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九年级数学复习导学案


课时 1.实数的有关概念
【考点链接】 1.有理数的意义 ⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 ⑵ 实数 a 的相反数为________. 若 a , b 互为相反数,则 a ? b = ⑶ 非零实数 a 的倒数为______. 若 a , b 互为倒数,则 ab = 构成一一对应. . .

? ? ⑷ 绝对值 a ? ? ? ?

( a ? 0) ( a ? 0) . ( a ? 0)
的形式,其中 1≤ a <10 的数,n 是整数.

⑸ 科学记数法:把一个数表示成

⑹ 一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.这时,从左 边第一个不是 的数起,到 止,所有的数字都叫做这个数的有效数字. 2.数的开方 ⑴ 任何正数 a 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根 a 叫 _______________. 没有平方根,0 的算术平方根为______. ⑵ 任何一个实数 a 都有立方根,记为 . ⑶

? a2 ? a ? ? ?

(a ? 0) (a ? 0)


. 统称实数.

3. 实数的分类 4.易错知识辨析

(1)近似数、有效数字 如 0.030 是 2 个有效数字(3,0)精确到千分位;3.14?10 是 3 个有效数字;精确到千位.3.14 万是 3 个有效数字(3,1,4)精确到百位. (2)绝对值 x ? 2 的解为 x ? ?2 ;而 ? 2 ? 2 ,但少部分同学写成 ? 2 ? ?2 . (3)在已知中,以非负数 a 、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件,解决有关问题. 【典例精析】 例 1 在“
2

5

? 5 ? ,3.14 , ? 3 ? , ? 3 ?
0 3

?2

,cos 60

0

sin 45 ”这 6 个数中,无理数的个

0

数是( A.2 个

) B.3 个 ) C.4 个 D.5 个

例 2 ⑴ ? ?2 的倒数是( A.2 B.
2

1 2

C. ?

1 2

D.-2 ) D.4

⑵若 m ? 3 ? (n ? 2) ? 0 ,则 m ? 2n 的值为( A. ?4 B. ?1 C.0

⑶如图,数轴上点 P 表示的数可能是( A. 7 B. ? 7 C. ?3.2

) D. ? 10 P

?3 ?2 ?1 O 1 2 3
例3 下列说法正确的是( ) 3 A.近似数 3.9?10 精确到十分位 5 B.按科学计数法表示的数 8.04?10 其原数是 80400 4. C.把数 50430 保留 2 个有效数字得 5.0?10 D.用四舍五入得到的近似数 8.1780 精确到 0.001

【中考演练】 1.-3 的相反数是______,-

1 -1 2008 ? 的绝对值是_____,2 =______, (?1) 2



2. 某种零件,标明要求是φ 20±0.02 mm(φ 表示直径,单位:毫米),经检查,一个零件 的直径是 19.9 mm,该零件 .(填“合格” 或“不合格”) 3. 下列各数中:-3,
0

1 3 3 22 ,0, , 64 ,0.31, ,2 ? ,2.161 161 161?, 4 2 7

(-2 005) 是无理数的是___________________________. 4.全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款,到 6 月 3 日止各地共捐款约 423.64 亿元,用 科学记数法表示捐款数约为__________元.(保留两个有效数字) 5.若 m ? 3 ? (n ? 1) ? 0 ,则 m ? n 的值为
2



6. 2.40 万精确到__________位,有效数字有__________个. 8.点 A 在数轴上表示+2,从 A 点沿数轴向左平移 3 个单位到点 B,则点 B 所表示的实数是 ( A.3 ) B.-1 C.5 ) C.-2 和|-2| D. 2 和 D.-1 或 3

10.下列各组数中,互为相反数的是( A.2 和

1 2

B.-2 和-

1 2

1 2


12.实数 a、b 在数轴上的位置如图所示,则 a 与 b 的大小关系是(

a
A.a > b B. a = b

C. a < b

o

b
D.不能判断 ) D.-8 或 2 D. 积为负数

13.若 x 的相反数是 3,│y│=5,则 x+y 的值为( A.-8 B.2 C.8 或-2

14. 如图,数轴上 A、B 两点所表示的两数的( ) A. 和为正数 B. 和为负数 C. 积为正数 A -3 O B

课时 2.

实数的运算与大小比较

【课前热身】 1. 某 天的 最高 气温 为 6 ° C , 最 低气 温为 - 2 ° C ,同 这 天的 最高 气温比 最 低气 温高 __________°C. 2.(晋江)计算: 3 ?1 ? _______. 3.(贵阳)比较大小: ?2 4. 计算 ?32 的结果是( A. -9 5.下列各式正确的是( A. ? ?3 ? 3 ) B. 9 )
?3

3 .(填“ ? , ? 或 ? ”符号)

C.-6

D.6

B. 2

? ?6

C. ?(?3) ? 3

D. ( π ? 2) ? 0
0

6.若“!”是一种数学运算符号,并且 1!=1,2!=2?1=2,3!=3?2?1=6, 4!=4?3?2?1,?,则 A.
50 49
100! 的值为( 98!

) C. 9900 D. 2!

B. 99!

【考点链接】 1. 数的乘方 2. a ?
0

an ?
(其中 a 0 且a是

,其中 a 叫做 )a
?p

,n 叫做

. 0)

?

(其中 a

3. 实数运算 先算 ,再算 ,最后算 ;如果有括号,先算 里面的,同一级运算按照从 到 的顺序依次进行. 4. 实数大小的比较 ⑴ 数轴上两个点表示的数, 的点表示的数总比 的点表示的数大. ⑵ 正数 0,负数 0,正数 负数;两个负数比较大小,绝对值大的 绝对值小的. 5.易错知识辨析 在较复杂的运算中,不注意运算顺序或者不合理使用运算律,从而使运算出现错误. 如 5÷

1 ?5. 5

【典例精析】 例 1 计算: ⑴20080+|-1|- 3 cos30° + ( ⑵
1 3 ); 2

3 ? 2 ? (?2) 2 ? 2sin 60? .

例2

计算: (

1 ?1 3 ) ? 2 ? 0.125 ? 20090 ? | ?1| . 2

﹡例 3

已知 a 、 b 互为相反数, c 、 d 互为倒数, m 的绝对值是 2, 求

| a?b| ? 4m ? 3cd 的值. 2m 2 ? 1

【中考演练】 1. 根据如图所示的程序计算,

输入 x 平方

若输入 x 的值为 1,则输出 y 的值为 2. 比较大小: ?

.

否则 乘以 2 减去 4 若结果大于 0

7 3 _____ ? . 10 10

3.计算(-2)2-(-2) 3 的结果是( ) A. -4 B. 2 C. 4 4. 下列各式运算正确的是( ) A.2-1=-

D. 12 D.(23)2=26

输出 y

1 2

B.23=6

C.22?23=26

5. -2,3,-4,-5,6 这五个数中,任取两个数相乘,得的积最大的是( A. 10 B.20 C.-30 D.18 6. 计算: ⑴ (?1) ?
0



1 tan 45? ? 2 ?1 ? 4 ; 2

⑵( )

1 2

?2

? ( 3 ? 2)0 ? 2sin 30? ? ?3 ;



cos 60 ? ? 2 ?1 ? (2008 ? ? ) 0 .

课时 3.整式及其运算
【考点链接】 1. 代数式:用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把 或表示 连接而成的式子叫做代数式. 2. 代数式的值:用 代替代数式里的字母,按照代数式里的运算关系,计算后所 得的 叫做代数式的值. 3. 整式 ( 1 )单项式:由数与字母的 组成的代数式叫做单项式(单独一个数或 也是单项式).单项式中的 叫做这个单项式的系数;单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数. (2) 多 项 式 : 几 个 单 项 式 的 叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母 的项叫做 . (3) 整式: 与 统称整式. 4. 同类项:在一个多项式中,所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫 做同类项. 合并同类项的法则是 ___. m n m n m n n 5. 幂的运算性质: a ?a = ; (a ) = ; a ÷a =_____; (ab) = . 6. 乘法公式: (1) (a ? b)(c ? d ) ?
2

; (2)(a+b)(a-b)=
2



(3) (a+b) = ;(4)(a-b) = . 7. 整式的除法 ⑴ 单项式除以单项式的法则: 把 、 分别相除后, 作为商的因式; 对于只在被除武里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式. ⑵ 多项式除以单项式的法则:先把这个多项式的每一项分别除以 ,再把 所得的商 . 【典例精析】 例 1 若 a ? 0 且 a ? 2 , a ? 3 ,则 a
x y x? y

的值为( D.



A. ?1

B.1

C.

2 3

3 2

例 2 按下列程序计算,把答案写在表格内: n 平方 +n

?n
1 2

-n

答案

⑴ 填写表格: 输入n 输出答案 3 1 —2 —3 1 ? ?

⑵ 请将题中计算程序用代数式表达出来,并给予化简.

例3

先化简,再求值: (1) x (x+2)-(x+1)(x-1),其中 x=- (2)

1 ; 2

1 ( x ? 3)2 ? ( x ? 2)( x ? 2) ? 2 x 2 ,其中 x ? ? . 3

【中考演练】 3 2 2 1. 计算(-3a ) ÷a 的结果是( 4 4 A. -9a B. 6a 2.下列运算中,结果正确的是( A. x · x ?x
3 3 6 2 2

) C. 9a )
4
2

D. 9a
2 3 5

4

B. 3x ? 2 x ? 5x
2

C. ( x ) ? x
2

D. ( x ? y ) ? x ? y
2 2

2

﹡3.已知代数式 3x ? 4 x ? 6 的值为 9,则 x ? A.18 4. 若 2 x y 与 ? 3x y
3 m n

4 x ? 6 的值为( 3
D.7



B.12
2

C.9

是同类项,则 m + n =____________.
3 4

5.观察下面的单项式:x,-2x,4x ,-8x ,??.根据你发现的规律,写出第 7 个式子 是 6. 先化简,再求值: ⑴ (a ? 2b)(a ? 2b) ? ab ? (?ab) ,其中 a ? 2 , b ? ?1 ;
3

.

⑵ ( x ? y) ? 2 y( x ? y) ,其中 x ? 1, y ?
2

2.

﹡7.大家一定熟知杨辉三角(Ⅰ),观察下列等式(Ⅱ) 1 1 1 1 3 2 3 1 1 1

(a ? b)1 ? a ? b (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 (a ? b)3 ? a 3 ? 3a 2b ? 3ab 2 ? b3

1 4 6 4 1 (a ? b) 4 ? a 4 ? 4a 3b ? 6a 2b 2 ? 4ab3 ? b 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ⅰ 根据前面各式规律,则 (a ? b) ?
5

Ⅱ .

课时 4.因式分解
【课前热身】 1.若 x-y=3,则 2x-2y= 2.分解因式:3 x 2 -27= 3.若 x ? ax ? b ? ( x ? 3)( x ? 4), 则a ?
2

. .

,b ?
.



4. 简便计算: 2008 ? 2009 ? 2008 =
2

【考点链接】 1. 因式分解: 就是把一个多项式化为几个整式的 的形式. 分解因式要进行到每一个因 式都不能再分解为止. 2. 因式分解的方法:⑴ ,⑵ , ⑶ ,⑷ . 3. 提公因式法: ma ? mb ? mc ? __________ _________. 4. 公式法: ⑴ a ? b ?
2 2

⑵ a ? 2ab ? b ?
2 2



⑶ a ? 2ab ? b ?
2 2

. .

5. 十字相乘法: x ? ? p ? q ?x ? pq ?
2

6.因式分解的一般步骤:一“提”(取公因式),二“用”(公式). 7.易错知识辨析 (1)注意因式分解与整式乘法的区别; (2)完全平方公式、平方差公式中字母,不仅表示一个数,还可以表示单项式、多项 式. 【典例精析】 例 1 分解因式: ⑴(聊城) ax y ? axy ? 2ax y ? __________________. 2 ⑵3y -27=___________________.
3 3 2 2

⑶ x ? 4 x ? 4 ? _________________.
2



2 x2 ? 12 x ? 18 ?
3


2 2 3

例 2 已知 a ? b ? 5, ab ? 3 ,求代数式 a b ? 2a b ? ab 的值. 【中考演练】 1.简便计算: 7.29 -2.71 ?
2 2

.

2.分解因式: 2 x ? 4 x ? ____________________.
2

3.分解因式: 4 x ? 9 ? ____________________.
2

4.分解因式: x ? 4 x ? 4 ? ____________________.
2

5.分解因式 ab ? 2a b ? a ?
2 2 3

. . _____; D.x +y )
2
2 2

6.将

1 x ? x3 ? x 2 分解因式的结果是 4

7.分解因式 am ? an ? bm ? bn =_____ 8. 下列多项式中,能用公式法分解因式的是( ) 2 2 2 2 A.x -xy B.x +xy C.x -y 9.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为( A. x(a ? b) ? ax ? bx C. x ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 1)
2 2 2

B. x ? 1 ? y ? ( x ? 1)( x ? 1) ? y D. ax ? bx ? c ? x(a ? b) ? c

﹡10. 如图所示,边长为 a, b 的矩形,它的周长为 14,面积为 10,求 a b ? ab 的值.
2 2

b

a
11.计算: (1) 99 ;
2

(2) (1 ?

1 1 1 1 1 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )?(1 ? 2 )(1 ? 2 ) . 2 2 3 4 9 10
4 2 2 4 2 2

﹡12.已知 a 、 b 、 c 是△ABC 的三边,且满足 a ? b c ? b ? a c ,试判断△ABC 的 形状.阅读下面解题过程: 解:由 a ? b c ? b ? a c 得:
4 2 2 4 2 2

a 4 ? b4 ? a 2c 2 ? b2c 2



?a

2

? b2 a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2
2 2 2

??

?

?

?

② ③

即a ?b ? c

∴△ABC 为 Rt△。 ④ 试问:以上解题过程是否正确: ; 若不正确,请指出错在哪一步?(填代号) 错误原因是 ; 本题的结论应为

; .

课时 5.分式
【课前热身】 1.当 x=______时,分式

x2 ? x x ?1 有意义;当 x=______时,分式 的值为 0. x x ?1

2.填写出未知的分子或分母: (1)

3x ( ) y ?1 1 . ? 2 , (2) 2 ? 2 x? y x ? y y ? 2 y ?1 ( )

3.计算:

x y + =________. x? y y?x

4.代数式 A.1 5.计算

x 1 x2 a 中,分式的个数是( , x, , x ?1 3 x ?
B.2 ) C. 1 C.3

) D.4

(ab) 2 的结果为( ab 2
B. a

A. b 【考点链接】

D.

1 b
,那么 ,

1. 分式:整式 A 除以整式 B,可以表示成 称 则 A 为分式.若 B A =0. B ,则

A 的形式,如果除式 B 中含有 B ,则 A 无意义;若 B

A 有意义;若 B

2 .分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式 的 .用式子表示为 . 3. 约分:把一个分式的分子和分母的 约去,这种变形称为分式的约分. 4.通分:根据分式的基本性质,把异分母的分式化为 的分式,这一过程称为分 式的通分. 5.分式的运算 ⑴ 加减法法则:① 同分母的分式相加减: ② 异分母的分式相加减: ⑵ 乘法法则: .乘方法则: ⑶ 除法法则: 【典例精析】 例 1 (1) 当 x (2)当 x 时,分式 . . . .

3 无意义; 1? x

2 时,分式 x ? 9 的值为零. x?3

例 2 ⑴ 已知 x ?

1 1 ? 3 ,则 x 2 ? 2 = x x

.

⑵已知

1 1 ? ? 3 ,则代数式 2 x ? 14 xy ? 2 y 的值为 x y x ? 2 xy ? y

.

例 3 先化简,再求值: 1 1 2 (1)( 2 - 2 )÷ 2 ,其中 x=1. x ? 2x x ? 4x ? 4 x ? 2x ⑵

1 1 x ?1 ? 2 ? 2 ,其中 x ? 3 ? 1 . x ? 1 x ?1 x ? 2x ?1
5ab x2 ? 4 x ? 4 =________. ? ______, 20a 2b x?2
.

【中考演练】 1.化简分式:

x-1 1 2.计算: + = x-2 2-x 3.分式

1 1 1 的最简公分母是_______. , , 2 2 3 3x y 4 xy ?2 x
x ( x ? 0, y ? 0) 中的分子、 分母的 x 、y 同时扩大 2 倍, 那么分式的值 ( x? y
B. 缩小 2 倍 C. 改变原来的 )

4. 把分式

A. 扩大 2 倍

1 4

D. 不改变

5.如果

x x? y =3,则 =( y y



A.

4 3

B.xy

C.4

D.

x y

6.若 x ? x ? 2 ? 0 ,则
2

x2 ? x ? 2 3 的值等于( ( x 2 ? x) 2 ? 1 ? 3
C. 3 D. 3 或



A.

2 3 3

B.

3 3
2

3 3

7. 已知两个分式:A=

4 1 1 ,B= ,其中 x≠±2.下面有三个结论: ? x?2 2? x x ?4

①A=B; ②A、B 互为倒数; ③A、B 互为相反数. 请问哪个正确?为什么?

8. 先化简 ?

? x2 ? 2x ? 1 1 ? 1 ? ?? ,再取一个你认为合理的 x 值,代入求原式的值. 2 x ? x ?1 ? x ?1


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