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2012高中数学 3.1.4课时同步练习 新人教A版选修2-1


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第3章 3.1.4

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) → → → → → → 1.已知 A、B、C、D、E 是空间五点,若{AB,AC,AD}、{AB,AC,A E }均不能构成空间 的一个基底,则在下列各结论中,正确的结论共有( )

→ → → ①{A B ,A D ,A

E}不构成空间的一个基底;
→ → → ②{AC,A D ,A E }不构成空间的一个基底;

→ → → ③{B C ,CD,D E }不构成空间的一个基底;
④{A B ,C D ,E A }构成空间的一个基底. A.4 个 C.2 个 B.3 个 D.1 个







→ → → → → → → → 解析: 由 A B 、A C 、A D 与AB、A C 、A E 均不能构成空间的一个基底可知 A B 、A C 、 → → A D 、A E 为共面向量,即 A、B、C、D、E 五点共面,故①②③为真命题.
答案: B 2.给出下列命题: ①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底; ②若 a∥b,则 a,b 与任一个向量都不能构成空间的一个基底; ③A、B、C、D 是空间四点,若 B A ,B M ,B N 不能构成空间的一个基底,则 A,B,M,N 共面. 其中正确命题的个数是( A.0 C.2 解析: ①②③都是真命题. 答案: D 3.若 a=e1+e2+e3, b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=α a+β b+γ c, 则 α ,β ,γ 分别为( 5 1 A. ,-1,- 2 2 5 1 C.- ,1,- 2 2 ) 5 1 B. ,1, 2 2 5 1 D. ,1,- 2 2 ) B.1 D.3







解析: d=α (e1+e2+e3)+β (e1+e2-e3)+γ (e1-e2+e3)
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=(α +β +γ )e1+(α +β -γ )e2+(α -β +γ )e3 又∵d=e1+2e2+3e3, α +β +γ =1 ? ? ∴?α +β -γ =2 ? ?α -β +γ =3 α = , 2 ? ? ∴?β =-1, 1 ? ?γ =-2. 5 答案: A → → → 4.如图所示,已知平行六面体 OABC-O′A′B′C′,OA=a,OC=c,OO′=b,D 是四边 形 OABC 的中心,则( → A.O′D=-a+b+c 1 1 → B.O′D=-b- a- c 2 2 1 → 1 C.O′D= a-b- c 2 2 1 → 1 D.O′D= a-b+ c 2 2 → → → 解析: O′D=O′O+OD → 1→ =O′O+ OB 2 → 1 → → =O′O+ (OA+OC) 2 1 1 = a-b+ c. 2 2 答案: D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,则从以下各向量 a、b、c、a+b、a-b、a+c、 )



a-c、 b+c、 b-c 中选出三个向量, 有些可构成空间的基底, 请你写出三个基底: ____________.
答案: ①{c,a+b,a-b} ②{b,a+c,a-c} ③{a,b+c,b-c} → → 6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E、F 分别是底面 A1C1 和侧面 CD1 的中心,若EF+λ A1D= 0(λ ∈R),则 λ =________.
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解析: 如图,连结 A1C1,C1D,则 E 在 A1C1 上,F 在 C1D 上, 1 易知 EF 綊 A1D, 2 → 1→ ∴EF= A1D, 2

→ 1→ 即 E F - A1D=0, 2
1 ∴λ =- . 2 1 答案: - 2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.如图所示,四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形,PO⊥平面 OABC,设 O A =a,O C =b,O P =c,E、F 分别是 PC 和 PB 的中点,试用 a,b,c 表示:B F 、B E 、A E 、E F .















1 1 1 → 1 → 1 → → 1 解析: 连结 BO,则 B F = B P = (B O +O P )= (c-b-a)=- a- b+ c. 2 2 2 2 2 2 1 → 1 → → → → → B E =B C +C E =-a+ C P =-a+ (C O +O P ) 2 2 1 1 =-a- b+ c. 2 2

→ → → → → 1 → → A E =A P +P E =A O +O P + (P O +O C )
2 1 1 1 =-a+c+ (-c+b)=-a+ b+ c. 2 2 2

→ 1 → 1 → 1 E F = C B = O A = a.
2 2 2 8.已知正四面体 ABCD 棱长为 a,试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标. 解析: 过 A 作 AG 垂直于平面 BCD, 由于 AB=AC=AD,所以 G 为△BCD 的中心,

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过 G 作 GF∥CD,E 为 CD 的中点, → → → 以 G 为原点,GA,G E ,G F 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为△BCD 的边长为 a, 则 BE= 又 3 3 a,GE= a, 2 6

GF 2 = , CE 3

2 1 1 所以 GF= × a= a, 3 2 3 又 BG= 3 a, 3

所以 AG=

a- =
3

2

a2

6 a, 3

所以 A?0,0,

? ?

6 ? ? 3 3 ? ?a ? a?,B?0,- a,0?,C? , a,0?, 3 ? ? 3 2 6 ? ? ?

3 ? a ? D?- , a,0?.

? 2

6

?

尖子生题库 ☆☆☆ 9.(10 分)如图所示,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别在 B1B 和 D1D 上,

1 2 且 BE= BB1,DF= DD1. 3 3 (1)证明:A、E、C1、F 四点共面; → → → → (2)若EF=xAB+yAD+zAA1, 求 x+y+z. → → → → 解析: (1)证明:∵AC1=AB+AD+AA1

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→ → 1→ 2→ =AB+AD+ AA1+ AA1 3 3

?→ 1 → ? ?→ 2 → ? =?AB+ AA1?+?AD+ AA1? 3 ? ? 3 ? ?
→ → → → → → =AB+BE+AD+DF=AE+AF, ∴A、E、C1、F 四点共面. → → → → → → → (2)∵EF=AF-AE=AD+DF-(AB+BE) → 2→ → 1→ =AD+ DD1-AB- BB1 3 3 → → 1→ =-AB+AD+ AA1, 3 1 ∴x=-1,y=1,z= , 3 1 ∴x+y+z= . 3

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