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【步步高】2012届高考数学二轮复习 专题一 第3讲函数与方程及函数的应用


第 3 讲 函数与方程及函数的应用
(推荐时间:60 分钟) 一、填空题
?2 ,x>0, ? 1.(2011·福建改编)已知函数 f(x)=? ? ?x+1,x≤0,
x

若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的

值为________. 2 2.(2011·陕西)设 n∈N+ ,一元二次方程 x -4x+ n =0 有整数根的充要条件是 n = N .. ________. 3. 函数 f(x)=3ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点, a 的取值范围是________. 则
-x 2

4.方程 2 +x =3 的实数解的个数为________. ?1 ? ?1 ? 5.函数 f(x)对一切实数 x 都满足 f? +x?=f? -x?,并且方程 f(x)=0 有三个实根,则 ?2 ? ?2 ? 这三个实根的和为________. 6.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y 1 3 =- x +81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件. 3 7. 若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x), x∈(-1,1]时 f(x)=|x|, 且 则方程 f(x) R =lg|x|的解的个数为______. 8.设 a>1,函数 y=|logax|的定义域为[m,n] (m<n),值域为[0,1],定义“区间[m,n] 5 的长度等于 n-m”,若区间[m,n]长度的最小值为 ,则实数 a 的值为________. 6

?2, ? x≥2, 9. (2011·北京)已知函数 f(x)=?x ?(x-1)3, x<2. ?
不同的实根,则实数 k 的取值范围是________.

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个

10.已知函数 f(x)=ln x-x+2 有一个零点所在的区间为(k,k+1) (k∈N*),则 k 的值 N 为________. 11.设 m∈N,若函数 f(x)=2x-m 10-x-m+10 存在整数零点,则 m 的取值集合为 N ____________. 二、解答题 12.经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均为 1 时间 t(天)的函数,且销售量近似满足 g(t)=80-2t(件),价格近似满足 f(t)=20- |t- 2 10|(元). (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 13.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励 销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出场单价 就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件,服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式;
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*

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(2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少?

14. 某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A, 及 CD 的中点 P 处, B 已知 AB=20 km,

CB=10 km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界),且与 A,B 等距
离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长为 y km. (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式. (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度 最短.

答 案 1 1.-3 2.3 或 4 3.a> 或 a<-1 5 4.2 5. 3 2 6.9 7.18 8.6 11.{0,3,14,30}

9.(0,1) 10.3

12.解 (1)y=g(t)·f(t) 1 =(80-2t)·(20- |t-10|) 2 =(40-t)(40-|t-10|)
?(30+t)(40-t), 0≤t<10, ? =? ? ?(40-t)(50-t), 10≤t≤20.

(2)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1 200,1 225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1 225; 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1 200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. 答 元. 13.解 (1)当 0<x≤100 时,p=60; 当 100<x≤600 时, 总之,第 5 天日销售额 y 取得最大值为 1 225 元;第 20 天日销售额 y 取得最小值为 600

p=60-(x-100)×0.02=62-0.02x.
? ?60, ∴p=? ? ?62-0.02x,

0<x≤100, 100<x≤600.
用心 爱心 专心 -2-

(2)设利润为 y 元,则 当 0<x≤100 时,y=60x-40x=20x;
2

当 100<x≤600 时,y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x .
?20x, 0<x≤100, ? ∴y=? 2 ? ?22x-0.02x , 100<x≤600.

当 0<x≤100 时,y=20x 是单调增函数,当 x=100 时,y 最大,此时 y=20×100=2 000; 当 100<x≤600 时,

y=22x-0.02x2=-0.02(x-550)2+6 050,
∴当 x=550 时,y 最大,此时 y=6 050.显然 6 050>2 000. 所以当一次订购 550 件时,利润最大,最大利润为 6 050 元. 14.解 (1)延长 PO 交 AB 于 Q, ①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO=θ(rad),则 OA= 10 . cos θ

AQ 10 = , cos∠BAO cos θ

所以 OB=

又 OP=10-10tan θ, 所以 y=OA+OB+OP 10 10 = + +10-10tan θ, cos θ cos θ 故所求函数关系式为 20-10sin θ y= +10 cos θ

?0≤θ≤π?. ? 4? ? ?
2 2 2

②若 OP=x (km),则 OQ=(10-x) (km), 所以 OA=OB= (10-x) +10 = x -20x+200.
2

故所求函数关系式为 y=x+2 x -20x+200 (0≤x≤10). (2)选择函数模型①, -10cos θ·cos θ-(20-10sin θ)(-sin θ) 10(2sin θ-1) y′= = , 2 2 cos θ cos θ 1 令 y′=0,得 sin θ= , 2 π π 因为 0≤θ≤ ,所以 θ= . 4 6

? π? 当 θ∈?0, ?时,y′<0,y 是 θ 的减函数; 6? ? ?π π? 当 θ∈? , ?时,y′>0,y 是 θ 的增函数, ?6 4?
1 20-10× 2 π 所以当 θ= 时,ymin= +10=(10 3+10) (km). 6 3 2

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10 3 这时点 O 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边 km 处. 3

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