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福建省漳州市芗城中学高中数学 2.3.1离散型随机变量的均值(1)教案 新人教A版选修2-3


福建省漳州市芗城中学高中数学 2. 3. 1 离散型随机变量的均值 (1 ) 教案 新人教 A 版选修 2-3
课题: 第 课型: 新授课 编写时时间: 课时 总序第 执行时间: 个教案 年 月 日 年 月 日

教学目标: 知识与技能:了解离散型随机变量的均值或期望的意义,会根据离散型随机变 量的分布列求出均值或期望. 过程与方法:理解公式“E(aξ +b)=aEξ +b” ,以及“若ξ ? B(n,p) ,则 Eξ =np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值 或期望。 情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文 化功能与人文价值。 教学重点:离散型随机变量的均值或期望的概念 教学用具:多媒体、实物投影仪
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教学难点:根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望
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教学方法:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人 文价值。 教学过程: 一、复习引入: 1.随机变量: 2. 离散型随机变量: 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切 值,这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 5. 分布列:设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1,x2,?,x3,?,
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ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?)的概率为 P(? ? xi ) ? pi ,则称 表 ξ

P

x1 P1

x2 P2
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? ?

xi Pi

? ?

为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列 6. 分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,?; ⑵P1+P2+?=1. 7.离散型随机变量的二项分布: 如果在一次试验中某事件 发生的概率是 P, 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
k k n ?k (k=0,1,2,?,n, q ? 1 ? p ) . Pn (? ? k ) ? Cn p q ,

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ 0 1 ?

k
k k n?k Cn p q

? ?

n
n n 0 Cn p q

P

0 0 n Cn pq

1 1 n ?1 Cn pq

?

称 这 样 的随 机 变量 ξ

服 从 二 项分 布 ,记 作 ξ ~ B ( n , p ) ,其中 n , p 为
1

k k n?k 参数,并记 Cn p q =b(k;n,p).

二、讲解新课: 根据已知随机变量的分布列, 我们可以方便的得出随机变量的某些制定的 概率,但分布列的用途远不止于此,例如:已知某射手射击所得环数 ξ 的分布 列如下 ξ 4 5 6 7 8 9 10

P

0.02

0.04

0.06

0.09

0.28

0.29

0.22

在 n 次射击之前,可以根据这个分布列估计 n 次射击的 平均环数.这就是 我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望 根据射手射击所得环数 ξ 的分布列, 我们可以估计,在 n 次射击中,预计大约有
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P(? ? 4) ? n ? 0.02n P(? ? 5) ? n ? 0.04n
????

次得 4 环; 次得 5 环;

P(? ? 10) ? n ? 0.22n
故在 n 次射击的总环数大约为

次得 10 环.

4 ? 0.02 ? n ? 5 ? 0.04 ? n ? ? ? 10 ? 0.22 ? n

? (4 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? ? ? 10 ? 0.22) ? n ,
从而,预计 n 次射击的平均环数约为

4 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? ? ? 10 ? 0.22 ? 8.32 .
这是一个由射手射击所得环数的分布列得 到的,只与射击环数的可能取值 及其相应的概率有关的常数,它反映了射手射击的平均水平. 对于任一射手, 若已知其射击所得环数 ξ 的分布列, 即已知各个 P(? ? i ) (i=0,1,2,?,10) ,我们可以同样预计他任意 n 次射击的平均环数:

0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? ? ? 10 ? P(? ? 10) .
1. 均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ

x1 p1

x2 p2

? ?

xn pn

? ?

P

则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ? 为 ξ

的均值或数学期望,简称期

望. 2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机 变量取值的平均水平 3. 平均数、均值:一般地,在有限取值离散型随机变量 ξ 的概率分布中,
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2

令 p1 ? p2 ? ? ? pn , 则 有 p1 ? p2 ? ? ? p n ?

1 , E? ? ( x1 ? x2 ? ? n
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? xn ) ?

1 ,所以 ξ 的数学期望又称为平均数、均值 n

4. 均值或期望的一个性质:若 ? ? a? ? b (a、b 是常数),ξ 是随机变量, 则 η 也是随机变量,它们的分布列为 ξ η

x1

x2

? ? ?

xn

? ? ?

ax1 ? b
p1

ax2 ? b
p2

axn ? b
pn

P

于是 E? ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? ? ? (axn ? b) pn ? ? = a( x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ?) ? b( p1 ? p 2 ? ? ? pn ? ?) = aE? ? b , 由此,我们得到了期望的一个性质: E (a? ? b) ? aE? ? b 5.若ξ ? B(n,p) ,则 Eξ =np 证明如下: ∵ ∴
k k k k n ?k P(? ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k ? Cn pq , 0 0 n 1 1 n ?1 2 2 n?2 k k n?k E ? ? 0 × Cn p q + 1× Cn p q + 2 × Cn p q +?+k× Cn p q

n n 0 +?+n× Cn p q .

又∵

k kCn ?k?

n! n ? (n ? 1)! k ?1 ? ? nCn ?1 , k!(n ? k )! (k ? 1)![(n ? 1) ? (k ? 1)]!



1 1 n?2 0 0 n ?1 k ?1 k ?1 ( n?1)?( k ?1) E? ? np( Cn + Cn +?+ Cn +?+ q ?1 p q ?1 p ?1 p q

n ?1 n ?1 0 Cn q ) ? np( p ? q) n?1 ? np . ?1 p



若 ξ ~B(n,p),则 E? ? np.

三、讲解范例: 例 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分,已知 他 命中的概率为 0.7,求他罚球一次得分 ? 的期望
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解:因为 P(? ? 1) ? 0.7, P(? ? 0) ? 0.3 ,

3

所以 E? ? 1? 0.7 ? 0 ? 0.3 ? 0.7

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例 2. 一次单元测验由 20 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中有 且仅有一个选项是正确答案,每题选择正确答案得 5 分,不作出选择或选错不 得分,满分 100 分 学生甲选对任一题的概 率为 0.9,学生乙则在测验中对每题 都从 4 个选择中随机地选择一个, 求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩 的期望
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解:设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是 ? ,? , 则 ? ~ B(20,0.9),? ~ B(20,0.25) ,

? E? ? 20 ? 0.9 ? 18, E? ? 20 ? 0.25 ? 5

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由于答对每题得 5 分,学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是 5 ? 和 5?
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所以,他们在测验中的成绩的期望分别是:

E (5? ) ? 5E (? ) ? 5 ? 18 ? 90, E (5? ) ? 5E (? ) ? 5 ? 5 ? 25

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五、 小结 : (1) 离散型随机变量的期望, 反映了随机变量取值的平均水平; (2)求离散型随机变量 ξ 的期望的基本步骤:①理解 ξ 的意义,写出 ξ 可 能取的全部值;②求 ξ 取各个值的概率,写出分布列; ③根据分布列, 由期望的定义求出 Eξ 公式 E(aξ +b)= aEξ +b,以及服从二项分布的随 机变量的期望 Eξ =np
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教学后记: (1) 离散型随机变量的期望,反映了随机变量取值的平均水平; (2)求离散型随机变量 ξ 的期望的基本步骤: ①理解 ξ 的意义,写出 ξ 可能取的全部值; ②求 ξ 取各个值的概 率,写出分布列; ③根据分布列,由期望的定义求出 Eξ
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