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2012年北京市各区二模试题汇编--立体几何


2012 年北京市各区二模试题汇编--立体几何
一填空选择
(2012 年东城二模文理科) (6)已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和 β 是两个不重合的平 面,那么下面给出的条件中一定能推出 m ⊥ β 的是 (A) α ⊥ β ,且 m ? α (C) α ⊥ β ,且 m ∥ α (B) m ∥ n ,且 n ⊥ β (D) m ⊥ n ,且 n

∥ β

(2012 年东城二模文科)(14) 已知四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,侧棱 AA1 ⊥ 底面ABCD ,

AA1 = 2 ,底面 ABCD 的边长均大于 2,且 ∠DAB = 45o ,点 P 在底面 ABCD 内运动
且在 AB , AD 上的射影分别为 M , N ,若 PA = 2 ,则三棱锥 P ? D1MN 体积的最大 值为____. (2012 年东城二模理科) (4)若一个三棱柱的底面是正三角形,其正(主)视图如图所示, 则它的体积为 (A) 3 (C) 2 3 (B) 2
1

(D) 4
1 1

(2012 年西城二模文科)4.设 m , n 是不同的直线, α , β 是不同的平面,且 m, n ? α . 则“ α ∥ β ”是“ m ∥ β 且 n ∥ β ”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分又不必要 条件 (2012 年西城二模文理科)13.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图 是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,该几何体 的体积是_____;若该几何体的所有顶点在同一球面 上,则球的表面积是_____. (2012 年海淀二模文科) 已知平面 α , β 和直线 m , m ? 5、 且 则“ α ∥ β ”是“ m ∥ β ”的 (A)充要条件 (B)必要不充分条件

α,

(C)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条 (2012 年海淀二模文理科)7、某几何体的主俯图与俯俯图如图所示,左俯图与 主俯图相同,且图中的四边形都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直,则该 几何体的体积是
1

主俯图

俯俯图

(A)

20 3

(B)

4 3

(C) 6

(D) 4

(2012 年朝阳二模文科)6. 如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的 等腰直角三角形,如果直 角三角形的直角边长都为 1,那么这个几何体的表面积为 A.

1 6

B.

3 2
正视图 侧视图

3 3 C. + 2 4

3 3 D. + 2 2

俯视图 (2012 年朝阳二模理科) 8.有一个棱长为 1 的正方体, 按任意方向正投影, 其投影面积的最 大值是 A. 1 B.

3 2 2

C.

2

D.

3
D1 B1 P M D A B C Q C1

(2012 年丰台二模文科)4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P, A CC BC 给出以下四个结论: 1C⊥MN; ①A Q 分别是 AA1, 1D1, 1, 的中点, ②A1C∥平面 MNPQ;③A1C 与 PM 相交;④NC 与 PM 异面.其中不正 . 确的结论是 (A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④ (2012 年丰台二模理科)2.一个正四棱锥的所有棱长均为 2,其俯视图如 右图所示,则该正四棱锥的正视图的面积为 (A)
N A1

2

(B)

3

(C) 2

(D) 4
俯 俯图

(2012 年顺义二模文理科)7.一个空间几何体的三视 图如图所示,则该几何体的体积为 A. 60 B. 80 C. 100 D. 120

4 4

2

8
正(主)俯图 左俯图

3 2

2

3

俯俯图

(2012 年昌平二模文科)4. 已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

A. C.

4 3
4

B.

8 3
主视图

2

D. 8
左视图

2

2 俯视图

(2012 年昌平二模文科)7. 四面体的四个面的面积分别为 S1 、 S 2 、 S3 、 S 4 ,记其中最大

∑S
的面积为 S ,则
i =1

4

i

的取值范围是

3S
B. [ ,2]

A.

1 ( ,2] 3

1 3

C. (

2 4 , ] 3 3

D. [

2 4 , ] 3 3

(2012 年昌平二模理科)5.已知空间几何体的三视 图如图所示,则该几何体的各侧面图形中,是直角三
2

角形的有 A. 0 个 B. 1 个
主视图 左视图

C. 2 个

D. 3 个
2

2 俯视图

(2012 年昌平二模理科)7.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为 A1 D1 的中点, Q 为 A1 B1 上任意一点, E、 F 为 CD 上任意两点,且 EF 的长为定值,则下 面的四个值中不为定值的是 A. 点 P 到平面 QEF 的距离
P D1 C1

B. 直线 PQ 与平面 PEF 所成的角 C. 三棱锥 P ? QEF 的体积 D.二面角 P ? EF ? Q 的大小
3

A1

Q B1

D E

F

C

A

B

(2012 年怀柔二模文理科)4.一个四棱锥的三视图如图所示,其中主 视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则
主视图

1
左视图

1

这个几何体的体积是 A.

1 2

B. 1

C.

3 2

D. 2

俯视图

(2012 年怀柔二模理科) 将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , 7. 不同的标字母方式共有 A.24 种 B.48 种 C.72 种 D.144 种

(2012 年房山二模文科)4. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正三角形,则该 几何体的侧面积为( ) (A) 24 + 2 3 (B)24 (C) 8 3 (D) 4 3

4

2
主(正)视图

侧(左)视图

俯视图

(2012 年房山二模理科)11.某几何体的三视图如图所示,根据图 . 中标出的数据,可得这个几何体的表面积为

4

二解答题
(2012 年东城二模文科) 17) (17 (本小题共 13 分) 如图, 矩形 AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的平面互相垂直 MB ∥ NC , 所在的平面互相垂直, MN ⊥ MB . 平面 (Ⅰ)求证:平面 AMB ∥平面 DNC ; D (Ⅱ)若 MC ⊥ CB ,求证 BC ⊥ AC . 求证 A (17) (共 13 分) 证明: (Ⅰ) 因为 MB // NC ,MB ? 平面 DNC , NC ? 平面 DNC , 平面 所以 MB //平面 DNC . ……………2 分
N
M

因为 AMND 是矩形 是矩形, 所以 MA // DN . 又 MA ? 平面 DNC , DN ? 平面 DNC , 平面 所以 MA //平面 DNC . ……………4 分

C B

又 MA I MB = M ,且 MA , MB ? 平面 AMB , 所以平面 AMB //平面 DNC . (Ⅱ)因为 AMND 是矩形 是矩形, 所以 AM ⊥ MN . 因为 平面AMND ⊥ 平面 MBCN , 面 且 平面AMND I 平面MBCN = MN , 面 ……………6 分
D A

平面 所以 AM ⊥ 平 MBCN .
M

N

C B

因为 BC ? 平面MBCN , 面 所以 AM ⊥ BC . 因为 MC ⊥ BC , MC I AM = M , ………………10 分

面 所以 BC ⊥ 平面AMC .
因为 AC ? 平面AMC , 面 所以 BC ⊥ AC .

………………12 分

………………1 3 分

(2012 年东城二模理科) 17) (17 (本小题共 13 分) 如图,矩形 AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的平面互相垂直 MB ∥ NC , 所在的平面互相垂直, MN ⊥ MB , 且 MC ⊥ CB , BC = 2 , MB = 4 , DN = 3 .
A D

(Ⅰ)求证: AB // 平面 DNC ;
5
N C

M

B

(Ⅱ)求二面角 D ? BC ? N 的余弦值.

(17) (共 13 分) (Ⅰ)证明:因为 MB // NC , MB ? 平面 DNC , NC ? 平面 DNC , 所以 MB //平面 DNC . ……………2 分
A z D

因为 AMND 为矩形, 所以 MA // DN . 又 MA ? 平面 DNC , DN ? 平面 DNC , 所以 MA //平面 DNC .
M

N

C y B

……………4 分
x

又 MA I MB = M ,且 MA , MB ? 平面 AMB , 所以平面 AMB //平面 DNC . ……………5 分 又 AB ? 平面 AMB , 所以 AB // 平面 DNC . ……………6 分

(Ⅱ)解:由已知平面 AMND ⊥ 平面 MBCN ,且平面 AMND I 平面 MBCN = MN ,

DN ⊥ MN ,

所以 DN ⊥ 平面 MBCN ,又 MN ⊥ NC ,故以点 N 为坐标原点,建立空间直 ……………7 分

角坐标系 N ? xyz .

由已知得 MC = 2 3, ∠MCN = 30o ,易得 MN = 则 D (0, 0, 3) , C (0,3, 0) , B ( 3, 4, 0) .

3 , NC = 3 .

uuur uuu r DC = (0, 3, ?3) , CB = ( 3,1, 0) .
设平面 DBC 的法向量 n1 = ( x, y, z ) ,

……………8 分

uuur ?n1 ? DC = 0, ? 则? uuu r ? n1 ? CB = 0. ?
即?

? 3 y ? 3 z = 0, ? 令 x = ?1 ,则 y = 3 , z = 3 . ? 3 x + y = 0. ?
…………10 分

所以 n1 = (?1, 3, 3) . 又 n2 = (0, 0,1) 是平面 NBC 的一个法向量, 所以 cos n1 , n2 =

n1 ? n2 3 21 . = = n1 n2 7 7

6

故所求二面角 D ? BC ? N 的余弦值为

21 . 7

…13 分

(2012 年西城二模文科)17. (本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 E ? ABCD 中, EA = EB , AB ∥ CD , AB ⊥ BC , AB = 2CD . (Ⅰ)求证: AB ⊥ ED ; (Ⅱ) 线段 EA 上是否存在点 F , DF // 平面 BCE ? 使 若存在,求出
E

EF ;若不存在,说明理由. EA
B C D A

17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EA = EB ,所以 EO ⊥ AB . ……………2 分 因为 AB ∥ CD , AB = 2CD , 所以 BO ∥ CD , BO = CD . 又因为 AB ⊥ BC ,所以四边形 OBCD 为矩形, 所以 AB ⊥ DO .

E

G

F

B

O D

A

…………4 分
C

因为 EO I DO = O ,所以 AB ⊥ 平面 EOD . 所以

……5 分 ………………6 分

AB ⊥ ED .

(Ⅱ)解:点 F 满足

EF 1 = ,即 F 为 EA 中点时,有 DF // 平面 BCE .……………7 分 EA 2
………………8 分

证明如下:取 EB 中点 G ,连接 CG , FG . 因为 F 为 EA 中点,所以 FG ∥ AB , FG = 因为 AB ∥ CD , CD =

1 AB . 2

1 AB ,所以 FG ∥ CD , FG = CD . 2
………………11 分 ………………12 分 ………………13 分

所以四边形 CDFG 是平行四边形,所以 DF ∥ CG . 因为 DF ? 平面 BCE , CG ? 平面 BCE , 所以 DF // 平面 BCE . 1(2012 年西城二模理科)6. (本小题满分 14 分)

如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直. AB ∥ CD ,

AB ⊥ BC , AB = 2CD = 2BC , EA ⊥ EB .
(Ⅰ)求证: AB ⊥ DE ; (Ⅱ)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值;
7
C B D

E

A

(Ⅲ)线段 EA 上是否存在点 F ,使 EC // 平面 FBD ? 若存在,求出

EF ;若不存在,说明理由. EA

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EB = EA ,所以 EO ⊥ AB . ………………1 分 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB = 2CD = 2 BC , AB ⊥ BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ⊥ OD .……………2 分 所以 AB ⊥ 平面 EOD . 所以 AB ⊥ ED . ………………3 分 ………………4 分

(Ⅱ)解:因为平面 ABE ⊥ 平面 ABCD ,且 EO ⊥ AB ,所以 EO ⊥ 平面 ABCD ,所以

EO ⊥ OD .
由 OB , OD , OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . …………5 分 因为三角形 EAB 为等腰直角三角形,所以 OA = OB = OD = OE ,设 OB = 1 ,所以

O (0, 0, 0), A( ?1, 0, 0), B (1, 0, 0), C (1,1, 0), D (0,1, 0), E (0, 0,1) .
所以 EC = (1,1,?1) ,平面 ABE 的一个法向量为 OD = (0,1, 0) . ………………7 分

uuur

uuu uuur r uuu uuur r | EC ? OD | 3 r 设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 θ ,所以 sin θ = | cos? EC , OD? | = uuu uuur = , | EC || OD | 3
即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为

3 . 3

………………9 分

(Ⅲ)解:存在点 F ,且 10 分

EF 1 = 时,有 EC // 平面 FBD . EA 3

………………

1 1 1 1 2 4 2 EA = ( ? ,0,? ) , F (? ,0, ) ,所以 FB = ( ,0,? ) . 3 3 3 3 3 3 3 uuu r ?v ? BD = 0, ? 设平面 FBD 的法向量为 v = ( a, b, c) ,则有 ? uuu r ?v ? FB = 0. ?
证明如下:由 EF =

?? a + b = 0, ? 所以 ? 4 2 ? 3 a ? 3 z = 0. ?

取 a = 1 ,得 v = (1,1,2) .

………………12 分

因为 EC ? v = (1,1,?1) ? (1,1,2) = 0 ,且 EC ? 平面 FBD ,所以 EC // 平面 FBD .
8

即点 F 满足

EF 1 = 时,有 EC // 平面 FBD . EA 3

………………14 ……………… 分

(2012 年海淀二模文科)17 (本小题满分 14 分) 7、 在 正 方 体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中 , 棱 AB , BB ', B ' C ', C ' D ' 的 中 点 分 别 是

E , F , G , H , 如图所示.
(Ⅰ)求证: AD ' ∥平面 EFG ; (Ⅱ)求证: A ' C ^ 平面 EFG ; (Ⅲ)判断点 A, D ', H , F 是否共面 并说明理由. 是否共面?
A' M D' H G B' F C'

17、 (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 BC ' . A 在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, AB = C ' D ' , AB ∥ C ' D ' . 所以 四边形 ABC ' D ' 是平行四边形.所以 AD ' ∥ BC ' . 因为 F , G 分别是 BB ', B ' C ' 的中点, 所以 FG ∥ BC ' .所以 FG ∥ AD ' . ………2 分 所以 因为 EF , AD ' 是异面直线 是异面直线,所以 AD ' ? 平面 EFG . 因为 FG ? 平面 EFG , 所以 AD ' ∥平面 EFG .………4 分 (Ⅱ)证明:连接 B ' C .

D N E B

C

D' A'

H G B'

C'

D A

F C E B

在正方 体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,A ' B ' ^ 平面 BCC ' B ' ,BC ' ? 平面 BCC ' B ' , 所以 A ' B ' ⊥ BC ' .在正方形 BCC ' B ' 中, B ' C ⊥ BC ' , 在正方形 因为

A ' B ' ? 平 面 A ' B 'C , B 'C ? 平 面 A ' B 'C ,
D' A' B' F D
A

A ' B 'I B ' C = B ' ,
所以 BC ' ⊥ 平面 A ' B ' C . …………………6 分 因为

H G

C'

A ' C ? 平面 A ' B ' C ,所以 BC ' ⊥ A ' C .…………7 分
C E D' A' H G B' F D C E B B C'

因为 FG ∥ BC ' ,所以 A ' C ⊥ FG . 所以 同理可证: A ' C ⊥ EF . 因为 EF ? 平面 EFG , ? 平面 EFG , I FG = F , FG EF 所以 A ' C ^ 平面 EFG . ……9 分

(Ⅲ)点 A, D ', H , F 不共面. 理由如下: ………10 分 假设 A, D ', H , F 共面 连接 C ' F , AF , HF . 共面. 由(Ⅰ)知, AD ' ∥ BC ' , 因为 BC ' ? 平面 BCC ' B ' , AD ' ? 平面 BCC ' B ' .
9

A

所以 AD ' ∥平面 BCC ' B ' . …………12 分 因为 C ' ? D ' H ,所以 平面 AD ' HF I 平面 BCC ' B ' = C ' F . 因为 AD ' ? 平面 AD ' HF ,所以 AD ' ∥ C ' F . 所以 C ' F ∥ BC ' ,而 C ' F 与 BC ' 相交,矛盾. 所以 点 A, D ', H , F 不共面. …………………14 分

(2012 年海淀二模理科)(16)(本小题满分 14 分) 如图所示, PA ^ 平面 ABC ,点 C 在以 AB 为直径的 ⊙O 上, ? CBA 30  PA = AB = 2 ,点 E 为线段 PB 的 ,
P

AB 中点,点 M 在 ? 上,且 OM ∥ AC .
(Ⅰ)求证:平面 MOE ∥平面 PAC; (Ⅱ)求证:平面 PAC ^ 平面 PCB ; (Ⅲ)设二面角 M
C A M

E

? BP ? C 的大小为 θ ,求 cos θ 的值.

B O

(16)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为点 E 为线段 PB 的中点,点 O 为线段 AB 的中点, ……………………………………1 分 所以 OE ∥ PA . 因为 PA ? 平面 PAC , OE ? 平面 PAC , 所以 OE ∥平面 PAC. 因为 OM ∥ AC , ……………………………………2 分

因为 AC ? 平面 PAC , OM ? 平面 PAC , ……………………………………3 分 所以 OM ∥平面 PAC. 因为 OE ? 平面 MOE , OM ? 平面 MOE , OE I OM = O , 所以 平面 MOE ∥平面 PAC. ………………………………………5 分

z

(Ⅱ)证明:因为 点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上, 所以 ? ACB

P

90  BC ⊥ AC . ,即
E C

因为 PA ^ 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 PA ⊥ BC . ……………7 分
A x M

D B O y

因为 AC ? 平面 PAC ,PA ? 平面 PAC ,PA I AC = A , 所以 BC ^ 平面 PAC . 因为 BC ? 平面 PBC , 所以 平面 PAC ^ 平面 PCB .

…………………………9 分

(Ⅲ)解:如图,以 C 为原点, CA 所在的直线为 x 轴, CB 所在的直线为 y 轴,建立空间 直角坐标系 C ? xyz .
10

因为 ? CBA

30  PA = AB = 2 , ,
3 , AC = 1 .

所以 CB = 2 cos 30? 延长 MO 交 CB 于点 D . 因为 OM ∥ AC ,

所以 MD ^ CB, MD = 1 +

1 3 1 3 . = , CD = CB = 2 2 2 2 3 3 , 0) . 2 2

所以 P (1, 0, 2) , C (0, 0, 0) , B (0, 3, 0) , M ( ,

uuu r

uuu r

所以 CP = (1, 0, 2) , CB = (0, 3, 0) . 设平面 PCB 的法向量 m = ( x, y , z ) .

uuu r ì m ?CP ? ? 因为 í uuu r ? m ?CB ? ?
? 所以 ? í

0, 0.

ì ( x, y, z ) ?(1, 0, 2) ? ( x, y, z ) ?(0, 3, 0) ? ?

0, 0,

即? í

ì x + 2 z = 0, ? ? 3 y = 0. ? ?

令 z = 1 ,则 x = - 2, y = 0 . 所以 m = (- 2, 0,1) . ……………………………………12 …………………………………… 分

同理可求平面 PMB 的一个法向量 n = 1, 3,1 . ……………………………………13 …………………………………… 分 所以 cos m, n = 所以 cos θ =

(

)

m ?n 1 =? . m?n 5
………………………………………14 ……………………………………… 分

1 . 5

(2012 年朝阳二模文科 年朝阳二模文科)17. (本小题满分 13 分) 如图,四边形 ABCD 为正方形 EA ⊥ 平面 ABCD , EF//AB , AB = 4, AE = 2, EF = 1 . 为正方形, (Ⅰ)求证: BC ⊥ AF ;

1 (Ⅱ)若点 M 在线段 AC 上,且满足 CM = CA , 4
求证: EM// 平面 FBC ; (Ⅲ)试 判断直线 AF 与平面 EBC 是否垂直?若垂 直,请给出证明;若不垂直 若不垂直,请说明理由 17、 (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 EF//AB , ,所以 EF 与 AB 确定平面 EABF , 因为 EA ⊥ 平面 ABCD ,所以 EA ⊥ BC .
11

E F

A
M

D

B
………2 分

C

由已知得 AB ⊥ BC 且 EA I AB = A , 所以 BC ⊥ 平面 EABF . 又 AF ? 平面 EABF , 所以 BC ⊥ AF . (Ⅱ)过 M 作 MN ⊥ BC ,垂足为 N ,连结 FN ,则 MN // AB . 垂足为 ………3 分 ………4 分 .………5 分 .

1 1 AC ,所以 MN = AB . 4 4 1 又 EF // AB 且 EF = AB ,所以 EF // MN .………6 分 4 且 EF = MN ,所以四边形 EFNM 为平行四边形. ……7 分 四边形 所以 EM // FN .又 FN ? 平面 FBC , EM ? 平面 FBC ,
又 CM = 所以 EM // 平面 FBC . (Ⅲ)直线 AF 垂直于平面 EBC . 平面 证明如下: 由(Ⅰ)可知, AF ⊥ BC . ………9 分

E F
P

A
M

D

B

N
………10 分

C

在四边形 ABFE 中, AB = 4, AE = 2, EF = 1 , ∠BAE = ∠AEF = 90o , 所以 tan ∠EBA = tan ∠FAE =

1 ,则 ∠EBA = ∠FAE . 2

设 AF I BE = P ,因为 ∠PAE + ∠PAB = 90o ,故 ∠PBA + ∠PAB = 90o 因为 则 ∠APB = 90o ,即 EB ⊥ AF . ………12 ……… 分

又因为 EB I BC = B , ,所以 AF ⊥ 平面 EBC . ………13 ……… 分 (2012 年朝阳二模理科)17. (本小题满分 14 分) 17. 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为正方形, EA ⊥ 平面 ABCD , EF//AB , 在如图所示的几何体中 AB = 4, AE = 2, EF = 1 . E 1 (Ⅰ)若点 M 在线段 AC 上,且满足 CM = CA , F 4 求证: EM// 平面 FBC ; (Ⅱ)求证: AF ⊥ 平面 EBC ; (Ⅲ)求二面角 A - FB - D 的余弦值. 17. (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)过 M 作 MN ⊥ BC 于 N ,连结 FN , 则 MN // AB ,又 CM = B E F A M C D

1 AC ,所以 4

MN =

1 AB . 4

1 又 EF // AB 且 EF = AB , 4 所以 EF // MN , EF = MN , ,且 所以四边形 EFNM 为平行四边形,
12

A M B N C

D

所以 EM // FN . 又 FN ? 平面 FBC , EM ? 平面 FBC , 所以 EM// 平面 FBC . ……4 分 (Ⅱ)因为 EA ⊥ 平面 ABCD , AB ⊥ AD ,故 以 A 为原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 A - xyz .由已 知可得 A(0,0,0), B(4,0,0), C (4,4,0), D (0,4,0), E (0,0,2), F (1,0, 2) . uuu r uuu r uur 显然 AF = (1,0, 2), BC = (0, 4,0), EB = (4,0,-2) . F

z E

A M B x C

D

y

r r uuu uuu uuu uur r uuu uuu uuu uur r r r 则 AF ? BC = 0, AF ? EB = 0 ,所以 AF ⊥ BC , AF ⊥ EB .
即 AF ⊥ BC , AF ⊥ EB ,故 AF ⊥ 平面 EBC . (Ⅲ)因为 EF//AB ,所以 EF 与 AB 确定平面 EABF , uuu r uur uuu r 由已知得, BC = (0, 4,0), FB = (3,0,-2) , BD = (-4, 4,0) .

……9 分

因为 EA ⊥ 平面 ABCD ,所以 EA ⊥ BC . 由已知可得 AB ⊥ BC 且 EA I AB = A , uuu r 所以 BC ⊥ 平面 ABF ,故 BC 是平面 ABF 的一个法向量. 设平面 DFB 的一个法向量是 n = ( x, y,z ) .

uuu r ? y = x, ? n ? BD = 0, ? ?4 x + 4 y = 0, ? ? 由 ? uur 得 ? 即 ? 令 x = 2 , 则 n = (2, 2,3) . 所 以 3 ? 3x ? 2 z = 0, ? n ? FB = 0, ? z = 2 x, ? ?
uuu r r uuu BC ? n 2 17 . cos < BC , n >= uuu = r 17 BC ? n

由题意知二面角 A - FB - D 锐角,故二面角 A - FB - D 的余弦值为

2 17 . 17

……14 分

(2012 年丰台二模文科)17.(本小题共 14 分) ( 如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,Q 是棱 PA 上的动点. (Ⅰ) Q 是 PA 的中点, 若 求证: PC//平面 BDQ; (Ⅱ)若 PB=PD,求证:BD⊥CQ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若 PA=PC,PB=3, ∠ABC=60?,求四棱锥 P-ABCD 的体积.
A D Q P

17.证明: . (Ⅰ)连结 AC,交 BD 于 O. 因为 底面 ABCD 为菱形, 所以 O 为 AC 中点. 因为 Q 是 PA 的中点, 所以 OQ// PC,
13

B C

P

因为 OQ ? 平面 BDQ,PC ? 平面 BDQ, 所以 PC//平面 BDQ. ……………………5 分 (Ⅱ)因为 底面 ABCD 为菱形, 所以 AC⊥BD,O 为 BD 中点. 因为 PB=PD, 所以 PO⊥BD. 因为 PO∩BD =O, B 所以 BD ⊥平面 PAC.因为 CQ ? 平面 PAC, 所以 BD⊥CQ. (Ⅲ)因为 PA=PC, 所以 △PAC 为等腰三角形 . 因为 O 为 AC 中点, 所以 PO⊥AC. 由(Ⅱ)知 PO⊥BD,且 AC∩BD =O, 所以 PO⊥平面 ABCD,即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高. 因为四边形是边长为 2 的菱形,且∠ABC=60?, 所以 BO= 3 , 所以 PO= 6 . 所以 VP ? ABCD =

Q

A D O C

……………10 分

1 × 2 3 × 6 = 2 2 ,即 VP ? ABCD = 2 2 . 3

………14 分

(2012 年丰台二模理科)17.(本小题共 14 分) ( 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABEF⊥平面 ABCD, EF // AB, ∠BAF=90?, AD= 2,AB=AF=2EF =1,点 P 在棱 DF 上. (Ⅰ)若 P 是 DF 的中点, (ⅰ) 求证:BF // 平面 ACP; (ⅱ) 求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值; (Ⅱ)若二面角 D-AP-C 的余弦值为

6 ,求 PF 的长度. 3

F E P

A

D

B

C

17. . (Ⅰ)(ⅰ)证明:连接 BD,交 AC 于点 O,连接 OP. 因为 P 是 DF 中点,O 为矩形 ABCD 对角线的交点, 所以 OP 为三角形 BDF 中位线,
14

F E 所以 BF // OP, P 因为 BF ? 平面 ACP,OP ? 平面 ACP, 所以 BF // 平面 ACP. ……………………4 分 A (ⅱ)因为∠BAF=90?, 所以 AF⊥AB, O B 因为 平面 ABEF⊥平面 ABCD, 且平面 ABEF ∩平面 ABCD= AB, 所以 AF⊥平面 ABCD, 因为四边形 ABCD 为矩形, 所以以 A 为坐标原点,AB,AD,AF 分别为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐

D

C

标系 O ? xyz .

z

1 2 uuu r uuu r 1 1 所以 BE = ( ? , 0,1) , CP = ( ?1, ?1, ) , 2 2 uuu uuu r r uuu uuu r r BE ? CP 4 5 r uuu = r , 所以 cos < BE , CP >= uuuu | BE | ? | CP | 15
即异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值为

所以 B (1, 0, 0) , E ( , 0,1) , P (0,1, ) , C (1, 2, 0) .

1 2

F E P

A B x C

D y

4 5 15
……………………9 分 (Ⅱ)解:因为 AB⊥平面 ADF, 所以平面 APF 的法向量为 n1 = (1, 0, 0) .

P



ur

A

设 P 点坐标为 (0, 2 ? 2t , t ) ,

D

B

F

C

在平面 APC 中, AP = (0, 2 ? 2t , t ) , AC = (1, 2, 0) , 所以 平面 APC 的法向量为 n2 = ( ?2,1,

uuu r

uuur

uu r

2t ? 2 ), t

ur uu r ur uu r | n1 ? n2 | uu = r 所以 cos < n1 , n2 >= ur | n1 | ? | n2 |
解得 t =

2 (?2)2 + 1 + ( 2t ? 2 2 ) t

=

6 , 3

2 ,或 t = 2 (舍) . 3 5 . 3
15

此时 | PF |=

……………14 分

(2012 年顺义二模文科)16. (本小题共 13 分) 如图四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形, ACB = 90 , ⊥ 平面 ABCD , ∠ PA
0

PA = BC = 1 , AB = 2 , F 是 BC 的中点.
(Ⅰ)求证: DA ⊥ 平面 PAC ; (Ⅱ)试在线段 PD 上确定一点 G ,使 CG ∥平面 PAF ,并求三棱锥 A - CDG 的体积. 16. (本小题共 13 分) P 解:(Ⅰ)证明: Q 四边形是平行四边形,∴

∠ACB = ∠DAC = 900 ,

Q PA ⊥ 平面 ABCD ∴ PA ⊥ DA ,又 AC ⊥ DA , A AC I PA = A , ∴ DA ⊥ 平面 PAC . __________4 分 (Ⅱ)设 PD 的中点为 G ,在平面 PAD 内作 GH ⊥ PA B C F 1 于 H ,则 GH 平行且等于 AD ,连接 FH ,则四边 2 形 FCGH 为平行四边形,__________8 分 ∴ GC ∥ FH , Q FH ? 平面 PAE , CG ? 平面 PAE , ∴ CG ∥平面 PAE ,∴ G 为 PD 中点时, CG ∥平面 PAE .__________10 分 1 1 设 S 为 AD 的中点,连结 GS ,则 GS 平行且等于 PA = , 2 2 Q PA ⊥ 平面 ABCD ,∴ GS ⊥ 平面 ABCD , 1 1 .__________13 分 ∴ VA?CDG = VG ? ACD = SV ACD GS = 3 12
(2012 年顺义二模文理科)16. (本小题共 13 分) 如图:四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边 形, ∠ACB = 900 ,
P

D

PA ⊥ 平面 ABCD , PA = BC = 1 , AB = 2 , F
是 BC 的中点. (Ⅰ) 求证: DA ⊥ 平面 PAC ; ( Ⅱ ) 试 在 线 段 PD 上 确 定 一点 G , 使 CG ∥ 平 面 PAF ; (Ⅲ)求平面 PAF 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦 值 16. (本小题共 13 分)
B F C A D

解:分别以 AC , AD, AP 为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系,

则 A(0, 0, 0), C (1, 0, 0), B (1, ?1, 0), D (0,1, 0), F (1, ?
16

1 , 0), P (0, 0,1) .__________(建系正确, 2

坐标写对给 3 分) (Ⅰ) 证明方法一: Q 四边形是平行四边形,∴ ∠ACB = ∠DAC = 90 , :
0

Q PA ⊥ 平面 ABCD ∴ PA ⊥ DA ,又 AC ⊥ DA , AC I PA = A , ∴ DA ⊥ 平面 PAC . __________4 分 uuu r 方法二:易证 DA 是平面平面 PAC 的一个法向量,∴ DA ⊥ 平面 PAC .______4 分
(Ⅱ)方法一:设 PD 的中点为 G ,在平面 PAD 内作 GH ⊥ PA 于 H ,

1 AD ,连接 FH ,则四边形 FCGH 为平行四边形,_____6 分 2 ∴ GC ∥ FH , Q FH ? 平面 PAE , CG ? 平面 PAE , ∴ CG ∥平面 PAE ,∴ G 为 PD 中点时, CG ∥平面 PAE .__________8 分
则 GH 平行且等于 方法二: 设 G 为 PD 上一点,使 CG ∥平面 PAE , 令 PG = λ PD = (0, λ , ?λ ),(0 ≤ λ ≤

uuu r

uuu r

uuu uuu uuu r r r 2) , GC = PC ? PG = (1, ?λ , ?1 + λ )

可求得平面 PAE 法向量 m = (1, 2, 0) , 要 CG ∥平面 PAE ,∴ m ? GC = 0 ,解得 λ =

u r

u uuu r r

1 . 2

∴ G 为 PD 中点时, CG ∥平面 PAE .
(Ⅲ)可求得平面 PCD 法向量 n = (1,1,1) ,__________10 分

r

u r r u r r | m?n | 15 cos < m, n >= u r = r 5 | m || n |
∴ 所求二面角的余弦值为

15 .__________13 分 5
D1 A1 F B1 C1

(2012 年昌平二模文科)17.(本小题满分 13 分) 在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 AD 中点, F 为 B1C1 中点. (Ⅰ)求证: A1 F / / 平面 ECC1 ; (Ⅱ)在 CD 上是否存在一点 G ,使 BG ⊥ 平面 ECC1 ?若存在,请确 定点 G 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. 17.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,取 BC 中点 M ,连结
A
17

D E B

C

AM , FM .

∴ B1 F / / BM 且 B1 F = BM .
∴ 四边形 B1 FMB 是平行四边形.

∴ FM / / B1 B且 FM = B1 B .………2 分
Q FM / / A1 A且 FM = A1 A ,
∴ 四边形 AA1 FM 是平行四边形.
A1

D1 F B1

C1

∴ FA1 / / AM .
Q E 为 AD 中点,

∴ AE / / MC且 AE = MC .
∴ 四边形 AMCE 是平行四边形. ………4 分
A

D E B

G M

C

∴CE / / AM .∴ CE / / A1 F .
Q A1 F ? 平面 ECC1 , EC ? 平 面 ECC1 ,∴ A1 F / / 平 面 ECC1 .
……… 6 分

(Ⅱ) 证明:在 CD 上存在一点 G ,使 BG ⊥ 平面 ECC1 ,取 CD 中点 G ,连结 BG ………7 连结 分 在正方形 ABCD 中, DE = GC , CD = BC , ∠ADC = ∠BCD ,

∴?CDE ? ?BCG .

∴∠ECD = ∠GBC .

………9 分

Q ∠CGB + ∠GBC = 90° .

∴∠CGB + ∠DCE = 90° .∴ BG ⊥ EC . ………11 分
∴ CC1 ⊥ BG , EC I CC1 = C .
………13 分

Q CC1 ⊥ 平面 ABCD , BG ? 平面 ABCD

∴ BG ⊥ 平面 ECC1 . 故在 CD 上存在中点 G,使得 BG ⊥ 平面 ECC1 .
(2012 年昌平二模理科)17.(本小题满分 14 分) 在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 = 2 AB = 2 ,

E 为 AD 中点, F 为 CC1 中点.
(Ⅰ)求证: AD ⊥ D1 F ; (Ⅱ)求证: CE // 平面 AD1 F ;

(Ⅲ) 求平面 AD1 F 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值.
18

17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中

Q 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AD ⊥ CD

Q DD1 ⊥ 平面ABCD,AD ? 平面ABCD ∴ AD ⊥ DD1 Q DD1 I CD = D

∴ AD ⊥ 平面CDD1C1 ∴ AD ⊥ D1 F
……… 4 分

Q D1 F ? 平面CDD1C1

(Ⅱ)证明:在正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,连结 A1 D ,交 AD1 于点 M ,连结 ME , MF .

∴ M 为 AD1 中点. Q E 为 AD 中点, F 为 CC1 中点.
又Q CF // DD1且 CF =

∴ ME / / DD1且 ME =

1 DD1 ……… 6 分 2

1 DD1 2
……… 8 分

∴ 四边形 CEMF 是平行四边形. ∴ CE // MF

Q CE ? 平面 AD1 F , MF ? 平面 AD1 F . ∴ CE / / 平面 AD1 F .
………9 分

(Ⅲ)解:以 D 为坐标原点,分别以 DA, DC , DD1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系如图. 则 D (0, 0, 0), A(1, 0, 0), B (1,1, 0), C (0,1, 0), D1 (0, 0, 2), F (0,1,1) ……… 10 分

uuuu r ∴ 平面 ABCD 的法向量为 DD1 = (0, 0, 2)
………11 分 设平面 AD1 F 的法向量为 n = ( x, y , z ) .
A1 D1

z
C1 B1

uuu r uuuu r Q AF = (?1,1,1), AD1 = (?1, 0, 2) ,分
uuur ?n ? AF = 0, ? 则有 ? uuuu r ?n ? AD1 = 0. ?
所以 ?
F M

?? x + y + z = 0, ?? x + 2 z = 0.
A E

D B

C

y

取 z = 1 ,得 n = (2,1,1) .

x

19

uuuu r uuuu r n ? DD1 6 cos? n, DD1 ? = . uuuu = r 6 n DD1

………13 分

与平面所成二面角为锐角. Q 平面 AD1 F 与平面所成二面角为锐角 所 以 平 面 AD1 F 与 底 面 ABCD 所 成 二 面 角 的 余 弦 值 为 S

6 .……… 14 分 6
(2012 年怀柔二模文科)16 (本小题满分 14 分) 16. 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是 正方形, 其他四个侧面都是等边三角形, 其他四个侧面都是等边三角形 AC 与 BD 的交点为 O , . E 为侧棱 SC 上一点. (Ⅰ)当 E 为侧棱 SC 的中 点时,求证: O A S B D

E

C

SA ∥平面 BDE ;
(Ⅱ)求证:平面 BDE ⊥ 平面 SAC . 16. (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)连接 OE ,由条件可得 SA ∥ OE . 由条件可得 因为 SA ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE , 所以 SA ∥平面 BDE .---------------------------------------------------7 分 A (Ⅱ)证明:由已知可得, SB = SD , O 是 BD 中点, , 所以 BD ^ SO , 又因为四边形 ABCD 是正方形,所以 BD ^ AC . 因为 AC I SO = O ,所以 BD ⊥ 面SAC . 又因为 BD ? 面BDE ,所以平面 BDE ⊥ 平面 SAC .-----------14 分 (2012 年怀柔二模理科)16 (本小题满分 14 分) 16. 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是 正方形, 其他四个侧面都是等边三角形, 其他四个侧面都是等边三角形 AC 与 BD 的交点为 O , . E 为侧棱 SC 上一点. (Ⅰ)当 E 为侧棱 SC 的中 点时,求证: E S O B D C E

SA ∥平面 BDE ;
(Ⅱ)求证:平面 BDE ⊥ 平面 SAC ; (Ⅲ)当二面角 E ? BD ? C 的大小 为 45° 上的位置,并说明理由. 时,试判断点 E 在 SC 上的位置
20

D O A B

C

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 OE ,由条件可得 SA ∥ OE . 由条件可得 因为 SA ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE , 所以 SA ∥平面 BDE .-----------------------------------------4 分 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 SO ⊥ 面ABCD , AC ⊥ BD . 建立如图所示的空间直角坐标系. 建立如图所示的空间直角坐标系 设四棱锥 S ? ABCD 的底面边长为 2, 则 O(0, 0, 0) , S (0, 0, D E z S

2) , A

( (

2, 0, 0 ,

)

C O

B 0,

(

2, 0 , C ? 2, 0, 0 , D 0, ? 2, 0 .

)

(

)

(

)

x

A

B y

所以 AC = ?2 2, 0, 0 , BD = 0, ? 2 2, 0 .设 CE = a ( 0 < a < 2 ) ,由已知 可求得 ∠ECO = 45° . 所以 E ( ? 2 +

uuur

(

)

uuu r

)

2 a, 0, 2

uuu r 2 2 a ) , BE = (? 2 + a, ? 2, 2 2

2 a) . 2

设平面 BDE 法向量为 n = ( x, y, z ) ,

uuu r ? y = 0, ?n ? BD = 0, ? ? 则 ? uuu 即? r 2 2 a) x ? 2 y + az = 0. ? n ? BE = 0 ?( ? 2 + ? ? 2 2
n=( a , 0, 1) . 2?a uuu r 易 知 BD = 0, ? 2 2, 0

,得 令 z =1,

(

)







SAC









.





uuu r a n ? BD = ( , 0, 1) ? (0, ? 2 2, 0) = 0 , 2?a uuu r 所以 n ⊥ BD ,所以平面 BDE ⊥ 平面 SAC .------------------------------------- 分 所以平面 -------------------------------------9
(Ⅲ)解:设 CE = a ( 0 < a < 2 ) ,由(Ⅱ)可知,平面 BDE 法向量为 n = ( 因为 SO ⊥ 底面ABCD , 所以 OS = (0, 0, 为 45° . 所以 cos?OS , n? = cos 45° =

a , 0, 1) . 2?a

uuu r

2) 是平面 SAC 的一个法向量.由已知二面角 E ? BD ? C 的大小

uuu r

2 ,所以 2

2 ( a 2 ) +1 ? 2 2?a

=

2 ,解得 a = 1 . 解得 2

21

所以点 E 是 SC 的中点.-----------------------------------------------------------------14 分 (2012 年房山二模文科)17.如图,直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是菱形, 且 ∠ABC = 60o ,

E 为棱 CD 的中点.

(Ⅰ)求 证 : A1C / / 平 面 AED1 ; (Ⅱ)求 证 : 平 面 AED1 ⊥ 平 面 CDD1 .

17.证 明 : (Ⅰ)连 接 A1 D , 交 AD1 与 F ,连 接 EF 由 已 知 四 边 形 ADD1 A1 是 矩 形 , 所 以 F 为 AD1 的 中 点 , 又

E 为 CD 的中点. 所 以 EF 为 ?AED1 的 中 位 线 .

所以 A1C / / EF 因为 A1C ? 平面 AED1 , EF ? 平面 AED1 , 所以 A1C / / 平 面 AED1 . (Ⅱ)由已知 DD1 ⊥ AD, DD1 ⊥ BD , 又 AD ∩ BD = D , AD ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ∴ DD1 ⊥ 平面 ABCD ∵ AE ? 平面 ABCD ,∴ AE ⊥ DD1 ∵底面 ABCD 是菱形,且 ∠ABC = 60o , ∴ AE ⊥ CD 又 CD ∩ DD1 = D , CD ? 平面 CDD1 , DD1 ? 平面 CDD1
22

………………6 分

………………10 分

E 为棱 CD 的中点.

∴ AE ⊥ 平面 CDD1C1 ∵ AE ? 平面 AED1 ∴平 面 AED1 ⊥ 平 面 CDD1 .

………………12 分

………………14 分

(2012 年房山二模理科)17.如图,四边形 ABCD 为正方形, BE ⊥ 平面 ABCD , EB ∥

FA , FA = AB =

1 EB . 2

(I)证明:平面 AFD ⊥ 平面AF B ; (II)求异面直线 ED 与 CF 所成角的余弦值; (III)求直线 EC 与平面 BCF 所成角的正弦值.

C

D

B F E
17.(I)证明:∵四边形 ABCD 为正方形, ∴ AD ⊥ AB ∵ BE ⊥ 平面 ABCD , EB ∥ FA ∴ FA ⊥ 平面 ABCD ∵ AD ? 平面 ABCD ∴ FA ⊥ AD ∵ AB, FA ? 平面AFB,FB I FA = A

A

23

∴ AD ⊥ 平面 AFB ∵ AD ? 平面 AFD ∴平面 AFD ⊥ 平面AF B ……………………………………5 分

(II)以 B 为原点,建立如]图所示的空间直角坐标系,设 EB = 2 , 则 AF = AB = 1 ,故

E (2,0,0) , D(0,1,1) , C (0,0,1) , F (1,1,0) , B(0,0,0)
∴直线 ED 的方向向量为 ED = (? 2,1,1) ,直线 CF 的方向向量为 CF = (1,1,?1) 设直线 ED 与 CF 所成的角为 θ ,则

cos θ =

ED ? CF ED CF

=

3 3

……………………………………10 分

(III)直线 EC 的方向向量为 EC = (? 2,0,1) , BC = (0,01) , BF = (1,1,0) 设平面 BCF 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则

?x = 1 ? BC ? n = 0 ?z = 0 ? ? ,故 ? , ? y = ?1 , n = (1,?1,0) ? ? BF ? n = 0 ?x + y = 0 ?z = 0 ? ?
设直线 EC 与平面 BCF 所成的角为 α ,则

sin α =

EC ? n EC n

=

10 5

……………………………………14 分

集所能集,不足之处敬请见谅! 集所能集,不足之处敬请见谅!

24


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