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江西省赣中南五校2016届高三数学下学期第一次联考(2月)试题 文


江西赣中南五校高三下学期开学第一次联考数学 2.19 试题部分(文)
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 M ? ? y y ? 2x , x ? 0? , N ? ? x y ? lg x? ,则 M ? N 为 A. (0,+) B.

(1,+ ? ) C. [2,+ ? ) D.[1,+ ? )

2. 已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 1 的正方形 (如图所示),则它的体积为 A. 1
6

B. 1
3
正视 侧视

C. 2 3

D. 5 6


俯视



图 3. 已知倾斜角为的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则 cos( A. 4
5

2015? ? 2? ) 的值为 2
D. ? 1
2

B. ? 4
5

C. 2

4. 已知 m, n 是两条不同 的直线, ? , ? , ? 是三个不同 的平面,则下列命题中正确的是 .. .. A. 若 ? ? ? , ? ? ? , 则? / / ? C. 若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ? B. 若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ? D. 若 m / / n, m / /? , 则n / /?

5.函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? ln x 在定义域内的零点的个数为 B.1 C.2 D.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 6. 若非零向量 a, b 满足 a ? b ,且 (a ? b) ? (3a ? 2b) ,则 a 与 b 的夹角为
3

A.0

A.

?
4

B.

?
2

C. 4

3?

D.

7. 如图所示,点 P 是函数 y ? 2sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0) 图象的一个最高点, M 、 N 是图象与 x 轴 的交点,若 PM ? PN ? 0 ,则 ? 等于 A.8 B.
???? ? ????

?
8
1

C.

?
4

D.

?
2

8. ?ABC 的外接圆的圆心为O,半径为1, 2 AO ? AB ? AC 且 OA ? AB ,则向量 BA 在向量 BC 方 向上的投影为 B. 3 C. ? 1 D. ? 3 2 2 2 2 ?x ? 2 y ? 1 ? 0 9.已知实数 x, y 满足: ? x ? 2 , z ?| 2 x ? 2 y ? 1 | ,则 z 的取值范围是 ? ?x ? y ? 1 ? 0 ? A. 1 A. [ 5 ,5] 3 B. [0,5) C. [0,5] D. [ 5 ,5) 3

???? ??? ? ????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

10 .已知函数 y ? f ( x) 对任意的 x ? (? , ) 满足 f ?( x) cos x ? f ( x )sin x ? 0 ( 其中 f ?( x) 是函数 2 2

? ?

f ( x) 的导函数),则下列不等式成立的是
B. 2 f ( ) ? f ( ) 2 f (? ) ? f (? ) 3 4 3 4 ? ? C. f (0) ? 2 f ( ) D. f (0) ? 2 f ( ) 3 4 2 2 11.已知命题 p:? x∈R,(m+1)(x +1)≤0,命题 q:? x∈R,x +mx+1>0 恒成立. A. 若 p∧q 为假命题,则实数 m 的取值范围为 A.m≥2 C. m≤-2 或 m≥2
*

?

?

?

?

B. m≤-2 或 m>-1 D.-1<m≤2

12. .已知函数 f n ( x)=x n +1 ,n∈N 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的 横坐标为 x n ,则 log2013 x1 + log2013 x2 +?+ log2013 x2012 的值为 A.-1 B. 1-log20132012 C.-log20132012 D.1

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 3 , a5 ? a6 ? a7 ? 9 ,则 a4 ? 14.若直线 ax + by - 1 = 0 ( a > 0, b > 0) 过曲线 y ? 1 ? sin ? x ? 0 ? x ? 2 ? 的对称中心, 则 .

1 2 + 的最小值为 a b

.

15.设三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱垂直于底面, AB ? AC ? 2, ? BAC ? 90?, AA1 ? 2 2 ,
2

且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表 面积是 16. 数列 ?an ? 的通项为 an ? (?1) n (2n ? 1) ? sin

. .

n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 S100 = 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an ,n∈N .设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和, 已 知 b1≠0,2bn–b1=S1 Sn,n∈N . (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=bn log3 an,求数列{cn}的前 n 项和 Tn . 18.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? 1 , BC ? 2 ,
* *

C1 A1
D

E
C
F

B1

AC ? BC , D, E , F 分别为棱 AA1 , A1 B1 , AC 的中点. (Ⅰ)求证: EF ∥平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)若异面直线 AA1 与 EF 所成角为 30 ? , 求三棱锥 C1 ? DCB 的体积.

A

B

19.(本小题满分 12 分)已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表,若抽取学 生 n 人,成绩分为 A(优秀) 、B(良好) 、C(及格)三个等级,设 x,y 分别表示语文成绩与数学 成绩.例如:表中语文成绩为 B 等级的共有 20+18+4=42 人.已知 x 与 y 均为 B 等级的概率是 0.18. (Ⅰ)求抽取的学生人数; (Ⅱ)设该样本中,语文成绩优秀率是 30%,求 a,b 值; (Ⅲ)已知 a ? 10 , b ? 8 , 求语文成绩为 A 等级的总人数 比语文成绩为 C 等级的总人数少的概率.

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

的两焦

点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆 心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 为椭圆 C 上一点,若过点 M (2, 0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点

S 和 T ,满足 OS ? OT ? tOP ( O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围.
21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( a ? ) x 2 ? ln x, ( a ? R ) . (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 在区间 [ , e] 上的最大值;
3

??? ? ??? ?

??? ?

1 2

1 e

(Ⅱ)若在区间(1, +∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方, 求 a 的取值范围.

四、请考生在第 22、23、24 题中任选 一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O ,过点 A 作⊙ O 的 切线 EP 交 CB 的延长线于 P ,已知 ?EAD ? ?PCA . (Ⅰ)证明: AD ? AB ;

C
D

?O

B

(Ⅱ)证明: DA2 ? DC ? BP . A P E 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极 轴,建立极坐标系,
1 ? x ? ?1 ? t ? 2 曲线 C1 方程为 ? ? 2sin ? ; C2 的参数方程为 ? ( t 为参数) . ? ?y ? 3 t ? ? 2

(Ⅰ)写出曲线 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程; (Ⅱ)设点 P 为曲线 C1 上的任意一点,求点 P 到曲线 C2 距离的取值范围. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 ,其解集为 [0, 4] . (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a , b 均为正实数,且满足 a ? b ? m ,求 a 2 ? b 2 的最小值.

4

2016 江西五校联考高三下学期第一次考试(2 月)数学 文科试题解析版 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一.选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知集合 M ? ? y y ? 2x , x ? 0? , N ? ? x y ? lg x? ,则 M ? N 为 A. (0,+ ? ) B. (1,+ ? ) (B) D.[1,+ ? )

C. [2,+ ? )

2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 1 的正方形,如图所示,则它的体积为 (D) A. 1
6

B. 1
3

正视 图 C. 2
3

侧视 图

俯视 2015? 图 3. 已知倾斜角为的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则 cos( ? 2? ) 的值为
6

D. 5

2

(B)

A. 4

5

B. ? 4

5

C. 2

D. ? 1

2

4. 已知 m, n 是两条不同 的直线, ? , ? , ? 是三个不同 的平面,则下列命题中正确的是( C ) .. .. A. 若 ? ? ? , ? ? ? , 则? / / ? C. 若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ? B. 若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ? D. 若 m / / n, m / /? , 则n / /? )

5.函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? ln x 在定义域内的零点的个数为( C A.0

B.1 C.2 D.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 6. 若非零向量 a, b 满足 a ? b ,且 (a ? b) ? (3a ? 2b) ,则 a 与 b 的夹角为 (A)
3

A.

?
4

B.

?
2

C.

3? 4

D. ?

7. 如图所示,点 P 是函数 y ? 2sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0) 图象的最高点, M 、 N 是图象与 x 轴的交点, ???? ? ???? 若 PM ? PN ? 0 ,则 ? 等于 (C) A. 8 C. ? B.

?

8
2
5

D. ?

4

8. ?ABC 的外接圆的圆心为O,半径为1, 2 AO ? AB ? AC 且 OA ? AB ,则向量 BA 在向量 BC 方向 上的投影为 A. 1 2 ( A ) B. 3 C. ? 1 D. ? 3 2 2 2 ?x ? 2 y ? 1 ? 0 9.已知实数 x, y 满足: ? x ? 2 , z ?| 2 x ? 2 y ? 1 | ,则 z 的取值范围是( B ) ? ?x ? y ? 1 ? 0 ? A. [ 5 ,5]
3

????

??? ? ????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

B. [0,5)

C. [0,5]

D. [ 5 ,5)
3

? ? 10 .已知函数 y ? f ( x) 对任意的 x ? (? , ) 满足 f ?( x) cos x ? f ( x) sin x ? 0 ( 其中 f ?( x) 是函数
2 2

f ( x) 的导函数),则下列不等式成立的是
A.
2 f (? ) ? f (? ) 3 4 ? C. f (0) ? 2 f ( ) 3
2

(A) B.
2f( )? f( ) 3 4

?

?

?

?

D. f (0) ? 2 f ( ? )
4
2

11.已知命题 p:? x∈R,(m+1)(x +1)≤0,命题 q:? x∈R,x +mx+1>0 恒成立. 若 p∧q 为假命题,则实数 m 的取值范围为 A.m≥2 C.m≤-2 或 m≥2 (B)

B.m≤-2 或 m>-1 D.-1<m≤2

12. .已知函数 f n ( x)= x n +1 ,n∈N 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的
*

横坐标为 x n ,则 log2013 x1 + log2013 x2 +?+ log2013 x2012 的值为( A ) A.-1 B. 1-log20132012 C.-log20132012 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) D.1

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题?第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 3 , a5 ? a6 ? a7 ? 9 ,则 a4 ? 2

14.若直线 ax + by - 1 = 0 ( a > 0, b > 0) 过曲线 y = 1 + sin p x ( 0 < x < 2) 的对称中心, 则 1 + 2 的最小值为__ _ 3 + 2 2 _____.
a b

15.设三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱垂直于底面, AB ? AC ? 2, ?BAC ? 90?, AA1 ? 2 2 ,

6

且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是
2

16?


.

16.数列 ?an ? 的通项为 an ? (?1) n (2n ? 1) ? sin n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 S100 = 200 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分)设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an ,n∈N .设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和, 已知 b1≠0,2bn–b1=S1Sn,n∈N . (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn=bnlog3an,求数列{cn}的前 n 项和 Tn; 解: (1)∵an+1=3an,∴{an}是公比为 3,首项 a1=1 的等比数列, ∴通项公式为 an=3
n– 1
*

*



??????2 分

∵2bn–b1=S1?Sn,∴当 n=1 时,2b1–b1=S1?S1, ∵S1=b1,b1≠0,∴b1=1. ∴当 n>1 时,bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1,∴bn=2bn–1, ∴{bn}是公比为 2,首项 a1=1 的等比数列, ∴通项公式为 bn=2
n– 1

. log33
n–1

????6 分

(2)cn=bn?log3an=2

n– 1

=(n–1)2n–1,


Tn=0?20+1?21+2?22+?+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1
2Tn= 0?2 +1?2 +2?2 +??+(n–2)2
0 1 2 3 1 2 3

n–1

+(n–1) 2n ②
n

①–②得:–Tn=0?2 +2 +2 +2 +??+2
n n

n–1

–(n–1)2
n

=2 –2–(n–1)2 =–2–(n–2)2 ∴Tn=(n–2)2 +2. 分别为棱 AA1 , A1 B1 , AC 的中点. (1)求证: EF ∥平面 BCC1 B1 ; (2)若异面直线 AA1 与 EF 所成角为 30 , 求三棱锥 C1 ? DCB 的体积.
?
n

????12 分

AC ? 1 , BC ? 2 , AC ? BC , D, E , F 18. (本小题满分 12 分) . 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,
C1 A1
D

E
C

B1

F

A
解: (1)证明:取 AB 的中点 O ,连接 FO, EO , 因为 E , F 分别为棱

B

7

A1 B1 , AC 的中点,
所以 FO ∥ BC , EO ∥ BB1 , FO ? EO ? O, BC ? BB1 ? B , FO, EO ? 平面 EFO ,

BC , BB1 ? 平面 BCC1 B1 ,所以平面 EFO ∥平面 BCC1 B1 ,
又 EF ? 平面 EFO ,所以 EF ∥平面 BCC1 B1 . ??????????????4 分 ?????6 分

(2)由(Ⅰ)知 ?FEO 异面直线 AA1 与 EF 所成角,所以 ?FEO ? 30 ? ,

因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,所以 BB1 ? 平面 ABC ,所以 EO ? 平面

ABC ,? EO ? FO ,? FO ?
由? AC ? BC , CC1 ? BC ,

1 BC ? 1 ,? EF ? 2, EO ? EF 2 ? FO 2 ? 3 , 2

? BC ? 平面 ACC1 A1 ,
所以 VC1 ? BCD ? VB ?CDC1 ? BC ? S ?CDC1

????????10 分

1 1 1 3 . ????????12 分 ? ? 2 ? ? 1? 3 ? 3 3 2 3 19. (本小题满分 12 分) .已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表,若抽取 学生 n 人,成绩分为 A(优秀) 、B(良好) 、C(及格)三个等级,设 x,y 分别表示语文成绩与数学成绩.例如:表中语文成绩为 B 等级 的共有 20+18+4=42 人.已知 x 与 y 均为 B 等级的概率是 0.18. (1)求抽取的学生人数; (2)设该样本中,语文成绩优秀率是 30%,求 a,b 值; (3)已知 a ? 10 , b ? 8 , 错误!未找到引用源。求语文成绩为 A 等级的
总人数比语文成绩为 C 等级的总人数少的概率.

解: (1)由题意可知错误!未找到引用源。=0.18,得错误!未找到引用源。.故抽取的学生人数 是错误!未找到引用源。 .????..2 分 ( 2 ) 由 (Ⅰ)知错 误! 未 找到 引用 源。 ,错误! 未 找到 引用 源。 ,故错误 ! 未找 到引 用 源。 , ????..4 分 而错误!未找到引用源。 ,故错误!未找到引用源。. ????..6 分 (3)设“语文成绩为错误!未找到引用源。等级的总人数比语文成绩为错误!未找到引用源。 等级的总人数少”为事件错误!未找到引用源。 , 由(2)易知错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。满足条件的错误!未找到引用源。 有 错误!未找到引用源。 共有错误!未找到引用源。组,其中错误!未找到引用源。的有错误!未找到引用源。 组, ????..11 分
8

则所求概率为错误!未找到引用源。. ????..12 分 ????..12 分 x2 y 2 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等 a b 腰 直角三角形, 直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心, 以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 为椭圆 C 上一点,若过点 M (2,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T ,满足 ??? ? ??? ? ??? ? ,求实数 t 的取值范围. OS ? OT ? tOP ( O 为坐标原点) 解: (1)由题意,以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为

( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 ,
∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

c ?1 2

? a (*)????????????1 分

∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ∴b ? c ,a ?

2b ? 2c ,

代入(*)式得 b ? c ? 1 , ∴ a ?

2b ? 2 ,

故所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. ????????????????????4 分 2

(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 P ? x0 , y0 ? , 将直线方程代入椭圆方程得: 1 ? 2k ∴ ? ? 64k ? 4 1 ? 2k
4

?

2

?x

2

? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,

?

2

??8k

2

? 2 ? ?16k 2 ? 8 ? 0 ,∴ k 2 ?
2

?

1 . 2

8k 8k 2 ? 2 , x1 x2 ? 设 S ?x1 , y1 ? , T ?x 2 , y 2 ? ,则 x1 ? x2 ? , ????? ??6 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
由 OS ? OT ? tOP , 当 t ? 0 ,直线 l 为 x 轴, P 点在椭圆上适合题意; ?????????????7 分

??? ? ??? ?

??? ?

? 8k 2 tx ? x1 ? x2 ? ? ? 0 1 ? 2k 2 当 t ? 0 ,得 ? ?ty ? y ? y ? k ( x ? x ? 4) ? ?4k 0 1 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?


1 ?4 k 1 8k 2 x0 ? ? , y0 ? ? 2 t 1 ? 2k 2 t 1 ? 2k
9

将上式代入椭圆方程得:

32k 4 16k 2 ? ? 1, t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 t 2 (1 ? 2k 2 ) 2

整理得: t ?
2

16k 2 1 2 ,由 k 2 ? 知, 0 ? t ? 4 , 2 1 ? 2k 2

所以 t ? ? ?2,0? ? (0, 2) , ???????????????????????11 分 综上可得 t ? (?2,, 2) . ???????????????????????12 分

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( a ? ) x 2 ? ln x, ( a ? R ) . (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 在区间 [ , e] 上的最大值; (2)若在区间(1, +∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值范围. 解: (1)当 a ? 0 时 f ( x) ? ?

1 2

1 e

f ?( x) ? 1 e

?( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 0) x

1 2 x ? ln x 2
?????1 分

当 x ? [ ,1) ,有 f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, e] ,有 f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在区间

1 ????? 3 分 [ ,1) 上是增 函数,在 (1, e] 上为减函数, e 1 又 f max ( x) ? f (1) ? ? . ?????4 分 2 1 (2)令 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? ( a ? ) x 2 ? 2ax ? ln x ,则 g ( x) 的定义域为 (0, ??) 2
在 区间 (1, ??) 上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方 等价于 g ( x) ? 0 在区间 (1, ??) 上恒成立. ????????5 分

( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ① x 1 1 ①若 a ? ,令 g ?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1, x2 ? 2 2a ? 1 1 当 x1 ? x2 ,即 ? a ? 1 时,在( 0 ,1)上有 g ?( x) ? 0 ,在 (1, x2 ) 上有 g ?( x) ? 0 , 2 g ?( x) ?
在 ( x2 , ??) 上有 g ?( x) ? 0 ,此时 g ( x) 在区间 ( x2 , ??) 上是增函数, 并且在该区间上有

g ( x) ? ( g ( x2 ), ??)
10

不合题意; 当 x2 ? x1 ,即 a ? 1 时,同理可知, g ( x) 在区间 (1, ??) 上,有

g ( x) ? ( g (1), ??) ,也不合题意;
② 若a ?

????????8 分

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间 (1, ??) 上恒有 g ?( x) ? 0 , 2

从而 g ( x) 在区间 (1, ??) 上是减函数; 要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ? a ? 由此求得 a 的范围是 [?

1 1 ?0?a?? , 2 2

1 1 ????????11 分 , ]。 2 2 1 1 综合①②可知,当 a ? [? , ] 时,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方. 2 2
?????12 分 四、请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O ,过点 A 作⊙ O 的切 线 EP 交 CB 的延长线于 P ,已知 ?EAD ? ?PCA . 证明: (Ⅰ) AD ? AB ; (Ⅱ) DA ? DC ? BP .
2

C
D
E

?O
A

B P

解: (Ⅰ)∵ EP 与⊙ O 相切于点 A , ∴ ?EAD ? ?DCA . ???????2 分 又 ?EAD ? ?PCA , ∴ ?DCA ? ?PCA , ∴ AD ? AB . ??????????5 分 (Ⅱ)∵四边形 ABCD 内接于⊙ O , ∴ ?D ? ?PBA , ???????????????????????6 分 又 ?DCA ? ?PCA ? ?PAB , ∴ ?ADC ∽ ?PBA . ∴

DA DC DA DC 2 ? ? ,即 ,∴ DA ? DC ? BP . ?????????10 分 BP BA BP DA

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C1 方程
11

1 ? x ? ?1 ? t ? 2 ? 为 ? ? 2sin ? . C2 的参数方程为 ? ( t 为参数) . ?y ? 3 t ? ? 2
(I)写出曲线 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程; (II)设点 P 为曲线 C1 上的任意一点,求点 P 到曲线 C2 距离的取值范围.
2 解: (I) C1 的直角坐标方程: x ? ? y ? 1? ? 1 , 2

C2 的普通方程: 3x ? y ? 3 ? 0 .
(II)由(I)知, C1 为以 ? 0,1? 为圆心, r ? 1 为半径的圆,

??????4 分

C1 的圆心 ? 0,1? 到 C2 的距离为 d ?

?1 ? 3 3 ?1

?

3 ?1 ? 1,则 C1 与 C2 相交, 2

P 到曲线 C2 距离最小值为 0,最大值为 d ? r ?
则点 P 到曲线 C2 距离的取值范围为 ? 0,

3 ?1 , 2
??????10 分

? ?

3 ? 1? ?. 2 ?

24.(本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 ,其解集为 [0, 4] . (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a , b 均为正实数,且满足 a ? b ? m ,求 a ? b 的最小值.
2 2

24.(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)不等式 m? | x ? 2 | ?1 可化为 | x ? 2 | ? m ? 1 , ∴ 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ,即 3 ? m ? x ? m ? 1 , ??????????????2 分 ∵其解集为 [0, 4] ,∴ ?

?3 ? m ? 0 , m ? 3 . ???????????????5 分 m ? 1 ? 4 ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b ? 3 , (方法一:利用基本不等式) ∵ (a ? b) ? a ? b ? 2ab ? (a ? b ) ? (a ? b ) ? 2(a ? b ) ,
2 2 2

2

2

2

2

2

2

12

∴ a ?b ?
2 2

9 3 9 2 2 ,∴当且仅当 a ? b ? 时, a ? b 取最小值为 .?????10 分 2 2 2

. (方法二:利用柯西不等式) ∵ (a2 ? b2 ) ? (12 ? 12 ) ? (a ?1 ? b ?1)2 ? (a ? b)2 ? 9 , ∴ a ?b ?
2 2

9 3 9 2 2 ,∴当且仅当 a ? b ? 时, a ? b 取最小值为 .?????10 分 2 2 2

(方法三:消元法求二次函数的最值) ∵ a ? b ? 3 ,∴ b ? 3 ? a , ∴ a ? b ? a ? (3 ? a ) ? 2a ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) ?
2 2 2 2 2 2

3 2

9 9 ? , 2 2

∴当且仅当 a ? b ?

3 9 2 2 时, a ? b 取最小值为 .????????????10 分 2 2

13


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