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2.3平面向量基本定理及坐标表示(1)


平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示 教学目的: (1)了解平面向量基本定理;掌握平面向量的正交分解,理解平面向量的坐标的概念; (2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决 实际问题的重要思想方法; (3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点:平面向量基本定理,平面向量的坐标表示. 教学难点:平

面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及. 教学过程: 一、 复习引入:

1.实数与向量的积:实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a (1)|λ a |=|λ|| a |;

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(2)λ>0 时λ a 与 a 方向相同;λ<0 时λ a 与 a 方向相反;λ=0 时λ a = 0 2. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线则:有且只有一个非零实数λ,使 b =λ a . 二、讲解新课: 1.探究: (1)给定平面内两个向量 e1 , e2 ,请你作出向量 3 e1 +2 e2 , e1 -2 e2 , (2)同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1 e1 +λ2 e2 的向量表示?

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2.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一 平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ1,λ2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2 . 定理理解: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的实数 3.范例研讨:

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例 1 已知向量 e1 , e2 例2

求作向量?2.5 e1 +3 e2

P B O A

如图, OA 、 OB 不共线, 且 AP ? t AB (t ? R ), 用 OA , OB 表示 OP .

推广:

已知O、A、B三点不共线, 若点 P 在直线 AB 上,则OP ? mOA ? nOB, 且 m ? n ? 1.

4.练习 1: 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( D ) A.e1、e2 一定平行

B.e1、e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R)

D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知向量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系(B ) A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

3.已知λ1>0,λ2>0,e1、e2 是一组基底,且 a =λ1e1+λ2e2,则 a 与 e1 不共线,a 与 e2 不共线. (填共线或不共线). 5.向量的夹角:已知两个非零向量 a 、 b ,作 OA ? a , OB ? b ,则∠AOB= ? ,叫向量 a 、 b 的 夹角,当 ? =0°, a 、b 同向,当 ? =180°, a 、b 反向,当 ? =90°, a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 。 6.平面向量的坐标表示 (1)正交分解:把向量分解为两个互相垂直的向量。 (2)思考:在平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数表示, 平面内的每一个向量,如何表示呢? 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一 1 个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj …………○ 2 我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) …………○

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2 式叫做向量的坐标表示.与 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,○ .a 相等的向 .... 量的坐标也为 ......( x, y ) . 特别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) .

如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点 A 的位置由 a 唯一确定. 设 OA ? xi ? yj ,则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也就是向 量 OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 7.范例研究: 例 2.教材 P96 面的例 2。 三、小结: (1)平面向量基本定理; (2)平面向量的坐标的概念; 四、课后作业:复习今天所学内容 预习 2.3.3 及 2.3.4


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