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2014年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)


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2014 年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2014?青岛一模)若集合 A={x|0≤x≤2},B={x|x >1},则 A∩ B=( A.{x|0≤x≤1} B.{x|x>0 或 x<﹣1} C.{x|1<x≤2} D.{x|0<x≤2}
2



2. (5 分) (2014?九江三模)已知向量

, =(3,m) ,m∈R,则“m=﹣6”是“



的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分) (2015?广东模拟)如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重

量的中位数为( ) A.11 B.11.5 C.12

D.12.5 =1 的渐近线方程为( x D.y=± x ) )

4. (5 分) (2014?枣庄一模)双曲线 A.y=± x B.y=± x C.y=±

5. (5 分) (2015?广东模拟)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是(

A.5

B.7

C.9

D.11 图象的一条对称轴方程可以为( D.x=π )

6. (5 分) (2014?枣庄一模)函数 A. B. C.

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www.jyeoo.com 7. (5 分) (2014?赣州二模)过点 P(1, |AB|=( ) A. B.2 C. D.4

)作圆 O:x +y =1 的两条切线,切点分别为 A 和 B,则弦长

2

2

8. (5 分) (2014?枣庄一模)已知实数 x,y 满足约束条件

,则

的最小值是(



A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1 9. (5 分) (2014?枣庄一模)由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图形的面积为( A. B.2﹣ln3 C.4+ln3 D.4﹣ln3



10. (5 分) (2014?枣庄一模)在实数集 R 中定义一种运算“*”,对任意 a,b∈R,a*b 为唯一确定的实数, 且具有性质: (1)对任意 a∈R,a*0=a; (2)对任意 a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0) . 关于函数 f(x)=(e )*
x

的性质,有如下说法:

① 函数 f(x)的最小值为 3;② 函数 f(x)为偶函数;③ 函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0]. 其中所有正确说法的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分) (2014?枣庄一模)已知 (a,b∈R) ,其中 i 为虚数单位,则 a+b= _________ .

12. (5 分) (2014?许昌三模)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) ,若 P(ξ>1)=a,a 为常数,则 P (﹣1≤ξ≤0)= _________ .

13. (5 分) (2014?大庆三模)二项式(

) 的展开式中,常数项为 _________ .

6

14. (5 分) (2014?枣庄一模)如图所示是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为 _________ ;

15. (5 分) (2014?枣庄一模)已知函数

,g(x)=|x﹣k|+|x﹣1|,若对任意的

x1,x2∈R,都有 f(x1)≤g(x2)成立,则实数 k 的取值范围为 _________ .
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www.jyeoo.com 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分) (2014?枣庄一模)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 2cosAcosC(tanAtanC ﹣1)=1. (Ⅰ )求 B 的大小; (Ⅱ )若 , ,求△ ABC 的面积.

17. (12 分) (2014?枣庄一模)2013 年 6 月“神舟”发射成功.这次发射过程共有四个值得关注的环节,即 发射、实验、授课、返回.据统计,由于时间关系,某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为 、 、 、 ,并且各个环节的直播收看互不影响. (Ⅰ )现有该班甲、乙、丙三名同学,求这 3 名同学至少有 2 名同学收看发射直播的概率; (Ⅱ )若用 X 表示该班某一位同学收看的环节数,求 X 的分布列与期望. 18. (12 分) (2014?枣庄一模) 如图几何体中, 四边形 ABCD 为矩形, AB=2BC=4, BF=CF=AE=DE, EF=2, EF∥ AB,AF⊥ CF. (Ⅰ )若 G 为 FC 的中点,证明:AF∥ 面 BDG; (Ⅱ )求二面角 A﹣BF﹣C 的余弦值.

19. (12 分) (2014?枣庄一模)已知{an}是等差数列,首项 a1=3,前 n 项和为 Sn.令 ,{cn}的前 20 项和 T20=330.数列{bn}是公比为 q 的等比数列,前 n 项和 为 Wn,且 b1=2,q =a9. (Ⅰ )求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ )证明: . , 其一个焦点在抛物线 C2: y =2px
2 3

20. (13 分) (2014?枣庄一模) 已知椭圆 C1 的中心为原点 O, 离心率

的准线上,若抛物线 C2 与直线 相切. (Ⅰ )求该椭圆的标准方程; (Ⅱ )当点 Q(u,v)在椭圆 C1 上运动时,设动点 P(2v﹣u,u+v)的运动轨迹为 C3.若点 T 满足: ,其中 M,N 是 C3 上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ,试说明:是否存在两

个定点 F1,F2,使得|TF1|+|TF2|为定值?若存在,求 F1,F2 的坐标;若不存在,说明理由. x 21. (14 分) (2014?潍坊模拟)已知函数 f(x)=ax+lnx,函数 g(x)的导函数 g′ (x)=e ,且 g(0)g′ (1)=e,其中 e 为自然对数的底数. (Ⅰ )求 f(x)的极值; (Ⅱ )若?x∈(0,+∞) ,使得不等式 成立,试求实数 m 的取值范围;

(Ⅲ )当 a=0 时,对于?x∈(0,+∞) ,求证:f(x)<g(x)﹣2.

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2014 年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分) (2014?青岛一模)若集合 A={x|0≤x≤2},B={x|x >1},则 A∩ B=( ) {x|0 ≤ x ≤ 1} A. B.{x|x>0 或 x<﹣1} C.{x|1<x≤2} D.{x|0<x≤2} 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 集合. 求出集合 B 中不等式的解集,找出 A 与 B 的公共部分即可确定出交集.
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解:∵ x >1 解得:x>1 或 x<﹣1, ∴ B={x|x>1 或 x<﹣1}, ∵ A={x|0≤x≤2}, ∴ A∩ B={x|1<x≤2}. 故选:C 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练交集的定义是解本题的关键.

2

2. (5 分) (2014?九江三模)已知向量 A.充要条件 C. 必要不充分条件

, = (3,m) ,m∈R,则“m=﹣6”是“ B. 充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

”的 (



考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 ?﹣1×(2+m)﹣2×2=0,即可得出.
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解答:

解: 由

=(﹣1,2)+(3,m)=(2,2+m) . ?﹣1×(2+m)﹣2×2=0,?m=﹣6. ”的充要条件.

因此“m=﹣6”是“

故选:A. 点评: 本题考查了向量的共线定理、充要条件,属于基础题.

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www.jyeoo.com 3. (5 分) (2015?广东模拟)如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位

数为( A.11 考点: 专题: 分析: 解答:

) B.11.5 C.12 D.12.5

众数、中位数、平均数. 概率与统计. 由题意,0.06×5+x×0.1=0.5,所以 x 为 2,所以由图可估计样本重量的中位数. 解:由题意,0.06×5+x×0.1=0.5,所以 x 为 2,所以由图可估计样本重量的中位数是 12. 故选:C. 点评: 本题考查频率分布直方图,考查样本重量的中位数,考查学生的读图能力,属于基础题.
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4. (5 分) (2014?枣庄一模)双曲线 A. y=± x B. y=± x

=1 的渐近线方程为( C. y=± x

) D. y=±

x

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 在双曲线的标准方程中,利用渐近线方程的概念直接求解. 解答:
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解:双曲线

的渐近线方程为:

, 整理,得 4y =5x , 解得 y=± x.
2 2

故选:B. 点评: 本题考查双曲线的标准方程的求法,是基础题,解题时要熟练掌握双曲线的简单性质. 5. (5 分) (2015?广东模拟)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )

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A .5 考点: 专题: 分析: 解答:

B.7

C .9

D.11

程序框图. 空间位置关系与距离. 根据框图的流程依次计算运行的结果,直到不满足条件 S<20,计算输出 k 的值. 解:由程序框图知:第一次运行 S=1+2=3,k=1+2=3; 第二次运行 S=1+2+6=9.k=3+2=5; 第三次运行 S=1+2+6+10=19,k=5+2=7; 第四次运行 S=1+2+6+10+14=33,k=7+2=9; 此时不满足条件 S<20,程序运行终止,输出 k=9. 故选:C. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法.
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6. (5 分) (2014?枣庄一模)函数 A. B.

图象的一条对称轴方程可以为( C.



D.x=π

考点: 二倍角的余弦;余弦函数的图象. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 先利用二倍角公式化简,再利用三角函数的性质,可得结论. 解答: 解: = = ,
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令 2x=kπ,∴ x= ∴ 函数

(k∈Z) , 图象的一条对称轴方程可以为 x=π.

故选:D. 点评: 本题考查二倍角公式、考查三角函数的性质,周期化简是关键. 7. (5 分) (2014?赣州二模) 过点 P (1, A. B.2 ) 作圆 O: x +y =1 的两条切线, 切点分别为 A 和 B, 则弦长|AB|= ( C. D.4
2 2



考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由圆的方程找出圆心坐标和半径 r,确定出|OA|与|OB|的长,由切线的性质得到 OA 与 AP 垂直,OB 与 PB 垂直,且切线长相等,由 P 与 O 的坐标,利用两点间的距离公式求出|OP|的长,在直角三角形 AOP 中,利 用勾股定理求出|AP|的长,同时得到∠ APO=30°,确定出三角形 APB 为等边三角形,由等边三角形的边长相
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www.jyeoo.com 等得到|AB|=|OP|,可得出|AB|的长. 2 2 解答: 解:由圆的方程 x +y =1,得到圆心 O(0,0) ,半径 r=1, ∴ |OA|=|OB|=1, ∵ PA、PB 分别为圆的切线, ∴ OA⊥ AP,OB⊥ PB,|PA|=|PB|,OP 为∠ APB 的平分线, ∵ P(1, ) ,O(0,0) , ∴ |OP|=2, 在 Rt△ AOP 中,根据勾股定理得:|AP|= ∵ |OA|= |OP|,∴ ∠ APO=30°, ∴ ∠ APB=60°, ∴ △ PAB 为等边三角形, ∴ |AB|=|AP|= . 故选 A. 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系,直线与圆的位置关系由 d 与 r 的大小关系确定,当 d>r 时,直线与圆相 离;当 d=r 时,直线与圆相切;当 d<r 时,直线与圆相交(d 表示圆心到直线的距离,r 表示圆的半径) . = ,

8. (5 分) (2014?枣庄一模)已知实数 x,y 满足约束条件

,则

的最小值是(



A.﹣2

B.2

C.﹣1

D.1

考点: 简单线性规划. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义为点(x,y)到定点 A(0,﹣1)之间的斜率,即可得 到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图:
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的几何意义是区域内的点 P(x,y)到定点 A(0,﹣1)之间的斜率, 由图象可知当 P 位于点 D(1,0)时, 直线 AP 的斜率最小, 此时 故选:D. 的最小值为 ,

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义以及两点间的斜率公式是解决本题的关键. 9. (5 分) (2014?枣庄一模)由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图形的面积为( ) A. B.2﹣ln3 C.4+ln3 D.4﹣ln3

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www.jyeoo.com 考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 分析: 由题意利用定积分的几何意义知, 欲求由曲线 xy=1, 直线 y=x, y=3 所围成的平面图形的面积曲边梯形 ABD 的面积与直角三角形 BCD 的面积,再计算定积分即可求得. 解答: 解:根据利用定积分的几何意义,得: 由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图形的面积:
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S=

(3﹣ )dx+

=(3x﹣lnx) =3﹣ln3﹣1+2 =4﹣ln3. 故选 D.

+2

点评: 本题主要考查定积分求面积.用定积分求面积时,要注意明确被积函数和积分区间,属于基本运算. 10. (5 分) (2014?枣庄一模)在实数集 R 中定义一种运算“*”,对任意 a,b∈R,a*b 为唯一确定的实数,且具有性 质: (1)对任意 a∈R,a*0=a; (2)对任意 a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0) . 关于函数 f(x)=(e )*
x

的性质,有如下说法:

① 函数 f(x)的最小值为 3;② 函数 f(x)为偶函数;③ 函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0]. 其中所有正确说法的个数为( ) A .0 B.1 C .2 D.3 考点: 专题: 分析: 解答: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 综合题;新定义;函数的性质及应用. 根据新定义的运算表示出 f(x)的解析式,然后逐项研究函数的性质即可作出判断.
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解:由定义的运算知,f(x)=)=(e )*
x

x

=

=1+e +

x



① f(x)=1+e + ∴ f(x)的最大值为 3,故① 正确;

=3,当且仅当

,即 x=0 时取等号,

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www.jyeoo.com ② ∵ f(﹣x)=1+ =1+ =f(x) ,

∴ f(x)为偶函数,故② 正确; ③ f'(x)= = ,

当 x≤0 时,f′ (x)=

≤0,

∴ f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,故③ 错误. 故正确说法的个数是 2, 故选 C. 点评: 本题是一个新定义运算型问题,考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决 问题的能力.本题的关键是对 f(x)的化简. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分) (2014?枣庄一模)已知 (a,b∈R) ,其中 i 为虚数单位,则 a+b= 1 .

考点: 复数相等的充要条件. 专题: 计算题;数系的扩充和复数. 分析: 先对等式化简,然后根据复数相等的充要条件可得关于 a,b 的方程组,解出可得. 解答: 解: ,即 =2﹣ai=b+i,
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由复数相等的条件, 得 ,解得 ,

∴ a+b=1, 故答案为:1. 点评: 本题考查复数相等的充要条件,属基础题,正确理解复数相等的条件是解题关键. 12. (5 分) (2014?许昌三模)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) ,若 P(ξ>1)=a,a 为常数,则 P(﹣1≤ξ≤0) = .

考点: 专题: 分析: 解答:

正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 计算题;概率与统计. 随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) ,得到曲线关于 x=0 对称,根据曲线的对称性及概率的性质得到结果. 解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) , ∴ 曲线关于 x=0 对称, ∴ P(ξ<﹣1)=P(ξ>1)=a,
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∴ 则 P(﹣1≤ξ≤0)= 故答案为: .



点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查概率的性质,是一个基础题.

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www.jyeoo.com 13. (5 分) (2014?大庆三模)二项式( ) 的展开式中,常数项为 15 .
6

考点: 专题: 分析: 解答:

二项式系数的性质. 计算题. 先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于零求得 r 的值,即可求得常数项.
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解:二项式(

) 的展开式中通项公式为 Tr+1= =15,

6

?x

6﹣r

?x

﹣2r

=

?x

6﹣3r



令 6﹣3r=0,可得 r=2,故展开式的常数项为

故答案为 15. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题. 14. (5 分) (2014?枣庄一模)如图所示是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为 4 ;

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图判断几何体有两部分组成,左边部分是四棱锥,且四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,高为 2; 右边部分是三棱锥,且三棱锥的高为 2,底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形,把数据代入棱锥的体积公 式计算. 解答: 解:由三视图知几何体的左边部分是四棱锥,且四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,高为 2; 几何体的右边部分是三棱锥,且三棱锥的高为 2,底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形, 其直观图如图:
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∴ 几何体的体积 V= ×2 ×2+ × ×2×2×2=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关 键.

2

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www.jyeoo.com ,g(x)=|x﹣k|+|x﹣1|,若对任意的 x1,x2∈R,

15. (5 分) (2014?枣庄一模)已知函数

都有 f(x1)≤g(x2)成立,则实数 k 的取值范围为





考点: 分段函数的应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析:
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求出函数

的最大值为 ,g(x)=|x﹣k|+|x﹣1|的最小值为|1﹣k|,可得 ≤|1﹣k|,

即可求出实数 k 的取值范围. 解答: 解:由题意函数 的最大值为 ,g(x)=|x﹣k|+|x﹣1|的最小值为|1﹣k|,

∵ 对任意的 x1,x2∈R,都有 f(x1)≤g(x2)成立, ∴ ≤|1﹣k|, ∴ 或 . 或 .

故答案为:

点评: 本题考查分段函数的应用,考查函数的最值,确定函数的最值是关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分) (2014?枣庄一模)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 2cosAcosC(tanAtanC﹣1)=1. (Ⅰ )求 B 的大小; (Ⅱ )若 , ,求△ ABC 的面积.

考点: 余弦定理;三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ ) 已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦, 去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简, 再由诱导公式变形求出 cosB 的值,即可确定出 B 的大小; (Ⅱ )由 cosB,b 的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将 a+b 以及 b 的值代入求出 ac 的值,再由 cosB 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积. 解答: 解: (Ⅰ )由 2cosAcosC(tanAtanC﹣1)=1 得:2cosAcosC( ﹣1)=1,
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∴ 2(sinAsinC﹣cosAcosC)=1,即 cos(A+C)=﹣ , ∴ cosB=﹣cos(A+C)= , 又 0<B<π, ∴ B= ;

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www.jyeoo.com (Ⅱ )由余弦定理得:cosB= = ,



= , ,b= ,

又 a+c=

∴ ﹣2ac﹣3=ac,即 ac= , ∴ S△ABC= acsinB= × × = .

点评: 此题考查了余弦定理,三角形面积公式,两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 17. (12 分) (2014?枣庄一模)2013 年 6 月“神舟”发射成功.这次发射过程共有四个值得关注的环节,即发射、实 验、授课、返回.据统计,由于时间关系,某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为 、 、 、 ,并且 各个环节的直播收看互不影响. (Ⅰ )现有该班甲、乙、丙三名同学,求这 3 名同学至少有 2 名同学收看发射直播的概率; (Ⅱ )若用 X 表示该班某一位同学收看的环节数,求 X 的分布列与期望. 考离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式. 点 : 专概率与统计. 题 : 分(Ⅰ )设“这 3 名同学至少有 2 名同学收看发射直播”为事件 A,利用 n 次重复独立试验中事件 A 恰好发生 k 次的 析概率公式能求出这 3 名同学至少有 2 名同学收看发射直播的概率. :(Ⅱ )由已知条件知 X 可能取值为 0,1,2,3,4.分别求出 P(X=0) ,P(X=1) ,P(X=2) ,P(X=3) ,P(X=4) , 由此能求出 X 的分布列和数学期望. 解解: (Ⅰ )设“这 3 名同学至少有 2 名同学收看发射直播”为事件 A, 答 则 .…(4 分) : (Ⅱ )由条件可知 X 可能取值为 0,1,2,3,4.
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; ∴ X 的分布列 X 0 P …(10 分) X 的期望 .…(12 分)

1

2

3

4

点本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,解题时要注意 n 次重复独立试验中事件 评A 恰好发生 k 次的概率公式的灵活运用. : 18. (12 分) (2014?枣庄一模) 如图几何体中, 四边形 ABCD 为矩形, AB=2BC=4, BF=CF=AE=DE, EF=2, EF∥ AB, AF⊥ CF. (Ⅰ )若 G 为 FC 的中点,证明:AF∥ 面 BDG; (Ⅱ )求二面角 A﹣BF﹣C 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )连接 AC 交 BD 于 O 点,利用三角形中位线定理得到 OG∥ AF,由此能证明 AF∥ 面 BDG. (Ⅱ )以 P 为原点,PF 为 z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 A﹣BF﹣C 的余弦值. 解答: (Ⅰ )证明:连接 AC 交 BD 于 O 点,则 O 为 AC 的中点, 连接 OG,因为点 G 为 FC 中点,所以 OG 为△ AFC 的中位线, 所以 OG∥ AF…(2 分) ∵ AF?面 BDG,OG?面 BDG, 所以 AF∥ 面 BDG.…(4 分) (Ⅱ )解:取 AD 中点 M,BC 的中点 Q,连接 MQ, 则 MQ∥ AB∥ EF,所以 MQFE 共面, 作 FP⊥ MQ 于 P,EN⊥ MQ 于 N,则 EN∥ FP 且 EN=FP, ∵ AE=DE=BF=CF,AD=BC,∴ △ ADE 和△ BCF 全等, ∴ EM=FQ,∴ △ ENM 和△ FPQ 全等, ∴ MN=PQ=1∵ BF=CF,Q 为 BC 中点,∴ BC⊥ FQ, 又 BC⊥ MQ,FQ∩ MQ=Q,∴ BC⊥ 面 MQFE, ∴ PF⊥ BC,∴ PF⊥ 面 ABCD,…(6 分) 以 P 为原点,PF 为 z 轴建立空间直角坐标系如图所示, 则 A(3,1,0) ,B(﹣1,1,0) ,C(﹣1,﹣1,0) ,
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www.jyeoo.com 设 F(0,0,h) ,则 ∵ AF⊥ CF,∴ 设面 ABF 的法向量 ∵ , , , ,

∴ 由 令 z1=1,得 设面 CBF 的法向量 ∵ , …(8 分)



, ,

∴ 由 令 z2=1,得

, …(10 分)

∴ 设二面角 A﹣BF﹣C 的平面角为 θ, 则 .…(12 分)

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运 用.

19. (12 分) (2014?枣庄一模) 已知{an}是等差数列, 首项 a1=3, 前 n 项和为 Sn. 令 {cn}的前 20 项和 T20=330.数列{bn}是公比为 q 的等比数列,前 n 项和为 Wn,且 b1=2,q =a9. (Ⅰ )求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ )证明: .
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www.jyeoo.com 考点: 数列与不等式的综合;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )由已知条件推导出 a2+a4+a6+…+a20=330,解得 d=3,由此利用题设条件能求出数列{an}、{bn}的通项 公式.
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(Ⅱ )由(Ⅰ )知, 证明即可. 解答: (Ⅰ )解:设等差数列的公差为 d,∵ ∴ T20=﹣S1+S2﹣S3+S4+…+S20=330, ∴ a2+a4+a6+…+a20=330, ∴ ,

,要证(3n+1)Wn≥nWn+1,只需证 3 ≥2n+1,用数学归纳法

n



解得 d=3,∴ an=3+3(n﹣1)=3n,…(4 分) 3 ∴ q =a9=27,q=3, ∴ .…(6 分)

(Ⅱ )证明:由(Ⅰ )知,



要证(3n+1)Wn≥nWn+1, n n+1 只需证(3n+1) (3 ﹣1)≥n(3 ﹣1) , n 即证:3 ≥2n+1.…(8 分) n 当 n=1 时,3 =2n+1, n 下面用数学归纳法证明:当 n≥2 时,3 >2n+1, (1)当 n=2 时,左边=9,右边=5,左>右,不等式成立, (2)假设 n=k(k≥2) ,3 >2k+1, k+1 k 则 n=k+1 时,3 =3×3 >3(2k+1)=6k+3>2(k+1)+1, ∴ n=k+1 时不等式成立. 根据(1) (2)可知:当 n≥2 时,3 >2n+1, n * 综上可知:3 ≥2n+1 对于 n∈N 成立, ∴ .…(12 分)
n k

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意数学归纳法的合理运用.
2

20. (13 分) (2014?枣庄一模)已知椭圆 C1 的中心为原点 O,离心率 准线上,若抛物线 C2 与直线 (Ⅰ )求该椭圆的标准方程; 相切.

,其一个焦点在抛物线 C2:y =2px 的

(Ⅱ ) 当点 Q (u, v) 在椭圆 C1 上运动时, 设动点 P (2v﹣u, u+v) 的运动轨迹为 C3. 若点 T 满足: 其中 M,N 是 C3 上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 为定值?若存在,求 F1,F2 的坐标;若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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,试说明:是否存在两个定点 F1,F2,使得|TF1|+|TF2|

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www.jyeoo.com 分析: (Ⅰ )先确定抛物线的方程,再求出该椭圆的标准方程; (Ⅱ )先确定运动轨迹为 C3 的方程,由 ON 的斜率之积为 解答: 解: (I)由 ∵ 抛物线 C2:y =2px 与直线 ∴ ∴ 抛物线 C2 的方程为: ∴ . , ,
2 2 2 2

得 M,N,P 坐标之间的关系,根据直线 OM 与

,可知:T 点是椭圆

上的点,即可得出结论.

, 相切, …(2 分) ,其准线方程为: ,

∵ 离心率 ∴

∴ a=2,b =a ﹣c =2, 故椭圆的标准方程为 .…(5 分)

(II)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,P(x',y') ,T(x,y)





∵ 当点 Q(u,v)在椭圆 C1 上运动时,动点 P(2v﹣u,u+v)的运动轨迹 C3, ∴ ∴ x' +2y' =12, 2 2 ∴ C3 的轨迹方程为:x +2y =12…(7 分) 由 得(x,y)=(x2﹣x1,y2﹣y1)+2(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2) ,
2 2



∴ x=x1+2x2,y=y1+2y2. 设 kOM,kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知 因此 x1x2+2y1y2=0,…(9 分) 2 2 ∵ 点 M,N 在椭圆 x +2y =12 上, ∴ 故 = . , ,

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www.jyeoo.com ∴ x +2y =60,从而可知:T 点是椭圆
2 2

上的点,

∴ 存在两个定点 F1,F2,且为椭圆 .

的两个焦点,使得|TF1|+|TF2|为定值,其坐标为 …(13 分)

点评: 本题考查椭圆、抛物线的标准方程,考查代入法求轨迹方程,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力, 属于中档题. 21. (14 分) (2014?潍坊模拟)已知函数 f(x)=ax+lnx,函数 g(x)的导函数 g′ (x)=e ,且 g(0)g′ (1)=e, 其中 e 为自然对数的底数. (Ⅰ )求 f(x)的极值; (Ⅱ )若?x∈(0,+∞) ,使得不等式 成立,试求实数 m 的取值范围;
x

(Ⅲ )当 a=0 时,对于?x∈(0,+∞) ,求证:f(x)<g(x)﹣2. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )求出函数 f(x)的定义域,求出导数 f'(x)=a+ ,分 a≥0,a<0 两种情况进行讨论,a≥0 时由单调性
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易判断;当 a<0 时可得极值; (Ⅱ )由 g'(x)=e ,可设 g(x)=e +c,再由 g(0)g'(1)=e 可得 g(x 参数 m 后可得 可求得 h(x)max; (Ⅲ )a=0 时,f(x)=lnx,令 φ(x)=g(x)﹣f(x)﹣2,则 φ(x)=e ﹣lnx﹣2, 且 φ'(x)在(0,+∞)上为增函数,设 φ'(x)=0 的根为 x=t,则 为 φ(t) ,通过放缩可判断 φ(t)>0,从而可得结论; 解答: 解: (Ⅰ ) 函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , 当 a≥0 时,f'(x)>0, ∴ f(x)在(0,+∞)上为增函数,f(x)没有极值; 当 a<0 时, 若 , 时,f'(x)>0;若 时, 时,f'(x)<0, ; 时, (x>0) .
﹣t

x

x

成立,分离出

,令

,则问题可转化为:m<h(x)max,利用导数

x



,即 t=e ,易知 φ(x)的最小值

∴ f(x)存在极大值,且当

综上可知:当 a≥0 时,f(x)没有极值;当 a<0 时,f(x)存在极大值,且当 ;

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www.jyeoo.com x (Ⅱ )∵ 函数 g(x)的导函数 g'(x)=e , x ∴ g(x)=e +c, 又∵ g(0)g'(1)=e, ∴ (1+c)e=e?c=0,∴ g(x)=e , ∵ ?x∈(0,+∞) ,使得不等式 ∴ ?x∈(0,+∞) ,使得 令 对于 当 x∈(0,+∞)时, ∵ e >1, ∴ ,
x x

成立, 成立,

,则问题可转化为:m<h(x)max, ,x∈(0,+∞) ,由于 ,



∴ h'(x)<0,从而 h(x)在(0,+∞)上为减函数, ∴ h(x)<h(0)=3,∴ m<3; (Ⅲ )当 a=0 时,f(x)=lnx,令 φ(x)=g(x)﹣f(x)﹣2, 则 φ(x)=e ﹣lnx﹣2, ∴ ,且 φ'(x)在(0,+∞)上为增函数, ,即 t=e ,
﹣t

x

设 φ'(x)=0 的根为 x=t,则

∵ 当 x∈(0,t)时,φ'(x)<0,φ(x)在(0,t)上为减函数; 当 x∈(t,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)在(t,+∞)上为增函数, ∴ ∵ φ'(1)=e﹣1>0, ∴
t

, ,

, 上为增函数,

由于 φ(t)=e +t﹣2 在





∴ f(x)<g(x)﹣2. 点评: 本题考查利用导数研究函数的极值、最值及证明不等式等问题,考查恒成立问题,考查转化思想,考查学 生的推理论证能力、分析解决问题的能力,本题综合性强,能力要求较高.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:wubh2011;孙佑中;刘长柏;zlzhan;清风慕竹;maths;minqi5;wyz123;caoqz; sllwyn(排名不分先后)
菁优网 2015 年 2 月 28 日

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