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四川省遂宁市2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


遂宁市高中 2018 级第一学期教学水平监测 数 学 试 题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,满分 60 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查 条形码粘贴是否正确。 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题

卡对应题目标号的 位置上,非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写 在答题卡对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.考试结束后,将答题卡收回。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求) 1. 若 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7} , A ? {3, 4,6,7}, B ? {3,5,6,7}, 则 CU ( A I B) ? A. {1, 2, 4,5} C . {1,3,5,7} B. {2,6,8} D. {1, 2}

2.若角 ? 的终边经过点 p(?1, ?1) ,则 A. sin ? ?

2 2

B. cos ? ?

2 2

C. sin(? ? ? ) ? ?

2 2

D. tan(? ? ? ) ? 1

3.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 A. y ? sin x C. y ? cos x B. y ? x ? 1
2

D. y ? ln x

4. 设 a ? 30.5 , b ? 0.53 , c ? log0.5 3 ,则 a、b、c 的大小关系 A. a ? b ? c C. b ? c ? a 5. B. c ? b ? a D. c ? a ? b

设 M 是 平 行 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 的 交 点 , O 为 平 面 上 任 意 一 点 , 则

uur uu u r uuu r uuu r OA ? OB ? OC ? OD = uuur A. OM

B. 2OM
1

uuur

C. 3OM

uuur

D. 4OM

uuur

? sin x ?x ? 0? ? x 6. 已知函数 f ? x ? ? ?? 4 ? ,则 f ? f ?? 1?? 的值为 ? ?x ? 0? ?? ?? 3? ?
A.

3? 4

B. D.

2 2

C. ? sin 1 7. 将函数 y ? sin(2 x ?

?1
? 个单位,再向上平移 2 个单位,则所得函 4

?
4

) 的图象向左平移

数的表达式是 A. y ? sin(2 x ?

?
4

)?2 )?2

B. y ? cos(2 x ?

?
4

)?2 )?2

C. y ? sin(2 x ? 8. 则

?
4

D. y ? cos(2 x ?

?
4

已知 a 、 b 为任意两个非零向量,且 AB ? a ? 5b , BC ? -2a ? 8b , CD ? 3(a - b) ,

uu u r

uuu r

uuu r

A. B, C , D 三点共线 C. A, B, D 三点共线

B. A, B, C 三点共线 D. A, C , D 三点共线

? x3 ? 1, x ? 0 ? 9.函数 f ( x) ? ? 1 x 的图象大致为 ?( ) , x ? 0 ?3

10. 若函数 f ( x ) 唯一的零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)。下列命题中正 确 的是 A.函数 f ( x ) 在区间(0,1)内有零点. B. 函数 f ( x ) 在区间(0,1)或(1,2)内有零点. C. 函数 f ( x ) 在区间[2,16)上无零点.
2

D. 函数 f ( x ) 在区间(1,16)内无零点. 11.函数 f ( x) ? 2 sin x 对于 x ? R ,都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x 2 ) ,则 x1 ? x 2 的最小值为 A.

? 2

B.

? 4

C. 2?

D. ?

12. 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 当 x ? 0 时 f ( x ) ?

x?2 ,若对任意实数 x ?1

?1 ? t ? ? , 2? ,都有 f (t ? a) ? f (t ? 1) ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ?2 ?
A. (??, ?3) U (0, ??) C. (0,1) B. (?1, 0) D. (??,1) U (2, ??)

第Ⅱ卷(非选择题,满分 90 分)

注意事项: 1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。 2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.sin(-300 )= ▲ . 14.化简:(lg2) +lg2lg5+lg5=
2 0

▲ .

3 ? 1 ?sin x ? ,x ? 0, f ( x ) ? 2 15.若函数 (其中 a ? R )的值域为 [ , ??) ,则 a 的取值范围是 ? 2 ? x 2 ? a,x ? 0 ?

▲ .

16. 有下列命题: ① 若函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) 对于任意的 x 都有

f ( ? x) ? ? f ( ? x) ,则 f ( ) ? 0 ; 6 6 6
② 正切函数在定义域上单调递增; ③ 曲线 g ( x) ? x 与曲线 f ( x) ? 2 有三个公共点;
2 x

?

?

?

④ 若 a ∥ b ,则有且只有一个实数 ? ,使 b ? ? a ;
3

? ? ?sin( x) ? 1 ⑤ 已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ?loga x(a ? 0
则实数 a 的取值范围是 (0 ,

x?0 a ? 1) x ? 0

的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对,

5 ). 5

其中正确命题的序号是 ▲ .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程,演算步骤) 17. (本题共 10 分) 已知 sin ? ? cos ? ? ? (1) 求 sin( (2) 若

?

1 . 5

? ? )gcos( ? ? ) 的值; 2 2

?

?
2

? ? ? ? ,求

1 sin(? ? ? )

?

cos ?? ? ? ?


1

的值.

18. (本题共 12 分) 设全集 U ? R ,已知函数 f ? x ? ? 的值域为集合 B . (1)求 (CU A) I B ; (2)若 C ? ?x | a ? x ? 2a ? 1? 且 C ? B ,求实数 a 的取值范围. ▲

1 ?1? 的定义域为集合 A ,函数 g ? x ? ? ? ? , ? ?1 ? x ? 0 ? x ?1 ?2?

x

19. (本题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? lg(2 ? x) ? lg(2 ? x) (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)用定义判断函数的单调性. ▲

4

20. (本题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(2? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 高点为 M (

?
2

)的周期为 ? , 其图象上一个最

?
6

, 2) .

(1) 求 f ( x) 的解析式,并求其单调减区间; (2)当 x ? [0,

?
4

] 时,求出 f ( x) 的最值及相应的 x 的取值,并求出函数 f ( x) 的值域.


21.(本题满分 12 分)

1 ? 2 x ? (x ? ) ? ? x 2 已知函数 f ( x) ? ? ? x 2 ? 2 x ? a ? 1( x ? 1 ) ? 2 ?
(1) 若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的零点; (2) 若函数 f ( x ) 在 [?1, ??) 上为增函数,求 a 的取值范围. ▲

22. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? log2 (4 ? 1) ? mx .
x

(1)若 f ( x) 是偶函数,求实数 m 的值; (2)当 m ? 0 时,关于 x 的方程

1 4 ? ? f ? 8(log4 x) 2 ? 2 log2 ? ? 4 ? ? 1 在区间 [1,2 2 ] 上恰有两个不同的实数解,求 m 的范围. x m ? ?
▲ 遂宁市高中 2018 级第一学期教学水平监测

数学试题参考答案及评分意见

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1
5

号 答 案 A D C B D B B C A

0 C

11 D

2 A

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.
3 2

14. 1

15. ? , ? ?2 2?

?1 5?

16. ①⑤

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程,演算步骤) 17.(本小题共 10 分) 解: (1)∵ sin ? ? cos ? ? ?

1 1 2 ①,∴ (sin ? ? cos ? ) ? , 5 25
??????3 分 ??????6 分

1 , 25 12 ∴ sin ? ? cos ? ? ? 25
即 1 ? 2sin ? cos ? ?
2 (2)由(1)得, (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ?



?
2

49 25

??????7 分

? ? ? ? ,? sin ? ? cos ? ? 0 , 7 5


? sin ? ? cos ? ?

1 1 1 1 ? ? ? sin ? cos ?? ? ? ? sin ? cos ?
? cos ? ? sin ? 35 ? sin ? cos ? 12
??????10 分

18.(本小题共 12 分) 解: (1)由题意知 A ? {x | x ? 1} ??????2 分 ??????4 分 ??????6 分 ??????8 分

B ? { y |1 ? y ? 2}
∴ (CU A) I B ? {1} (2)若 C ? ?, 则 a ? 2a ? 1,? a ? 1 ; 若 C ? ?, 则 ?

? a ?1 3 ,?1 ? a ? , 2 ? 2a ? 1 ? 2

??????10 分

综上, a ? ? ?? , ? . 2

? ?

3? ?

??????12 分

19.(本小题共 12 分)
6

解: (1) ?

?2 ? x ? 0 ? ?2 ? x ? 2 ?2 ? x ? 0

??????2 分

又 f (? x) ? lg(2 ? x) ? lg(2 ? x) ? ? f ( x)

? f ( x) 为奇函数
(2)设 ?2 ? x1 ? x2 ? 2

??????6 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? lg

2 ? x1 2 ? x2 (2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? lg ? lg 2 ? x1 2 ? x2 (2 ? x1 )(2 ? x2 )

??????7 分

∵ (2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? (2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? 4( x2 ? x1 ) ? 0 又 (2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? 0,(2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? 0

??????8 分

?

(2 ? x1 )(2 ? x2 ) (2 ? x1 )(2 ? x2 ) ? 1,? lg ?0 (2 ? x1 )(2 ? x2 ) (2 ? x1 )(2 ? x2 )

??????11 分

从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故 f ( x ) 在 (?2, 2) 上为减函数. 20.(本小题共 12 分) 解:(1) T ? ? ? 由题意当 x ?

??????12 分

2? ?? ? 1 且由题意得 A=2 ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ????2 分 2?

?
6

时, 2 x ? ? ?

?
2

? 2 k? 即 2 ?

?
6

?? ?

?
2

? 2 k? , k ? Z

Q0 ? ? ?

?
2

?? ?

?
6

? f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

)

??????4 分

f ( x) 的单调减区间满足
即[

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2 k? , k ? Z . 2
??????6 分

?
6

? k? ,

2? ? k? ], k ? Z . 3

(2)当 x ? [0,

?
4

] 时,

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? 3

??????7 分

由正弦函数的单调性可 得 当 2x ?

?
6

?

?
2

即x?

?
6

时 f ( x ) 取最大值 2

??????9 分

7

当 2x ?

?
6

?

?
6

即 x ? 0 时 f ( x ) 取最小值 1

??????11 分 ??????12 分

∴ f ( x ) 的值域为 [1, 2] 21.(本小题共 12 分) 解:(1)当 a ? 1 时,由 x ?

2 ? 0,? x ? 2 x

x2 ? 2x ? 0 ? x1 ? 0, x2 ? ?2,
∴ f ( x ) 的零点为 2 ,0,-2 (2)显然,函数 g ( x ) ? x ? ????5 分 ????7 分

2 1 1 7 在 [ , ??) 上递增,且 g ( ) ? ? ; x 2 2 2 1 2 1 2

函数 h( x) ? x2 ? 2 x ? a ?1 在 [ ?1, ] 上也递增,且 h ( ) ? a ? 故若函数 f ( x ) 在 [?1, ??) 上为增函数, 则a?

1 . ????9 分 4

1 7 15 ? ? ,∴ a ? ? . 4 2 4 15 ]. 4
????12 分

故 a 的取值范围为 ( ??, ?

22.(本小题共 12 分) 解: (Ⅰ)若 f ( x) 是偶函数,则有 f (? x) ? f ( x) 恒成立, 即 log2 (4? x ? 1) ? mx ? log2 (4 x ? 1) ? mx , 于是 2m x ? log2 (4
?x

? 1) ? log2 (4 x ? 1) ? log2 (

4x ?1 ) ? log2 (4 x ? 1) ? ?2 x , 4x
??????5 分

即是 2mx ? ?2 x 对 x ? R 恒成立,故 m ? ?1 ;

x (Ⅱ)当 m ? 0 时, y ? log2 (4 ? 1) ,在 R 上单增, y ? mx在 R 上也单增,

所以 f ( x) ? log2 (4 ? 1) ? mx 在 R 上单增,且 f (0) ? 1 ;??????7 分
x

则 f ? 8(log4 x) 2 ? 2 log2

? ?

1 4 ? ? ? 4? ? 1 x m ? 1 4 ? ? ? 4 ? ? f (0) , x m ?
??????8 分

可化为 f ? 8(log4 x) 2 ? 2 log2

? ?

8

又 f ( x ) 单增,得 ? 8(log4 x) 2 ? 2 log2

? ?

1 4 ? ? ? 4? ? 0 , x m ?

换底得 8(

log2 x 2 4 ) ? 2 log2 x ? ? 4 ? 0 , log2 4 m

2 即 2(log 2 x) ? 2 log 2 x ?

3 4 ? 4 ? 0 ,令 t ? log2 x ,则 t ? [0, ] ,问题转换化为 2 m 3 4 4 2t 2 ? 2t ? ? 4 ? 0 在 t ? [0, ] 有两解 ? ? ?2t 2 ? 2t ? 4 , 2 m m

令 y ? ?2t 2 ? 2t ? 4 , y ? ?2(t ? ) ?
2

1 2

9 3 1 9 (0 ? t ? ) , ymax ? y ( ) ? , 2 2 2 2

作出 y ? ?2(t ? ) ?
2

1 2

4 9 8 9 3 4 (0 ? t ? ) 与 y ? 的简图知, 4 ? ? 解得 ? m ? 1 ; m 2 9 2 2 m
??????12 分

又 m ? 0 ,故

8 ? m ? 1; . 9

9


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