ? ? 4c 2 3c 2

直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 A(2,3)

B(?4,0) d AB ? 3 5
??13 分

d P ? AB ?

1 1 9 5 27 9 5 , S ?APB ? d AB d P ? AB ? ? 3 5 ? ? 2 2 10 4 10

19、 (1)设 bn 的公差为 d , d ? 1 , b2 ? ?1 ? d , bn ? ?1 ? d (n ?1) 当 n ? 1 时, a1 ?

2 2 ? b2 ? 1 d

当 n ? 2 时, b2 Sn ? an ? 2 ① 由①-②得到 an ?

b2 S n?1 ? an?1 ? 2 ②

1 2 2 2 an ?1 , a1 ? , a2 ? 2 , a3 ? 3 d d d d 6 4 2 由已知 2 ? 3 ? ,解为 d ? 2, d ? 1 (舍) d d d

?bn ?

、 ?an ? 的通 项公式分别为 bn ? 2n ? 3, an ? ? ?

?1? ? 2?

n ?1

n ? N ? ?? 7 分( 2 )

cn ? 2n?1 、 Tn ?

?1 1 3 2n ? 3 ? ? 2 ? ? ? n ?1 1?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2n ? 3 2n ? 3 1 1 3 2n ? 3 ? n ?1 , Tn ? ? ? ? 2 ? ? ? n ?1 当 n ? 2 时, n ?1 2 ?1 2 2 2 2 2 3 5 2n ? 3 1 3 5 2n ? 3 设 S n ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ① S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ② 2 2 2 2 2 2 2n 1 3 1 1 1 2n ? 3 由①-②得到 S n ? 2 ? ? 2( 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ) ? 2 4 2 2 2 2n

1 S n?2 2

?1? 1? ? ? 3 1 2 ? ? 2? ? ? ? 1 4 8 1? 2

n ?3

?

2n ? 3 2n

整理为 Sn?2

5 ?1? ? ?? ? 2 ?2?

n ?3

?
n ?3

2n ? 3 2n?1 2n ? 3 5 ? 2n?1 2
??14 分

?Tn ? Sn?2

5 ?1? ? ?? ? 2 ?2?

?

20、 (1) f ?( x) ? aex x ? aex ? x ? 1 ( x ? R) 切线斜率 f ?(2) ? ae2 ?1, f (2) ? 0 切线方程 (ae2 ?1) x ? y ? 2(ae2 ?1) ? 0 (2)令 f ?( x) ? 0 , ( x ?1)(aex ?1) ? 0 即 x3 ? 1, x 4 ? ln ??4 分

1 (a ? 0) a
[来源:学科网 ZXXK]

当 a ? ?? ?,0? 时, f ( x) 在 ?? ?,1? 上为增函数,在 (1,??) 上为减函数 当 a ? ? 0, ? 时, f ( x) 在 ( ?? ,1), (ln

? 1? ? e?

1 ,?? ) 上为增函数, a

在 (1, ln ) 上为减函数

1 a

1 时, f ( x) 在 R 上恒为增函数 e 1 1 当 a ? ( ,?? ) 时, f ( x) 在 ( ?? , ln ), (1,?? ) 上为增函数, e a 1 在 (ln ,1) 上为减函数 a
当a ? (3)由已知 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 在 ?0,1? 上的最大值小于等于 a ? 1 当 a ? (?? , ] 时, f ( x) 在 ?0,1? 上单调递增

??10 分

1 e

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 的最大值为 f (1) ? f (0) ? 2a ? ae ?
解为 a ? ?

1 ? a ?1 2

? ?1 ? ,?? ? ? ? 2(e ? 1) ?

? ?1 1 ? ?a ? ? , ? ? 2(e ? 1) e ?
1 a 1 ,1) 上为减函数 a

当 a ? ? ,1? 时, f ( x) 在 (0, ln ) 上为增函数,在 (ln

?1 ? ?e ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 的最大值为 f ( x4 ) ? f (0) 或 f ( x4 ) ? f (1)
1 2 1 2 f ( x 4 ) ? f (0) ? ? x 4 ? 2 x 4 ? 2 ? 2a ? a ? 1 即 a ? x 4 ? 2 x4 ? 3 2 2

?1 ? 1 2 ?3 ? a ? ? ,1? , x4 ? 2 x4 ? 3 ? ? ,3? ( x4 ? ?0,1? )恒成立 ?e ? 2 ?2 ?
1 2 1 f ( x 4 ) ? f (1) ? ? x 4 ? 2 x 4 ? 2 ? ae ? ? a ? 1 2 2 1 2 7 即 a (e ? 1) ? x 4 ? 2 x 4 ? 2 2

1 2 7 ? 7? x4 ? 2 x4 ? ? ?2, ? ( x4 ? ?0,1? )恒成立 2 2 ? 2?
当 a ? ?1,??? 时, f ( x) 在 ?0,1? 上单调递减

?1 ? ? a ? ? ,1? ?e ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 的最大值为 f (0) ? f (1) ? ?2a ? ae ?
解为 a ? ?

1 ? a ?1 2

? ?3 ? ,?? ? ? ? 2(3 ? e) ? ? ?1 ? ,?? ? ? ? 2(e ? 1) ?

? a ? ?1,??? 成立

综上所述 a ? ?

??14 分

(注:学生有其它解法时,请参照以上标准按步骤给分)


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