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江苏省南通中学2014-2015学年高二上学期期末数学试题及答案


江苏省南通中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学试题

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题 .. 卡相应位置上 . ......
? ? 1.计算: ? 2 ? ? 1 ? i ? ?
2



. ▲ ▲ . . ▲ .

ln x 2.函数 f(x)= 的单调增区间是 x 3.已知复数 z=(2-i) i,则 z 的模为

4.曲线 y ? sin x 在点 ( π , 3 ) 处的切线方程为

3 2


5.如图所示四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项,则这个数列的一 个通项公式为 an ? .

6.已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,且满足 f ( x) ? 3x2 ? 2xf ?(2) ,则 f ?(3) ? 7. 已知复数 z ? 2 ? sin ? ? 3 sin ? ? i , 则 z 的取值范围是
3 2

▲ y







8.若函数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 2 是 R 上的单调函数,则实数 m 的 取值范围为 ▲ .

9. 如图为函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象, f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数,则不等式 x ? f ?( x) ? 0 的解集为 ▲ .
? 3O 3

x

10.设 P 是函数 y= x(x+1)图象上异于原点的动点,且该图象在 点 P 处的切线的倾斜角为 θ,则 θ 的取值范围是 ▲ .
(第 9 题)

11.已知定义域为 {x | x ? 0} 的函数 f ( x) 对于任意的 x 都满足 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 .若 0<a < b, 则 bf(a) ▲ af(b)(请从“>” , “<” , “=”中选择正确的一个填写) .

12.设直线 y=a 分别与曲线 y2=x 和 y=ex 交于点 M,N,则当线段 MN 取得最小值时实数 a 的值为 ▲ .

13.已知点 A( x1 , x12 ) , B( x2 , x2 2 ) 是函数 y ? x 2 的图象上任意不同的两点,依据图象可知,线 段 AB 总是位于 A , B 两点之间函数图象的上方,因此有结论
x12 ? x2 2 ? x1 ? x2 ? ?? ? 成立. 2 ? 2 ?
2

运用类比思想方法可知若点 A( x1 ,lg x1 ) , B( x2 ,lg x2 ) 是函数 y ? lg x( x ? 0) 的图象上的不 同两点,则类似地有 ▲ 成立.

14.若不等式|ax3-ln x|≥1 对任意 x ? (0,1]都成立,则实数 a 的取值范围是





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请注意文理科类,并在答题卡指定 ..... 区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ..
15. (本小题共 14 分) 已知复数 z ?

a2 ? 7a ? 6 . ? (a2 ? 5a ? 6) i ( a ? R ) a ?1

(1)求实数 a 为何值时,z 为实数; (2)求实数 a 为何值时,z 为虚数; (3)求实数 a 为何值时,z 为纯虚数.

16. (本小题共 14 分) 已知曲线 C: y ? e x ? a 与直线 y ? ex ? 3 相切,其中 e 为自然对数的底数. (1)求实数 a 的值; (2)求曲线 C 上的点 P 到直线 y ? x ? 4 的距离的最小值,并求出取得最小值时点 P 的 坐标.

17. (本小题共 14 分) 某集团为了获得更大的收益, 每年要投入一定的资金用于广告促销. 经调查投入广告费 t(百万元),可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0≤t≤5) (注:收益=销售额-投放). (1)若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该 公司由此获得的收益最大? (2)现该公司准备共投入 3 百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入 1 技术改造费 x(百万元),可增加的销售额约为- x3+x2+3x(百万元).请设计一个 3 资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大.

18. (本小题共 16 分) (理)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? an (n ? N? ) . (1)计算数列 {an } 的前 4 项; (2)猜想数列 {an } 的通项公式,并用数学归纳法证明. (文)求证:1, 2 ,3 不可能是一个等差数列中的三项.

19. (本小题共 16 分) 已知函数 f ( x) ? 4 x3 ? 3tx 2 ? 6t 2 x ? t ? 1 ,其中 x ? R , t ? R . (1)当 t ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)证明:对任意的 t ? (0, ??) ,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内均存在零点.

20. (本小题共 16 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) ,e 为自然对数的底数. (1)若 a ? 1 ,求函数 y ? f ( x) 取得极值时所对应的 x 的值; e ?1 (2)若不等式 f ( x) ≤ ? ax ? e2
2

(1 ? 2a ? ea) x 恒成立,求 a 的取值范围. e

江苏省南通中学 2014—2015 学年度第一学期期末考试 高二数学答题纸
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上) 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14.

二、 解答题: (本大题共 6 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内). 15. (本题满分 14 分)

16. (本题满分 14 分)

17. (本题满分 14 分)

18. (本题满分 16 分)

19. (本题满分 16 分)

20. (本题满分 16 分)

江苏省南通中学 2014—2015 学年度第一学期期末考试 高二数学答案

9. (??, ? 3) 2 12. 2

(0, 3)

?π π? 10. 3,2 ? ?
13.

11.?? e2 14.a≥ 3

lg x1 ? lg x2 x ?x ? lg 1 2 2 2

二、解答题:
?a 2 ? 5a ? 6 ? 0, 15.解: (1)当 z 为实数时,则 ? 解得 a ? 6 . ?a ? 1 ? 0,

所以,当 a ? 6 时,z 为实数.
?a 2 ? 5a ? 6 ? 0, (2)当 z 为虚数时,则 ? 解得 a ? 6, a ? ?1 . ?a ? 1 ? 0,

所以,当 a ? 6 且 a ? ?1 时,z 为虚数.

?a 2 ? 5a ? 6 ? 0, ? (3)当 z 为纯虚数时,则 ?a 2 ? 7a ? 6 ? 0, 解得 a ? 1 . ?a ? 1 ? 0, ?
所以,当 a ? 1 时,z 为纯虚数.

16.解: (1)设曲线 C: y ? e x ? a 与直线 y ? ex ? 3 相切的切点的横坐标为 x1 , 由 y? ? e x 得切线的斜率 e x1 = e , 所以 x1 ? 1 ,所以切点坐标为 (1, e ? a) , 代入直线 y ? ex ? 3 得 a ? 3 . (2)由(1)得曲线 C 的方程为: y ? e x ? 3 ,

当过点 P 的切线与直线 y ? x ? 4 平行时,点 P 到直线 y ? x ? 4 的距离最小, 设点 P 的横坐标为 x 2 ,由 y ' ? ex 得切线的斜率 e x2 =1, 所以 x2 ? 0 , 所以所求点 P 的坐标为 (1, ?3) ,所求距离的最小值为
?3 ? 1 ? 4 2 ?4 2.

17.解:(1)设投入 t(t 百万元)的广告费后增加的收益为 f(t)(百万元), 则有 f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2) 2+4(0<t≤3), 所以当 t=2 百万元时,f(t)取得最大值 4 百万元. 即投入 2 百万元时的广告费时,该公司由此获得的收益最大. (2)设用技术改造的资金为 x(百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(百万元), 1 3 2 1 3 2 ? 则有 g(x)=? ?-3x +x +3x?+[-(3-x) +5(3-x)]-3=-3x +4x+3(0≤x≤3) 所以 g′(x)=-x2+4.令 g′(x)=0,解得 x=2,或 x=-2(舍去). 又当 0≤x<2 时,g′ (x)>0,当 2<x≤3 时,g′(x)<0. 故 g(x)在[0,2]上是增函数,在[2,3]上是减函数. 所以当 x=2 时,g(x)取最大值, 即将 2 百万元用于技术改造, 1 百万元用于广告促销,该公司由此获得的收益最大. 18. (理)解: (1)由 a1 ? 2 ? a1 ,得 a1 ? 1 . 由 a1 ? a2 ? 2 ? 2 ? a2 ,得 a2 ? 3 . 2 由 a1 ? a2 ? a3 ? 2 ? 3 ? a3 ,得 a3 ? 7 . 4 由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 2 ? 4 ? a4 ,得 a4 ? 15 . 8

1. (2)猜想 an ? 2 n? 2 ?1 下面用数学归纳法证明:
n n 1 ? 21 ? 1 ? 1 ,猜想成立. ① n ? 1 时,左边 a1 ? 1 ,右边 ? 2 n? ?1 2 21?1

1 ,此时 S ? 2k ? a ? 2k ? 2 ? 1 . ②假设当 n ? k 时,猜想成立,即 ak ? 2 k? k k 2 ?1 2k ?1 则当 n ? k ? 1 时,由 Sk ?1 ? 2(k ? 1) ? ak ?1 ,
k k

得 Sk ?1 ? ak ?1 ? 2(k ? 1) ? 2ak ?1 ,
k 1 ? ? 2k ?1 ? 1 . 所以 ak ?1 ? 1 [2(k ? 1) ? Sk ] ? k ? 1 ? 1 ? 2k ? 2 k? ? ? 2 2? 2 ?1 ? 2( k ?1)?1

因此,当 n ? k ? 1 时,等式也成立.

1 对 n ? N* 均成立. 由①②可知, an ? 2 n? 2 ?1
n

(文)证明:假设 1, 2 ,3 为同一等差数列中的三项,

则存在两个不相等的整数 m , n 以及实数 d ,使得 2 ? 1 ? md , 3 ? 1 ? nd . 所以 2 ? 1 ? 2m . n 因为上式左边为无理数,右边为有理数,所以等式不成立, 所以假设不成立,即 1, 2 ,3 不可能是同一等差数列中的三项.

19. (1)解: f ?( x) ? 12x2 ? 6tx ? 6t 2 ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?t 或 x ? t . 2 因为 t ? 0 ,以下分两种情况讨论: ①若 t ? 0 ,则 t ? ?t ,列表如下: 2

x
f ?( x) f ( x)

? ??, 2t ? ? 2t , ?t ?
+ ↗ ↘

? ?t, ???
+ ↗

所以, f ( x) 的单调增区间是 ??, t , ? ?t , ?? ? ,单调减区间是 t , ?t . 2 2 ②若 t ? 0 ,则 ?t ? t ,列表如下: 2

?

?

? ?

x
f ?( x) f ( x)

? ??, t ?
+ ↗

? ?t, 2t ? ? 2t , ?? ?
↘ + ↗

? ? ? ? (2)证明:由(1)可知,当 t ? 0 时, f ( x) 在 ? 0, t ? 上单调递减,在 ? t , ?? ? 上单调递 2 2
所以, f ( x) 的单调增区间是 ? ??, ?t ? , t , ?? ,单调减区间是 ?t , t . 2 2 增,以下分两种情况讨论: ①当 t ≥ 1 即 t ≥ 2 时, f ( x) 在 (0,1) 内单调递减, 2
f (0) ? t ? 1 ? 0 , f (1) ? ?6t 2 ? 4t ? 3 ≤ ?6 ? 4 ? 4 ? 2 ? 3 ? 0 ,

所以对任意 t ? [2, ??) , f ( x) 在区间 (0,1) 内均存在零点. ②当 0 ? t ? 1 即 0 ? t ? 2 时, f ( x) 在 0, t 上单调递减,在 t ,1 上单调递增, 2 2 2 若 t ? (0,1] , f t ? ? 7 t 3 ? t ? 1 ≤ ? 7 t 3 ? 0 , 2 4 4
f (1) ? ?6t 2 ? 4t ? 3 ≥ ?6t ? 4t ? 3 ? ?2t ? 3 ? 0 .

? ?

? ?

??

所以 f ( x) 在 t ,1 上存在零点. 2

? ?

?? 所以 f ( x) 在 ? 0, t ? 上存在零点. 2 ??

若 t ? (1, 2) , f t ? ? 7 t 3 ? ? t ? 1? ? ? 7 t 3 ? 1 ? 0 , f (0) ? t ? 1 ? 0 . 2 4 4

所以,对任意 t ? (0, 2) , f ( x) 在区间 (0,1) 内均存在零点. 综上所述,对任意 t ? (0, ??) , f ( x) 在区间 (0,1) 内均存在零点. 说明: (2)中 f t ? ? 7 t 3 ? t ? 1, t ? (0,2), 也可通过求导证明其恒小于 0. 2 4 20.解: (1)若 a ? 1 ,则 f ( x) ? ln x ? x ? 1 , f ?( x) ? 1 ? 1 . e ?1 e ?1 x e ?1 当 x ? (0, e ? 1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? (e ? 1, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. 又因为 f (1) ? 0 , f (e) ? 0 , 当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? (1,e ? 1) 时, f ( x) ? 0 ; 当 x ? (e ? 1,e) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? (e, ??) 时, f ( x) ? 0 . 故 y ?| f ( x) | 取得极值时所对应的 x 值为 1, e ? 1 和 e . (2)不等式 f ( x) ≤ ? ax ? e2 设 g ( x) ? ln x ? ax ? e2
2 2 2 (1 ? 2a ? ea) x (1 ? 2a) x ,整理为 ln x ? ax ? ? a ≤0 . 2 e e e

(1 ? 2a) x ?a, e

则 g ?( x) ? 1 ? 2ax ? 1 ? 2a ? x e2 e

2ax2 ? (1 ? 2a)ex ? e2 ( x ? e)(2ax ? e) (其中 x ? 0 ) . ? e2 x e2 x

①当 a ≤ 0 时, 2ax ? e ? 0 , x ? 0 , 当 x ? (0,e) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为单调增函数; 当 x ? (e, ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为单调减函数. 所以, [ g ( x)]max ? g (e) ? 0 .


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