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湖北省武汉市2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)


湖北省武汉市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)复数 z= A.0 的实部与虚部之和为() B.
2

C. 1

D.2

2. (5 分)设全

集 U=R,集合 M={x|y=lg(x ﹣1)},N={0<x<2},则(CUM)∩N=() A.{x|﹣2≤x≤1} B.{x|0<x≤1} C.{x|0<x<2} D.{x|x<R} 3. (5 分)函数 f(x)=|sin cos |的最小正周期是() A. B. C. π D.2π

4. (5 分)已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示,则甲、乙两人 得分的中位数之和是()

A.62

B.63
2

C.64

D.65

5. (5 分)若命题 P:?x0∈R,x0 +2x0+3≤0,则命题 P 的否定¬P 是() 2 2 A.?x∈R,x +2x+3>0 B. ?x∈R,x +2x+3≥0 2 2 C. ?x∈R,x +2x+3<0 D.?x∈R,x +2x+3≤0 6. (5 分) △ ABC 外接圆的半径为 1, 圆心为 O, 且 的值是() A.3 B. C. D.1

7. (5 分)先后抛掷两颗质地均匀的骰子,则两次朝上的点数之积为奇数的概率为()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)已知某产品连续 4 个月的广告费 xi(千元)与销售额 yi(万元) (i=1,2,3,4) 满足 , ,若广告费用 x 和销售额 y 之间具有线性相关关系,且回归直线

方程为

=0.8x+a,那么广告费用为 6 千元时,可预测的销售额为() B.4.7 万元 C.4.9 万元 D.6.5 万元

A.3.5 万元

9. (5 分)已知直线 kx﹣y=k﹣1 与 ky﹣x=2k 的交点在第二象限,则实数 k 的取值范围是() A.(0, ) B.( ,1)
2

C.(0,1)

D.[1}

10. (5 分)过点 A(﹣2,3)作抛物线 y =4x 的两条切线 l1、l2,设 l1、l2 与 y 轴分别交于点 B、C,则△ ABC 的外接圆方程为() A.x +y ﹣3x﹣4=0 2 2 C. x +y +x﹣3y﹣2=0
2 2

B. x +y ﹣2x﹣3y+1=0 2 2 D.x +y ﹣3x﹣2y+1=0

2

2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11. (5 分)不等式|x|+|x﹣1|>3 的解集为.

12. (5 分)若 x、y 满足

,则 z=

x﹣y 的最大值为.

13. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 p=5,则输出的 S 等于

14. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

15. (5 分)如图,正四棱锥 O﹣ABCD 的棱长均为 1,点 A、B、C、D 在求 O 的表面上,延 长 CO 交球面于点 S,则四面体 A﹣SOB 的体积为.

16. (5 分)在各项均为正项的等比数列{an}中,已知 a1+a2+a3+a4+a5=31, = ,则 a3=.

17. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=
2



若 y=f (x)﹣af(x)+a﹣1 的零点个数是 7 个,则实数 a 的取值范围为.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S8=64, (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证: + (n≥2,n∈N ) .
*

19. (12 分)已知△ ABC 的内角 A、B、C 的对边 a,b,c,且满足 bcos A=a(2﹣sinAsinB) , a+b=6. (Ⅰ)求 a、b 的值 (Ⅱ)若 cosB= ,求△ ABC 的面积.

2

20. (13 分)如图,在四面体 P﹣ABC 中,底面 ABC 是边长为 1 的正三角形,PB=PC= AB⊥BP. (Ⅰ)求证:PA⊥BC (Ⅱ)求点 P 到底面 ABC 的距离.



21. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣3x +ax(a∈R) (1)求函数 y=f(x)的单调区间; (2)当 a≥2 时,求函数 y=|f(x)|在 0≤x≤1 上的最大值.

3

2

22. (14 分)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

=1(a>b>0)的离心率为

,短轴长为 2.

(Ⅱ)若 A、B 是椭圆 C 上的两动点,O 为坐标原点,OA、OB 的斜率分别为 k1,k2,问是 否存在非零常数 λ,使 k1?k2=λ 时,△ AOB 的面积 S 为定值,若存在,求 λ 的值;若不存在, 请说明理由.

湖北省武汉市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)复数 z= A.0 的实部与虚部之和为() B. C. 1 D.2

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出. 解答: 解:复数 z= ∴实部与虚部之和= = =1, = = ,

故选:C. 点评: 本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义,属于基础题. 2. (5 分)设全集 U=R,集合 M={x|y=lg(x ﹣1)},N={0<x<2},则(CUM)∩N=() A.{x|﹣2≤x≤1} B.{x|0<x≤1} C.{x|0<x<2} D.{x|x<R} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 中 x 的范围确定出 M,找出 M 补集与 N 的交集即可. 2 2 解答: 解:由 M 中 y=lg(x ﹣1) ,得到 x ﹣1>0, 解得:x>1 或 x<﹣1,即 M={x|x<﹣1 或 x>1}, ∴?UM={x|﹣1≤x≤1}, ∵N={0<x<2}, ∴(?UM)∩N={x|0<x≤1}, 故选:B. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
2

3. (5 分)函数 f(x)=|sin cos |的最小正周期是() A. B. C. π D.2π

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用二倍角的正弦公式可得函数的解析式为 f(x)= |sinx|,再根据 y=|Asin (ωx+φ)|的周期等于 ? ,可得结论. =π,

解答: 解:函数 f(x)=|sin cos |= |sinx|的最小正周期是 ?

故选:C. 点评: 本题主要考查三角函数的周期性及其求法, 二倍角的正弦公式, 利用了 y=Asin (ωx+φ) 的周期等于 T= ,y=|Asin(ωx+φ)|的周期等于 ? ,属于基础题.

4. (5 分)已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示,则甲、乙两人 得分的中位数之和是()

A.62

B.63

C.64

D.65

考点: 众数、中位数、平均数;茎叶图. 专题: 计算题;图表型. 分析: 由茎叶图知甲的数据有 12 个,中位数是中间两个数字的平均数,乙的数据有 13 个, 中位数是中间一个数字 36,做出两个数字之和. 解答: 解:由茎叶图知甲的数据有 12 个,中位数是中间两个数字的平均数 =27

乙的数据有 13 个,中位数是中间一个数字 36 ∴甲和乙两个人的中位数之和是 27+36=63 故选 B. 点评: 本题考查茎叶图和中位数,本题解题的关键是先看出这组数据的个数,若个数是一 个偶数,中位数是中间两个数字的平均数,若数字是奇数个,中位数是中间一个数字. 5. (5 分)若命题 P:?x0∈R,x0 +2x0+3≤0,则命题 P 的否定¬P 是() 2 2 A.?x∈R,x +2x+3>0 B. ?x∈R,x +2x+3≥0 2 2 C. ?x∈R,x +2x+3<0 D.?x∈R,x +2x+3≤0 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,若命题 P:?x0∈R,x0 +2x0+3≤0,则命 2 题 P 的否定¬P 是:?x∈R,x +2x+3>0. 故选:A. 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查. 6. (5 分) △ ABC 外接圆的半径为 1, 圆心为 O, 且 的值是() A.3 B. C. D.1
2 2

考点: 平面向量数量积的运算;向量在几何中的应用. 专题: 计算题;平面向量及应用.

分析: 根据题中的向量等式可知 AO 是△ ABC 的边 BC 上的中线,可得△ ABC 是以 A 为直 角顶点的直角三角形.然后在等腰△ ABO 中利用余弦定理,算出∠AOB=120°,进而得到 ∠C=60°.最后结合向量数量积公式和△ ABC 的边长,即可得出 解答: 解:∵ , ? 的值.

∴AO 是△ ABC 的边 BC 上的中线, ∵O 是△ ABC 外接圆的圆心 ∴△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形 ∵等腰△ ABO 中,| ∴cos∠AOB= |=| |=1, =

=﹣ ,可得∠AOB=120°

由此可得,∠B=30°,∠C=90°﹣30°=60°,且△ ACO 是边长为 1 的等边三角形 ∵Rt△ ABC 中,| ∴ ? =| |?| |=1,| |cos60°=1 |=2

故选:D

点评: 本题给出三角形 ABC 外接圆心 O,在已知 AO 是 BC 边的中线情况下求

?



值.着重考查了直角三角形的性质、余弦之理和向量数量积运算公式等知识,属于中档题. 7. (5 分)先后抛掷两颗质地均匀的骰子,则两次朝上的点数之积为奇数的概率为() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 根据题意得出基本事件为(x,y) ,总共有 6×6=36,列举两次朝上的点数之积为奇数 事件求解个数,运用古典概率公式求解即可. 解答: 解:骰子的点数为:1,2,3,4,5,6, 先后抛掷两颗质地均匀的骰子,基本事件为(x,y) , 总共有 6×6=36, 两次朝上的点数之积为奇数事件为:A

有(1,1) , (1,3) , (1,5) , (3,1) , (3,3) , (3,5) , (5,1) , (5,3) , (5,5) , 共有 9 个结果, ∴两次朝上的点数之积为奇数的概率为 P(A)= =

故选:C 点评: 本题考查了古典概率的求解,关键是求解基本事件的个数,运用列举的方法求解符 合题意的事件的个数,属于中档题. 8. (5 分)已知某产品连续 4 个月的广告费 xi(千元)与销售额 yi(万元) (i=1,2,3,4) 满足 , ,若广告费用 x 和销售额 y 之间具有线性相关关系,且回归直线

方程为

=0.8x+a,那么广告费用为 6 千元时,可预测的销售额为() B.4.7 万元 C.4.9 万元 D.6.5 万元

A.3.5 万元

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求出样本中心点代入回归直线方程,可得 a,再将 x=6 代入,即可得出结论. 解答: 解:由题意, =4.5, =3.5, 代入 =0.8x+a,可得 3.5=0.8×4.5+a,

所以 a=﹣0.1, 所以 =0.8x﹣0.1, =0.8×6﹣0.1=4.7,

所以 x=6 时,

故选:B. 点评: 本题考查线性回归方程,考查学生的计算能力,利用回归方程恒过样本中心点是关 键. 9. (5 分)已知直线 kx﹣y=k﹣1 与 ky﹣x=2k 的交点在第二象限,则实数 k 的取值范围是() A.(0, ) B.( ,1) C.(0,1) D.[1}

考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 直线与圆.

分析: 联立

,解得

,解出即可.

解答: 解:联立

,解得

,解得



∴实数 k 的取值范围是



故选:A. 点评: 本题考查了直线的交点、不等式的解法,考查了计算能力,属于基础题. 10. (5 分)过点 A(﹣2,3)作抛物线 y =4x 的两条切线 l1、l2,设 l1、l2 与 y 轴分别交于点 B、C,则△ ABC 的外接圆方程为() A.x +y ﹣3x﹣4=0 2 2 C. x +y +x﹣3y﹣2=0
2 2 2

B. x +y ﹣2x﹣3y+1=0 2 2 D.x +y ﹣3x﹣2y+1=0

2

2

考点: 直线与圆锥曲线的关系;圆的一般方程. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 直接利用 A 的坐标满足圆的方程,判断求解即可. 解答: 解:由题意可知,△ ABC 的外接圆方程,A 的坐标满足圆的方程, 2 2 点 A(﹣2,3)代入 x +y ﹣3x﹣4=0,左侧=4+9+6﹣4=15≠0,不成立.所以 A 不正确; 2 2 点 A(﹣2,3)代入 x +y ﹣2x﹣3y+1=0,左侧=4+9+4﹣9+1=9≠0,不成立.所以 B 不正确; 2 2 点 A(﹣2,3)代入 x +y +x﹣3y﹣2=0,左侧=4+9﹣2﹣9﹣2=0,成立.所以 C 正确; 2 2 点 A(﹣2,3)代入 x +y ﹣3x﹣2y+1=0,左侧=4+9+6﹣9+1=11≠0,不成立.所以 D 不正确. 故选:C. 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的应用,圆的方程的求法,本题是选择题,方法独特,希 望同学们掌握;如果直接求解方法是设出切线的斜率,利用直线与抛物线相切,求出 k,然后 求出三角形的顶点坐标,利用圆的一般方程求解. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11. (5 分)不等式|x|+|x﹣1|>3 的解集为(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) . 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由于|x|+|x﹣1|表示数轴上的 x 对应点到 0、1 对应点的距离之和,而﹣1 和 2 对应点 到 0、1 对应点的距离之和等于 3,由此求得不等式的解集. 解答: 解:由于|x|+|x﹣1|表示数轴上的 x 对应点到 0、1 对应点的距离之和,而﹣1 和 2 对 应点到 0、1 对应点的距离之和等于 3, 故当 x<﹣1,或 x>2 时,不等式|x|+|x﹣1|>3 成立. 故不等式|x|+|x﹣1|>3 的解集为(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) , 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) . 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,属于中档题.

12. (5 分)若 x、y 满足

,则 z=

x﹣y 的最大值为



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标,代入 目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得

,即 C(1,0) ,

化目标函数 z= x﹣y 为直线方程斜截式: , 由图可知,当直线 过点 C 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最大值等于 故答案为: . 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.



13. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 p=5,则输出的 S 等于

考点: 程序框图. 专题: 图表型;三角函数的图像与性质. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 n,s 的值,当 n=5 时,不满足条件 n <p,退出循环,输出 S 的值为 .

解答: 解:模拟执行程序框图,可得 p=5,n=0,S=0 满足条件 n<p,n=1,S= 满足条件 n<p,n=2,S= 满足条件 n<p,n=3,S= 满足条件 n<p,n=4,S= 满足条件 n<p,n=5,S= 不满足条件 n<p,退出循环,输出 S 的值为 故答案为: . .

点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,依次正确写出每次循环得到的 n,s 的值是解 题的关键,属于基本知识的考查. 14. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 2 π+2π+4

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是一底面为半圆,高为 2 的半圆锥,结合图中 数据,求出它的表面积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是一底面为半圆,高为 2 的半圆锥, 且底面半圆的半径为 2; ∴该半圆锥的表面积为 S 表面积=S 半圆+S△ +S 侧面展开图 = π?2 + ×4×2+ × ×2π?2× =2π+4+2 π. 故答案为:2 π+2π+4. 点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,解题时应根据三视图得出几何体的结 构特征,是基础题目. 15. (5 分)如图,正四棱锥 O﹣ABCD 的棱长均为 1,点 A、B、C、D 在求 O 的表面上,延 长 CO 交球面于点 S,则四面体 A﹣SOB 的体积为 .
2

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;球内接多面体. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 假设 AC 与 BD 相交于点 E,则 BE⊥平面 SAC,BE= .利用正方体的性质与勾股

定理的逆定理可得 OA⊥OC,利用四面体 A﹣SOB 的体积 V=VB﹣SAO= BE?S△ SAO.即可得 出.

解答: 解:假设 AC 与 BD 相交于点 E,则 BE⊥平面 SAC,BE= 连接 SA,∵SC 是直径,∴SA⊥AC, 2 2 2 ∵OA +OC =AC =2, ∴OA⊥OC, ∴又 S△ SAO=S△ OAC= = . × = .



四面体 A﹣SOB 的体积 V=VB﹣SAO= BE?S△ SAO= 故答案为: .

点评: 本题考查了线面面面垂直的判定性质定理、正方形的性质、正四面体的性质、球的 性质、三棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 16. (5 分)在各项均为正项的等比数列{an}中,已知 a1+a2+a3+a4+a5=31, = ,则 a3=4.

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设出等比数列的首项和公比,由题意列式,整体运算得到 解答: 解:设等比数列 an 的公比为 q,则{ }也是等比数列, ,则 a3 可求.

且公比为 ,依题意得:



两式作比得:

,即



∵an>0,∴a3=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,是基础的计算题.

17. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=



若 y=f (x)﹣af(x)+a﹣1 的零点个数是 7 个,则实数 a 的取值范围为( ,2) .

2

考点: 根的存在性及根的个数判断;函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 2 分析: 化简 f (x)﹣af(x)+a﹣1=0 得 f(x)=1 或 f(x)=a﹣1,作 f(x)与 y=1 及 y=a ﹣1 的图象,由数形结合求解. 解答: 解:令 f (x)﹣af(x)+a﹣1=0 得, f(x)=1 或 f(x)=a﹣1, 作 f(x)与 y=1 及 y=a﹣1 的图象如下,
2

由图象知, y=1 与 f(x)的图象有三个交点, 故 y=a﹣1 与 f(x)有四个交点, f(2)= , 则结合图象可得, <a﹣1<1, 即 <a<2; 故答案为: ( ,2) . 点评: 本题考查了函数的零点与函数的交点的关系应用及数形结合的思想应用,属于中档 题. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 65 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S8=64, (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证: + (n≥2,n∈N ) .
*

考点: 数列的求和;数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设等差数列{an}的首项为 a1、公差为 d,利用 a3=5、S8=64 计算即得结论; 2 2 2 (2)通过数列{an}的首项为 1,公差为 2 可得 Sn=n ,从而不等式成立等价于 3n >1,而 3n >1 在 n≥1 时恒成立,即得结论. 解答: (1)解:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 则 ,

解得:a1=1,d=2, ∴数列{an}的通项 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (2)证明:∵数列{an}的首项为 1,公差为 2, ∴Sn=n+2× 要证: + =n , (n≥2,n∈N ) ,
* 2

即证:
2

+
2


2


2 2

只需证:[(n+1) +(n﹣1) ]n >2(n ﹣1) , 2 2 2 2 只需证: (n +1)n >(n ﹣1) , 2 只需证:3n >1, 2 而 3n >1 在 n≥1 时恒成立,并且以上每步均可逆, 从而不等式 + (n≥2,n∈N )恒成立.
*

点评: 本题考查求数列的通项,考查关于数列和的不等式恒成立问题,注意解题方法的积 累,属于中档题. 19. (12 分)已知△ ABC 的内角 A、B、C 的对边 a,b,c,且满足 bcos A=a(2﹣sinAsinB) , a+b=6. (Ⅰ)求 a、b 的值 (Ⅱ)若 cosB= ,求△ ABC 的面积.
2

考点: 正弦定理. 2 2 分析: (I)由 bcos A=a(2﹣sinAsinB) ,可得 sinBcos A=sinA(2﹣sinAsinB) ,化为 sinB=2sinA,由正弦定理可得:b=2a,与 a+b=6 联立解得 a,b. (II) 由 cosB= , 可得 sinB= , 可得 sinA= , cosA= ; sinC=sin

(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,利用 S△ ABC= 解答: 解: (I)∵bcos A=a(2﹣sinAsinB) , 2 ∴sinBcos A=sinA(2﹣sinAsinB) ,
2

即可得出.

∴sinBcos A+sin AsinB=2sinA, ∴sinB=2sinA, 由正弦定理可得:b=2a, 与 a+b=6 联立解得 a=2,b=4. (II)∵cosB= ∴sinB= ∴sinA= = , = , = ; + . , = ,

2

2

cosA=

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∴S△ ABC= =
2 2 2

=2

(II)由余弦定理可得:b =a +c ﹣2accosB,b=2a,c= ∴4a =a +7﹣
2 2 2

=a +7﹣2

2

×



化为 3a +4a﹣7=0,解得 a=1. ∴b=2. ∴a=1,b=2. 点评: 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、 三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20. (13 分)如图,在四面体 P﹣ABC 中,底面 ABC 是边长为 1 的正三角形,PB=PC= AB⊥BP. (Ⅰ)求证:PA⊥BC (Ⅱ)求点 P 到底面 ABC 的距离. ,

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的性质. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)取 BC 中点 M,连结 AM,PM,依题意可知 AM⊥BC,PM⊥BC,从而 BC⊥ 平面 PAM,由此能证明 PA⊥BC; (Ⅱ)过 P 作 PH⊥AM,连接 BH,证明 PH⊥平面 ABC,求出 BH,即可求点 P 到底面 ABC 的距离. 解答: (Ⅰ)证明:取 BC 中点 M,连结 AM,PM, 依题意底面 ABC 是边长为 1 的正三角形,PB=PC= , 所以 AM⊥BC,PM⊥BC,

又 AM∩PM=M, 所以 BC⊥平面 PAM, 又 PA?平面 PAM, 所以 PA⊥BC; (Ⅱ)解:因为 BC⊥平面 PAM,BC?平面 ABC 所以平面 ABC⊥平面 PAM, 过 P 作 PH⊥AM,连接 BH, 所以 PH⊥平面 ABC, 所以 PH⊥AB, 因为 AB⊥PB,PH∩PB=P, 所以 AB⊥平面 PBH, 所以 AB⊥BH. 在 Rt△ ABH 中,∠BAH=30°,所以 BH= 在 Rt△ PBH 中,PB= ,所以 PH= . , = ,

所以点 P 到底面 ABC 的距离为

点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,正确作出点 P 到底面 ABC 的距离是解题的关键. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣3x +ax(a∈R) (1)求函数 y=f(x)的单调区间; (2)当 a≥2 时,求函数 y=|f(x)|在 0≤x≤1 上的最大值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求出函数的导数,讨论判别式小于或等于 0,和大于 0,令导数大于 0,得增区 间;令导数小于 0,得减区间; (2)由(1)讨论当 a≥3 时,当 2≤a<3 时,求得函数的单调区间,通过函数值的符号,去绝 对值符号,即可得到最大值. 3 2 2 解答: 解: (1)函数 f(x)=x ﹣3x +ax 的导数为 f′(x)=3x ﹣6x+a, 判别式△ =36﹣12a, 当△ ≤0 时,即 a≥3,f′(x)≥0 恒成立,f(x)为增函数; 当 a<3 时,即△ >0,3x ﹣6x+a=0 有两个实根,x1=1﹣ f′(x)>0,可得 x>x2 或 x<x1;f′(x)<0,可得 x1<x<x2.
2 3 2

,x2=1+



综上可得,a≥3 时,f(x)的增区间为 R; a<3 时,f(x)的增区间为(﹣∞,1﹣ 减区间为(1﹣ ,1+ ) . ) , (1+ ,+∞) ,

(2)由于 y=|f(x)|的图象经过原点, 当 a≥3 时,由(1)可得 y=|f(x)|=f(x)在[0,1]递增, 即有 x=1 处取得最大值,且为 a﹣2; 当 2≤a<3 时,由(1)可得 f(x)在[0,1﹣ 在(1﹣ ,1]递减, 处取得最大值,且大于 0, )递增,

则 f(x)在 x=1﹣

又 f(0)=0,f(1)=a﹣2≥0, 则 y=|f(x)|=f(x) (0≤x≤1)的最大值即为 f(1﹣ 综上可得,当 a≥3 时,函数 y 的最大值为 a﹣2; 当 2≤a<3 时,函数 y 的最大值为 f(1﹣ ) . ) .

点评: 本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,主要考查分类讨论的思想方法和 函数的单调性的运用,考查运算能力,属于中档题和易错题.

22. (14 分)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

=1(a>b>0)的离心率为

,短轴长为 2.

(Ⅱ)若 A、B 是椭圆 C 上的两动点,O 为坐标原点,OA、OB 的斜率分别为 k1,k2,问是 否存在非零常数 λ,使 k1?k2=λ 时,△ AOB 的面积 S 为定值,若存在,求 λ 的值;若不存在, 请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)通过 = 、2b=2、a =b +c ,计算即得结论;
2 2 2

(Ⅱ)设直线 AB 的方程并与椭圆方程联立,利用韦达定理、三角形面积计算公式、k1?k2=λ 可得 S△ AOB 的表达式,分析表达式、计算即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵e= = ∴a=2,b=1, ∴椭圆 C 的方程为: +y =1;
2

,2b=2,a =b +c ,

2

2

2

(Ⅱ)结论:存在非零常数 λ=﹣ ,使 k1?k2=﹣ 时,△ AOB 的面积 S 为定值 1.

理由如下: 设存在这样的常数 λ,使 k1?k2=λ 时,S△ AOB 为定值. 设直线 AB 的方程为:y=kx+m,且 AB 与 ∵k1?k2=λ,∴λx1x2﹣y1y2=0, ∴﹣λx1x2+(kx1+m) (kx2+m)=0, 2 2 ∴(k ﹣λ)x1x2+km(x1+x2)+m =0. 将 y=kx+m 代入
2 2 2

+y =1 的交点坐标为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

+y =1,消去 y 得:
2

2

(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0, 由韦达定理可得: x1+x2= ,x1x2= ,

∴(k ﹣λ)x1x2+km(x1+x2)+m =0 可化为:m =

2

2

2



∵点 O 到直线 AB 的距离为 d=



∴S△ AOB= ?d?|AB|= ?|x1﹣x2|?|m|=





=

=

?



要使上式为定值,只需
2

=

=



即只需(1+4λ) =0,∴λ=﹣ , 此时 = ,即 S△ AOB=1,

故存在非零常数 λ=﹣ ,此时 S△ AOB=1. 点评: 本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算 求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,注意解题方法的积累,属于中档题.


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