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第3章 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用


目录

CONTENTS
1 考纲解读

第三章 三角函数、解三角形 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的

2 3 4 5

教材回顾 考点突破
课堂小结

图象及三角函数模型的简单应


课时规范练

考纲解读

考纲解读 1.以 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)为主要内容,考查三角函数 图象的变换;2.根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式,研究性质,待定参 数;3.以 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)为模型,考查三角函数的实际应用.

教材回顾
[基础梳理] 1.五点法画函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)列表:
X=ω· x+φ x sin X y 0 π 2 π 3π 2 2π

φ π φ π φ 3π - φ 2π φ -ω 2ω ω _______ ω -ω ____ _______ 2ω-ω ______ ω-ω _______
0 1 0 -1 0

A 0 0 -A 0 ____ _______ ______ _______ _______

教材回顾

? π ? ?π ? ? 3π ? ?2π ? ? φ φ φ φ φ ? ? ? ? ? ? ? ? ? - ,- A - , 0 -ω,0? ?2ω-ω,A? ? - ,0? ? ? ? ω ? ,?2ω ω ω ? ? ? , ?ω ? , ?ω ? . (2)描点: ?, ? ? ? ?

(3)连线:把这 5 个点用光滑曲线顺次连接,就得到 y=Asin(ωx+φ)在区间长度 为一个周期内的图象.

教材回顾
2.由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤

12 个小环节构成 6 条路线: (以③⑨?线路为例) ③把 y=sin x 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位长度,得到 y=sin(x+φ)的图象;

教材回顾

1 ⑨再把所得图象上的所有点的横坐标变为原来的ω(ω>0)倍,纵坐标不变,得到 y=sin(ωx+φ); ?最后把所有点的纵坐标变为原来的 A(A>0)倍, 横坐标不变, 就得到 y=Asin(ωx +φ)的图象.

教材回顾

3.y=Asin(ωx+φ)的物理意义
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时 振幅 A 周期 频率 1 ω f=T=2π 相位
ωx+φ _______

初相 φ

2π ω T=_____

教材回顾
[三基自测] π? 1.(必修 4· 习题 1.5A 组改编)为了得到函数 y=sin 2x-3? ?的图象,只需把函数 y ? π? =sin 2x+6? ?的图象( B ) ? π π A.向左平移4个单位长度 B.向右平移4个单位长度 π π C.向左平移2个单位长度 D.向右平移2个单位长度
? ? ? ? ? ? ? ?

教材回顾

?? π π? ?? 2. (必修 4· 习题 1.5A 组改编)已知简谐运动 f(x)=2sin 3x+φ??|φ|<2? ?的图象经过点 ?? ?

? ? ? ?

(0,1),则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( A ) π A.T=6,φ=6 π C.T=6π,φ=6 π B.T=6,φ=3 π D.T=6π,φ=3

教材回顾

3.(必修 4· 习题 1.5A 组改编)电流 i(单位:A)随时间 t(单位:s)变化的函数关系 π? 是 i=5sin 100πt+3? ?,t∈[0,+∞),则电流 i 变化的初相、周期分别是______. ?
? ? ? ?

π 1 答案:3,50

教材回顾

1 4. (必修 4· 习题 1.5 例题改编)由 y=sin x______得到 y=sin 3x______得到 y=2sin 1 1 π x ______ 得到 y = 2sin( 3 3x-6).
答案:横坐标伸长到原来的 3 倍,纵坐标不变 纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变 π 向右平移2个单位

考点突破 考点一 图象与变换 (易错突破)
? ? ? ?

? π 【例 1】 设函数 f(x)=cos(ωx+φ) ω>0,-2<φ<0? ?的最小正 ?

2π (1)最小正周期 T= ω =π, ∴ω= 2.
? ? ?π ? π? π ? ? ? ? ∵ f 4? = cos ?2×4+φ? = cos ?2+φ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

π? 3 周期为 π,且 f 4? ?= 2. ?

? ? ? ?

3 =-sin φ= 2 , 3 ∴sin φ=- 2 .
(1)求 ω 和 φ 的值;

π π ∵-2<φ<0,∴φ=-3.

考点突破 考点一
? π? ? (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π] (2)由(1)得 f(x)=cos? ?2x- ?,列表: 3 ? ?

上的图象.

π 5 2 11 π π π 6 12 3 12π π π π 3 5 π 2x-3 -3 0 2 π 2 3π 1 1 f(x) 1 0 -1 0 2 2 图象如图所示. x 0

考点突破 考点一
易错提醒 1.给定区间的五点法作图,除一个周期 π π π π (3)由 y=sin x 经过怎样的变换得到 f(x)= (3)f(x)=cos(2x- )=sin[ +(2x- )]=sin(2x+ ), 3 2 3 6 内的五个特征点外,还要写出端点. cos(ωx+φ)的图象(x∈R). π 所以由 y = sin x 向左平移 2.图象作左右平移变换时,要注意是先变周期,还 6个单位长度,得到 y= 是先变相位,两种方法平移的单位个数不同. π 1 sin(x+6)的图象, 再将图象的横坐标缩小到原来的2

π 倍, 纵坐标不变, 得到 y=sin(2x+6)的图象, 即 f(x) π =cos(2x-3)的图象.

考点突破 考点一
纠错训练
? π? ? (1)若函数 y=cos ωx(ω>0)的 依题意得,函数 y=cos ωx=sin? ?ωx+ ?的图象向右 2 ? ?

π 图象向右平移6个单位后与函数 y=sin ωx π 平移 6 个单位后得到的曲线对应的解析式是 y = 的图象重合,则 ω 的值可能是( C ) ? ? ? π? πω π? π? ? ? ? ?ω?x- ?+ ?=sin?ωx- + ? sin =sin ωx,因此有 6? 2 ? 6 2? 1 ? ? ? ? A.2 B.1 πω π - 6 +2=-2kπ,k∈Z,即 ω=12k+3,其中 k∈ C.3 D.4

Z,于是结合各选项知 ω 的值可能是 3.

考点突破 考点一
①f(x)=cos2x-sin2x-2sin xcos x=cos 2x-sin 2x= (2) 已知函数 f(x) = cos x - 2sin xcos x - ? ? 2 ? π? 2 ? 2? cos 2x- sin 2x?= 2cos?2x+4? ?. 2 2 ?2 ? ? ? sin x. ②列表: π π π 3 9 π 2π 2x+4 4 2 π 2 4π π 3 5 7 x 0 π π π 8 8 8 8π f(x) 1 0 - 2 0 2 1 ①将 f(x)化为 y=Acos(ωx+φ)的形式; 图象为: ②用“五点法”在给定的坐标中, 作出函
2

数 f(x)在[0,π]上的图象.

考点突破 考点二 三角函数模型及应用 (思维突破)
(1)由于 A=3,最小值 ymin=2, ymax-ymin 由 A= ,∴ymax=8. 2 故选 C.

【例 2】 (1)(2015· 高考陕西卷)如图, 某港口一天 6 时到 18
? π 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin 6x+φ? ? +k.据此函 ? ? ? ? ?

数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( C )

A.5 C.8

B.6 D.10

考点突破 考点二
3-1 T 5π π 2π 思维升华 确定 y=y A sin( ωx +φ(2) )+ b(A>0,ω>0) 的思维和步骤 (2)(2017· 莱芜质检 )如图是函数 = f(x )= 由图象知, A= = 1 , 2 2 = 6 -6= 3 ,则 T M-m M+m Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象 (1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m ,则 A = , b = . 4π 3 5π 3 2 π 2 = 3 ,ω=2,由 6 ×2+φ=2+2kπ,k∈Z,得 φ 的 一 部 分 , 则 函 数 f(x) 的 解 析 式 为 2π (2) 求 ω ,确定函数的周期 T ,则可得 ω = . 3π 3π ________. T =- 4 +2kπ,k∈Z,又|φ|<π,∴φ=- 4 . (3)求 φ,常用的方法有: ?3 3π? ? ? ∴f(x)=sin + 2. ? x- ①代入法:把图象上的一个已知点代入 (此时 A , ω , b 已知)或代入图象与直线 y= 4? ?2 ?
b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). ②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口. ? ? 3 3π
? ?

[答案]

? (2)f(x)=sin? ? x- 2 4 ?+2

考点突破 考点二
由图象可知,ymin=2,T=18-6=12, 母题变式 在本例(1)中, 若条件和图象不 2π π ∴ω= T =6, 13 π π 变,当 x=6 时,y= 2 ,φ∈(-2,2),求 ymax-ymin 由于 A=3,∴3= ,∴ymax=8, 2 函数 y=3sin(ωx+φ)+k 的解析式. 8+2 ∴k= 2 =5. 13 又当 x=6 时,y= 2 , π 13 1 ∴3sin(6×6+φ)+5= 2 ,∴sin(π+φ)=2, 1 ∴-sin φ=2, ? π π? π π π ? ∵φ∈?-2,2? ?,∴φ=- .∴y=3sin( x- )+5. 6 6 6 ? ?

考点突破 考点三
三角函数的图象和性质的应用(方法突破)
? ? ? ?

π? 方法 1 整体换元法求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间、 对称轴、 (1)由题意 f(x)=sin 2x+ ? ,将其 6? ? 对称中心 图象向右平移 φ(φ>0)个单位后所 1 【例 3】 (1)已知函数 f(x)= 3sin xcos x+2cos 2x,若将其 得图象对应的解析式为 g(x) = ? π? π ? 图象向右平移 φ(φ>0)个单位后所得的图象关于原点对称, 则 sin? ?2?x-φ?+ ?,则 2φ- =kπ(k 6? 6 ? φ 的最小值为( C ) kπ π ∈ Z ) ,即 φ = +12(k∈Z),又 π 5π 2 A.6 B. 6 π φ >0 ,所以 φ 的最小值为 .故选 π 5π 12 C.12 D.12 C.

考点突破 考点三
(2)(2017· 湖 北 武 汉 模 拟 ) 设 函 数 f(x) = Asin(ωx + π? φ) A>0,ω>0,|φ|<2? ?与直线 y=3 的交点的横坐标构成以 ? π π 为公差的等差数列,且 x=6是 f(x)图象的一条对称轴, 则下列区间中不是函数 f(x)的单调递增区间的是( D ) π ? A. -3,0? ? ? 2π 7π? C. 3 , 6 ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4π 5π? B. - 3 ,- 6 ? ? ? 5π π? D. - 6 ,-3? ? ?
? ? ? ?

? ? ? ?

(2)由题意得 A=3,T=π,∴ω=2. ?π? ?π? ∴f(x)=3sin(2x+φ),又 f?6?=3 或 f?6?=- ? ? ? ? 3. π π π ∴2×6+φ=kπ+2, k∈Z, φ=6+kπ, k∈Z, ? π? π π 又∵|φ|<2,∴φ=6,∴f(x)=3sin?2x+6?, ? ? π π π 令-2+2kπ≤2x+6≤2+2kπ,k∈Z, π π 得-3+kπ≤x≤6+kπ,k∈Z, 故 当 k = - 1 时 , f(x) 的 增 区 间 为 ? 4 5 ? ?- π,- π?, 6 ? ? 3 ? π π? 当 k=0 时,f(x)的增区间为?-3,6?,当 k ? ? =1 时, ?2 7 ? f(x)的增区间为?3π,6π?,故选 D. ? ?

考点突破 考点三
2 2 数形结合法求解三角不等式、三 f(x)=sin x+sin xcos x+2cos x 3 1 1 角方程 =2+2sin 2x+2cos 2x 【例 4】 设 f(x)=sin x(sin x+cos x)+ 2 π 3 2 = sin(2 x + 2cos x. 2 4)+2,

方法 2

(1)求函数 f(x)的最大值与最小正周期;

π 3 2 (1)当 sin(2x+4)=1 时,f(x)max=2+ 2 . 2π T= 2 =π.

考点突破 考点三
2 π 3 3 3 (2) 令 sin(2 x + (2)求使不等式 f(x)≥2成立的 x 的取值集 2 4)+2≥2,
合.

π ∴sin(2x+4)≥0. π 由正弦图象可知 2kπ≤2x+4≤2kπ+π,k∈Z. π 3 ∴kπ-8≤x≤kπ+8π, π 3 ∴x 的取值集合为{x|kπ-8≤x≤kπ+8π,k∈Z}.

考点突破 技法感悟

技法感悟 1.奇偶性 对于 y=Asin(ωx+φ)(A≠0),若为奇函数,则 φ=kπ(k∈Z);若为偶函数,则 φ π π =2+kπ(k∈Z).对于 y=Acos(ωx+φ)(A≠0),若为奇函数,则 φ=2+kπ(k∈Z); 若为偶函数,则 φ=kπ(k∈Z).对于 y=Atan(ωx+φ)(A≠0),若为奇函数,则 φ =kπ(k∈Z).

考点突破 技法感悟

2.函数图象的对称中心、对称轴 (1)求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)的函数图象的对称轴或对称中心 时, 都是先把“ωx+φ”看作一个整体, 然后根据 y=sin x 和 y=cos x 图象的对 称轴或对称中心进行求解. (2)在判断对称轴或对称中心时,用以下结论可快速解题:设 y=f(x)=Asin(ωx +φ),g(x)=Acos(ωx+φ),x=x0 是对称轴方程?f(x0)=± A,g(x0)=± A;(x0,0) 是对称中心?f(x0)=0,g(x0)=0.

考点突破 技法感悟
3.单调性 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0), π π 令-2+2kπ≤ωx+φ≤2+2kπ,求出 x 的区间为增区间; π 3 令2+2kπ≤ωx+φ≤2π+2kπ,求出 x 的区间为减区间. y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0), 令 2kπ≤ωx+φ≤2kπ+π.求出 x 的区间为减区间; 令-π+2kπ≤ωx+φ≤2kπ,求出 x 的区间为增区间.

考点突破 考点三
π π 跟踪训练 (1)已知函数 f(x)=2sin ωx 在 当 ω>0 时,- ω≤ωx≤ ω, 3 4
π π 区间[-3,4]上的最小值为-2,则 ω 的 取值范围是( D ) 9 A.(-∞,-2]∪[6,+∞) 9 3 B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.(-∞,-2]∪[6,+∞) 3 3 D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

π π 3 由题意知-3ω≤-2,即 ω≥2; π π 当 ω<0 时,4ω≤ωx≤-3ω, π π 3 由题意知-3ω≥2,即 ω≤-2. 综上可知,ω 的取值范围是 3 3 (-∞,-2]∪[2,+∞).

考点突破 考点三
(2)(2017· 天津模拟)已知函数 f(x)= 3sin ωx+ cos ωx(ω>0)的图象与 x 轴交点的横坐标构成 π 一个公差为2的等差数列,把函数 f(x)的图象 π 沿 x 轴向左平移6个单位,得到函数 g(x)的图 象.关于函数 g(x),下列说法正确的是( D ) ? π π? ? A.在? ?4,2?上是增函数 ? ? π B.其图象关于直线 x=-4对称 C.函数 g(x)是奇函数 ?π 2π? ? D. 当 x∈? 函数 g(x)的值域是[-2,1] ?6, 3 ?时, ? ?
? π? T π ? ωx + f(x)= 3sin ωx+cos ωx=2sin? ,由题设知 ? 6? 2=2, ? ? ? π? 2π ? 2 x + ∴T=π,ω= T =2,∴f(x)=2sin? ? 6?.把函数 f(x)的图 ? ? ? ? ? π? π ? ? π? x + 2 + 象沿 x 轴向左平移6个单位, 得到 g(x)=2sin? ? ? 6? 6?= ? ? ? ? ? π? ? 2sin?2x+2? ?=2cos ? ?

2x

? π π? ? 的图象,g(x)是偶函数且在? ?4,2?上 ? ?

π 是减函数, 其图象关于直线 x=-4不对称, 所以 A, B, C 错误.当
?π 2π? ?π 4π? ? ? ? x∈?6, 3 ?时,2x∈? ?3, 3 ?,则 ? ? ? ?

g(x)min=2cos

π π =- 2 , g(x)max = 2cos 3 = 1 ,即函数 g(x) 的值域是 [ - 2,1],故选 D.

课堂小结

1.三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路 先将 y=f(x)化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,再借助 y=Asin(ωx+φ)的图象和 性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.

2.三角函数的零点、不等式问题 (1)把函数表达式转化为正弦型函数形式 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0). (2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象. (3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题.

课堂小结

3.注意易失误点 (1)平移前后两个三角函数的名称如果不一致,应先利用诱导公式化为同名函 数,ω 为负时应先变成正值. (2)求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间务必注意 A、 ω 的符号, 首先将 ω 变为正. (3)正切函数 y=tan x 在定义域上不是单调函数,但存在单调区间,即
? ? ? ? ? π π -2+kπ,2+kπ? ?,k∈Z 为其单调递增区间. ?

课时规范练
课时 跟踪检测

本课内容结束


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