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高三理数一轮复习:第三章 导数及其应用


第三章

导数及其应用
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考试要求 1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景; (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数定义,求函数 y=c(c 为常

重难点击

命题展望 导数 与 定积 分 是 微 积分 的 核心 概 念之一, 也是中学选

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本章重 点: 1. 导 数 的概念;

学 内 容中 较 为重 要 的知识之一.由于其 应用的广泛性, 为我 们解决有关函数、 数 列 问 题提 供 了更 一 般、更有效的方法. 因此, 本章知识在高 考题中常在函数、 数 列 等 有关 最 值不 等 式问题中有所体现,

1 数),y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= x 的导 x
数; (2)能利用基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简 单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数) 的导数. 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系, 能利用 导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间 (其中多项式函数一般不超过三次); (2)了解函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小 值(其中多项式函数一般不超过三次); 会求闭区 间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次). 4.生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景,了解定积分的 基本思想,了解定积分的概念; (2)了解微积分基本定理的含义.

2. 利 用 导数求切线 的斜率; 3. 利 用 导数判断函 数单调性或

求单调区间; 既 考 查数 形 结合 思 4. 利 用 导数求极值 或最值; 5. 利 用 导数求实际 问题最优解. 本章难点: 导 数的综合应 用. 想,分类讨论思想, 也 考 查学 生 灵活 运 用 所 学知 识 和方 法 的能力.考题可能以 选 择 题或 填 空题 的 形 式 来考 查 导数 与 定 积 分的 基 本运 算 与简单的几何意义, 而 以 解答 题 的形 式 来 综 合考 查 学生 的 分 析 问题 和 解决 问 题的能力.

知识网络

3.1 导数的概念与运算

典例精析
题型一 导数的概念 【例 1】 已知函数 f(x)=2ln 3x+8x, 求 lim f(1-2Δx)-f(1) 的值. Δx Δ x?0

【解析】由导数的定义知: f(1-2Δx)-f(1) f(1-2Δx)-f(1) =-2 lim =-2f′(1)=-20. Δx -2Δx Δ x?0 Δ x?0

lim

Δy 【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率,即求当 Δx→0 时, 平均变化率 的极限. Δx 【变式训练 1】某市在一次降雨过程中,降雨量 y(mm)与时间 t(min)的函数关系可以近似地表示为 f(t) = t ,则在时刻 t=10 min 的降雨强度为( 100 1 A. mm/min 5 1 C. mm/min 2 【解析】选 A. 题型二 求导函数 【例 2】 求下列函数的导数. (1)y=ln(x+ 1+x2);
2

) 1 B. mm/min 4 D.1 mm/min

(2)y=(x2-2x+3)e2x; 3 (3)y= x . 1-x

【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则. (1)y′= 1 (x+ 1+x2)′ x+ 1+x2 1 x 1 . 2(1+ 2)= x+ 1+x 1+x 1+x2



(2)y′=(2x-2)e2x+2(x2-2x+3)e2x =2(x2-x+2)e2x. 1 x ? 2 1-x+x ) 3 (3)y′= ( 3 1-x (1-x)2 1 x ?2 1 ) 3 = ( 3 1-x (1-x)2 1 ?2 = x 3 (1-x) 3
? 4 3

【变式训练 2】 如下图, 函数 f(x)的图象是折线段 ABC, 其中 A、 C 的坐标分别为(0,4), B、 (2,0), (6,4), 则 f(f(0))= ; lim f(1+Δx)-f(1) = Δx Δ x?0 (用数字作答).

【解析】f(0)=4,f(f(0))=f(4)=2, 由导数定义 lim f(1+Δx)-f(1) =f′(1). Δx

Δ x?0

当 0≤x≤2 时,f(x)=4-2x,f′(x)=-2,f′(1)=-2. 题型三 利用导数求切线的斜率 【例 3】 已知曲线 C:y=x3-3x2+2x, 直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点 P(x0,y0) (x0≠0),求直线 l 的方程及切点坐标. 【解析】由 l 过原点,知 k= 所以 y0 2 =x -3x0+2. x0 0 y0 3 (x ≠0),又点 P(x0,y0) 在曲线 C 上,y0=x0-3x2+2x0, 0 x0 0

2 而 y′=3x2-6x+2,k=3x0-6x0+2.

y0 又 k= , x0
2 2 所以 3x0-6x0+2=x0-3x0+2,其中 x0≠0,

3 解得 x0= . 2 3 y0 1 所以 y0=- ,所以 k= =- , 8 x0 4 1 3 3 所以直线 l 的方程为 y=- x,切点坐标为( ,- ). 4 2 8 【点拨】利用切点在曲线上,又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程,即可求 得切点的坐标. 【变式训练 3】若函数 y=x3-3x+4 的切线经过点(-2,2),求此切线方程. 【解析】设切点为 P(x0,y0),则由 y′=3x2-3 得切线的斜率为 k=3x2-3. 0 所以函数 y=x3-3x+4 在 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(3x2-3)(x-x0). 0 又切线经过点(-2,2),得
2 2-y0=(3x0-3)(-2-x0),①

而切点在曲线上,得 y0=x3-3x0+4, ② 0 由①②解得 x0=1 或 x0=-2. 则切线方程为 y=2 或 9x-y+20=0.

总结提高
1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数通常有以下两种求法: (1) 导数的定义,即求 lim
Δ x?0

f(x0+Δx)-f(x0) Δy = lim 的值; Δx Δ x ? 0 Δx

(2)先求导函数 f′(x),再将 x=x0 的值代入,即得 f′(x0)的值. 2.求 y=f(x)的导函数的几种方法: (1)利用常见函数的导数公式; (2)利用四则运算的导数公式; (3)利用复合函数的求导方法. 3.导数的几何意义:函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0),就是函数 y=f(x)的曲线在点 P(x0,y0)处的切 线的斜率.

3.2

导数的应用(一)

典例精析

题型一 求函数 f(x)的单调区间 【例 1】已知函数 f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R),求函数 f(x)的单调区间. 【解析】函数 f(x)=x2-ax-aln(x-1)的定义域是(1,+∞). a f′(x)=2x-a- = x-1 a+2 2x(x- ) 2 , x-1

a+2 2x(x- ) 2 a+2 ①若 a≤0,则 ≤1,f′(x)= >0 在(1,+∞)上恒成立,所以 a≤0 时,f(x)的增区间为(1, 2 x-1 +∞). a+2 ②若 a>0,则 >1, 2 a+2 2x(x- ) 2 a+2 故当 x∈(1, ]时,f′(x)= ≤0; 2 x-1 a+2 当 x∈[ ,+∞)时,f′(x)= 2 a+2 2x(x- ) 2 ≥0, x-1

a+2 a+2 所以 a>0 时,f(x)的减区间为(1, ],f(x)的增区间为[ ,+∞). 2 2 a+2 【点拨】在定义域 x>1 下,为了判定 f′(x)符号,必须讨论实数 与 0 及 1 的大小,分类讨论是解本 2 题的关键. 【变式训练 1】已知函数 f(x)=x2+ln x-ax 在(0,1)上是增函数,求 a 的取值范围. 1 【解析】因为 f′(x)=2x+ -a,f(x)在(0,1)上是增函数, x 1 所以 2x+ -a≥0 在(0,1)上恒成立, x 1 即 a≤2x+ 恒成立. x 1 2 又 2x+ ≥2 2(当且仅当 x= 时,取等号). x 2 所以 a≤2 2, 故 a 的取值范围为(-∞,2 2]. 【点拨】当 f(x)在区间(a,b)上是增函数时?f′(x)≥0 在(a,b)上恒成立;同样,当函数 f(x)在区间(a, b)上为减函数时?f′(x)≤0 在(a,b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了. 题型二 求函数的极值 【例 2】已知 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在 x=± 时取得极值,且 f(1)=-1. 1 (1)试求常数 a,b,c 的值; (2)试判断 x=± 是函数的极小值点还是极大值点,并说明理由. 1 【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c.

因为 x=± 是函数 f(x)的极值点, 1 所以 x=± 是方程 f′(x)=0,即 3ax2+2bx+c=0 的两根. 1

? 2b ?? 3a ? 0, ? 由根与系数的关系,得 ? ? c ? ?1, ? 3a ?
又 f(1)=-1,所以 a+b+c=-1. 1 3 由①②③解得 a= ,b=0,c=- . 2 2 1 3 (2)由(1)得 f(x)= x3- x, 2 2

① ②


3 3 所以当 f′(x)= x2- >0 时,有 x<-1 或 x>1; 2 2 3 3 当 f′(x)= x2- <0 时,有-1<x<1. 2 2 1 3 所以函数 f(x)= x3- x 在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数. 2 2 所以当 x=-1 时,函数取得极大值 f(-1)=1;当 x=1 时,函数取得极小值 f(1)=-1. 【点拨】 求函数的极值应先求导数.对于多项式函数 f(x)来讲,f(x)在点 x=x0 处取极值的必要条件是 f′(x) =0.但是, 当 x0 满足 f′(x0)=0 时, f(x)在点 x=x0 处却未必取得极值,只有在 x0 的两侧 f(x)的导数异号时, x0 才是 f(x)的极值点.并且如果 f′(x)在 x0 两侧满足“左正右负”,则 x0 是 f(x)的极大值点,f(x0)是极大值; 如果 f′(x)在 x0 两侧满足“左负右正”,则 x0 是 f(x)的极小值点,f(x0)是极小值. 3 【变式训练 2】定义在 R 上的函数 y=f(x),满足 f(3-x)=f(x),(x- )f′(x)<0,若 x1<x2,且 x1+x2> 2 3,则有( ) B. f(x1)>f(x2) D.不确定

A. f(x1)<f(x2) C. f(x1)=f(x2)

3 3 3 3 【解析】由 f(3-x)=f(x)可得 f[3-(x+ )]=f(x+ ),即 f( -x)=f(x+ ),所以函数 f(x)的图象关于 x= 2 2 2 2 x1+x2 3 3 3 3 对称.又因为(x- )f′(x)<0,所以当 x> 时,函数 f(x)单调递减,当 x< 时,函数 f(x)单调递增.当 = 2 2 2 2 2 x1+x2 3 3 时,f(x1)=f(x2),因为 x1+x2>3,所以 > ,相当于 x1,x2 的中点向右偏离对称轴,所以 f(x1)>f(x2). 2 2 2 故选 B. 题型三 求函数的最值 1 【例 3】 求函数 f(x)=ln(1+x)- x2 在区间[0,2]上的最大值和最小值. 4 【解析】f′(x)= 舍去. 1 1 1 1 - x,令 - x=0,化简为 x2+x-2=0,解得 x1=-2 或 x2=1,其中 x1=-2 1+x 2 1+x 2

又由 f′(x)=

1 1 - x>0,且 x∈[0,2],得知函数 f(x)的单调递增区间是(0,1),同理, 得知函数 f(x)的 1+x 2

1 单调递减区间是(1,2),所以 f(1)=ln 2- 为函数 f(x)的极大值.又因为 f(0)=0,f(2)=ln 3-1>0,f(1)>f(2), 4 1 所以,f(0)=0 为函数 f(x)在[0,2]上的最小值,f(1)=ln 2- 为函数 f(x)在[0,2]上的最大值. 4 【点拨】求函数 f(x)在某闭区间[a,b]上的最值,首先需求函数 f(x)在开区间(a,b)内的极值,然后, 将 f(x)的各个极值与 f(x)在闭区间上的端点的函数值 f(a)、f(b)比较,才能得出函数 f(x)在[a,b]上的最值. 【变式训练 3】(2008 江苏)f(x)=ax3-3x+1 对 x∈[-1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a= 【解析】若 x=0,则无论 a 为何值,f(x)≥0 恒成立. 3 1 当 x∈(0,1]时,f(x)≥0 可以化为 a≥ 2- 3, x x 3(1-2x) 3 1 设 g(x)= 2- 3,则 g′(x)= , x x x4 1 1 x∈(0, )时,g′(x)>0,x∈( ,1]时,g′(x)<0. 2 2 1 因此 g(x)max=g( )=4,所以 a≥4. 2 当 x∈[-1,0)时,f(x)≥0 可以化为 3(1-2x) 3 1 a≤ 2- 3,此时 g′(x)= >0, x x x4 g(x)min=g(-1)=4,所以 a≤4. 综上可知,a=4. .

总结提高
1.求函数单调区间的步骤是: (1)确定函数 f(x)的定义域 D; (2)求导数 f′(x); (3)根据 f′(x)>0,且 x∈D,求得函数 f(x)的单调递增区间;根据 f′(x)<0,且 x∈D,求得函数 f(x)的单 调递减区间. 2.求函数极值的步骤是: (1)求导数 f′(x); (2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)判断 f′(x)在方程根左右的值的符号,确定 f(x)在这个根处取极大值还是取极小值. 3.求函数最值的步骤是: 先求 f(x)在(a,b)内的极值;再将 f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值.

3.3 导数的应用(二)

典例精析
题型一 利用导数证明不等式 1 【例 1】已知函数 f(x)= x2+ln x. 2 (1)求函数 f(x)在区间[1,e]上的值域; 2 (2)求证:x>1 时,f(x)< x3. 3 1 【解析】(1)由已知 f′(x)=x+ , x 当 x∈[1,e]时,f′(x)>0,因此 f(x)在 [1,e]上为增函数. e2 1 故 f(x)max=f(e)= +1,f(x)min=f(1)= , 2 2 1 e2 因而 f(x)在区间[1,e]上的值域为[ , +1]. 2 2 (1-x)(1+x+2x2) 2 2 1 1 (2)证明:令 F(x)=f(x)- x3=- x3+ x2+ln x,则 F′(x)=x+ -2x2= , 3 3 2 x x 因为 x>1,所以 F′(x)<0, 故 F(x)在(1,+∞)上为减函数. 1 又 F(1)=- <0, 6 故 x>1 时,F(x)<0 恒成立, 2 即 f(x)< x3. 3 【点拨】有关“超越性不等式”的证明,构造函数,应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明 方法. 【变式训练 1】已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f′(x)>0,g′(x)>0, 则 x<0 时( ) B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0

A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 【解析】选 B. 题型二 优化问题

【例 2】 (2009 湖南)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距 m 米,余下工程只需建两端 桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元;距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程 费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 【解析】(1)设需新建 n 个桥墩,则(n+1)x=m,

m 即 n= -1. x 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x m m =256( -1)+ (2+ x)x x x 256m = +m x+2m-256. x (2)由(1)知 f′(x)=-
3

256m 1 ? 1 m 3 2 + mx 2 = 2(x 2 -512). x 2 2x

令 f′(x)=0,得 x 2 =512.所以 x=64. 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数;当 64<x<640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640) 内为增函数. 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值. m 640 此时 n= -1= -1=9. x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 【变式训练 2】(2010 上海)如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的 矩形骨架,总计耗用 9.6 米铁丝,骨架把圆柱底面 8 等份,再用 S 平方米塑料片制成圆柱的 侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径 r 取何值时,S 取得最大值?并求出该最大值 (结果精确到 0.01 平方米). 【解析】设圆柱底面半径为 r,高为 h, 则由已知可得 4(4r+2h)=9.6,所以 2r+h=1.2. S=2.4πr-3πr2,h=1.2-2r>0,所以 r<0.6. 所以 S=2.4πr-3πr2(0<r<0.6). 令 f(r)=2.4πr-3πr2,则 f′(r)=2.4π-6πr. 令 f′(r)=0 得 r=0.4.所以当 0<r<0.4,f′(r)>0; 当 0.4<r<0.6,f′(r)<0. 所以 r=0.4 时 S 最大,Smax=1.51. 题型三 导数与函数零点问题 1 【例 3】 设函数 f(x)= x3-mx2+(m2-4)x,x∈R. 3 (1)当 m=3 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)已知函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,α,β,且 α<β.若对任意的 x∈[α,β],都有 f(x)≥f(1)恒成 立,求实数 m 的取值范围. 1 【解析】(1)当 m=3 时,f(x)= x3-3x2+5x,f′(x)=x2-6x+5. 3 2 2 因为 f(2)= ,f′(2)=-3,所以切点坐标为(2, ),切线的斜率为-3, 3 3

2 则所求的切线方程为 y- =-3(x-2),即 9x+3y-20=0. 3 (2)f′(x)=x2-2mx+(m2-4). 令 f′(x)=0,得 x=m-2 或 x=m+2. 当 x∈(-∞,m-2)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,m-2)上是增函数; 当 x∈(m-2,m+2)时,f′(x)<0,f(x)在(m-2,m+2)上是减函数; 当 x∈(m+2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(m+2,+∞)上是增函数. 1 因为函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,α,β,且 f(x)= x[x2-3mx+3(m2-4)], 3 所以 ?

?(3m)2 ? 12(m2 ? 4) ? 0,
2 ?3(m ? 4) ? 0.

解得 m∈(-4,-2)∪(-2,2)∪(2,4). 当 m∈(-4,-2)时,m-2<m+2<0, 所以 α<m-2<β<m+2<0. 此时 f(α)=0,f(1)>f(0)=0,与题意不合,故舍去. 当 m∈(-2,2)时,m-2<0<m+2, 所以 α<m-2<0<m+2<β. 因为对任意的 x∈[α,β],都有 f(x)≥f(1)恒成立, 所以 α<1<β. 所以 f(1)为函数 f(x)在[α,β]上的最小值. 因为当 x=m+2 时,函数 f(x)在[α,β]上取最小值, 所以 m+2=1,即 m=-1. 当 m∈(2,4)时,0<m-2<m+2, 所以 0<m-2<α<m+2<β. 因为对任意的 x∈[α,β],都有 f(x)≥f(1)恒成立, 所以 α<1<β. 所以 f(1)为函数 f(x)在[α,β]上的最小值. 因为当 x=m+2 时,函数 f(x)在[α,β]上取最小值, 所以 m+2=1,即 m=-1(舍去). 综上可知,m 的取值范围是{-1}.

【变式训练 3】已知 f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2ln x. (1)讨论函数 F(x)=f(x)-g(x)的单调性; (2)若方程 f(x)=g(x)在区间[ 2,e]上有两个不等解,求 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a>0 时,F(x)的递增区间为( 1 1 ,+∞),递减区间为(0, ); a a

当 a≤0 时,F(x)的递减区间为(0,+∞). 1 1 (2)[ ln 2, ). 2 e

总结提高
在应用导数处理方程、不等式有关问题时,首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题, 再利用导数确定函数单调性、极值或最值.

3.4 定积分与微积分基本定理
典例精析
题型一 求常见函数的定积分 【例 1】 计算下列定积分的值. (1) (2)

?

2

1

(x-1)5dx;
π 2

?

0

(x+sin x)dx.

1 【解析】(1)因为[ (x-1)6]′=(x-1)5, 6 所以

?

2

1

(x-1)5dx= ( x ? 1)6

1 6

2 1

1 = . 6

x2 (2)因为( -cos x)′=x+sin x, 2 所以 ?
π 2

0

x2 (x+sin x)dx= ( ? cos x ) 2

? 2

1

π2 = +1. 8

【点拨】(1)一般情况下,只要能找到被积函数的原函数,就能求出定积分的值; (2)当被积函数是分段函数时,应对每个区间分段积分,再求和; (3)对于含有绝对值符号的被积函数,应先去掉绝对值符号后积分; (4)当被积函数具有奇偶性时,可用以下结论: ①若 f(x)是偶函数时,则 ? ②若 f(x)是奇函数时,则 ? 【变式训练 1】求 【解析】
a ?a a

f(x)dx=2

?

a

0

f(x)dx;

?a

f(x)dx=0.

?

5

?5

(3x3+4sin x)dx.

?

5

?5

(3x3+4sin x)dx 表示直线 x=-5,x=5,y=0 和曲线 y=3x3+4sin x 所围成的曲边梯形面

积的代数和,且在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积取负号. 又 f(-x)=3(-x)3+4sin(-x) =-(3x3+4sin x)=-f(x).

所以 f(x)=3x3+4sin x 在[-5,5]上是奇函数, 所以 ? 所以 ?
0 5 (3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx, ?5 0

?

5 (3x3+4sin x)dx= ?5

? ? 5 (3x +4sin x)dx+ ? 0 (3x +4sin x)dx=0.
3 3

0

5

题型二 利用定积分计算曲边梯形的面积 【例 2】求抛物线 y2=2x 与直线 y=4-x 所围成的平面图形的面积. 【解析】方法一:如图, 由?

? y 2 ? 2 x, ? y ? 4 ? x,

得交点 A(2,2),B(8,-4), 则 S= ? [ 2x-(- 2x)]dx+ ? [4-x-(- 2x)]dx
2 0 8 2

4 2 32 x2 2 2 3 8 2 = x + (4 x ? ? x2 ) 2 0 2 3 3
= 16 38 + =18. 3 3 y2 [(4-y)- ]dy 2 ?4
2

方法二:S= ? = (4 y ?

1 2 1 3 2 y ? y ) =18. ?4 2 6

【点拨】根据图形的特征,选择不同的积分变量,可使计算简捷,在以 y 为积分变量时,应注意将曲 线方程变为 x=φ(y)的形式,同时,积分上、下限必须对应 y 的取值. x 1 【变式训练 2】设 k 是一个正整数,(1+ )k 的展开式中 x3 的系数为 ,则函数 y=x2 k 16 与 y=kx-3 的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为 .

? y ? x2 , x 1 1 【解析】Tr+1=Cr ( )r,令 r=3,得 x3 的系数为 C3 3= ,解得 k=4.由 ? 得 k k k k 16 ? y ? 4x ? 3
函数 y=x2 与 y=4x-3 的图象的交点的横坐标分别为 1,3.

3 3 4 1 所以阴影部分的面积为 S= ? (4x-3-x2)dx=(2x2-3x- x 3 ) = . 1 3 3 1
题型三 定积分在物理中的应用 【例 3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为 v(t)=1-t2,初始位置为 x0=1,求它在前 2 秒内所走过的 路程及 2 秒末所在的位置; (2)一物体按规律 x=bt3 作直线运动,式中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的平方, 试求物体由 x=0 运动到 x=a 时阻力所做的功. 【解析】(1)当 0≤t≤1 时,v(t)≥0,当 1≤t≤2 时,v(t)≤0,所以前 2 秒内所走过的路程为

2 1 s= ? v(t)dt+ ? (-v(t))dt 0 1
= ? (1-t2)dt+ ? (t2-1)dt
0 1 2 1

= (t ? t 3 ) + ( t 3 ? t ) =2. 2 秒末所在的位置为 1 2 2 x1=x0+ ? v(t)dt=1+ ? (1-t2)dt= . 3 0 0 1 所以它在前 2 秒内所走过的路程为 2,2 秒末所在的位置为 x1= . 3 (2) 物体的速度为 v=(bt3)′=3bt2. 媒质阻力 F 阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4,其中 k 为比例常数,且 k>0. 当 x=0 时,t=0; a 1 当 x=a 时,t=t1=( ) 3 , b 又 ds=vdt,故阻力所做的功为 W 阻= ? F阻 ds = t1 kv2·vdt=k t1 v3dt

1 3

1 0

1 3

2 1

?0

?0

27 27 3 = k t1 (3bt2)3dt= kb3t7 = k a7b2. 1 7 7 ?0 【点拨】 定积分在物理学中的应用应注意: v(t)= ? a(t)dt, s(t)= ? v(t)dt 和 W= ? F(x)dx 这三个公式.
a a a b b b

【变式训练 3】定义 F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函数 f(x)=F[1,log2(x2-4x+9)]的图象为曲 线 C1,曲线 C1 与 y 轴交于点 A(0,m),过坐标原点 O 向曲线 C1 作切线,切点为 B(n,t)(n>0),设曲线 C1 在点 A,B 之间的曲线段与线段 OA,OB 所围成图形的面积为 S,求 S 的值. 【解析】因为 F(x,y)=(1+x)y,所以 f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))= 2log( x ?4 x?9 ) =x2-4x+9,故 A(0,9),
2

又过坐标原点 O 向曲线 C1 作切线,切点为 B(n,t)(n>0),f′(x)=2x-4.

?t ? n 2 ? 4n ? 9, ? 所以 ? t 解得 B(3,6), ? ? 2n ? 4, ?n
所以 S=

?

3

3 x3 (x2-4x+9-2x)dx=( -3x2+9x) =9. 3 0 0

总结提高
1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.? 2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.?

3.利用定积分求平面图形面积的步骤:? (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;? (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限;? (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;? (4)计算定积分,写出答案.嗄嗄


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