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第二章随机变量及其分布


第二章 随机变量及其分布
§1 随机变量的概念与离散型随机变量
§1.1 随机变量的概念
? 为了全面地研究随机试验的结果,揭示客观存在 着的统计规律性,我们将随机试验的结果与实数 对应起来 , 将随机试验的结果数量化 , 引入随机 变量的概念.

在许多带有随机因素的实际问题中 ,我们往往 只关心某些数据,如电子元件的寿命、车

站的候车 人数等等.此外人们还发现建立数和人或其他事物 的对应关系会带来许多便利 ,比如每一个学生可以 用一个学号与之对应,城市的每一间房屋可以用一 个门牌号与之对应,工厂生产的同一种型号产品,比 如计算机 , 可以用一个代码与之对应 . 同样 , 建立数 和基本事件的对应关系将有助于我们利用现有的 一些数学方法对随机现象作进一步的研究.

定义:设随机试验 E 的样本空间 ? ? {?} ,如果对任意 的基本事件 ? ? ? , 有一个实数 X 称 X 为随机变量.
? X (? ) 与之对应 , 就

通常,我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量. ? 引入随机变量后,就可以用随机变量X描述 事件.一般对于任意的实数集合L,{X ∈L}表示 事件{e|X(e)∈L}.

例: 设 10 件产品中有 8 件合格品和 2 件不合格品, 从中随机抽取一件,令
?1, 取到合格品 X ?? ?0,取到不合格品

则 X 是一个随机变量,它只取两个可能值 0 和 1.

如果我们把产品编号,1 到 8 号为合格品,9 到 10 号为 不合格品,样本空间可表示为 ? ? {?1 ,?,?10 } ,其中 ?i 表 示取到第 i 号产品.这时基本事件与随机变量的对应 关系为
?1,  i ? 1,?,8 X (? i ) ? ? ? 0,  i ? 9,10

例:考察一个医院每天的就诊人数 X,则 X 是一个随 机变量,它的取值范围是 X ? 0,1,2,? .
例: 观察公交车站上乘客的等车时间 X,X 是一个随机 变量,它的取值范围是某一个区间.
例:记录中央电视台新闻联播节目的播出时间长度 X,则 X 也是一个随机变量,它的取值范围也是一 个区间.

§1.2 离散型随机变量
定义: 如果随机变量 X 所有可能取的值只有有限 个或可列无限多个(即可以和自然数集
N ? {1,2,?, n,?}中的元素

1-1 对应),则称 X 为离散

型随机变量.
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
x1 , x2 ,?,X 取值为 xk 的概率为
P( X ? xk ) ? pk ,

k ? 1,2,? .

称为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律.

分布律还可以简单地表示为:

X P
1.

x1 p1

x2 p2

… …

xk pk

… …

分布律具有以下性质:
pk ? 0,  k ? 1 , 2, ?
?

2.

?p
k ?1

k

?1

例:实验室共有 40 台同类仪器,其中有 5 台仪器不能 正常工作.某班实验课随机取其中的 34 台做实验,求 取到的不能正常工作的仪器台数 X 的分布律.

解 X 的分布律为:

C C P( X ? k ) ? C

k 5

34 ? k 35 34 40

, k ? 0, 1, ?, 5

例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每 个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车 首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相 互独立的),求X的分布律.

例: 设随机变量 X 具有分布律

P( X ? k ) ? ak, k ? 1,2,3,4,5
5 ? X ? ) 和 P(1 ? X ? 2) (1)确定常数 a ,(2)计算 P( 1 2 2
.

.

§2 0-1分布和二项分布
§2 .1 0-1分布(两点分布)
如果随机变量 X 只取两个值,就称 X 服从两点分布, 一般两点分布取值为 0 和 1,分布律为:

X
Pk

0
1-p

1
p

例: 射手每次射击的成绩在 9.5 环以上时被认为 射击成功.如果每次射击成功的概率为 0.45,令
?1,  当射击成功 X ?? ?0,     否则

则随机变量 X 服从 0-1 分布,分布律为
X
Pk

0
0.55

1
0.45

例: 商店里有 10 张同类 CD 片,其中 6 张为一级品,3 张为二级品,1 张为不合格品.顾客购买时任取其中一 张,求取得合格品的概率.
?1,  取得合格品 X ?? 令 ?0,     否则



, 则 X 服从 0-1 分布,
0 1

其分布律为

X

Pk
取得合格品的概率为

0.1
P( X ? 1) ? 0.9

0.6+0.3

? 例:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中 随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等. ?若定义随机变量X为
?0, X ? X (? ) ? ? ?1, 当取到次品时 当取到正品时

则有 P{X=0}=0.05,P{X=1}=0.95 ?若定义随机变量Y 为 当取到次品时 ?1,
Y ? Y (? ) ? ? ?0, 当取到正品时

则有 P{Y=0}=0.95,P{Y=1}=0.05 ?从中看到X,Y都服从(0-1)分布

§2.2 贝努里试验和二项分布
将试验重复进行 n 次,每次试验中事件 A 或 者发生,或者不发生.如果每次试验的结果互不影 响,则称这 n 次试验是相互独立的.在 n 次重复、 独立试验中,不管哪一次试验,事件 A 发生的概率 保持不变,即不管在哪一次试验中都有
P( A) ? p, P( A ) ? 1 ? p .

独立试验序列是贝努里(Bernoulli)首先研究 的,故也称为贝努里试验.贝努里试验是一种很重 要的数学模型,它在实际中具有广泛的应用.在 n 重贝努里试验中事件 A 发生的次数 X 是一个随 机变量,如果每次试验中 A 发生的概率为 p,称 X 服 从 参 数 为 n, p 的 二 项 分 布 或 贝 努 里 分 布 , 记 X~ B(n, p) .二项分布是概率论中的一种重要分布.

例 :将一枚均匀的骰子连续抛掷 3 次 , 考察六点出现 的次数及相应的概率.
1 解 设六点出现的次数为 X,则 X ~ B (3, ) 6 设第 i 次抛掷中出现点 6 的事件为 Ai , i ? 1,2,3 ,则
5 5 0 1 0 P( X ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? ( ) 3 ? C3 ( ) ? ( ) 3 ? 0.578704 6 6 6 5 2 1 1 P( X ? 1) ? P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? C3 ? ( ) ? 0.347222 6 6
1 2 5 P( X ? 2) ? P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? C ( ) ? ? 0.069444 6 6
2 3

1 1 5 P( X ? 3) ? P( A1 A2 A3 )? ( ) 3 ? C 33 ( ) 3 ( ) 0 ? 0.004630 6 6 6

定理: 如果每次试验中事件 A 发生的概率为
p(0 ? p ? 1) ,则在 n 次贝努里试验中事件 A 恰好发生

k 次的概率为
k k n ?k Pn (k ) ? Cn p q , k ? 0,1,?, n .

其中 q ? 1 ? p .

证 按独立事件的乘法公式,n 次试验中事件 A 在某 k 次(例如前 k 次)发生而其余 n-k 次不发生的概率应 等于
p ? p ? ? ? p ? q ? q ? ? ? q ? p k ? q n?k ?? ?? ? ? ? ?? ?
k n?k

因为我们只考虑事件 A 在 n 次试验中发生 k 次而
k C 不论在哪 k 次发生,所以由组合论可知应有 n 种

不同的方式,按概率加法定理,便得所求概率
k k Pn (k ) ? Cn p ? q n?k

即当随机变量 X~ B(n, p) 时,

P( X ? k ) ? C p ? q
k n k

n ?k

,  k ? 0,1,?, n

?例:在初三的一个班中,有1/4的学生成绩优秀. 如果从班中随机地找出5名学生,那么其中“成 绩优秀的学生数”X服从二项分布X~B(5,1/4). 即 P{X=k}=C5k 0.25k (1-0.25)5-k k=0,1,…,5 ? X的概率分布表如下:
X P 0 1 2 3 4 5 243 405 270 90 15 1 1024 1024 1024 1024 1024 1024

例: 一办公室内有 8 台计算机,在任一时刻每台计 算机被使用的概率为 0.6,计算机是否被使用相互独 立,问在同一时刻: (1) 恰有 3 台计算机被使用的概率是多少? (2) 至多有 2 台计算机被使用的概率是多少? (3) 至少有 2 台计算机被使用的概率是多少?

解 设 X 为在同一时刻 8 台计算机中被使用的台数, 则 X~ B(8,0.6) ,于是

(1)
(2)

3 P( X ? 3) ? C8 0.63 ? 0.45 ? 0.1239

P( X ? 2) ? P 8 (0) ? P 8 (1) ? P 8 (2)
0 1 2 ? C8 0.60 ? 0.48 ? C8 0.6 ? 0.47 ? C8 0.62 ? 0.46

? 0.0498

(3)

P( X ? 2) ? 1 ? P 8 (0) ? P 8 (1)
0 1 ? 1 ? C8 0.60 ? 0.48 ? C8 0.6 ? 0.47

? 0.9915

X P

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.0007 0.0079 0.0413 0.1239 0.2322 0.2787 0.2090 0.0896 0.0168

当 k 从 0 增加时,概率 P( X ? k ) 经历了一个从小到大, 又从大变小的过程,事件“ X
? 5 ”发生的概率最大,

我们称之为最可能事件,“5 次”为最可能次数.

一般地,若 X~ B(n, p) ,则当 (n ? 1) p 是整数时,X 有两个最 可能次数 (n ? 1) p 及 (n ? 1) p -1; 当 (n ? 1) p 不是整数时 , 最可 能次数为 ?(n ? 1) p? (即 (n ? 1) p 的整数部分).

§2.3 0-1分布和二项分布的关系
由于贝努里试验是 n 次相互独立的重复试验,每次 试验只有两个可能结果,即事件 A 发生或者不发生, 如果令
?1,第i次试验中A发生 Xi ? ? ?0,      否则
i ? 1,2,?, n

则每一个 X i 都服从 0-1 分布,且有相同的分布律
X Pi 0 1-p 1 p
i ? 1,2,?, n

n 次贝努里试验中 A 发生的次数

X ? X1 ? X 2 ? ?? X n
即二项分布随机变量可以分解成 n 个 0-1 分布 随机变量之和,而且这 n 个随机变量的取值互不 影响.反之, n 个取值互不影响的 0-1 分布随机变 量之和服从二项分布.

§3 泊松分布
§3.1 泊松分布
如果随机变量 X 所有可能取值为 0,1,2,? ,而取各个 值的概率为
P( X ? k ) ?

?k
k!

e ,  k ? 0,1,2,?

??

其中 ? ? 0 为常数,则称 X 服从参数为 ? 的泊松分布,记 X~ ? (? ) .

易 知

P( X ? k ) ? 0, k ? 0,1,?

? P( X ? k ) ? ?
k ?0 k ?0

?

?

?k
k!

e ?? ? e ? ? ?

?k
k!

? e ?? ? e ? ? 1

泊松分布在实际中具有十分广泛的应用 , 例 如电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼 唤次数,某路段一个月内发生的交通事故的次数 , 车站某时段等车人数及医院每天的就诊人数,在 一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计 数器的? 粒子数等都服从泊松分布.泊松分布也是 概率论中的一种重要分布.

例 : 统计资料表明某路口每月交通事故发生次数 服从参数为 6 的泊松分布,求该路口一个月内至少 发生两起交通事故的概率.
解 设该路口每月发生的交通事故次数为 X,由题 设, X~ ? (6) ,因此,所求概率为
P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1)
6 0 ?6 6 ?6 ? 1 ? ? e ? ? e ? 0.9826 0! 1!

即该路口每月都要发生两起或两起以上交通事故 的概率为 0.9826

例:某商店某种商品日销量 X~ ? (5) ,试求以下事件的概率: (1) 日销 3 件的概率; (2) 日销量不超过 10 件的概率; (3) 在已售出 1 件的条件下,求当日至少售出 3 件的概率.
解 (1) P( X ? 3) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? ? 5 ? e ?5 ? ? 5 e -5 ? ?
k k k ?3

k!

k ?4

k!

? 0.875348 ? 0.734974 ? 0.140374
k 5 (2) P( X ? 10) ? 1 ? P( X ? 11) ? 1 ? ? e ?5 ? 1 ? 0.013695? 0.986305 ? k ?11 k! ?

(3) P( X ? 3 X ? 1) ? P{( X ? 3) ? ( X ? 1)} ? P( X ? 3)
P( X ? 1) P( X ? 1)

5k ?5 ? 5k ?5 0.875348 ? ? ?e / ? ?e ? ? 0.881286 0.993262 k ?3 k! k ?1 k!

?

§3.2 二项分布的泊松逼近
二项分布的计算比较复杂 . 如果 X~ B(n, p) , 当 n ? 20, p ? 0.05 时,可利用泊松定理作近似计算.
泊松定理:
lim P( X ? k ) ? lim C p q
n ?? n?? k n k n?k

?

?k
k!

e ?? , k ? 1,2,?

其中

? ? np

? 例:设某人每次射击的命中率为0.02.独立射击 400次,试求至少击中两次的概率.

? 解:将每次射击看成一次试验.设击中的次数为X, 则X~B(400,0.02).
? X的分布律为 P{X=k}=C400k×0.02k×0.98400-k ,k=0,1,2,…,400 于是所求概率为 P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1} =1-0.98400-400×0.02×0.98399 ?直接计算上式很麻烦.

例:某地有 2500 人参加某种人寿保险,每人在年初 向保险公司交付保险金 200 元,若在一年内投保人 死亡,则由其家属从保险公司领取 5 万元,设该类投 保人死亡率为 0.2%,求保险公司获利不少于 10 万元 的概率.



设 X 为投保人中一年内的死亡人数,由题设

知 X~ B(2500,0.2%) .若投保人中有 X 人死亡,则保险 公司将付出 50000 X 元,而这一年保险公司收入为
200 ? 2500 ? 50000 X ? 500000 ? 50000 X

元,所求概率为

P(500000 ? 50000 X ? 100000 ) ? P( X ? 8)
k ? ? C2500 (0.002) k ? (0.998) 2500 ?k k ?0 8

(2500? 0.002) ?2500?0.002 ?? e k! k ?0
8 k

5 ?5 ? 1 ? ? e ? 1 ? 0.068094 ? 0.931906 k ?9 k!

?

k

§4 随机变量的分布函数
§4.1 分布函数的定义
对于离散型随机变量,分布律可以用来表示其取各 个可能值的概率,但在实际问题中有许多非离散型 的随机变量 , 这一类随机变量的取值是不可列的 , 因而不能像离散型随机变量那样可以用分布律来 描述,但是我们需要求出它落在某个区间内的概率. 为此我们引入分布函数的概念.

定义: 设 X 是一随机变量, x 是任意实数,函数
F ( x) ? P( X ? x)

称为 X 的分布函数.

随机变量 X 落在任意区间 (a, b] 内的概率可以由 分布函数表示为:
P(a ? X ? b) ? P( X ? b) ? P( X ? a) ? F (b) ? F (a)

?例:设随机变量X的分布律为 即
X P -1 1/4 2 1/2 3 1/4

求X的分布函数,并求 P{X≤1/2},P{3/2<X ≤5/2},P{2≤ X≤ 3}.

F(x)的示意图 F(x)

1 0.5 0.25 -1 1 2 3 x

§4.1.1 离散型随机变量分布函数的计算
? 设离散型随机变量分布律为 P{X=xk}=pk,k=1,2,… 由概率的可列可加性得X的分布函数为 F(x)= P{X≤x}=∑P{X≤xk}=∑pk 这里和式是对于所有满足xk≤x的k求和.
F(x)是一个阶梯函数,它在 x 的每一个可能取值 点 xk 处发生间断,其跳跃度正好是 p k

§4.2 分布函数的性质
1.F(x)关于 x 单调不减,即当 x1 ? x2 时, F ( x1 ) ? F ( x2 ) ;
F (?? ) ? lim F ( x) ? 0, F (?? ) ? lim F ( x) ? 1 0 ? F ( x ) ? 1 x ? ?? x ? ?? 2. , ;

? F (b) ? F (a) ; 3. P(a ? X ? b)

4.F(x)关于 x 右连续,即对任意 ? ? ? x0 ? ?? , 都有
F ( x0 ? 0) ? lim F ( x) ? F ( x0 )
x ? x0 ? 0

.

例: 设随机变量 X 的分布函数为
? 0, x ? ?1 ?0.2,?1 ? x ? 2 ? F ( x) ? ? ? 0.7,2 ? x ? 4 , ? ? 1, x ? 4

(1)

1 P ( 求 P( X ? 3) , 2 ? X ? 3) 及 P( X ? 2) ;

(2) 求 X 的分布律.

§5 连续型随机变量
例: 设随机变量 X 在区间 [a, b] 上等可能地取值,求 X 的分布函数.
解 当 x ? a 时, “ X ? x ”是不可能事件, 因此

F ( x ) ? P( X ? x ) ? 0
当 a ? x ? b 时,

F ( x) ? P( X ? x) ? P( X ? a) ? P(a ? X ? x)
x?a ? 0 ? P( a ? X ? x ) ? b?a

当 x ? b 时,“ X

? x ”是必然事件,从而

F ( x ) ? P( X ? x ) ? 1
综上所述
? 0,  x ? a ?x ? a F ( x) ? ? , a ? x ? b ?b ? a ? 1,  x ? b

1 dF ( x) ? ? , a ? x ? b f ( x ) ? ? ?b ? a 如果令 dx ? ? 0,  其他 
则有

F ( x) ? ?

 x

  ??

f (t )dt

§5.1 连续型随机变量的定义
定义: 设随机变量 X,如果存在非负可积函数 f(x), 使对任意 ? ? ? x ? ?? ,都有
F ( x) ? P( X ? x ) ? ?
 x   ??

f (t )dt ,

则称 X 为连续型随机变量,称 f(x)为 X 的概率密 度函数,简称密度函数或密度.
由微积分学知识可知,连续型随机变量的分布函数 是一个连续函数.

一个连续型随机变量的分布由它的密度函数所 决定,F(x)的值在几何上可以表达为 t 轴以上,曲线 y=f(t)以下,直线 t=x 以左部分的面积.

设X为连续型随机变量, 则对任意的实数a<b
P(a ? X ? b) ? F (b) ? F (a)
??
 b   ??

f (t )dt ? ?

 a

  ??

f (t )dt ? ?

 b

 a

f (t )dt

即X落在区间的概率为密度函数y=f(t)与直线 t=a,t=b及t轴所围面积.

§5.2 密度函数的性质
连续型随机变量的密度函数有如下性质:

1. f ( x) ? 0
2.

?

??

??

f ( x)dx ? 1
 b  a

3. P(a ? X ? b) ? ?

f ( x)dx

4. 在

dF ( x ) f ( x) 的连续点上,有 dx ? f ( x)

例: 设随机变量 X 的密度函数为
1 ? 2 x ,  0 ? x ? ? 2 ? 1 ? f ( x) ? ?6 ? 6 x,  ? x ? 1 2 ? ? 0,   其他 ? ?

求分布函数 F(x).

例: 设随机变量 X 的密度函数为
0 ? x ?1 ? Ax( x ? 1),  f ( x) ? ? ? 0,    其他

(1) 确定常数 A; (2)
1 P ( ? 1 ? X ? ). 计算概率 2

? 例:试确定常数a,使

0 ? x ?1 ? x, ? p ( x ) ? ?a ? x,1 ? x ? 2 ?0, 其他 ?

为某个随机变量X的概率密度,且计算事件{1.5<X ≤2}的概率.

§6 均匀分布和指数分布
§6.1 均匀分布
设连续型随机变量 X 具有密度函数
? 1 ? , a ? x ? b f ( x) ? ? b ? a ? ? 0,   其他

则称 X 服从[a,b]上的均匀分布,记 X~U[a,b].

X~U[a,b]时,分布函数为
?  x 0dt,        ?? ? x ? a ? ?  ?? ?  x 1 ?  a F ( x) ? ? ? 0dt ? ? dt,  a ? x ? b   ??  a b ? a ?  a  b 1  x ? 0dt ? dt ? ? 0dt, x ? b ? ? ?   ? ?   a  b b?a ?
? 0,   ? ? ? x ? a  ?x ? a =? , a ? x ? b ?b ? a ? 1,   x ? b

均匀分布随机变量 X 的特点是 X 只在某一区间内 取值,且 X 落入该区间中任一相等长度的子区间内 的概率相同,即 X 落入任何子区间的概率仅与该子 区间的长度成正比,而与子区间的位置无关.

事实上,当 [ x, x ? l ] ? [a, b] 时,
P( x ? X ? x ? l ) ?

?

 x ? l

 x

1 x?l ? x l dt ? ? b?a b?a b?a

与x的取值无关.

例: 设长途客车到达某一个中途停靠站的时间 T 在 12 点 10 分至 12 点 45 分之间都是等可能的, 某旅客于 12 点 30 分到达车站,等候半个小时后离 开,求他在这段时间能赶上客车的概率.
解 客车停靠时间T~U[12:10,12:45],其密度函数为
1 ? 1 ? ? ,  12 : 10 ? t ? 12 : 45 f (t ) ? ? 45 ? 10 35 ? 0,     其他     ?

1 5 dt ? 所求概率为 P(12 : 20 ? T ? 12 : 50) ? ?  20 35 7
  45

? 例:设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900 欧至1100欧.求R的概率密度及R落在950欧至1050 欧的概率. 解 R的概率密度为
1 ? ,900 ? x ? 1100 ? p( x) ? ?1100? 900 ? 其他 ?0,

故有
P{950 ? R ? 1050} ? ?
1050 950

1 dx ? 0.5 200

§6.2 指数分布
如果随机变量 X 具有密度函数
??e ? ?x, x ? 0 f ( x) ? ? ? 0, x ? 0

则称随机变量 X 服从参数为λ 的指数分布,其 中λ >0 为某一常数.

指数分布在在实际中有广泛的应用,如电子元件的 寿命,随机服务系统的服务时间等都服从指数分布. 指数分布的分布函数为
?1 ? e ? ?x, x ? 0 F ( x) ? ? ? 0,   x ? 0

?例:设随机变量X具有概率密度
? Ke ?3 x , x ? 0, p ( x) ? ? x ? 0. ?0,

试确定常数K,并求P{X>0.1}.

例: 设某种电子元件的寿命 X(以年记)服从参数λ =3 的指数分布,求 (1) 寿命在 0.5 年和 1 年之间的概率; (2) 寿命超过 2 年的概率; (3) 设已经正常使用了 α 年 , 求还能够继续使用 β 年 的概率.
3e 解(1) P(0.5 ? X ? 1) ? ?  0.5
  1 ?3 x

dx ? ?e

1 ?3 x     0.5

? e ?1.5 ? e ?3

(2) P( X ? 2) ? ? 3e
  2

??

?3 x

dx ? ?e

?3 x ??   2

? e ?6

(3) P( X ? ? ? ? X ? ? ) ?

P( X ? ? ? ? , X ? ? ) P( X ? ? )

P( X ? ? ? ? ) ? P( X ? ? )

1 ? F (? ? ? ) ? 1 ? F (? )

?
由 e ?3?

e

?3(? ? ? )

e

?3?

? e ?3 ?
的概率

? 1 ? F ( ? ) ? P( X ? ? ) , 知元件寿命至少为 β

等于已使用时间为α 的条件下 , 剩余寿命至少为 β 的概率,这一性质被称为指数分布的无记忆性.

§7 正态分布
正态分布是一种最常见的随机变量,正态分布 的一些性质与特点使其在概率论与数理统计理论 中有特别重要的地位.

§7.1 正态分布的概念
如果随机变量 X 的概率密度为
f ( x) ? 1 2? ? e
? ( x?? )2 2? 2

,?? ? x ? ??

其中 ? ,? (?

? 0) 为常数,则称

X 服从参数为 ? , ? 的正

态分布(或高斯分布),记为 X~ N (?,? 2 )

正 态 分 布 N (? , ? ) 密 度 函 数 f ( x) 的 图 形 关 于 直 线 x ? ? 对称 , 即对任意常数 a, f (? ? a) ? f (? ? a) . x ? ?
2

时, f ( x) 取到最大值

1 2? ?

.

当 ? ? 0,?

? 1 ,即

X~ N (0,1) 时,称 X 服从标准正态分布.
1 2?
? x2 2

标准正态分布的专用符号: 密度函数 分布函数
? ( x) ?
e ,?? ? x ? ??
 x

?( x) ? P( X ? x) ? ?

1 2? ?

??

e

?

t2 2

dt

由于积分 ?

 x

1 2?

  ??

e

?

t2 2

dt 不能用常规方法计算,我们把分

布函数 ? ( x) 的值编制成表格

(1) 当 x ? 0 时,由标准正态分布表可以函数 ? ( x) 的 数值
(2) 已知 b 求 a 使 ?(a) ? b ,反过来查标准正态分布 表可得 a 的值.如 ?(a) ? 0.9750,查表得 a ? 1.96

(3)

当 a ? 0 时 , 利用标准正态分布密度函数 ? ( x) 图
?( a ) ? 1 ? ?( ?a )

形的对称性可得

§7.2 一般正态分布概率的计算
定理: 设随机变量 X
1 2? ?
e
?
2 N ( ? , ? ) ,则 服从正态分布

X的

分布函数与标准正态分布函数成立以下关系:
F ( x) ? ?
 x   ??

e

?

(t ? ? 2 ) 2? 2

dt ? ?(

x??

?

)



F ( x) ? ?

 x

1 2? ?

(t ? ? 2 ) 2? 2

  ??

dt


dt ? ?
x??  

t??

?

?s
s2 ? 2

于是 F ( x) ? ?
? ?(

 x

  ??

x??

1 e 2? ?

?

(t ? ? )2 2? 2

?

  ??

1 e 2? ?

? ?ds

?

)

推论: 若 X~ N (?,? 2 ) ,则对任意实数 a ? b ,有
P ( a ? X ? b) ? ? ( b??

?

) ? ?(

a??

?

)

例: 设 X~ N (50,100) ,计算 P(45 ? X

? 62) 和 P( X ? 50 ? 10) .

例:设 X~ N (40,36) ,求 x1 ,使 P( X ? x1 ) ? 0.45 .

例:设 X~ N (40,36) ,求 x2 ,使 P( X

? x2 ) ? 0.14.

?例:将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器 内, 调节器整定在d℃,液体的温度X(以℃计)是随 机变量,且X~ N(d,0.52). (1)若d=90,求X小于89的概率. (2)若要求保持液体的温度至少为80 ℃的概 率不低于0.99,问d至少为多少? 解 (1)所求概率为
X ? 90 89 ? 90 P{ X ? 89} ? P{ ? } 0.5 0.5

89 ? 90 ? ?( ) ? ?(?2) ? 1 ? ?(2) 0.5

? 1 ? 0.9772 ? 0.0228

?例:将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内, 调 节器整定在d℃,液体的温度X(以℃计)是随机变量,且 X~N(d,0.52). (1)若d=90,求X小于89的概率. (2)若要求保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于 0.99,问d至少为多少?

解 (2)所求的d 应满足
0.99 ? P{ X ? 80} ? P{

X ? d 80 ? d ? } 0.5 0.5

X ? d 80 ? d 80 ? d ? 1 ? P{ ? } ? 1 ? ?( ) 0.5 0.5 0.5

即Φ [(80-d)/0.5] ≤1-0.99=0.01 故(80-d)/0.5 ≤-2.327,即d>81.1635

§8 随机变量函数的分布
如果已知随机变量X的分布,另一随机变量Y=g(X) 是X的函数,如何求Y的分布.

§8.1 离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量,其分布律为 P( X ? xi ) ? pi , i ? 1,2,?, 随 机 变 量 Y ? g( X ) , 从 而 Y 的 所 有 可 能 取 值 为
yi ? g ( xi ),i ? 1,2,? ,因此

Y 也是离散型随机变量.注意到 i ?

j

时,也有可能出现 g( xi ) ? g( x j ) 的情况,故 Y 的分布律为
P(Y ? yi ) ?
g ( xk )? yi

? P( X ? x

k

),i ? 1,2,?

例:设随机变量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2的 分布律.

X P

-1 0.2

0 0.3

1 0.1

2 0.4

§8.2连续型随机变量函数的分布
? 在许多实际问题中,常需要考虑随机变量函数的 分布.如在一些试验中,所关心的随机变量往往不能 直接测量得到,而是某个能直接测量的随机变量的 函数.在本节中,我们将讨论如何由已知的随机变量 X的分布去求它的函数Y=f(X)分布.

设 X 为连续型随机变量,已知其分布函数 FX ( x) 和密 度函数 f X ( x) , 随机变量 Y ? g ( X ) , 要求 Y 的分布函数
FY ( y) 和密度函数 f Y ( y) .

例:设随机变量X具有概率密度
?x ? ,0 ? x ? 4 p X ( x) ? ? 8 ? ?0, 其他

求随机变量Y=2X+8的概率密度.

例:设随机变量X具有概率密度pX(x),-∞<x<∞求 Y=X2的概率密度. 解 先求Y 的分布函数 FY(y) .由于Y=X2 ≥0, 故当y≤0时. FY(y)=0,当y>0时有

FY ( y ) ? P{Y ? y} ? P{ X 2 ? y} ? P{? y ? X ? y } ? ?
于是得Y的概率密度为
1
y ? y

p X ( x)dx

pY ( y ) ? {

2 y 0,

[ p X ( y ) ? p X ( ? y )], y ? 0 , y ?0

例 : 设随机变量 X~ N (?,? 2 ) , 求 Y ? aX ? b 密度函数.

( a ? 0) 的

例: 设随机变量 X~ U (0,1) ,求 Y ? 2 X 2 ? 1 的密度函数.


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