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2014-2015学年重庆市西南大学附中高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年重庆市西南大学附中高二 (下) 期末数学试卷 (理 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},则集合{5,6}等于( ) A. M∪N B. M∩N C. (?UM)∪(?UN) D. (?UM) ∩(?UN)

2.已知复数 z1=2+i,z2=1﹣2i,若 A. B.

,则 =(



C. i

D . ﹣i

3.若 f(x)是定义在 R 上的函数,则“f(0)=0”是“函数 f(x)为奇函数”的( A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件



4.高三某班上午有 4 节课,现从 6 名教师中安排 4 人各上一节课,如果甲乙两名教师不上 第一节课,丙必须上最后一节课,则不同的安排方案种数为( ) A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 5.曲线 y=cosx(0≤x≤ A. 4 )与坐标轴围成的面积是( B. C. 3 ) D. 2

6.设随机变量 ξ 服从标准正态分布 N(0,1) .已知 Φ(﹣1.96)=0.025,则 P(|ξ|<1.96) =( ) A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 7.已知不等式|a﹣2x|>x﹣1,对任意 x∈[0,2]恒成立,则 a 的取值范围为( ) A. (﹣∞,﹣1)∪(5,+∞) B. (﹣∞,2)∪(5,+∞) C.(1, 5) D. (2,5) 8.设函数 f(x)定义在实数集上,f(2﹣x)=f(x) ,且当 x≥1 时,f(x)=lnx,则有( A. C. B. D. )

9.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c(a, b,c∈(0,1) ) ,已知他投篮一次得分的均值为 2, A. B. C. 的最小值为( ) D.

10.从

(其中 m,n∈{﹣1,2,3})所表示的圆锥曲线(圆、椭圆、双曲线、抛 )

物线)方程中任取一个,则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为( A.
|lnx|

B.

C.

D.

11.函数 y=e

﹣|x﹣1|的图象大致是(



A.

B.

C.

D. 12.设函数 , 记 Ik=|fk(a2)﹣fk(a1)|+|fk(a3)﹣fk(a2)|+…+|fk(a2016)﹣fk(a2015)|,k=1,2,则( A. I1<I2 B. I1>I2 C. I1=I2 D. I1,I2 大小关系不确定 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ρ=8cosθ 于 A、B 两点,则 |AB|= . 14. 展开式中的常数项为 .

15. 设函数 f (x)=

, 若f (x) 是奇函数, 则g (2)的值是



16.已知曲线 f(x)=x (n∈N )与直线 x=1 交于点 P,若设曲线 y=f(x)在点 P 处的切 线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014 的值为 .

n+1

*

三、解答题:本题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=ax +bx ﹣2x+c 在 x=﹣2 时有极大值 6,在 x=1 时有极小值, (1)求 a,b,c 的值; (2)求 f(x)在区间[﹣3,3]上的最大值和最小值. 18.某款游戏共四关,玩家只有通过上一关才能继续进入下一关游戏,每通过一关可得 10 分,现在甲和乙来玩这款游戏,已知甲每关通过的概率是 ,乙每关通过的概率是 . (1)求甲、乙两人最后得分之和为 20 的概率; (2)设甲的最后得分为 X,求 X 的分布列和数学期望.
3 2

19.已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求 a,b 的值;

是奇函数.

(Ⅱ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

2

2

20.已知椭圆

(a>b>0) ,F1、F2 分别为它的左、右焦点,过焦点且垂直于

X 轴的弦长为 3,且两焦点与短轴一端点构成等边三角形. (1)求椭圆 C 的方程; (2)问是否存在过椭圆焦点 F2 的弦 PQ,使得|PF1|,|PQ|,|QF1|成等差数列,若存在,求出 PQ 所在直线方程;若不存在,请说明理由. 21.已知函数 f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x﹣2y﹣2=0. (1)求 a,b 的值; (2)当 x>1 时,f(x)+ <0 恒成立,求实数 k 的取值范围;
*

(3)证明:当 n∈N ,且 n≥2 时,

+

+…+





请在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 【选修 4-1:几 何证明选讲】 22.如图,AB 切⊙O 于点 B,直线 AO 交⊙O 于 D,E 两点,BC⊥DE,垂足为 C. (Ⅰ)证明:∠CBD=∠DBA; (Ⅱ)若 AD=3DC,BC= ,求⊙O 的直径.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】

2015?陕西)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,以原点为

极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为 ρ=2 sinθ. (Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程; (Ⅱ)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标.

【选修 4-5:不等式选讲】 2015?陕西)已知关于 x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4} (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)求 + 的最大值.

2014-2015 学年重庆市西南大学附中高二(下)期末数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},则集合{5,6}等于( ) A. M∪N B. M∩N C. (?UM)∪(?UN) D. (?UM) ∩(?UN) 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:由题意可得 5∈?UM,且 5∈?UN;6∈?UM,且 6∈?UN,从而得出结论. 解答: 解:∵5?M,5?N,故 5∈?UM,且 5∈?UN. 同理可得,6∈?UM,且 6∈?UN, ∴{5,6}=(?UM)∩(?UN) , 故选:D. 点评:本题主要考查元素与集合的关系,求集合的补集,两个集合的交集的定义,属于基础 题.

2.已知复数 z1=2+i,z2=1﹣2i,若 A. B.

,则 =(



C. i

D . ﹣i

考点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 解答: 解:∵复数 z1=2+i,z2=1﹣2i, ∴ = = = =i,

则 =﹣i. 故选:D. 点评:本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题. 3.若 f(x)是定义在 R 上的函数,则“f(0)=0”是“函数 f(x)为奇函数”的( A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:函数的性质及应用;简易逻辑. 分析:利用函数奇函数的定义,结合充分条件和必要条件进行判断即可. 解答: 解:根据奇函数的性质可知,奇函数的定义域关于原点对称,若 f(0)=0, 则 f(﹣x)=f(x)不一定成立,所以 y=f(x)不一定是奇函数.比如 f(x)=|x|, 若 y=f(x)为奇函数,则定义域关于原点对称, ∵f(x)是定义在 R 上的函数. ∴f(0)=0, 即“f(0)=0”是“函数 f(x)为奇函数”的必要不充分条件, 故选:A. 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的应用, 利用函数奇函数的定义和性质是解决本题 的关键. 4.高三某班上午有 4 节课,现从 6 名教师中安排 4 人各上一节课,如果甲乙两名教师不上 第一节课,丙必须上最后一节课,则不同的安排方案种数为( ) A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 考点:计数原理的应用. 专题:排列组合. 分析:由题意,先安排第一节课,从除甲乙丙之外的 3 人中任选 1 人,最后一节课丙上,中 间的两节课从剩下的 4 人中任选 2 人,问题得以解决 解答: 解:先安排第一节课,从除甲乙丙之外的 3 人中任选 1 人,最后一节课丙上,中间 的两节课从剩下的 4 人中任选 2 人, 故甲乙两名教师不上第一节课,丙必须上最后一节课,则不同的安排方案种数为 =36

种. 故选:A 点评:本题考查了分步计数原理,关键是如何分步,特殊位置优先安排的原则,属于基础题

5.曲线 y=cosx(0≤x≤ A. 4

)与坐标轴围成的面积是( B. C. 3

) D. 2

考点:余弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件利用余弦函数的图象的对称性,定积分的意义,可得曲线 y=cosx(0≤x≤ )

与坐标轴围成的面积是 3

=3sinx

,计算求的结果.

解答: 解:由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线 y=cosx(0≤x≤

)与坐标轴围

成的面积是 3

=3sinx

=3,

故选:C. 点评:本题主要考查余弦函数的图象的对称性,定积分的意义,属于基础题. 6.设随机变量 ξ 服从标准正态分布 N(0,1) .已知 Φ(﹣1.96)=0.025,则 P(|ξ|<1.96) =( ) A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题. 分析:根据变量符合正态分布,且对称轴是 x=0,得到 P(|ξ|<1.96)=P(﹣1.96<ξ<1.96) , 应用所给的 Φ(﹣1.96)=0.025,条件得到结果,本题也可以这样解根据曲线的对称轴是直 线 x=0,得到一系列对称关系,代入条件得到结果. 解答: 解:解法一:∵ξ~N(0,1) ∴P(|ξ|<1.96) =P(﹣1.96<ξ<1.96) =Φ(1.96)﹣Φ(﹣1.96) =1﹣2Φ(﹣1.96) =0.950 解法二:因为曲线的对称轴是直线 x=0, 所以由图知 P(ξ>1.96)=P(ξ≤﹣1.96)=Φ(﹣1.96)=0.025 ∴P(|ξ|<1.96)=1﹣0.25﹣0.25=0.950 故选 C

点评:本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义, 主要考查对称性, 是一个数形结合的 问题,是一个遇到一定要得分数的题目. 7.已知不等式|a﹣2x|>x﹣1,对任意 x∈[0,2]恒成立,则 a 的取值范围为( ) A. (﹣∞,﹣1)∪(5,+∞) B. (﹣∞,2)∪(5,+∞) C.(1, 5) D. (2,5) 考点:不等关系与不等式. 专题:计算题. 分析:运用绝对值不等式的解法,结合题干利用不等式的性质进行求解.

解答: 解:当 0≤x≤1 时,不等式|a﹣2x|>x﹣1,a∈R; 当 1≤x≤2 时,不等式|a﹣2x|>x﹣1, 即 a﹣2x<1﹣x 或 a﹣2x>x﹣1,x>a﹣1 或 3x<1+a, 由题意得 1>a﹣1 或 6<1+a,a<2 或 a>5; 综上所述,则 a 的取值范围为(﹣∞,2)∪(5,+∞) , 故选 B. 点评:此题考查绝对值不等式的性质和不等关系与不等式的关系,此题是一道好题. 8.设函数 f(x)定义在实数集上,f(2﹣x)=f(x) ,且当 x≥1 时,f(x)=lnx,则有( A. C. B. D. )

考点:对数值大小的比较. 分析:由 f(2﹣x)=f(x)得到函数的对称轴为 x=1,再由 x≥1 时,f(x)=lnx 得到函数的 图象,从而得到答案. 解答: 解:∵f(2﹣x)=f(x)∴函数的对称轴为 x=1 ∵x≥1 时,f(x)=lnx∴函数以 x=1 为对称轴且左减右增,故当 x=1 时函数有最小值,离 x=1 越远,函数值越大 故选 C. 点评:本题考查的是由 f(a﹣x)=f(b+x)求函数的对称轴的知识与对数函数的图象. 9.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c(a, b,c∈(0,1) ) ,已知他投篮一次得分的均值为 2, A. B. C. 的最小值为( ) D.

考点:基本不等式在最值问题中的应用;离散型随机变量的期望与方差. 专题:计算题;数形结合. 分析:依题意可求得 3a+2b 的值,进而利用 开后利用基本不等式求得问题的答案. 解答: 解:由题意得 3a+2b=2, =( = 故选 D )× =1 把 转化为( )× 展

点评:本题主要考查了基本不等式的应用.解题的关键是构造出 + 的形式.

10.从

(其中 m,n∈{﹣1,2,3})所表示的圆锥曲线(圆、椭圆、双曲线、抛 )

物线)方程中任取一个,则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为( A. B. C. D.

考点:双曲线的标准方程;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:计算题;压轴题. 分析:m 和 n 的所有可能取值共有 3×3=9 个,其中有两种不符合题意,故共有 7 种,可一 一列举,从中数出能使方程是焦点在 x 轴上的双曲线的选法,即 m 和 n 都为正的选法数, 最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率 解答: 解:设(m,n)表示 m,n 的取值组合,则取值的所有情况有(﹣1,﹣1) , (2, ﹣1) , (2,2) , (2,3) , (3,﹣1) , (3,2) , (3,3)共 7 个, (注意(﹣1,2) , (﹣1,3) 不合题意) 其中能使方程是焦点在 x 轴上的双曲线的有: (2,2) , (2,3) , (3,2) , (3,3)共 4 个 ∴此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为 故选 B 点评:本题考查了古典概型概率的求法,椭圆、双曲线、抛物线的标准方程,列举法计数的 技巧,准确计数是解决本题的关键 11.函数 y=e
|lnx|

﹣|x﹣1|的图象大致是(



A.

B.

C.

D. 考点:对数的运算性质;函数的图象与图象变化. |lnx| 分析:根据函数 y=e ﹣|x﹣1|知必过点(1,1) ,再对函数进行求导观察其导数的符号进而 知原函数的单调性,得到答案. |lnx| 解答: 解:由 y=e ﹣|x﹣1|可知:函数过点(1,1) , 当 0<x<1 时,y=e
﹣lnx ﹣lnx

﹣1+x= +x﹣1,y′=﹣
lnx

+1<0.

∴y=e ﹣1+x 为减函数;若当 x>1 时,y=e ﹣x+1=1, 故选 D. 点评:本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系. 12.设函数 , 记 Ik=|fk(a2)﹣fk(a1)|+|fk(a3)﹣fk(a2)|+…+|fk(a2016)﹣fk(a2015)|,k=1,2,则( A. I1<I2 B. I1>I2 C. I1=I2 D. I1,I2 大小关系不确定 考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:由于 f1(ai+1)﹣f1(ai)= fi+1(ai+1)﹣fi(ai)=log2016 而得到答案. 解答: 解:∵f1(ai+1)﹣f1(ai)= ﹣ = . ﹣ ﹣log2016 = .可得 I1=| =log2016 ﹣ |×2015.由于 )

.即可得出 I2=log20152015,进

∴I1=|f1(a2)﹣f1(a1)|+|f1(a3)﹣f1(a2)|+…+|f1(a2015)﹣f1(a2014)| =| ﹣ |×2015= . ﹣log2016 =log2016 .

∵f2(ai+1)﹣f2(ai)=log2016

∴I2=|f2(a2)﹣f2(a1)|+|f2(a3)﹣f2(a2)|+…+|f2(a2015)﹣f2(a2014)|

=log2016( × ×…×

)=log20162016=1,

∴I1<I2. 故选:A. 点评:本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ρ=8cosθ 于 A、B 两点,则 |AB|= . 考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析:由 ρ=8cosθ 化为 ρ =8ρcosθ,化为(x﹣4) +y =16.把 x=3 代入解出即可得出. 2 2 2 2 2 解答: 解:由 ρ=8cosθ 化为 ρ =8ρcosθ,∴x +y =8x,化为(x﹣4) +y =16. 2 把 x=3 代入可得 y =15,解得 y= . ∴|AB|=2 . 故答案为:2 . 点评:本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程、 直线与圆相交弦长问题, 考查了推理 能力与计算能力,属于基础题. 14. 展开式中的常数项为 ﹣160 .
2 2 2

考点:二项式系数的性质. 专题:二项式定理. 分析:写出二项式的通项,直接由 x 得系数为 0 求得 r 的值,再代入通项求得答案. 解答: 解:由 ,得 = 由 r﹣3=0,得 r=3. ∴ 展开式中的常数项为 =﹣160. ?x
r﹣3



故答案为:﹣160. 点评:本题考查了二项式定理,考查了二项式的展开式,是基础的计算题.

15.设函数 f(x)=

,若 f(x)是奇函数,则 g(2)的值是 ﹣



考点:奇函数. 分析:利用奇函数的定义 f(x)=﹣f(﹣x)即可整理出答案. 解答: 解:由题意知 g(2)=f(2) , 又因为 f(x)是奇函数,

所以 f(2)=﹣f(﹣2)=﹣2 =﹣ , 故答案为﹣ . 点评:本题考查奇函数的定义 f(x)=﹣f(﹣x) . 16.已知曲线 f(x)=x (n∈N )与直线 x=1 交于点 P,若设曲线 y=f(x)在点 P 处的切 线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014 的值为 ﹣1 . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;对数的运算性质. 专题:导数的综合应用;等差数列与等比数列. 分析:由 f′(x)=(n+1)x ,知 k=f′(x)=n+1,故点 P(1,1)处的切线方程为:y﹣1= (n+1) (x﹣1) ,令 y=0,得 xn=
n n n+1 *

﹣2

,由此能求出 log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014 的值

解答: 解:f′(x)=(n+1)x , k=f′(x)=n+1, 点 P(1,1)处的切线方程为:y﹣1=(n+1) (x﹣1) , 令 y=0 得,x=1﹣ 即 xn= , = , = ,

∴x1×x2×…×x2014= × × ×…×

则 log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014=log2015(x1×x2×…×x2015) =log2015 =﹣1.

故答案为:﹣1. 点评:本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程的求法,解题时要认真审题,仔细解答, 注意导数性质的灵活运用. 三、解答题:本题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 3 2 17.已知函数 f(x)=ax +bx ﹣2x+c 在 x=﹣2 时有极大值 6,在 x=1 时有极小值, (1)求 a,b,c 的值; (2)求 f(x)在区间[﹣3,3]上的最大值和最小值. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题. 3 2 分析: (1)因为函数 f(x)=ax +bx ﹣2x+c 在 x=﹣2 时有极大值 6,在 x=1 时有极小值 得到三个方程求出 a、b、c; 2 (2)令 f′(x)=x +x﹣2=0 解得 x=﹣2,x=1,在区间[﹣3,3]上讨论函数的增减性,得到 函数的最值.

解答: 解: (1)f′(x)=3ax +2bx﹣2 由条件知

2

解得 a= ,

b= ,c=

(2)f(x)=

,f′(x)=x +x﹣2=0 解得 x=﹣2,x=1

2

由上表知,在区间[﹣3,3]上,当 x=3 时,fmax=

;当 x=1,fmin= .

点评: 考查函数利用导数研究函数极值的能力,利用导数研究函数增减性的能力. 18.某款游戏共四关,玩家只有通过上一关才能继续进入下一关游戏,每通过一关可得 10 分,现在甲和乙来玩这款游戏,已知甲每关通过的概率是 ,乙每关通过的概率是 . (1)求甲、乙两人最后得分之和为 20 的概率; (2)设甲的最后得分为 X,求 X 的分布列和数学期望. 考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计. 分析: (1)设“甲、乙最后得分之和为 20”为事件 A,“甲 0 分,乙(20 分)”为事件 B, “甲(10 分) ,乙(10 分)”为事件 C,“甲(20 分) ,乙 0 分”为事件 D,利用独立重复试验 的概率求解即可. (2)X 的所有可能取值为 0,10,20,30,40.求出概率.得到 X 分布列,然后求解期望 即可. 解答: 解: (1)设“甲、乙最后得分之和为 20”为事件 A,“甲 0 分,乙(20 分)”为事件 B, “甲(10 分) ,乙(10 分)”为事件 C,“甲(20 分) ,乙 0 分”为事件 D 则 , , 则 (6 分) ,

(2)X 的所有可能取值为 0,10,20,30,40.

, , , , , X 分布列为 X 0 P (12 分) . 点评:本题考查独立重复试验的概率的求法,分布列以及期望的求法,考查计算能力.

10

20

30

40

19.已知定义域为 R 的函数

是奇函数.

(Ⅰ)求 a,b 的值; 2 2 (Ⅱ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 考点:指数函数单调性的应用;奇函数. 专题:压轴题. 分析: (Ⅰ)利用奇函数定义,在 f(﹣x)=﹣f(x)中的运用特殊值求 a,b 的值; 2 2 (Ⅱ)首先确定函数 f(x)的单调性,然后结合奇函数的性质把不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 转化为关于 t 的一元二次不等式,最后由一元二次不等式知识求出 k 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0, 即

又由 f(1)=﹣f(﹣1)知 所以 a=2,b=1. 经检验 a=2,b=1 时,



是奇函数.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 易知 f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数. 又因为 f(x)是奇函数,



所以 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 2 2 2 等价于 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k)=f(k﹣2t ) , 2 2 因为 f(x)为减函数,由上式可得:t ﹣2t>k﹣2t . 2 即对一切 t∈R 有:3t ﹣2t﹣k>0, 从而判别式 所以 k 的取值范围是 k<﹣ . 点评:本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用; 同时考查一元二次不等式恒成立问题 的解决策略. .

2

2

20.已知椭圆

(a>b>0) ,F1、F2 分别为它的左、右焦点,过焦点且垂直于

X 轴的弦长为 3,且两焦点与短轴一端点构成等边三角形. (1)求椭圆 C 的方程; (2)问是否存在过椭圆焦点 F2 的弦 PQ,使得|PF1|,|PQ|,|QF1|成等差数列,若存在,求出 PQ 所在直线方程;若不存在,请说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由条件列出方程组,求出椭圆的几何量 a,b,然后求解椭圆方程. (2)不存在.推出 .显然直线 PQ 不与 x 轴重合,当 PQ 与 x 轴垂直,推出矛盾结

果;当直线 PQ 斜率存在时,设它的斜率为 k,得到直线 PQ 的方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) , 代入椭圆 C 的方程,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,利用韦达定理以及弦长公式,推出结果 即可. 解答: 解: (1)由条件过焦点且垂直于 X 轴的弦长为 3,且两焦点与短轴一端点构成等边 三角形.



,所以椭圆方程为

(4 分)

(2)不存在.由条件得:|PF1|+|PQ|+|QF1|=3|PQ|=8,则



显然直线 PQ 不与 x 轴重合,当 PQ 与 x 轴垂直,即直线 PQ 斜率不存在时, . 当直线 PQ 斜率存在时,设它的斜率为 k, 则直线 PQ 的方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) ,代入椭圆 C 的方程, 2 2 2 2 2 消去 y 并整理得: (4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0,△=144(k +1)>0, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,











时,k 无解. (12 分)

点评:本题考查椭圆方程的求法, 直线与椭圆的位置关系的综合应用, 考查计算能力以及转 化思想的应用. 21.已知函数 f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x﹣2y﹣2=0. (1)求 a,b 的值; (2)当 x>1 时,f(x)+ <0 恒成立,求实数 k 的取值范围;
*

(3)证明:当 n∈N ,且 n≥2 时,

+

+…+





考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)利用函数在点(1,f(1) )处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得 a,b 的值; (2)当 x>1 时,f(x)+ <0 恒成立,等价于 k<0.5x ﹣xlnx,构造函数,求最值,即可 求实数 k 的取值范围; (3)证明 论. 解答: (1)解:∵f(x)=alnx+bx,∴f′(x)= +b. ∵直线 x﹣2y﹣2=0 的斜率为 0.5,且过点(1,﹣0.5) ,…(1 分) ∴f(1)=﹣0.5,f′(1)=0.5 解得 a=1,b=﹣0.5.…(3 分) (2)解:由(1)得 f(x)=lnx﹣0.5x. 当 x>1 时,f(x)+ <0 恒成立,等价于 k<0.5x ﹣xlnx.…(4 分) 令 g(x)=0.5x ﹣xlnx,则 g′(x)=x﹣1﹣lnx.…(5 分) 令 h(x)=x﹣1﹣lnx,则 h′(x)= .
2 2 2



=



,把 x=1,2,…n 分别代入上面不等式,并相加得结

当 x>1 时,h′(x)>0,函数 h(x)在(1,+∞)上单调递增, 故 h(x)>h(1)=0…(6 分)

从而,当 x>1 时,g′(x)>0,即函数 g(x)在(1,+∞)上单调递增, 故 g(x)>g(1)=0.5.…(7 分) ∴k≤0.5.…(9 分) (3)证明:由(2)得,当 x>1 时,lnx﹣0.5x+ 又 xlnx>0, 从而, > = ﹣ .…(11 分) <0,可化为 xlnx< ,…(10 分)

把 x=2,…n 分别代入上面不等式,并相加得, + +…+ >1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1+ ﹣ ﹣ = .…(14

分) 点评:本题属导数的综合应用题, 考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率, 会 利用导数研究函数的最值,考查不等式的证明,有难度. 请在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 【选修 4-1:几 何证明选讲】 22.如图,AB 切⊙O 于点 B,直线 AO 交⊙O 于 D,E 两点,BC⊥DE,垂足为 C. (Ⅰ)证明:∠CBD=∠DBA; (Ⅱ)若 AD=3DC,BC= ,求⊙O 的直径.

考点:直线与圆的位置关系. 专题:直线与圆. 分析: (Ⅰ)根据直径的性质即可证明:∠CBD=∠DBA; (Ⅱ)结合割线定理进行求解即可求⊙O 的直径. 解答: 证明: (Ⅰ)∵DE 是⊙O 的直径, 则∠BED+∠EDB=90°, ∵BC⊥DE, ∴∠CBD+∠EDB=90°,即∠CBD=∠BED, ∵AB 切⊙O 于点 B, ∴∠DBA=∠BED,即∠CBD=∠DBA; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 BD 平分∠CBA, 则 ∵BC= ∴AB=3 =3, , ,AC= ,

则 AD=3, 由切割线定理得 AB =AD?AE, 即 AE= ,
2

故 DE=AE﹣AD=3, 即可⊙O 的直径为 3. 点评:本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明,根据相应的定理是解决本题的关 键. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】

2015?陕西)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,以原点为

极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为 ρ=2 sinθ. (Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程; (Ⅱ)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标. 考点:点的极坐标和直角坐标的互化. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (I) 由⊙C 的极坐标方程为 ρ=2 代入即可得出; . (II)设 P |PC|= ,又 C .利用两点之间的距离公式可得 sinθ. 化为 ρ =2
2

, 把

,再利用二次函数的性质即可得出. sinθ.

解答: 解: (I)由⊙C 的极坐标方程为 ρ=2 ∴ρ =2 配方为 (II)设 P ∴|PC|=
2

,化为 x +y = =3. ,又 C

2

2



. = ≥2 ,

因此当 t=0 时,|PC|取得最小值 2 .此时 P(3,0) . 点评:本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次 函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 2015?陕西)已知关于 x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4} (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)求 + 的最大值.

考点:不等关系与不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)由不等式的解集可得 ab 的方程组,解方程组可得; (Ⅱ)原式= + = + ,由柯西不等式可得最大值.

解答: 解: (Ⅰ)关于 x 的不等式|x+a|<b 可化为﹣b﹣a<x<b﹣a, 又∵原不等式的解集为{x|2<x<4}, ∴ ,解方程组可得 ;

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 = =2 + ≤

+

=

+

=4,

当且仅当

=

即 t=1 时取等号,

∴所求最大值为 4 点评:本题考查不等关系与不等式,涉及柯西不等式求最值,属基础题.


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