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2013高考理科数学解题方法攻略—思想方法


第八单元 │ 考情分析预测
考情分析预测 考向预测
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概 括的考查,考查时必须要与数学知识相结合,高考命题是通过数学知识 的考查,来反映对数学思想方法的理解和掌握程度.四种数学思想方法 是每年高考的必考内容,是高考考查的重点,各种题型都有,难度中等 偏上. (1)与函数和方程思想有关的常见题型: ①与不等式、方程有关的最值问题; ②建立目标函数,求最值或最优解问题; ③在含有多个变量的问题中,选择合适的自变量构造函数解题; ④实际应用问题,建立函数关系,利用函数性质、导数、不等式性 质等知识解答; ⑤利用函数思想解决数列中的问题.

第八单元 │ 考情分析预测

(2)与数形结合思想有关的常见题型: ①集合间关系利用韦恩图求解; ②以数学公式、数学概念的几何意义、函数图象为载体的综合 题,如截距、斜率、距离、导数的几何意义,借助图象求解. (3)与分类与整合思想有关的常见题型: ①含有参数的函数性质问题、交点问题; ②对由数学概念引起的分类讨论问题,如对指数函数、对数函 数的底数的讨论,对一元二次不等式的二次项系数的讨论; ③由公式定理引起的讨论问题,如绝对值、等比数列前 n 项和 的计算问题.

第八单元 │ 考情分析预测

(4)与转化与化归思想有关的常见题型: ①未知转化为已知(复杂转化为简单); ②函数与方程的相互转化; ③正与反、一般与特殊的转化,即正难则反、特殊化原则; ④空间与平面的相互转化; ⑤常量与变量的转化; ⑥数与形的转化; ⑦相等与不等的相互转化; ⑧实际问题与数学模型的转化.

第八单元 │ 考情分析预测
备考策略
二轮复习时,要有效地掌握以下几个方面: 数学思想与方法是通过数学知识体现的,在复习中,要养成利 用数学思想分析问题、思考问题、解答问题的习惯意识. (1)对于函数与方程思想, 在解题中要善于挖掘题目中的隐含条 件, 构造出函数解析式和妙用函数与方程的相互转化的关系是应用 函数与方程思想解题的关键. (2)数形结合的实质是把抽象的数学语言和直观的图象语言结 合起来,即将代数问题几何化,几何问题代数化.在运用数形结合 思想分析问题时,要注意三点:①理解一些概念与运算法则的几何 意义以及曲线的代数特征, 对题目中的条件和结论既分析其几何意 义,又分析其代数意义;②恰当设参、合理用参,建立关系,由形 思数,以数想形,做好数形转化;③确定参数的取值范围,参数的 范围决定图形的范围.

第八单元 │ 考情分析预测

(3)分类与整合思想实质上是“化整为零,各个击破,再 积零为整”的数学策略.利用好分类与整合思想可以优化解 题思路,降低问题难度.复习中要养成分类与整合的习惯, 常见的分类情形有:概念分类型,运算需要型,参数变化型, 图形变动型. (4)转化与化归思想是高中数学学习中最基本、 最重要的 思想方法,它无处不在.比如:解不等式时,将分式不等式 转化为整式不等式;处理立体几何问题时,将空间的问题转 化到一个平面上解决;在解析几何中,通过建立坐标系将几 何问题化归为代数问题;复数问题化归为实数问题等.

第八单元 │ 近年高考纵览

《考试说明》对数学思想做了如下要求: 突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查. 对数学基础知识和基本技能的考查,贴近教学实际,既 注意全面,又突出重点,注重知识内在联系的考查,注重对 中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查. 在 08-11 年的江苏卷中,有着大量的对数学思想运用 的考题如 08 年的填空题的第 14 题分类讨论及等价转化的思 想的运用;09 年的第 17 题的第(2)问函数与方程思想的运 用.10 年的第 11 题数形结合思想的运用;11 年的第 14 题数 形结合的思想的运用.

专题二十七

函数与方程思想

专题二十七 函数与方程思想

专题二十七 │ 主干知识整 合
主干知识整合
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关 初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参 数的取值范围等问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式 或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达 到化难为易,化繁为简的目的.函数与方程的思想是中学数学的基 本思想,纵观近 4 年的高考试题,函数的主干知识、知识的综合应 用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查,一直是高考的重点 内容之一.在高考试卷上,与函数相关的试题所占比例始终在 20% 左右,且试题中既有灵活多变的客观性试题,又有一定能力要求的 主观性试题.函数与方程思想是最重要的一种数学思想,高考中所 占比重比较大,综合知识多、题型多、应用技巧多.

专题二十七 │ 主干知识整 合
函数与方程的思想主要体现在以下几个方面: 1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中 的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质 去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决. 2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建 立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运 用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程思想是 动中求静,研究运动中的等量关系.

专题二十七 │ 主干知识整 合
3.函数与方程思想的几种重要形式 (1)函数和方程是密切相关的,对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就 转化为方程 f(x)=0, 也可以把函数式 y=f(x)看作二元方程 y-f(x)=0; (2)函数与不等式也可以相互转化, 对于函数 y=f(x), y>0 时, 当 就转化为不等式 f(x)>0, 借助于函数图象与性质解决有关问题, 而研 究函数的性质,也离不开解不等式; (3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数, 用函数的观 点处理数列问题十分重要; (4)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问 题,需要通过解二元方程组才能解决,涉及二次方程与二次函数的有 关理论; (5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用 列方程或建立函数表达式的方法加以解决.

专题二十七 │ 要点热点探 究
要点热点探究 ? 探究点一 函数思想的运用

在方程、不等式、数列、向量、解析几何等数学问 题中,经常会蕴涵着函数关系或比较大小、参数取值范 围、最值等问题,此时可以构建函数,运用函数的知识 或函数的方法解决问题.

专题二十七 │ 要点热点探 究

例 1 设数列{an}的前 n 项积为 Tn, n=1-an; T 数列{bn} 的前 n 项和为 Sn,Sn=1-bn. 1 (1)设 cn=T . n ①证明数列{cn}为等差数列; ②求数列{an}的通项公式; (2)若 Tn(nbn+n-2)≤kn 对 n∈N*恒成立,求实数 k 的取值范围.

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【解答】 (1)①证明:由 Tn=1-an 得: Tn Tn=1- (n≥2), Tn-1 Tn-1-Tn 1 1 Tn· n-1=Tn-1-Tn,1= T = - , Tn· n-1 Tn Tn-1 T 即 cn-cn-1=1. 1 1 又 T1=1-a1=a1,a1= ,c1= =2, 2 T1 所以数列{cn}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列. ②cn=c1+n-1=2+n-1=n+1, 1 Tn n Tn= ,an= = (n≥2), n+1 Tn-1 n+1 n 当 n=1 时也符合,故 an= . n+1

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(2)因为 Sn=1-bn,S1=1-b1=b1, 1 所以 b1= ,Sn-1=1-bn-1(n≥2), 2 Sn-Sn-1=bn-1-bn,2bn=bn-1(n≥2). 1 1 所以数列{bn}是以 为首项, 为公比的等比数列. 2 2 ?1?n-1 ?1?n 所以 bn=b1?2? =?2? . ? ? ? ? 因为 Tn(nbn+n-2)≤kn 对 n∈N*恒成立, ? n-2? ?bn+ ?≤k 对 n∈N*恒成立, 所以 Tn n ? ? n-2 1 ?1?n ? ? + 即 · ≤k 对 n∈N*恒成立. n+1 ?2? n?n+1? 1 ?1?n 1 ?1?n+1 ? ? 设 f(n)= · ? ,则 f(n+1)= ·? . n+1 ?2? n+2 ?2?

专题二十七 │ 要点热点探 究

?1?n ?1?n+1 1 1 因为 > >0,?2? >?2? >0,所以 f(n)>f(n+1), n+1 n+2 ? ? ? ? 所以当 n∈N*时,f(n)单调递减. n-2 n-1 设 g(n)= ,则 g(n+1)= , n?n+1? ?n+1??n+2? 4-n g(n+1)-g(n)= . n?n+1??n+2? 所以当 1≤n<4 时,g(n)单调递增;g(4)=g(5); 当 n≥5 时,g(n)单调递减. 设 L(n)=f(n)+g(n), 则 L(1)<L(2)<L(3),L(3)>L(4)>L(5)>L(6)>?. 11 所以 L(3)最大,且 L(3)= . 96 ?11 ? ? ,+∞?. 所以实数 k 的取值范围为 96 ? ?

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【点评】 数列是定义在 N*或其子集上的特殊函数,数列的 通项公式和其前 n 项和都可以构造为关于 n 的函数,从而用函 数思想或函数方法研究、解决问题.本题中将所得函数分成两 个部分研究,当 n≥5 时,f(n)、g(n)均递减,则 L(n)递减,前几 项只需要一一代入即可明确大小关系.

专题二十七 │ 要点热点探 究
? 探究点二 方程思想的运用

方程思想的运用包含以下几个问题:一将题干中所给的方 程进行转化, 凸显其隐含条件, 从而利用方程的性质解决问题; 二是根据题目所给未知量,根据条件列出关于未知数的方程 (组),求出未知数,解决问题.

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例 2 设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,数列{bn}满足 an bn= (m∈N*). an+m (1)若 b1,b2,b8 成等比数列,试求 m 的值; (2)是否存在 m,使得数列{bn}中存在某项 bt 满足 b1, b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差数列?若存在,请指出符合题意 的 m 的个数;若不存在,请说明理由.

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【解答】 (1)因为 Sn=n2,所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1, 又当 n=1 时,a1=S1=1,适合上式,所以 an=2n-1(n∈N*), 2n-1 1 3 15 所以 bn= ,则 b1= ,b2= ,b8= , 2n-1+m 1+m 3+m 15+m ? 3 ?2 1 15 2 由 b2=b1b8,得?3+m? = · , 1+m 15+m ? ? 解得 m=0(舍)或 m=9,所以 m=9. (2)假设存在 m,使得 b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差数列, 即 2b4=b1+bt,则 2t-1 7 1 36 2× = + ,化简得 t=7+ , 7+m 1+m 2t-1+m m-5 所以当 m-5=1,2,3,4,6,9,12,18,36 时, 分别存在 t=43,25,19,16,13,11,10,9,8 适合题意, 即存在这样的 m,且符合题意的 m 共有 9 个.

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【点评】 数列中的通项公式和前 n 项和公式都是方 程.三项 b1,b2,b8 成等比数列,其本质还是求方程 b2=b1b8 2 的解.第二小问中 b1,b4,bt 是否成等差数列,其本质还是论 证二元方程的整数解问题,可以利用整除性来考虑,这在数 列问题中屡见不鲜.

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? 探究点三 联用函数与方程的思想

函数与方程有着密不可分的关系,在解综合问题中,解决 一个问题常常不只需要一种数学思想, 而是多种思想的联用. 它 们相互转化使得问题一步步清晰化,常见转化途径有“函数+ 方程+函数”.

专题二十七 │ 要点热点探究

例 3 已知函数 f(x)=x2+ax-lnx,a∈R. (1)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (3)令 g(x)=f(x)-x2,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自 然对数的底数)时, 函数 g(x)的最小值是 3?若存在, 求出 a 的值; 若不存在,说明理由.

专题二十七│ 要点热点探究

【解答】 (1)当 a=0 时,f(x)=x2-lnx, 1 所以 f′(x)=2x-x?f′(1)=1,又 f(1)=1, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x-y=0. (2)因为函数在[1,2]上是减函数,所以 2 1 2x +ax-1 f′(x)=2x+a-x= ≤0 在[1,2]上恒成立, x ?a≤-1, ?h?1?≤0, ? ? 2 ? 令 h(x)=2x +ax-1,有 得? 7 ?h?2?≤0, a≤- , ? ? 2 ? 7 所以 a≤- . 2

专题二十七│ 要点热点探究
(3)假设存在实数 a,使 g(x)=ax-lnx 在(0,e]上有最小值 3, 1 ax-1 g′(x)=a-x= x . ①当 a≤0 时,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,e]上单调递减, 4 g(x)min=g(e)=ae-1=3,a= (舍去); e 1 ②当a>e 时,g′(x)<0 在(0,e]上恒成立, 所以 g(x)在(0,e]上单调递减, 4 g(x)min=g(e)=ae-1=3,a= (舍去); e 1 1 ③当 0<a≤e 时,令 g′(x)<0?0<x<a, ? ?1 ? 1? ?0, ?上单调递减,在? ,e?上单调递增, 所以 g(x)在 a? ? ?a ? ?1? ∴g(x)min=g?a?=1+lna=3,a=e2,满足条件. ? ? 综上,存在实数 a=e2,使得当 x∈(0,e]时,g(x)有最小值 3.

专题二十七 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.函数描述了自然界中量的依存关系,反映了一个事物 随着另一个事物变化而变化的关系和规律.函数思想的实质是 剔除问题的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象, 抽象其数学特征,建立函数关系. 2.在解决某些数学问题时,先设定一些未知数,然后把 它们当做已知数,根据题设本身各量间的制约,列出等式,所 设未知数沟通了变量之间的关系,这就是方程的思想.

专题二十七 │ 规律技巧提炼
3.函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密 切的联系,一个函数若有解析表达式,那么这个表达式就可 看成是一个方程. 一个二元方程, 两个变量存在着对应关系, 如果这个对应关系是函数, 那么这个方程可以看成是一个函 数,一个一元方程,它的两端可以分别看成函数,方程的解 即为两个函数图象交点的横坐标,因此,许多有关方程的问 题可以用函数的方法解决;反之,许多有关函数的问题则可 以用方程的方法解决. 总之, 在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中的 函数和方程的思想,用它来指导解题.在解题中,同时要注 意从不同的角度去观察探索,寻求多种方法,从而得到最佳 解题方案.

专题二十七│ 江苏真题剖析
江苏真题剖析
例 [2008· 江苏卷] 如图 27-1,在平面直角坐标系 xOy 中,设三 角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C(c,0),点 P(0,p)是线段 AO 上的一点(异于端点),这里 a,b,c,p 均为非零实数,设直线 BP, CP 分别与边 AC,AB 交于点 E,F,某同学已正确求得直线 OE 的方 ?1 1? ?1 1? 程为?b- c ?x+?p-a?y=0,请你完成直线 OF 的方程:(________)x+ ? ? ? ? ?1 1? ? - ?y=0. ?p a?

图 27-1

专题二十七│ 江苏真题剖析

【分析】 高中所学平面直角坐标系中的曲线本身就是一 ?x=x0, ? 个二元方程 f(x,y)=0.本题所用方程思想是:若? 是 ?y=y0 ? 方程 f(x,y)=0 的一组解,则曲线 f(x,y)=0 必过点(x0,y0).

专题二十七│ 江苏真题剖析
1 1 【答案】 c -b x y x y 【解析】 由截距式可得直线 AB:b+a=1,直线 CP:c+p=1, 设 F(x0,y0), x0 y0 因为点 F 在直线 CP 上,有 c + p =1①, x0 y0 点 F 在直线 AB 上,有 b + a =1②, ?1 1? ?1 1? 由①-②得?c-b?x0+?p-a?y0=0(*), ? ? ? ? ?1 1? ?1 1? 而原点 O 也满足(*)式,故方程?c-b?x+?p-a?y=0, ? ? ? ? 即为过点 O 和 F 的直线方程,且过两点的直线具有惟一性, 1 1 1 1 即直线 OF 的方程为 c -bx+p-ay=0.

专题二十七│ 江苏真题剖析

对任意实数 m,过函数 f(x)=x2+mx+1 图象上的点(2, f(2))的切线恒过一定点 P,则点 P 的坐标为________.

(0,-3) 【解析】 因为 f′(x)=2x+m, 故 f′(2)=4+m. 于是过点(2,f(2))的切线方程是: y-(5+2m)=(4+m)(x-2), 即 y=(m+4)x-3,因此切线方程恒过点(0,-3).

专题二十八

数形结合思想

专题二十八 数形结合思想

专题二十八 │ 主干知识整合
主干知识整合
数与形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一种重 要的数学思想, 又是一种常用的数学方法. 数形结合是历届高考的重点和热点. 数 形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其中“以形助数”是其主要 方面, 其方法的关键是根据题设条件和探求目标, 联想或构造出一个恰当的图形, 利用图形探求解题途径,对于填空题可以简捷地直接获得问题的结果,对于解答 题要重视数形转换的等价性论述,避免利用图形的直观性代替逻辑推理得到结 果.“数缺形时少直观,形少数时难入微”,利用数形结合的思想方法可以深刻 揭示数学问题的本质.函数的图象、方程的曲线、集合的韦恩图或数轴表示等, 是“以形示数”,而解析几何的方程、斜率、距离公式、向量的坐标表示等则是 “以数助形”,还有导数更是数形结合的产物,这些都为我们提供了“数形结 合”的知识平台.

专题二十八 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 数形结合在向量中的应用

向量作为数学的一个基本概念,成了沟通代数、几何与 三角函数的工具.由于既有代数表示,也有几何表示,成为 了数形结合的重要载体.

专题二十八 │ 要点热点探究

例 1 已知 a,b 为不共线的向量,设条件 M:b⊥(a-b);条 件 N:对一切 x∈R,不等式|a-xb|≥|a-b|恒成立.则 M 是 N 的________条件.

专题二十八 │ 要点热点探究
例 1 充要 【解析】 方法一:构造直角三角形 OAB,其 → → → → 中 a=OA,b=OB,xb=OD,则 a-b=BA,由 b⊥(a-b)得 ∠ABO=90° ,当点 D 与点 B 不重合时,由斜边大于直角边得 |a-xb|>|a-b|,当点 D 与点 B 重合时|a-xb|=|a-b|,反之也成 立,故 M 是 N 的充要条件.

方法二:将不等式|a-xb|≥|a-b|两边平方后转化为 b2x2- b b 2 ???a·??? x+2a· b-b2≥0 对于任意实数 x 恒成立,Δ=4 ???a·??? 2 - 2? ?2a· b-b2???=4???b2-a·???2≤0,即 b2-a· b 4b ? b=0,b(b-a)=0,所以 有 b⊥(a-b).

专题二十八 │ 要点热点探究

【点评】 本题对于不等式|a-xb|≥|a-b|的处理,方法 一用的是构造向量 a-xb 和 a-b 的图形, 利用几何特征来求 出最值,方法二是利用代数方法将模进行平方转化为一元二 次不等式的恒成立问题.

专题二十八│ 要点热点探究
→ → 已知OA=(3,-4),将OA绕着原点逆时针旋转 45° → 后得到向量OD,则 D 点的坐标为________.
?7 2 ? ,- ? 2

2? ? 【解析】 方法一:设 D(x,y), 2? → |=|OA|,cos〈OA,OD〉= 2, → → → 由题意可得|OD 2
2 2 ?x +y =25, ? 所以?3x-4y 2 ? 25 = 2 , ?

?x=7 2, ? 2 解得? ?y=- 2 2 ?

2 ? x=- , ? 2 或? ?y=-7 2. 2 ?

→ → 又OD是由OA绕着原点逆时针旋转 45° 所得,由图可知 D 坐标为 ?7 2 2? ? ,- ?. 2 2? ?

专题二十八│ 要点热点探究

→ 方法二:如图,将OA所在射线看作 α 的终边,x 正半轴看作始 → 边,由三角函数定义可得 A(5cosα,5sinα),即OA=(5cosα,5sinα), → → 又将OA绕着原点逆时针旋转 45° 后得到向量OD, → =?5cos?α+π?,5sin?α+π?? ? ? ? ?? 所以OD ? 4? 4 ?? ? ? ? ? 2 ? 2 =? ?5cosα-5sinα?, ?5sinα+5cosα?? 2 ? 2 ? ?7 2 2? =? ,- ?. 2 2? ?

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探究点二

数形结合在解析几何中的应用

解析几何主要研究的是图形的特征以及图象间的位置关 系.初中是直接运用定理进行证明研究,高中则是通过建立直 角坐标系,用点的坐标和曲线的方程,通过代数方法来计算图 形的特征和位置关系等问题, 其本质原因是高中阶段对几何问 题的研究牵涉具体的长度、角度、面积等,故需要用代数方法 来研究几何问题.

专题二十八 │ 要点热点探究

例 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴 正半轴分别相交于 A,B 两点,△AOB 的内切圆为⊙M. ?3 3? ? (1)如果⊙M 半径为 1,l 与⊙M 切于点 C? ,1+ ?,求 2? ?2 ? 直线 l 的方程; (2)如果⊙M 半径为 1,证明当△AOB 的面积最小、周长 最小时,此时△AOB 为同一三角形.

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【解答】 (1)由题知 M(1,1),则 kMC= 3,kl=- ∴l:y=- 3 . 3

3 x+ 3+1. 3 (2)设 A(a,0),B(0,b)(a>2,b>2),l:bx+ay-ab=0. |b+a-ab| M 到 AB 的距离 d= =1, a2+b2 整理得 ab-2(a+b)+2=0,ab+2=2(a+b)≥4 ab, ab≥2+ 2,ab≥6+4 2,当且仅当 a=b=2+ 2时,ab=6+4 2. 1 面积 S= ab≥3+2 2,故 Smin=3+2 2, 2 此时△AOB 是直角边长为 2+ 2的等腰直角三角形. 周长 L=a+b+ a2+b2≥2 ab+ 2ab=(2+ 2) ab≥(2+ 2)2=6+4 2, 故 Lmin=6+4 2, 此时△AOB 是直角边长为 2+ 2的等腰直角三角形. ∴此时的△AOB 为同一三角形.

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【点评】 解析几何中的常见的定值、定点、最值问题,一 般都是通过代数方法构造相应的方程或函数,利用方程的思想、 函数的思想来解决问题.本题中的面积和长度都是关于 a,b 的 二元函数,故考虑用基本不等式来求最值.

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探究点三

数形结合在函数中的应用

函数的图象是函数关系的一种表示,它是从“形”的方面 刻画函数的变化规律.函数图象形象地显示了函数的性质,为 研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探究解题途 径,获得问题结果的重要工具.函数图象和解析式是函数关系 的主要表现形式,实质是相同的,在解题时经常要互相转化, 尤其是在处理较为繁琐的问题时,要充分发挥图象的直观作 用.

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例 3 函数 f(x)=(2x-1)2, g(x)=ax2(a>0), 满足 f(x)<g(x) 的整数 x 恰有 4 个,则实数 a 的取值范围是________.

专题二十八│ 要点热点探究
?49 81? ? , ? ?16 25?

【解析】 在同一坐标系内分别作出满足条件的函数 f(x)

=(2x-1)2,g(x)=ax2 的图象,则由两个函数的图象可知,y=f(x),y=g(x) 在区间(0,1)内总有一个交点.

令 h(x)=f(x)-g(x)=(4-a)x2-4x+1,要使满足不等式(2x-1)2<ax2 的 整数恰有 4 个, ?h?4?<0, ?49-16a<0, ? ? 49 81 ? ? 则需 ? ? <a≤ . 16 25 ? ? ?h?5?≥0 ?81-25a≥0

专题二十八│ 要点热点探究

【点评】 本题也可以解二次不等式得- ax<2x-1< ax,但进一步探讨其整数解的个数较为困难.通过对函数 图象的研究不难发现有一交点在(0,1)内,则另一交点必在 (4,5]内.当从函数解析式研究函数性质较为困难时,可以考 虑结合函数的图象来研究,同样地,如果通过函数图象研究 函数性质不准确时,也可以借助函数的解析式来研究.

专题二十八│ 要点热点探究
例 4 我们用 min{s1,s2,?,sn}和 max{s1,s2,?,sn}分别 表示 s1,s2,?,sn 中的最小者和最大者. (1)设 f(x)=min{sinx, cosx}, g(x)=max{sinx, cosx}, x∈[0,2π], 函数 f(x)的值域为 A,函数 g(x)的值域为 B,求 A∩B; (2)现有老师提出了下面的问题:设 a1,a2,?,an 为实数, 若 x ∈ R , 求 函 数 f(x) = a1|x - x1| + a2|x - x2| + ? + an|x - xn|(x1<x2<?<xn,xi∈R,i=1,2,3,?,n)的最值. 为了方便探究,遵循从特殊到一般的原则,老师让学生先解 决两个特例:求函数 f(x)=|x+2|+3|x+1|-|x-1|和 g(x)=|x+1| -4|x-1|+2|x-2|的最值. 学生甲得出的结论为:f(x)min=min{f(-2),f(-1),f(1)},且 f(x)无最大值; 学生乙得出的结论为:g(x)max=max{g(-1),g(1),g(2)},且 g(x)无最小值. 请选择两个学生得出的结论中的一个,说明其是否正确.

专题二十八│ 要点热点探究
【解答】 (1)在同一坐标系中画出 y=sinx,y=cosx 的图象可得

?sinx?0≤x<π?, ? ? ? 4? ? ? ?π 5π? ? ≤x< ?, f(x)=?cosx 4 4? ? ? ?sinx?5π≤x≤2π?, ? ? ? ?4 ?

?cosx?0≤x<π?, ? ? ? 4? ? ? ?π 5π? ? ≤x< ?, g(x)=?sinx 4 4? ? ? ?cosx?5π≤x≤2π?, ? ? ? ?4 ?

所以

? A=?-1, ?

? ? ? 2? 2 2 2? ?,B=?- ,1?,即 A∩B=?- , ?. 2? 2 2 2? ? ? ?

专题二十八│ 要点热点探究

(2)若选择学生甲的结论,说明如下:

?-3x-6?x≤-2?, ? ?-x-2?-2<x≤-1?, f(x)=? ?5x+4?-1<x≤1?, ?3x+6?x>1?, ?

图象如右:

根据图象可得: 函数 f(x)在(-∞, -2]上是减函数, 在(-2,-1]上是减函数,在(-1,1]上是增函数, 在(1,+∞)上是增函数. 所以函数 f(x)min=min{f(-2),f(-1),f(1)},且 f(x)无最大值. 故学生甲的结论是正确的

专题二十八│ 要点热点探究
若选择学生乙的结论,说明如下:

?x-1?x≤-1?, ? ?3x+1?-1<x≤1?, g(x)=? ?-5x+9?1<x≤2?, ?-x+1?x>2?, ?

图象如下:

由图象可得:函数 g(x)在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,1] 上是增函数,在(1,2]上是减函数,在(2,+∞)上是减函数. 所以 g(x)max=max{g(-1),g(1),g(2)},且 g(x)无最小值.故 学生乙的结论是正确的.

专题二十八│ 要点热点探究

【点评】 本题实为取大,取小函数,直接用代数式进 行比较很难进行或需要分多种情况讨论, 故考虑借助图象的 直观性来解决几个函数中的最大或最小的问题.

专题二十八 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.数形结合,数形转化常应用于以下几个方面: (1)集合的运算及韦恩图; (2)函数与图象的对应关系,导数的几何意义; (3)解析几何中方程的曲线与方程的关系; (4)以几何元素和几何条件为背景建立的概念,如三角函 数和向量; (5)所给代数式的结构含有明显的几何意义,如斜率、截 距和距离等. 2.数形结合的思想简而言之就是代数问题几何化,几何 问题代数化,充分利用图形的直观性和代数推理的合理性和 严密性研究问题.

专题二十八 │ 江苏真题剖析
江苏真题剖析
例 [2010· 江苏卷改编] 设 f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函 数,其导函数为 f′(x).如果存在实数 a 和函数 h(x),其中 h(x) 对任意的 x∈(1,+∞)都有 h(x)>0,使得 f′(x)=h(x)(x2-ax+ 1),则称函数 f(x)具有性质 P(a). 已知函数 g(x)具有性质 P(2), 给定 x1, 2∈(1, x +∞), 1<x2, x 设 m 为实数,α=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,且 α>1, β>1,若|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求 m 的取值范围.

专题二十八 │ 江苏真题剖析

【分析】 本题只要画出函数的草图,就容易判断|g(x1)- g(x2)|与|g(α)-g(β)|的大小,关键就是确定 α,β 在区间(x1,x2)的 里面还是外面,只要将 α,β 与 x1,x2 进行作差,就能找到 m 的 两个分界点 0 和 1.本题的难处在于对题意的理解, 在理解题意之 后,所用到的知识点和解题所用的方法都是基础的,用导数确定 单调性,解简单的含参数一元二次不等式,作差法比较两个数的 大小.

专题二十八 │ 江苏真题剖析
【解答】 由题意, g′(x)=h(x)(x2-2x+1)=h(x)(x-1)2, 得 又 h(x)对任意的 x∈(1,+∞)都有 h(x)>0, 所以对任意的 x∈(1,+∞)都有 g′(x)>0,g(x)在(1,+∞) 上单调递增. 又 α+β=x1+x2,α-β=(2m-1)(x1-x2). 1 当 m> ,m≠1 时,α<β,且 α-x1=(m-1)x1+(1-m)x2, 2 β-x2=(1-m)x1+(m-1)x2, ∴(α-x1)(β-x2)=-(m-1)2(x1-x2)2<0, ∴α<x1<x2<β 或 x1<α<β<x2. 若 α<x1<x2<β,则 g(α)<g(x1)<g(x2)<g(β), ∴|g(α)-g(β)|>|g(x1)-g(x2)|,不合题意.

专题二十八 │ 江苏真题剖析
∴x1<α<β<x2, ?x1<mx1+?1-m?x2, ? 1 ? 即 解得 m<1,∴ <m<1. 2 ??1-m?x1+mx2<x2, ? 1 当 m= 时, α=β, 0=|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|, 符合题意; 2 1 当 m< 时,α>β,且 α-x2=m(x1-x2), 2 β-x1=-m(x1-x2), ?x1<?1-m?x1+mx2, ? 同理有 x1<β<α<x2,即? ?mx1+?1-m?x2<x2, ? 1 解得 m>0,∴0<m< , 2 综合以上讨论得:所求 m 的取值范围是(0,1).

专题二十八│ 要点热点探究
已知函数 f(x)=|2x-1|,若 a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b), 则下列结论中必成立的是________.(填序号) - ①a<0,b<0,c<0;②a<0,b≥0,c>0;③2 a<2c; ④2a+2c<2.
④ 【解析】 画出 f(x)的图象如下:

由图象可得:a<0,c>0,b 在(a,c)之间,但符号不确定, - 排除①②,因为 a<0<c,f(a)>f(c),所以-a>c,所以,2 a>2c, 排除③,故选④.

专题二十八│ 要点热点探究

方程 x2+ 2x-1=0 的解可视为函数 y=x+ 2的 1 图象与函数 y=x的图象交点的横坐标,若 x4+ax-4=0 的各 ? 4? 个实根 x1,x2,?,xk(k≤4)所对应的点?xi,x ?(i=1,2,?,k) ? i? 均在直线 y=x 的同侧,则实数 a 的取值范围是________.

专题二十八│ 要点热点探究

(-∞,-6)∪(6,+∞) 【解析】 方程的根显然不为 0,原方 4 4 程等价于 x3+a=x,原方程的实根是曲线 y=x3+a 与曲线 y=x的交 点的横坐标;而曲线 y=x3+a 是由曲线 y=x3 向上或向下平移|a|个单 ? 4? 位长度而得到的. 若交点?xi,x ?(i=1,2, ?, k)均在直线 y=x 的同侧, ? ? i 4 因直线 y=x 与 y=x交点为(-2,-2),(2,2),所以结合图象可得: ?a>0, ?a<0, ? 3 ? 3 ?x +a>-2, 或?x +a<2, ?a∈(-∞,-6)∪(6,+∞). ?x≤-2 ?x≥2 ? ?

专题二十九

分类与整合思想

专题二十九 分类与整合思想

专题二十九 │ 主干知识整合
主干知识整合

分类讨论是一种逻辑方法、一种重要的数学思想,同 时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为 整的思想与归类整理的方法.有关分类讨论思想的数学问 题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维 条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置,被 列为一种重要的思维方法来考查.

专题二十九 │ 主干知识整合

进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是 确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分 清主次,不越级讨论.其中最重要的一条是“不漏不重”. 解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先 要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分 类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重;再对 所分各类逐个进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后 进行归纳总结,综合得出结论.

专题二十九 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 函数中的分类讨论问题

函数的基本概念和基本性质中本身涉及分类讨论的问题 并不多, 但是有一类带有参数的函数即动态函数问题中, 其单 调性的求解、 值域的研究、 零点问题等往往都需要对参数的取 值进行划分后,分成不同情况进行研究.

例 1 已知函数 f(x)=x2-alnx(a∈R). (1)若 a=2,求证:f(x)在(1,+∞)上是增函数; (2)求 f(x)在[1,e]上的最小值.

专题二十九 │ 要点热点探究
【解答】 (1)证明:当 a=2 时,f(x)=x2-2lnx, 2?x2-1? 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)= >0, x 故函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数. 2x2-a (2)f′(x)= x (x>0), 当 x∈[1,e]时,2x2-a∈[2-a,2e2-a]. 若 a≤2,则当 x∈[1,e]时,f′(x)≥0, 故函数 f(x)在[1,e]上是增函数, 又 f(1)=1,故函数 f(x)在[1,e]上的最小值为 1. 若 a≥2e2,则当 x∈[1,e]时,f′(x)≤0, 故函数 f(x)在[1,e]上是减函数,

专题二十九 │ 要点热点探究
又 f(e)=e2-a,故函数 f(x)在[1,e]上的最小值为 e2-a. 若 2<a<2e2,则 a 当 1≤x< 时,f′(x)<0,此时 f(x)是减函数; 2 a 当 <x≤e 时,f′(x)>0,此时 f(x)是增函数. 2 ? a? a a a ?= - ln , 又 f? 2? 2 2 2 ? a a a 故函数 f(x)在[1,e]上的最小值为 - ln . 2 2 2 综上可知,当 a≤2 时,f(x)在[1,e]上的最小值为 1; a a a 当 2<a<2e2 时,f(x)在[1,e]上的最小值为 - ln ; 2 2 2 当 a≥2e2 时,f(x)在[1,e]上的最小值为 e2-a.

专题二十九 │ 要点热点探究
? 探究点二 数列中的分类讨论问题

数列的基本概念,如等比数列的前 n 项和的公式涉及讨论 q 是否等于 1,数列性质在研究时常常需要分 n 取奇数还是偶数 或一一代入.数列中牵涉方程的思想、函数的思想,故方程和函 数中需要用到的分类讨论,在数列中也会有体现.

专题二十九 │ 要点热点探究

例 2 已知等差数列{an}的首项为 a,公差为 b,等比数 列{bn}的首项为 b,公比为 a,其中 a,b 都是大于 1 的正整 数,且 a1<b1,b2<a3. (1)求 a 的值; (2)令 cn=an+1+bn,问数列{cn}中是否存在连续三项成 等比数列?若存在,求出所有成等比数列的连续三项;若 不存在,请说明理由.

专题二十九│ 要点热点探究

【解答】 (1)由已知,得 an=a+(n-1)b,bn=b·n 1. a 由 a1<b1,b2<a3,得 a<b,ab<a+2b. 因 a,b 都为大于 1 的正整数,故 a≥2.又 b>a,故 b≥3. 再由 ab<a+2b,得(a-2)b<a. 由 b>a,故(a-2)b<b,即(a-3)b<0. 由 b≥3,故 a-3<0,解得 a<3. 于是 2≤a<3,根据 a∈N,可得 a=2.



专题二十九│ 要点热点探究
(2)设数列{cn}中,cn,cn+1,cn+2 成等比数列, 由 cn=2+nb+b·n-1,(cn+1)2=cn·n+2, 2 c 得(2+nb+b+b·n)2 2 - + =(2+nb+b·n 1)(2+nb+2b+b·n 1), 2 2 化简,得 b=2n+(n-2)· 2n-1.(※) b· 当 n=1,b=1 时,等式(※)成立,而 b≥3,故不合题意, 当 n=2,b=4 时,等式(※)成立, 当 n≥3 时,b=2n+(n-2)· 2n-1>(n-2)· 2n-1≥4b,这 b· b· 与 b≥3 矛盾,这时等式(※)不成立. 综上所述,当 b≠4 时,不存在连续三项成等比数列;当 b=4 时,数列{cn}中的第二、三、四项成等比数列,这三项依 次是 18,30,50.

专题二十九│ 要点热点探究

【点评】 本题中参数 a,b 取值不清楚,但可以根据其取值 范围和 a,b 为正整数,综合起来进行研究.第(2)小问中 b=2n +(n-2)· 2n-1 为二元方程,需要对 n 的取值进行讨论,并代入 b· 研究.

专题二十九 │ 要点热点探究
? 探究点三 几何问题中的分类讨论

几何问题中出现的分类讨论主要是涉及几何位置不确定、图 形变化引起的参数的变化等需要进行分类讨论的情况.当然在直 线方程中也会出现斜率是否存在,截距是否存在的讨论.在解析 几何中出现的最值问题也会出现因图形变化而引发参量取值变化 的分类讨论.

专题二十九 │ 要点热点探究

例 3 m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量 a=(mx,y+1), 向量 b=(x,y-1),a⊥b,动点 M(x,y)的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; 1 (2)证明:当 m= 时,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意 4 一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且 OA⊥OB(O 为坐标原 点),并求该圆的方程.

专题二十九│ 要点热点探究

【解答】 (1)因为 a⊥b,所以 a· b=0, 即(mx,y+1)· (x,y-1)=0, 故 mx2+y2-1=0,即 mx2+y2=1, 当 m=0 时,该方程表示两条直线; 当 m=1 时,该方程表示圆; 当 m>0 且 m≠1 时,该方程表示椭圆; 当 m<0 时,该方程表示双曲线.

专题二十九│ 要点热点探究
1 x2 2 (2)当 m= 时,轨迹 E 的方程为 +y =1,设圆的方程为 x2 4 4 +y2=r2(0<r<1),当切线斜率存在时,可设圆的任一切线方程为 y =kx+t,设 A(x1,y1),B(x2,y2), |t| 则 =r,即 t2=r2(1+k2). ① 2 1+k 因为 OA⊥OB,所以 x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0, 整理得:(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0. ② 2 ?x ? +y2=1, 由方程组? 4 消去 y 得: ?y=kx+t ? (1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0, ③

专题二十九│ 要点热点探究
? ?x1+x2=- 8kt 2, 1+4k ? 由韦达定理得:? 4t2-4 ?x x = ? 1 2 1+4k2, ?

代入②式并整理得:

4t2-4 8k2t2 2 (1+k2) 2- 2+t =0, 1+4k 1+4k 即 5t2=4+4k2,结合①式有:5r2=4, 2 5 即 r= ∈(0,1), 5 4 2 2 当直线斜率不存在时,x +y = 也满足题意, 5 4 2 2 故所求的圆的方程为 x +y = . 5

专题二十九│ 要点热点探究

【点评】 本题第(1)小问中所得轨迹方程含有参数,故需 要对参数取值进行讨论. 第(2)小问中出现了常见的直线斜率是 否存在的讨论.

专题二十九 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
分类讨论是一种重要的数学思想,也是一种重要的解 题策略,它可以将整体化为局部,将复杂问题化为单一问 题,以便于“各个击破”,但由于分类讨论一般过程较为 冗长,叙述较为繁琐,且极易在完备性上造成失误,因此 它并非一定是解决问题的上策或良策,我们提倡在熟悉和 掌握分类思想的同时, 要注意克服思维定势, 处理好“分” 与“合”,“局部”与“整体”之间的辩证统一关系,充 分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性,尽可能地简化 或避免分类讨论.

专题二十九 │ 规律技巧提炼
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: (1)问题所涉及的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定 义分 a>0、a=0、a<0 三种情况.这种分类讨论题型可以称为 概念型. (2)问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范 围或者条件限制,或者是分类给出的.如等比数列的前 n 项 和的公式,分 q=1 和 q≠1 两种情况.这种分类讨论题型可 以称为性质型. (3)解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围 进行讨论.如解不等式 ax>2 时分 a>0、a=0 和 a<0 三种情况 讨论.这称为含参型. (4)某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不 确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之 具有确定性.

专题二十九 │ 江苏真题剖析
江苏真题剖析
例 [2008· 江苏卷改编] 设 a1,a2,?,an 是各项均不为零 的 n(n≥4)项等差数列,且公差 d≠0,若将此数列删去某一项 后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列. a1 (1)当 n=4 时,求 d 的数值; (2)求 n 的所有可能值.
【分析】 本题为等差数列中部分项能否形成一个新的等 比数列问题,故需要讨论去掉的项是哪一项,再利用等比数 列性质进行论证.

专题二十九 │ 江苏真题剖析

【解答】 (1)当 n=4 时,a1,a2,a3,a4 中不可能删去首 项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列, 则推出 d=0. 若删去 a2,则 a2=a1·4,即(a1+2d)2=a1· 1+3d), a (a 3 a1 化简得 a1+4d=0,得 d =-4. 若删去 a3,则 a2=a1·4,即(a1+d)2=a1· 1+3d), a (a 2 a1 化简得 a1-d=0,得 d =1. a1 a1 综上,当 n=4 时, d =-4 或 d =1.

专题二十九 │ 江苏真题剖析

(2)当 n=5 时,a1,a2,a3,a4,a5 中同样不可能删去 a1, a2,a4,a5,否则出现连续三项. 若删去 a3, a1·5=a2·4, a1(a1+4d)=(a1+d)· 1+3d), 则 a a 即 (a 化简得 3d2=0,因为 d≠0,所以 a3 不能删去; 当 n≥6 时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列 a1, a2,a3,?,an-2,an-1,an 中,由于不能删去首项或末项,若 删去 a2,则必有 a1·n=a3·n-2,这与 d≠0 矛盾;同样若删去 a a an-1 也有 a1·n=a3·n-2,这与 d≠0 矛盾;若删去 a3,?,an-2 a a 中任意一个,则必有 a1·n=a2·n-1,这与 d≠0 矛盾(或者说: a a 当 n≥6 时, 无论删去哪一项, 剩余的项中必有连续的三项). 综 上所述,n=4.

专题二十八│ 要点热点探究

已知{an}是首项为 1 的等比数列, n 是{an}的前 n S ?1? 项和,且 9S3=S6.则数列?a ?的前 5 项和为________. ? n?
31 【解析】 设等比数列的公比为 q,则当公比 q=1 时, 16 由 a1=1 得,9S3=9×3=27,而 S6=6,两者不相等,故不合题 1-q3 1-q6 意; 当公比 q≠1 时, 9S3=S6 及首项为 1 得: 由 9× = , 1-q 1-q ?1? 1 1 1 1 31 ? ?的前 5 项和为 1+ + + + = . 解得 q=2,所以数列 a 2 4 8 16 16 ? n?

专题三十

转化与化归思想

专题三十 转化与化归思想

专题三十 │ 主干知识整合
主干知识整合
化归就是转化和归结,它是数学解决问题的基本方法,在解决数 学问题时,人们常常是将需要解决的问题,通过某种转化手段,归结 为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题,以求得问题 的解答.中学数学处处都体现出化归的思想,如化繁为简、化难为易、 化未知为已知, 化高次为低次等, 它是解决问题的一种最基本的思想. 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题 的一种重要的思想方法.通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂 的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.历年高考,等价 转化思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,有利于 强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧.

专题三十 │ 主干知识整合

等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性.在应用等价转 化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式去进行.它可 以在数与数、形与形、数与形之间进行转换;它可以在宏观上进行等 价转化,如在分析和解决实际问题的过程中,普通语言向数学语言的 翻译;它可以在符号系统内部实施转换,即所说的恒等变形.消去法、 换元法、数形结合法、求值求范围问题等等,都体现了等价转化思想, 我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化.可以说,等 价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不 变. 由于其多样性和灵活性, 我们要合理地设计好转化的途径和方法, 避免死搬硬套题型.

专题三十 │ 要点热点探究
要点热点探究

?

探究点一

高维与低维的转化

事物的空间形成, 总是表现为不同维数且遵循由低维向高 维的发展规律,如从点研究线,由线到面,由面再到空间.通 过降维可以把问题从一个领域带到另一个领域研究, 从而使问 题简单化.如立体几何中三维问题转化为平面几何的二维问 题,多元问题转化为一元问题进行研究等.

专题三十 │ 要点热点探究
例 1 (1)如图 30-1,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,BC =2,AC= 5,AA1=3,M 为线段 BB1 上的一动点,则当 AM+ MC1 最小时,△AMC1 的面积为________.

图 30-1 x2 y2 xy (2)若不等式 + ≥ 对于任意正实数 x,y 总成立的必要不 108 4 3k 充分条件是 k∈[m,+∞),则正整数 m 只能取________.

专题三十 │ 要点热点探究
(1) 3 (2)1 或 2 【解析】 (1)将侧面展开后可得:当 A、M、C1 三点共线时,AM+MC1 最小,又 AB∶BC=1∶2,

AB=1,BC=2,CC1=3,所以 AM= 2,MC1=2 2.又在原三棱 柱中 AC1= 9+5= 14, AM2+C1M2-AC2 2+8-14 1 1 所以 cos∠AMC= = =- , 2AM· 1M C 2 2× 2×2 2 3 故 sin∠AMC= , 2 1 3 所以三角形面积为 S= × 2×2 2× = 3. 2 2

专题三十│ 要点热点探究
x2 y2 xy 1 ? x2 y2? 1 x y 1 ? ?≥ k? (2)由 + ≥ (x>0,y>0)?xy 108+ 4 + ≥ , 108 4 3k 108y 4x 3k ? ? 3 1 x y 所以 k小于等于 + (x>0,y>0)的最小值, 3 108y 4x x y x y 1 因为 + ≥2 · = (当且仅当 x2=27y2 时取“=” 108y 4x 108y 4x 108 号), 3 3 所以 3k≥ 108= 27×4=2×3 ?log33k≥log3(2×3 )?k≥log32+ 2 2 3 3 >log3 3+ =2. 2 2 ? ? 3 ?log32+ ,+∞? , 因 为 k ∈[m, + ∞)是 所 以 k 的取 值 范 围 是 2 ? ? ? ? 3 ?log32+ ,+∞?的必要不充分条件,所以 m=1 或 m=2. 2 ? ?

专题三十 │ 要点热点探究
? 探究点二 特殊与一般的转化

所谓特殊化的策略, 就是当我们面临的是一道难以入手的一 般性题目时,要注意从一般退到特殊,先考查包含在一般情形里 的某些比较简单的特殊问题,以便从特殊问题的研究,拓宽解题 的思路, 从而发现解答原题的方向或途径, 即“由一般退回特殊, 再由特殊推广至一般”.
x2 y 2 例 2 已知椭圆 + =1,A、B 是其左、右顶点,动点 M 4 2 满足 MB⊥AB,连结 AM 交椭圆于点 P,在 x 轴上有异于点 A、 B 的定点 Q,以 MP 为直径的圆经过直线 BP,MQ 的交点,则点 Q 的坐标为________.

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(0,0) 知,

【解析】 方法 1:取 P(0, 2),则 M(2,2 2),

设 Q(q,0),由以 MP 为直径的圆经过直线 BP,MQ 的交点可 2 2 ? 2? ? ? MQ⊥PB,则有 kMQ·PB=-1,即 k · - ?=-1, 2-q ? 2 ? ? 解得 q=0,即得 Q(0,0).

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?y=m?x+2?, ? 4 m 方法 2:设 M(2,m),则直线 AM 的方程为 y= (x+2),联立? 2 2 4 x y ? 4 + 2 =1, ?
m2 -1 m2+8 2 m2 m2 m2-8 8 去 y 并整理得, x + x+ -1=0,则 xP= =-2· 2 , 32 8 8 m2+8 m +8 -2· 32 8m m2+8 8m 2 m yP= (xP+2)= 2 ,所以 kPB= =-m,设 Q(q,0), 2 4 m +8 m -8 -2· 2 -2 m +8 1 m m 则 kMQ= =-k = ,解得 q=0,即得 Q(0,0). 2 2-q PB 消

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方法 3:设 P(x0,y0),则直线 AP 的方程为 y=

y0 (x+2),可得 x0+2

4y0 ? x0+2 y0 4y0 ? ? ? ?q,0?,则 k M?2,x +2?,设 Q? k · =-1,所以 ? MQ·PB=-1,即 2-q x0-2 0 ? ? ? x2? 0 2?1- 4 ? y2 4 x2 y2 y2 1 ? ? 0 0 0 0 · =-1,又 + =1,可得 2 = 2 =- ,进而求得 q 4 2 2 x2-4 2-q x0-4 x0-4 0 =0,故 Q(0,0).

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x2 y2 一般地,对于椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),A、B 是其 a b 左、右顶点,P 是 C 上异于点 A、B 的动点,则直线 PA 与 PB 的斜率乘积为________.

y0 y0 【解析】 设 P(x0,y0),则 kPA·PB= k · = x0+a x0-a 2 ? x0? b2?1-a2? 2 y0 b2 ? ? 2 2= 2 2 =- 2. a x0-a x0-a

b2 - 2 a

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? 探究点三 陌生与熟悉的转化

化陌生为熟悉,即当我们面临一个没有接触过的问题时, 要设法把它转化为曾经解过的或比较熟悉的题目, 以便充分利 用已有知识、 经验或解题模式解出原题. 一般来说对题目的熟 悉程度取决于对题目自身结构的认识和理解.常用转化途径 有: (1)充分联想、回忆基本知识和题型; (2)全方位、多角度地分析题意; (3)恰当构造辅助元素.
例3 若关于 x 的方程 x4+ax3+ax2+ax+1=0 有实数根,求实数 a 的取值范围.

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【分析】 本题方程中 x 的最高次为四次,直接处理较难,可以考 虑方程两边同时除以 x4,再通过换元化成二次方程处理,就容易多了. ? 2 1? ? 1? 4 3 2 【解答】 由 x +ax +ax +ax+1=0 得?x +x2?+a?x+x?+a=0, ? ? ? ? ? ? 1 ?2 1? 即?x+x? +a?x+x?+a-2=0, ? ? ? ? 1 令 t=x+x(t∈(-∞,-2]∪[2,+∞)), 则函数 f(t)=t2+at+a-2 在 t∈(-∞,-2]∪[2,+∞)上有零点, 因为 Δ=a2-4a+8>0 恒成立, ?-a<-2, ?-a>2, ? ? 2 所以 f(-2)≤0 或 f(2)≤0 或? 或? 2 ?f?2?>0 ?f?-2?>0, ? ? ? 2? 解得 a∈?-∞,-3?∪[2,+∞). ? ?

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设 x,y 为正实数,a= x2+xy+y2,b=p xy, c=x+y. (1)如果 p=1,则是否存在以 a,b,c 为三边长的三角形? 请说明理由; (2)对任意的正实数 x,y,试探索当存在以 a,b,c 为三边 长的三角形时 p 的取值范围.
【解答】 (1)存在;∵x+y+ x2+xy+y2> xy显然成立, xy 2 2 且 x+y- x +xy+y = < xy, x+y+ x2+xy+y2 ?a+c>b, ? 由于 a<c,所以我们得到? 即 p=1 时,存在以 ?c-a<b, ? a,b,c 为三边长的三角形.

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?a+c>b, (2)∵a<c,∴若 a、b、c 构成三角形,只需? ?c-a<b, ?x+y+ x2+xy+y2>p xy, 即? 2 2 ?x+y- x +xy+y <p xy, ?f?t?>p, x 两边除以 xy,令 y=t,得? ?g?t?<p, 1 这里 f(t)= t+ + t 1 由于 f(t)= t+ + t 1 所以 g(t)= t+ - t 1 1 1 t+ t +1,g(t)= t+ - t+ t +1, t 1 t+ t +1≥2+ 2+1=2+ 3, 1 1 t+ t +1= ≤2- 3,当且仅当 t=1 时, 1 1 t+ + t+ t +1 t

f(t)取最小值 2+ 3,g(t)取最大值 2- 3. 因此 p 的取值范围为 2- 3<p<2+ 3. 即 p 的取值范围为 2- 3<p<2+ 3时,以 a、b、c 为三边的三角形总存在.

专题三十 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.在数学操作中实施等价转化时,我们要遵循熟悉化、 简单化、直观化、标准化的原则,即(1)把我们遇到的问题通过 转化变成我们比较熟悉的问题来处理;(2)将较为繁琐、复杂的 问题变成比较简单的问题,比如从超越式到代数式、从无理式 到有理式、从分式到整式等;(3)将比较难以解决、比较抽象的 问题转化为比较直观的问题,以便准确把握问题的求解过程, 比如数形结合法;(4)从非标准型向标准型进行转化.按照这些 原则进行数学操作,转化过程省时省力,有如顺水推舟,经常 渗透等价转化思想,可以提高解题的水平和能力.

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2.转化有等价转化与非等价转化.等价转化要求转化过 程中前因后果是充分必要的, 才保证转化后的结果仍为原问题 的结果.非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必 要的修正(如无理方程化有理方程要求验根),它能给人带来思 维的闪光点,找到解决问题的突破口.我们在应用时一定要注 意转化的等价性与非等价性的不同要求, 实施等价转化时确保 其等价性,保证逻辑上的正确.

专题三十 │ 江苏真题剖析
江苏真题剖析
例 [2011· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2 =4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实 数 c 的取值范围是________.

【分析】 本题若直接从圆上找一点用点到直线距离公式建 立方程判断方程根的个数也可以求解.难度在于这样所得二元 方程很难进行研究.故本题进行等价转化,将到已知直线距离 为 1 的点转化为与已知直线平行的直线,再判断这条直线与圆 的位置关系,从而在计算上进行简化.

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【答案】 (-13,13) 【解析】 原命题等价于圆心(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的 |c| 距离小于 1,即 <1,故 c 的取值范围是(-13,13). 13

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?x-y-2≤0, ? 设实数 x,y 满足?x+2y-5≥0, ?y-2≤0, ? 范围是________.

y x 则 u=x- y 的取值

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? 8 3? ?- , ? 【解析】 由可行域得区域内的点与原点连线的 ? 3 2? ?1 ? ?1 ? y 斜率范围是?3,2?,故令 t=x,则 t∈?3,2?, ? ? ? ? ? 1 1 ?1 u=t- t ,根据函数 u=t- t 在 ?3,2? 上单调递增,得 u∈ ? ? ? 8 3? ?- , ?. ? 3 2?

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x2 y2 设 A1、A2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点,若 a b → PA → 在椭圆上存在异于 A1、A2 的点 P,使得PO· 2=0,其中 O 为坐 标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是________.

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? 2 ? , y)(x>0), ,1? 【解析】 由题设知∠OPA2=90° 设 P(x, 2 ? ? a? 2 a2 以 OA2 为直径的圆方程为 ?x-2? +y2 = ,与椭圆方程联立得 4 ? ? ? b2 ? 2 ?1- 2?x -ax+b2=0.由题设知,要求此方程在(0,a)上有实根, a? ? 1 a 2 1 ∵x=a 为其一根,则 a< ? <a,化简解得 e > ,所以 e 的 2 2 b2 ? ?1- 2? 2 a? ? ? 2 ? ? 取值范围为? ,1?. ? ? 2 ?

? ? ? ?


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