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2013届高三北师大版理科数学一轮复习课时作业(12)变化率与导数、导数的运算


课时作业(十二) 第 12 讲 变化率与导数、导数的运算 4 1.2011·余姚模拟 若曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( ) A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 x 2 2.2011·聊城模拟 曲线 y=e 在点(2,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) 2 e 2 2 2 A.e B.2e C.4e D. 2 3.设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜率为( ) 1 1 A.- B.0 C. D.5 5 5 2 4.2011·临沂模拟 若点 P 是曲线 y=x -lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为( A.1 B. 2 C. 2 2 D. 3

)

3 2 5.有一机器人的运动方程为 s(t)=t + (t 是时间,s 是位移),则该机器人在时刻 t=2 时的瞬时速度为

t

(

) 19 A. 4 17 15 13 B. C. D. 4 4 4 cosx 6.y= 的导数是( ) 1-x cosx+sinx+xsinx cosx-sinx+xsinx A. B. 2 2 (1-x) (1-x) cosx-sinx+xsinx cosx+sinx-xsinx C. D. 2 1-x (1-x) π 3π 7.已知直线 l 经过点 P? ,1?,且倾斜角为 ,则下列曲线中与 l 相切于点 P 的是( 4 ?4 ? A.y= 2sinx C.y= 2cosx B.y= 2tanx

)

2 D.y= tanx 8. 2011·郑州模拟 已知定义域为 D 的函数 f(x), 如果对任意 x1, 2∈D, x 存在正数 K, 都有∣f(x1)-f(x2) ∣≤ K ∣ x1 - x2 ∣成立,那么称函数 f(x)是 D 上的“倍约束函数” ,已知下列函数:① f(x)=2x ;② f(x)= π 2 2sin?x+ ?;③f(x)= x-1;④f(x)=lg(2x +1),其中是“倍约束函数”的个数是( ) ? 4? A.1 B.2 C.3 D.4 5 3 9.曲线 y= x 在点 P(1,1)处的切线方程为( ) A.3x-5y+2=0 B.y-x=0 C.5y-3x=0 D.3x+5y-8=0 10.一辆列车沿直线轨道前进,从刹车开始到停车这段时间内,测得刹车后 t 秒内列车前进的距离为 s= 2 27t-0.45t (单位:米),则列车刹车后________秒车停下来,期间列车前进了________米. 11. 如图 K12-1 所示, 函数 y=f(x)的图像在点 P 处的切线方程是 y=-x+8, f(5)+f′(5)=________. 则

图 K12-1 12.给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上也可导,则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f″(x)=(f′(x))′,若 f″(x)<0 在 D 上恒成立,则称 f(x)在 D 上为凸函数.以下四 π 2 x 个函数:①f(x)=x +2x;②f(x)=sinx+cosx;③f(x)=lnx-x;④f(x)=-xe 在?0, ?上是凸函数的是 ? 2? ________.(填序号)

13.下列命题: ①若 f(x)存在导函数,则 f′(2x)=f(2x)′; π 4 4 ②若函数 h(x)=cos x-sin x,则 h′? ?=0; ?12? ③若函数 g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)?(x-2010)(x-2011),则 g′(2011)=2010! ; 3 2 ④若三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d,则“a+b+c=0”是“f(x)有极值点”的充要条件. 其中假命题为________.(填序号) 1 14.(10 分)设函数 f(x)=ax+ (a,b∈Z),曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=3. x+b (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:函数 y=f(x)的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (3)证明: 曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值, 并求出此定值.

15.(13 分)2011·六安模拟 设函数 f(x)=x +2ax +bx+a,g(x)=x -3x+2,其中 x∈R,a、b 为常数, 已知曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l. (1)求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (2)若方程 f(x)+g(x)=mx 有三个互不相同的实根 0、x1、x2,其中 x1<x2,且对任意的 x∈x1,x2,f(x)+ g(x)<m(x-1)恒成立,求实数 m 的取值范围.

3

2

2

7 2 16.(12 分)已知抛物线 C:y=x +4x+ ,过 C 上一点 M,且与 M 处的切线垂直的直线称为 C 在点 M 处的法 2 线. 1 (1)若 C 在点 M 的法线的斜率为- ,求点 M 的坐标(x0,y0); 2 (2)设 P(-2,a)为 C 的对称轴上的一点,在 C 上是否存在点,使得 C 在该点的法线通过点 P?若有,求出 这些点,以及 C 在这些点的法线方程;若没有,请说明理由.

课时作业(十二) 【基础热身】 3 1.A 解析 y′=4x =4,得 x=1,即切点为(1,1),所以过该点的切线方程为 y-1=4(x-1),整理得 4x -y-3=0. 2 2.D 解析 ∵点(2,e )在曲线上, x 2 ∴切线的斜率 k=y′|x=2=e |x=2=e , 2 2 2 2 ∴切线的方程为 y-e =e (x-2),即 e x-y-e =0. 2 与两坐标轴的交点坐标为(0,-e ),(1,0), 2 1 e 2 ∴S= ×1×e = . 2 2 3.B 解析 因为 f(x)是 R 上的可导偶函数,所以 f(x)的图像关于 y 轴对称,所以 f(x)在 x=0 处取得极 值,即 f′(0)=0,又 f(x)的周期为 5,所以 f′(5)=0,即曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜率为 0,选 B. 2 4.B 解析 曲线上的点 P 到直线的最短距离,就是与直线 y=x-2 平行且与 y=x -lnx 相切的直线上的 切点到直线 y=x-2 的距离. 1 2 2 过点 P 作 y=x-2 的平行直线,且与曲线 y=x -lnx 相切,设 P(x0,x0-lnx0),则 k=2x0- ,

x0

1 |1-1-2| ∴2x0- =1,∴x0=1 或 x0=- (舍去).∴P(1,1),∴d= = 2. x0 2 1+1 【能力提升】 3 3 3 13 2 解析 ∵s(t)=t + ,∴s′(t)=2t- 2,∴机器人在时刻 t=2 时的瞬时速度为 s′(2)=4- = . t t 4 4 -sinx(1-x)-(-1)cosx cosx-sinx+xsinx 6.B 解析 y′= = . 2 2 (1-x) (1-x) 5.D 2 上,易求得正确选项为 C. tanx f(x1)-f(x2)? 8.C 解析 由|f(x1)-f(x2)|≤K|x1-x2|,得? ≤K,即曲线 f(x)的切线的斜率的绝对值有最 ? x1-x2 ? π 大值.对于①,f′(x)=2,符合定义;对于②,|f′(x)|=?2cos?x+ ??≤2,符合定义;对于③,f′(x) ? ? 4 ?? 7.C 解析 显然点 P 不在曲线 y= 2tanx 和 y= = 1 2 x-1 9.A ,不存在最大值;对于④,|f′(x)|=? 4x ?≤ 2 ,符合定义.故选 C. ?(2x +1)ln10? ln10
2

1

3 2 3 3 解析 y′= x- ,当 x=1 时,k= ,由点斜式得直线方程为 y-1= (x-1),即 3x-5y+2=0, 5 5 5 5

故选 A. 10.30 405 解析 s′(t)=27-0.9t,由瞬时速度 v(t)=s′(t)=0 得 t=30,期间列车前进了 s(30) 2 =27×30-0.45×30 =405(米). 11.2 解析 当 x=5 时,y=-x+8=-5+8=3,因此 f(5)=3,又切线斜率为-1,即 f′(5)=-1,故 f(5)+f′(5)=2. 12. ②③④ 解析 对于①f′(x)=2x+2, ″(x)=2>0, f 因此①不是凸函数;对于②f′(x)=cosx-sinx, π? f″(x)=-sinx-cosx,∵x∈?0, ,∴sinx>0,cosx>0, ? 2? 1 1 ∴f″(x)<0,因此②是凸函数;对于③,f′(x)= -1,f″(x)=- 2<0,因此③是凸函数;对于④,f′

x

x

(x)=-e -xe ,f″(x)=-e -e -xe =-(x+2)e <0,因此④是凸函数. 13.①②④ 解析 f(2x)′=f′(2x)(2x)′=2f′(2x),①错误; π h′(x)=4cos3x(-sinx)-4sin3xcosx=-4sinxcosx=-2sin2x,则 h′? ?=-1,②错;

x

x

x

x

x

x

?12?

f′(x)=3ax +2bx+c,Δ =4b -12ac=4(b -3ac),只需 b -3ac>0 即可,a+b+c=0 是 b2-3ac>0 的充
分不必要条件,④错. 1 14.解答 (1)f′(x)=a- 2, (x+b)

2

2

2

2

1 ?2a+2+b=3, 于是? 1 ?a-(2+b) =0,
2

解得?

? ?a=1, ? ?b=-1,

?a=9, 4 或? 8 ?b=-3.

因 a,b∈Z,故 f(x)=x+

1

x-1

.

1 (2)证明:已知函数 y1=x,y2= 都是奇函数.

x

x x-1 函数 g(x)的图像按向量 a=(1,1)平移,即得到函数 f(x)的图像,故函数 f(x)的图像是以点(1,1)为中心的中心
对称图形. (3)证明:在曲线上任取一点?x0,x0+ 1 ? . x0-1?

所以函数 g(x)=x+ 也是奇函数, 其图像是以原点为中心的中心对称图形. f(x)=x-1+ 而

1

1

+1.可知,

?

1 由 f′(x0)=1- 2知,过此点的切线方程为 (x0-1) 2 1 ? x0-x0+1 ? y- = 1- 2 (x-x0). x0-1 ? (x0-1) ?

x0+1? x0+1 ,切线与直线 x=1 交点为?1, . x0-1 ? x0-1? 令 y=x 得 y=2x0-1,切线与直线 y=x 交点为(2x0-1,2x0-1). 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1). 1 x0+1 ? 1 2 ? -1 |2x0-1-1|= ? 从而所围三角形的面积为 ? |2x0-2|=2. 2?x0-1 2?x0-1? ?
令 x=1 得 y= 所以,所围三角形的面积为定值 2. 2 15.解答 (1)f′(x)=3x +4ax+b,g′(x)=2x-3,由于曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的 切线,故有 f(2)=g(2)=0,f′(2)=g′(2)=1,由此解得 a=-2,b=5; 切线 l 的方程为:x-y-2=0. 3 2 2 (2)由(1)得 f(x)+g(x)=x -3x +2x,依题意得:方程 x(x -3x+2-m)=0 有三个互不相等的根 0,x1, 1 x2,故 x1,x2 是方程 x2-3x+2-m=0 的两个相异实根,所以 Δ =9-4(2-m)>0? m>- ; 4 又对任意的 x∈x1,x2,f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,特别地,取 x=x1 时, f(x1)+g(x1)-mx1<-m 成立,即 0<-m? m<0,由韦达定理知:x1+x2=3>0,x1x2=2-m>0,故 0<x1<x2,对 任意的 x∈x1,x2,有 x-x2≤0,x-x1≥0,x>0,则 f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0; 又 f(x1)+g(x1)-mx1=0, 所以函数在 x∈x1,x2 上的最大值为 0,于是当 m<0 时对任意的 x∈x1,x2,f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立.综 1 上:m 的取值范围是?- ,0?. ? 4 ? 【难点突破】 7 2 16.解答 (1)函数 y=x +4x+ 的导数 y′=2x+4. 2 1 1 C 上点(x0,y0)处切线的斜率 k0=2x0+4,因为过点(x0,y0)的法线斜率为- ,所以- (2x0+4)=-1,解 2 2 1 1 得 x0=-1,y0= ,故点 M 的坐标为?-1, ?. 2? 2 ? (2)设 M(x0,y0)为 C 上一点. 1 1 ①若 x0=-2,则 C 上点 M?-2,- ?处的切线斜率 k=0,∴过点 M?-2,- ?的法线方程为 x=-2,此法 2? 2? ? ? 线过点 P(-2,a); 1 ②若 x0≠-2,则过点 M(x0,y0)的法线方程为 y-y0=- (x-x0).① 2x0+4

1 7 2 2 (-2-x0),将 y0=x0+4x0+ 代入得(x0+2) =a,② 2x0+4 2 7 2a-1 2 若 a>0,则 x0=-2± a,从而 y0=x0+4x0+ = , 2 2 若法线过 P(-2,a),则 a-y0=- 将上式代入①,化简得 x+2 ay+2-2a a=0 或者 x-2 ay+2+2a a=0. 若 a=0,则 x0=-2,与 x0≠-2 矛盾. 若 a<0,则②式无解. 2a-1? ? 2a-1? ? 1 综上,当 a>0 时,在 C 上有三个点?-2+ a, , -2- a, , -2,- ?,在这三点的法线 2 ? ? 2 ? ? 2? ? 过点 P(-2,a),其方程分别是 x+2 ay+2-2a a=0、x-2 ay+2+2a a=0、x=-2; 1 当 a≤0 时,在 C 上有一个点?-2,- ?,在这点的法线过点 P(-2,a),其方程为 x=-2. 2? ?


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