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北京版(第01期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编:专题10 立体几何(解析版) Word版含解析


一.基础题组
1.【北京 101 中学 2014 届高三上学期 10 月阶段性考试数学试卷(理科) 】已知某几何体的三视图 (如图) ,其中俯视图和左视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形,主视图为直角梯形,则此几何体 的体积 V 的大小为( )

A.

35 3

B. 12

C.

/>
40 3

D. 16

2.【北京市海淀区 2013 届高三 5 月模拟】 某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面 积为( ) B. 240 C. 276 D. 300

A. 180

1

3.【北京市西城区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】对于直线 m , n 和平面 ? , ? , 使 m ? ? 成立的一个充分条件是( (A) m ? n , n ∥ ? (C) m ? ? , n ? ? , n ? ? ) (B) m ∥ ? , ? ? ? (D) m ? n , n ? ? , ? ? ?

2

考点:1.点线面的位置关系;2. 充分条件 4. 【北京市房山区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的表面积为( )

A. 9 ? 18 2

B. 18 ? 9 3

C. 18 ? 3 2

D. 9

5. 【北京市昌平区 2013 届高三第二次质量抽测数学试题(理科)】 已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图 如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是( )

3

A. 3

B. 2 5

C. 6

D. 8

6.【北京市东城区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科)】已知一个三棱锥的三视图 如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( )

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

A.1 【答案】D 【解析】

B.2

C.3

D.4

试题分析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示(图中红色部分) ,利 用长方体模型可知,此三棱锥的四个面中,全部是直角三角形.故选 D.

4

考点:三视图; 7.【北京市朝阳区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科) 】某三棱锥的三视图如图所 示,则该三棱锥的体积为( )

A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D. 1

5

考点:1.三视图;2.几何体的体积. 8.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考(二)数学试题(理科) 】已知底面为正方 形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )

【答案】 C 【解析】 试题分析:由题意可知当四棱锥的直观图为,它的三视图是,选 C.

考点:三视图 9.【北京市顺义区 2013 年高考数学二模试卷(理科)】一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的

6

表面积为 92m2,则 h ?

m.

10.【北京市顺义区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】一个几何体的三视图如图所示, 若该几何体的表面积为 92m ,则 h ? ______ m .
2

【答案】 4 . 【解析】

7

试题分析:由三视图知,该几何体是一个四棱柱,且底面为直角题型,直角梯形的斜腰长为

二.能力题组
1. 【北京市海淀区 2013 届高三 5 月模拟】 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 , 若动点 P 在线段 BD1 上运动,则 DC ? AP 的取值范围是______________.

???? ??? ?

考点:空间向量的数量积运算. 2.【北京市丰台区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题(理科) 】如图(1),等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4,点 D 在线段 AC 上, DE ? AB 于 E,现将△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图 (2) ).

8

(Ⅰ)求证:PB ? DE; (Ⅱ)若 PE ? BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30° ,求 PE 的长.

图(1)

图(2)

?设 PE=a,则 B(0,4-a ,0),D(a,0,0),C(2,2-a,0),P(0,0,a),……………………7 分
??? ? ??? ? PB ? (0, 4 ? a, ?a) , BC ? (2, ?2, 0) ,……………………8 分
设面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,

9

?? ? ?(4 ? a ) y ? az ? 0, 令 y ? 1, ? n ? (1,1, 4 ? a ) , …………10 分 ?? a ? 2 x ? 2 y ? 0,

…………….10 分

3. 【北京市顺义区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题 (理科) 】 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? 1 , E 为 CD 的中点, F 为 AA1 的中点.

(I)求证: AD1 ? 平面 A1 B1 E ; (II)求证: DF // 平面 AB1 E ; (III)若二面角 A ? B1 E ? A1 的大小为 45 ? ,求 AB 的长.

10

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析; (III) AB ? 1. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明 AD1 ? 平面 A1 B1 E ,就是证明 AD1 ? 平面 A1 B1CD ,只需证明 AD1 与平面

(III)如图,以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 AB ? a ,

11

因为二面角 A ? B1 E ? A1 的大小为 45 ? ,

12

所以 cos ? ? cos 45 ,即
?

3a 2 2 1? 5a 2 4

?

2 , 2

解得 a ? 1 , 即 AB 的长为 1.……………………………………………………………14 分 考点:直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角、空间向量

三.拔高题组
1.【北京市朝阳区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科) 】点 P 是棱长为 1 的正方体

ABCD ? A1B1C1D1 的底面 A1 B1C1D1 上一点,则 PA ? PC1 的取值范围是(
A. [?1, ? ] 【答案】D 【解析】 试题分析:如图所示建立空间直角坐标系.

)

1 4

B. [? , ? ]

1 2

1 4

C. [?1, 0]

D. [ ?

1 , 0] 2

则 A(1, 0,1), C1 (0,1, 0) 设 P( x, y,0) ,其中 0 ? x, y ? 1。则 PA ? (1 ? x, ? y,1), PC1 ? (? x,1 ? y , 0), 所
2 2 以 PA ? PC1 ? (1 ? x, ? y,1) ? (? x,1 ? y, 0) ? ( x ? ) ? ( y ? ) ?

??? ?

???? ?

??? ? ???? ?

1 2

1 2

1 1 2 1 2 , 因为 ( x ? ) ? ( y ? ) 的几何 2 2 2

意义是平面区域 ?

?0 ? x ? 1 1 1 1 1 2 1 2 到点 ( , ) 的距离的平方,所以当 x ? y ? 时, ( x ? ) ? ( y ? ) 有 2 2 2 2 2 ?0 ? y ? 1

13

1 1 2 2 1 1 1 1 1 所以 ? ? ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? ? 0 ,即 PA ? PC1 的取值范围是 [ ? , 0] ,选 D. 2 2 2 2 2
考点:1.点线面的位置关系;2.线性规划

最小为 0, 当 x ? y ? 0 或 x ? y ? 1 或 x ? 1, y ? 0 或 x ? 0, y ? 1 时 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 有最大值

1 , 2

2. 【北京 101 中学 2014 届高三上学期 10 月阶段性考试数学试卷 (理科) 】 如图所示, 正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直, AB ? 2 AD ? 2 ,点 E 为 AB 的中点.

(1)求证: BD1 ∥平面 A1 DE ; (2)求证: D1 E ? A1 D ; (3) 在线段 AB 上是否存在点 M , 使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 长;若不存在,请说明理由.

? ?若存在, 求出 AM 的 6

14

(2)因为正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直,所以 AD1 ? A1 D , AE ? A1 D , 而 AD1 ? AE ? A ,所以 A1 D ? 平面 A1 DE ,又 D1 E ? 平面 A1 DE ,所以 D1 E ? A1 D .

3. 【北京市西城区 2013 年高三二模试卷 (理科) 】 如图 1, 四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 底面 ABCD , 面 ABCD 是直角梯形, M 为侧棱 PD 上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图 2 所示. (Ⅰ)证明: BC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)证明: AM ∥平面 PBC ; (Ⅲ)线段 CD 上是否存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 合要求的点 N ,并求 CN 的长;若不存在,说明理由.

3 ?若存在,找到所有符 4

15

(Ⅰ)证明:由俯视图可得, BD ? BC ? CD ,
2 2 2

所以 BC ? BD .

………………1 分

又因为 PD ? 平面 ABCD , 所以 BC ? PD , 所以 BC ? 平面 PBD . (Ⅱ)证明:取 PC 上一点 Q ,使 PQ : PC ? 1: 4 ,连结 MQ , BQ . 由左视图知 PM : PD ? 1 : 4 ,所以 MQ ∥ CD , MQ ?
? ?

………………3 分 ………………4 分 ………………5 分 ………………6 分

1 CD . 4

在△ BCD 中,易得 ?CDB ? 60 ,所以 ?ADB ? 30 .又 BD ? 2 , 所以 AB ? 1 ,

16

故点 N 位于 D 点处,此时 CN ? 4 ;或 CD 中点处,此时 CN ? 2 ,有 AM 与 BN 所成角的余弦值 为

3 . 4

………………14 分

【方法二】

17

(Ⅲ)解:线段 CD 上存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 设 N (0, t ,0) ,其中 0 ? t ? 4 . 所以 AM ? (? 3 ,0,3) , BN ? (? 3, t ? 1,0) . 要使 AM 与 BN 所成角的余弦值为

3 .证明如下:………10 分 4
………………11 分

| AM ? BN | 3 3 ? ,则有 , ………………12 分 4 4 | AM | ? | BN |

18

所以

|3| 2 3 ? 3 ? (t ? 1)
2

?

3 ,解得 t ? 0 或 2 ,均适合 0 ? t ? 4 . 4

………………13 分

故点 N 位于 D 点处,此时 CN ? 4 ;或 CD 中点处,此时 CN ? 2 ,有 AM 与 BN 所成角的 余弦值为

3 . 4

………………14 分

考点:1.空间直角坐标系的建立,线垂直面;2.线面平行;利用数量积公式. 4. 【 北 京 市 顺 义 区 2013 年 高 考 数 学 二 模 试 卷 ( 理 科 ) 】 如 图 , 在 长 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? 1, E 为 CD 的中点, F 为 AA1 的中点. (I)求证: AD1 ? 平面 A1 B1 E ; (II)求证: DF // 平面 AB1 E ; (III)若二面角 A ? B1 E ? A1 的大小为 45 ? ,求 AB 的长.

【答案】(I)详见解析; (II)详见解析; (III) AB ? 1 . 【解析】 试题分析:(I)证明:在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 因为 A1 B1 ? 平面 A1 ADD1 , 所以 A1 B1 ? AD1 .

19

(III)如图,以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 AB ? a ,

20

设 AD1 与 n 所成的角为 ? ,则

21

考点:1.线面垂直;2.线面平行;3.空间直角坐标系的建立;4.利用数量积公式. 5.【北京市昌平区 2013 届高三第二次质量抽测数学试题(理科)】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底 面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且 PA ? PD ?

2 AD , E 、 F 分别为 2

PC 、 BD 的中点.

(Ⅰ) 求证: EF //平面 PAD ; (Ⅱ) 求证:面 PAB ? 平面 PDC ; (Ⅲ) 在线段 AB 上是否存在点 G , 使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为 【答案】(I)详见解析; (II)详见解析; (III)存在点 G (1, ,0) . 【解析】 试题分析:(Ⅰ)证明:连结 AC ? BD ? F ,

1 ?说明理由. 3

1 2

ABCD 为正方形, F 为 AC 中点,

22

23

6.【北京市东城区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科)】如图, △BCD 是等边三角 形, AB ? AD , ?BAD ? 90? ,将 △BCD 沿 BD 折叠到 △BC ?D 的位置,使得 AD ? C?B . ⑴ 求证: AD ? AC? ; ⑵ 若 M , N 分别是 BD , C?B 的中点,求二面角 N ? AM ? B 的余弦值.

24

(Ⅱ)因为△ BCD 是等边三角形,

AB ? AD , ?BAD ? 90? ,
不防设 AB ? 1 ,则 BC ? CD ? BD ? 2 , 又因为 M , N 分别为 BD , C ' B 的中点, 由此以 A 为原点, AB , AD , AC ' 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 A ? xyz .

25

考点:1.线线垂直;2.空间直角坐标系的建立;3.利用数量积公式. 7.【北京市朝阳区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题(理科) 】如图,四边形 ABCD 是 正方形, EA ? 平面 ABCD , EA // PD , AD ? PD ? 2EA ? 2 , F , G , H 分别为 PB , EB ,

26

PC 的中点.
(Ⅰ)求证: FG //平面 PED ; (Ⅱ)求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小; (Ⅲ)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使直线 FM 与直线 PA 所成的角为 60 ?若存在,求出线段
?

PM 的长;若不存在,请说明理由.

如图,建立空间直角坐标系,

27

因为 AD ? PD ? 2EA ? 2 , 所以 D ? 0, 0, 0 ? , P ? 0, 0, 2 ? , A ? 2, 0, 0 ? , C ? 0, 2, 0 ? , B ? 2, 2, 0 ? , E (2, 0,1) .………5 分 因为 F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点,

所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为

? . 4

…………9 分

28

所以在线段 PC 上存在一点 M ,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 ,此时

?

PM ?

5 2 .…………14 分 4

考点:1.线面平行;2.空间直角坐标系的建立;3.二面角求解. 8. 【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考 (二) 数学试题 (理科) 】 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面ABCD ,AB ? 1 ,BC ? 2 ,PD ? 的中点. (1)求证: AD ? PC ; (2)求证: FG // 平面 BCP ; (3)线段 AD 上是否存在一点 R ,使得平面 BPR ? 平面 PCB ,若存在,求出 AR 的长;若不存 在,请说明理由.

3, G、F 分别为 AP、CD

29

(2)证明:取 BP中点 H ,连接 GH , CH

30

(3) ? PD ?平面ABCD ,以 D 为坐标原点,以 DA, DC , DP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、

z 轴建立空间直角坐标系,

31

令 y1 ?

3

n1 ? (0, 3 ,1)

9. 【北京市房山区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题 (理科) 】 如图, ABCD 是正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE , DE ? DA ? 3 AF . (Ⅰ) 求证: AC ? BE ; (Ⅱ) 求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (Ⅲ)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置,使得 AM // 平面 BEF ,证明你的 结论.

【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】

7 ; (Ⅲ)详见解析 14

试题分析:(Ⅰ)证明: 因为 DE ? 平面 ABCD ,所以 DE ? AC .……………………1 分 因为 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD , 所以 AC ? 平面 BDE , 从而 AC ? BE ……………………4 分

32

(Ⅱ)解:因为 DA, DC , DE 两两垂直, 所以建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示. …………5 分

(Ⅲ)解:点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M (t , t , 0) (0 ? t ? 3 2) . 则 AM ? (t ? 3, t , 0) , 因为 AM // 平面 BEF ,

???? ?

33

所以 AM ? n ? 0 , 即 2(t ? 3) ? t ? 0 ,解得 t ? 2 . 此时,点 M 坐标为 (2, 2, 0) , BM ?

???? ?

……………11 分 ……………13 分

1 BD ,符合题意. 3

……………14 分

考点:1.线线垂直;2.二面角 3.空间直角坐标系的建立;4.空间向量. 10.【北京市海淀区 2013 届高三 5 月模拟】如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90? ,

?CAB ? 30? , BC ? 2 , AD ? 4 . 把 ?DAC 沿对角线 AC 折起到 ?PAC 的位置,如图 2 所示,
使得点 P 在平面 ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上,连接 PB , 点 E , F 分别为线段

PA, AB的中点.
(I)求证:平面 EFH / / 平面 PBC ; (II)求直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值; (III)在棱 PA 上是否存在一点 M ,使得 M 到点 P, H , A, F 四点的距离相等?请说明理由.

34

同理可证 EF / / PB 又 HE ? EF ? E, CP ? PB ? P 所以 EFH / / PBC 平面 PBC (II)在平面 ABC 内过 H 作 AC 的垂线 如图建立空间直角坐标系, …………………5 分

则 A(0, ?2,0) , P(0,0,2 3) , B( 3,1,0)
???? 因为 E (0, ?1, 3) , HE ? (0, ?1, 3)

…………………6 分

35

36


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