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概率练习第1,2,3,4,5章


第一章 随机事件与概率基本概念
一、是非题(正确的划“√”,错误的划“×”) (18 分) 1. A, B, C 为三个事件,则 ABC 表示 A, B, C 都不发生。 2.若 A ? B ,且 P( B) ? 0, 则P( A | B) ? 1 。 3.若 A, B 相互独立,则 A 与 B 也相互独立。 4.若 P( A) ? 0, 且A, B 互不相容,则 P( B | A) ? 0 。 5.若 A, B 互斥,则 P( A) ? P( B) ? 1。 6. 设 AB ? ? ,则 P( A) ? 1 ? P( B) 。 二、填空题(24 分) 1.若 A, B 独立,且 P( A) ? 0.4, P( B) ? 0.2, 则 P( A ? B) ? ________。 2.设 A 、 B 是两个随机事件, P( A) ? 0.8 , P( AB) ? 0.4 ,则 P( A ? B) ? ____________。 3.设 P( A) ? 0.4 , P( B) ? 0.5 ,若 P( A | B) ? 0.7 ,则 P( A ? B) ? ________。 ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) )

37 ,则每次击中的概率为____。 64 1 5.设两两相互独立的三事件 A, B, C 满足条件: P( A) ? P( B) ? P(C ) ? , ABC ? ? ,且已 2 9 知 P( A ? B ? C ) ? ,则 P(A) ? 。 16
4.三次独立重复射击中,若至少有一次击中的概率为 6.设 A、B 是两个互不相容的事件,已知 P(A)=0.3,P(A∪B)=0.7,则 P(B)=_______。 7.设事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.2,P(B)=0.4,则 P( A ? B) ? ________ 8.从分别写有 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的 9 张纸片中,任意抽出 1 张,则抽到奇数号的 概率为_________。 9.设 P( A) ?

1 1 1 , P( A ? B) ? , P( AB ) ? , 则 P(B) ? ________。 3 2 4
) 。

三、选择题(27)

( 1.对任意二事件 A 和 B ,有 P A - B) =(

( -( A. P A) P B)
( )( C. P A - P AB)

( )( ? ( B. P A - P B) P AB)
( ) ( ?( D. P A ? P B) P AB)
) 。

2.掷一枚质地均匀的骰子,则在出现偶数点的条件下出现 2 点的概率为( A.3/6 B.2/3 C.1/6 ) 。 D.1/3

3.设 P( AB) ? 0 ,则(

A. A 和 B 不相容; C. P( A) ? 0 或 P( B) ? 0 ;

B. A 和 B 独立; D. P( A ? B) ? P( A) . ) 。 D.0.9

4.已知 P( A) ? 0.8, P( A ? B) ? 0.5, 则P( AB) ? ( A.0.3 B.0.5 C.0.7

( ) P ? 5.设 P A ? ,(B)

1 1 ,(A ? B) , P A ? B ? ( ) P ? 则( 。 ) 4 2 1 5 7 11 A. B. C. D. 12 12 12 12 1 1 1 6.设 P( A) ? , P( B) ? , P( AB ) ? ,则事件 A 与 B ( ) 。 2 3 6
A. 相互独立 B. 相等 C.互不相容 D.互为对立事件 四、计算题(30 分) 1. 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%,30%、10%,从中任取一件,结果不是三等 品,求取到的是一等品的概率。

1 3

2. 为了防止意外,在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II。两种报警系统单独使用时,系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93,在系统 I 失灵的条件下,系统 II 仍有效的概率为 0.85, 求 (1)两种报警系统 I 和 II 都有效的概率; (2)系统 II 失灵而系统 I 有效的概率; (3)在系统 II 失灵的条件下,系统 I 仍有效的概率。

3.甲、乙、丙 3 台机床加工同一种零件,零件由各台机床加工的百分比依次是 50%,30%, 20%.各机床加工的优质品率依次是 80%,85%,90%,将加工的零件放在一起,从中任取 1 个 1)求取得优质品的概率。2)已知取得的是优质品,求是甲机床加工的概率。

第二章 随机变量及其分布习题 一、是非题 (共 20 分)
1.若 X ~ N ( ? , ? ), 则Y ?
2

X ??

?

~ N (0,1) .

( ( (

) ) )

2.任何随机变量 X 的分布函数 F ( x) 是连续函数. 3.若 X ~ N (0,1), 则 ? X ~ N (0,1) . 4. 设 X 的 密 度 函 数 为

f ( x) ?

1 ?x e , ?? ? x ? ??? 则 X 的 分 布 函 数 2
( )

?1 x ? e ,x ?0 F ( x) ? ? 2 ? 1, x ? 0 ?

? ? ?k cos x, x ? 5.设 X 的密度函数为 f ( x) ? ? 2 ? 0, 其它 ?

,则 k ? 1.





6.若 X ? N (0,1), 其分布函数为 ?( x), 则 ?( x) ? ?(? x). 7.设 X ~ N (? , ? 2 ) ,当 ? 增大时 p{ X ? ? ? ? } 增大。

( (

) )

( 8.参数为 ? ? 0) 的指数分布的分布函数为 F ( x) ? ?

?? e? ? x , x ? 0 ? 0, 其它





9.设连续型随机变量 X 的密度为 f ( x) ? ?

? Be ?5 x , x ? 0 ,则其分布函数 x ? 0. ?0,
( )

?1 - 5e?5 x , x ? 0 . F ( x) ? ? 0, x ? 0. ?
10.设 X 为一连续型随机变量, c 为任意实数,则 P?X ? c? ? 0 .





二、填空题(共 20 分)
1.设随机变量 X 的概率分布为

则 P{ X

2

? 1} ? _______________。

X P

-1 0.1

0 0.3

1 0.2

2 0.4

2.设随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,已知 P{ X ? 1} ? 0.3 , P{ X ? 2} ? 0.1,

F (x) 是 X 的分布函数,则当 0 ? x ? 1 时,则 F (x) ? __________。
2 3.设 X ~ N (? , ? ) ,则随机变量在密度函数为 f ( x) ?

4. 设 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 f ( x) ?

1 2?

e

?

( x ? 2) 2 2

, 且 P{X ? c} ? P{X ? c} , 则

c ? _____。
5.设 X ? N (1, 4), ?(0.3) ? 0.6179, ?(0.5) ? 0.6915, 则 P(0 ? X ? 1.6) = ________。 6.若 X ? N ( ? ,6), 则 P( X ? ? ) ? ________。 7.设随机变量 X ~ E (2) , f (x ) 为其概率密度,则 f (1) ? _________。 8.设随机变量 X ~ U (0,1) , Y ? 2 X ? 1,则 Y 的概率密度为_________。 9.已知随机变量 X 的分布列为

X
P
则常数 c = 。

0

1

9c 2 ? c

3 ? 8c

三、单项选择题(共 20 分)
1.设 X 服从 ? ?
1 的指数分布,则 P{3 ? X ? 9} ? 9



) 。

9 3 A. F ( ) ? F ( ) ; 9 9

B.
x 9

1 1 1 ( ? ); 9 3e e

1 1 C. 3 ? ; e e

D.

?

9 3

e dx 。
) 。

?

2.设 X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1) , X , Y 独立,则 Z ? X ? Y ( A.不一定服从正态分布 C.服从 N (0,1) 3.设随机变量的概率密度 f ( x) ? ? A.1/2 B.1 B.服从 N (0, 2) D.服从 N (0, 2)

?? x ?2 x ? 1 ?0 x ?1
C.-1

,则 ? =(

) 。 D.3/2

4.设随机变量 X ~ B(4,0.2),则P? X ? 3 A. 0.0016 B. 0.0272

?? (

)。 D. 0.8192 ) 。

C. 0.4096

5.设随机变量 X 的分布函数为 F (x) ,下列结论不一定成立的是(

A. F (??) ? 1

B. F (??) ? 0

C. 0 ? F ( x) ? 1

D. F (x) 为连续函数

6. 设 随 机变 量 X 的 概 率 密度 函 数 为 f X (x) , Y ? ?2 X ? 3 , 则 Y 的 概 率密 度 函 数为 ( A. ? )

1 y ?3 1 y ?3 1 y?3 1 y?3 f X (? ) ; B. f X ( ? ) ; C. ? f X ( ? ) ; D. f X ( ? )。 2 2 2 2 2 2 2 2

四、计算题(共 42 分) 1.设随机变量 X 的概率密度为

? x, ? f(x)= ?2 ? x, ? 0, ?

0 ? x ? 1, 1 ? x ? 2, 其 他.

求 X 的分布函数 F(x) ,并画出 f(x)及 F(x). 求概率 P{0.3 ? X ? 2} 。

2.设随机变量 X 分布函数为 F(x)= ?

? A ? Be? xt , x ? 0, ?0 , x ? 0.

(? ? 0),

(1) 求常数 A,B; (2) 求 P{X≤2},P{X>3}; (3) 求分布密度 f(x).

3.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间 X 服 从 N(40,102) ;第二条路程较长,但阻塞少,所需时间 X 服从 N(50,42). (1) 若动身时离火车开车只有 1 小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些? (2) 又若离火车开车时间只有 45 分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些?

第三章、随机向量
1、设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ?

?k (6 ? x ? y), 0 ? x ? 2, 2 ? y ? 4, 其他. ? 0,

(1) 确定常数 k; (2) 求 P{X<1,Y<3}; (3) 求 P{X<1.5}; (4)求 f X ( x), f Y ( y) ,并判断 X,Y 是否独立

2 设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为 F ( x, y ) ? A( B ? arctan 1)试确定 A,B,C 的值;求 X 和 Y 的边缘分布函数; 2)求 P(0 ? X ? 2,0 ? Y ? 3), P( X ? 2) .

x y )( C ? arctan ) 2 3

3、若(X,Y)的分布律如下表: X Y 1 2 3

1

1 6 1 3

1 9
α

1 18
β

2

则α ,β 应满足的条件是

;若 X 与 Y 相互独立,则α =

,β =



第四章、随机变量数字特征
一、是非题
1、若 X , Y 独立,则 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? 0 . 2、若 X , Y 相互独立,则 D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) . ( ( ) ( ) )

3、若 X 和 Y 的协方差 cov( X , Y ) ? 0 ,则 D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) 。

4、设总体 X ~ U (0, 2), X1 , X 2 , X 3 是总体 X 的一个样本,则 D(3 X1 ? X 2 ? 2 X 3 ) ? 6 。 ) (

二、填空题
1、已知 X ~ b(10,0.1) ,则 Y ? 3 X ? 2 的期望 E (Y ) = ,方差 D (Y ) = 。

2、设 X ? U (0,6), Y ? E (3), 且 X , Y 独立,则 E ( XY ) ? _________。

( ,则 Y ? 3 X ? 5 的期望 E Y)= ________,方差 D(Y ) ? ________。. ( 3、已知 X ? P 4)
2 4、设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ? x , ? 1 ? x ? 1, ,则 E( X X ) ? _________. ?2

?3

?0, ?

其他,

5 设 X 和 Y 是相互独立的两个随机变量,且 X 服从(1,5)上的均匀分布,
Y ~ N (2 , 9) ,则 E ( XY ) ? _____, D(XY ) ? ____

三、单项选择题
1 设 D( X ) ? 4, D(Y ) ? 1 ,CoV(X,Y)=1.2,则 D(3 X (1)40 (2)34 (3)25.6

? 2Y ) ? (
(4)17.6 ) 。



2 对于任意随机变量 X , Y ,若 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ,则( (A) D( XY ) ? D( X ) D(Y ) (C) X , Y 一定独立

(B) D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) (D) X , Y 不独立
2

3、设 X ~ N (0,9), Y ~ N (?1, 4), 且X , Y 相互独立, Z ? X ? Y, E ( Z ) ? 则 A. 6 B. 14 C. 12 D. 5



) 。

4、设 ? ~ B ? n, p ? ,且 E? ? 3 , p ? A. 7 B. 14

1 ,则 n=( 7 C. 21

)。 D. 49

第五章、中心极限定理
一、填空
1、已知 E X) ?,(X) ? 2, 则由契比雪夫不等式,得 P X - ? ? 3?) _______。 ( ? D ? ( ? 2、设 E ( X ) ? 1, D( X ) ? 4, ,则有切比雪夫不等式估计概率 P?? 2 ? X ? 4? ? _____。

二、应用题
1、设对目标独立的发射 400 发炮弹,已知每一发炮弹的命中率为 0.2。用中心 极 限 定 理 计 算 命 中 60 发 到 100 发 的 概 率 。 标 准 正 态 分 布 的 分 布 函 数 (
?(2.5) ? 0.9938)

2、一个系统由 100 个相互独立起作用的部件组成,各个部件损坏的概率为 0.1, 已知必须有 84 个以上的部件工作才能使整个系统工作, 利用中心极限定理,求整 个系统工作的概率.( ?(2) ? 0.9772)


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