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浙江省嘉兴一中2015届高三上学期期中考试数学(文)


嘉兴市第一中学 2014 学年第一学期期中考试

高三数学(文科)

试题卷

命题:许群燕 审题:沈微微 满分[150]分 时间[120]分钟 2014 年 11 月 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
2 1.若集合 A=

x | x ? 2,x ? R , B= y | y ? ? x ,x ? R ,则 A ? B =( ▲ )

?

?

?

?

A. ?x | 0 ? x ? 2?

2.函数 y ? log1 x ? 6 x ? 17 的值域是( ▲ )
2 2

?

B. ?x | x ? 2?

?

C. ?x | ?2 ? x ? 0?

D. ?

A. R

B. ?? ?,?3?

C. ?3,???

D. ?0,3?

3.已知 m 为一条直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列说法正确的是( ▲ ) A.若 m // ? , ? // ? , 则m // ? B.若 ? ? ?,m ? ? , 则 m ? ? C.若 m // ? , ? ? ? , 则m ? ? D. 若 m ? ? , ? // ? , 则m ? ? 4.已知 p : m ? 1 ? x ? m ? 1, q : ( x ? 2)( x ? 6) ? 0 ,且 q 是 p 的必要不充分条件,则 m 的取值范围是( ▲ ) A. 3 ? m ? 5 B.

3? m?5

C. m ? 5或m ? 3

5. 函数 f ?x? ? 1 ? 2 sin x(sin x ? 3 cos x) 的图象向左平移 解析式是 ( ▲ ) A. g ?x ? ? 2 sin ? 2 x ?

? 个单位得函数 g ?x ? 的图象,则函数 g ?x ? 的 3

D. m ? 5或m ? 3

? ?

??
? 2? 2? ? ? 3 ?

B. g ?x ? ? 2 cos2 x

C. g ?x ? ? 2 cos? 2 x ?

? ?

D. g ?x ? ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??
? 2?

6.关于 x 的方程 ax2 ? | x | ?a ? 0 有四个不同的解,则实数 a 的值可能是 ( ▲ ) A.2 B.1 C.

1 2

D.

1 4

7.已知 7sin ? ? 24cos ? ? 25, 则 tan ? ? ( ▲ ) A. ?

7 24

B. ?

24 7

C.

?

24 7

D. ?

7 24

8.在 ?ABC 所在平面上有三点 M 、N、P ,满足 MA ? MB ? MC ? AB ,

NA ? NB ? NC ? BC , PA ? PB ? PC ? CA ,则 ?MNP 的面积与 ?ABC 的面积比为(▲)
A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

9.设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 e ,过 F2 的直线与双曲线 a2 b2

的右支交于 A, B 两点,若 ?F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e ? ( ▲ )
2

A. 1 ? 2 2 10.若函数 f ( x) ? ? 1

B. 4 ? 2 2

C. 5 ? 2 2

D. 3 ? 2 2

1? | x ? 1 |, x ? (??,2) ? ? ,则函数 F ( x) ? xf ( x) ? 1 的零点 f ( x ? 2 ), x ? [ 2 , ?? ) ? ?2

的个数为( ▲ ) A. 4 B. 5 C. 6 D.7 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11. 已知函数 f ( x) ? log 2

1? x 1 , 若f (a) ? , 则f (?a) =__▲___. 1? x 2
.
2 2

12.已知某个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积是 ▲

13.直线 l : x ? 3 y ? 0 截圆 C : ( x ? 2) ? y ? 4 所得弦长为____▲______.

? 0 ? x ? 2, ? 14.已知关于 x , y 的不等式组 ? ax ? y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域的面积为 4,则 a 的值为▲. ? x? y?2?0 ?
15.已知 m, n 为正数,且直线 x ? (n ? 2) y ? 5 ? 0 与直线 nx ? my ? 3 ? 0 互相垂直,则 m ? 2 n 的最小值为 _____▲___. 16. 记数列 ?an ? 的前 n 和为 s n ,若 ?

? sn ? ? 是公差为 d 的等差数列,则 ?an ? 为等差数列时, d 的值为 ▲ . ? an ?

17.O 为平行四边形 ABCD 所在平面上一点, OA ? OB ? ?(OC ? OD),

OA ? ?( AB ? 2 AC), ,则 ? 的值是__▲_.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算。 18.(本小题 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

19. (本小题 14 分)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn (n ? N*). (1) 求数列 {an } 的通项公式. (2) 设 bn ? (2n ?1) ? an (n ? N*) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

x 2 ? 2x ? a 20. (本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? , x ? (0,2] ,其中常数 a > 0. x
(1) 当 a = 4 时,证明函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数; (2) 求函数 f(x)的最小值.

21. (本小题 15 分)已知正方形 ABCD 的边长为 2 ,AC 使 AC ? a ,得到三棱锥 A ? BCD ,如图所示. (1) 当 a ?

BD ? O . 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,

2 时,求证: AO ? 平面BCD ;

(2) 当二面角 A ? BD ? C 的大小为 150 时,求 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值.

A

B

O

D

C

22.(本小题 15 分)设动点 P ? x, y ? 为曲线 C. (1) 求点 P 的轨迹方程;

? x ? 0? 到定点 F ? ?

1 ? 1 , 0 ? 的距离比到 y 轴的距离大 .记点 P 的轨迹 2 ?2 ?

(2) 设圆 M 过 A ?1,0 ? ,且圆心 M 在 P 的轨迹上, BD 是圆M在 y 轴上截得的弦,当圆心 M 运动时弦 长 BD 是否为定值?说明理由; (3) 过 F ?

?1 ? , 0 ? 作互相垂直的两直线交曲线 C 于 G、H、R、S,求四边形 GRHS 面积的最小值. ?2 ?

(2)由(1) 知B ?

3? ? A ,于是 4

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ) 6
0? A? 2 sin( A ?

?

?

?

? 3? ? ? 11? ? ? ,? ? A ? ? ,从而 A ? ? 即 A ? 时, 3 4 6 6 12 6 2
) 取最大值 2

6

综上所求, 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? 12

? an ?1 ? 2Sn (1) ? ?an ? 2Sn ?1 (2) 19. . (1)解: (1) ? (2)得an ?1 ? an ? 2( S n ? S n ?1 ) ? 2an ( n ? 2) ? an ?1 ? 3an (n ? 2) ? 1, 所以,an ? ? n?2 ?2 ? 3 ,
(2) bn ? (2n ?1) ? an (n ? N*)

n ?1 n?2

Tn ? 1?1 ? 3? 2 ? 5 ? 2 ? 31 ? 7 ? 2 ? 32 ? ... ? (2n ? 3) ? 2 ? 3n?3 ? (2n ?1) ? 2 ? 3n?2 (1) 3Tn ? 1? 3 ? 3? 2 ? 3 ? 5 ? 2 ? 32 ? 7 ? 2 ? 33 ? ... ? (2n ? 3) ? 2 ? 3n?2 ? (2n ?1) ? 2 ? 3n?1 (2)
(1)-(2)得 ?2Tn ? 4 ? 4(31 ? 32 ?... ?3 n?2) ?2(2 n ?1) ?3 n?1 ,

?2Tn ? 4 ? 4 ?

3(1 ? 3n?2 ) ? 2(2n ? 1) ? 3n?1 ? Tn ? 1 ? (2n ? 2) ? 3n ?1 . 1? 3

20.解:(1) 当 a ? 4 时,

f ( x) ? x ?

4 ?2 x ,

x1 ?
任取 0<x1<x2≤2,则 f(x1)–f(x2)=

4 4 ( x ? x2 )(x1 x2 ? 4) ? x2 ? ? 1 x1 x2 x1 x2

因为 0<x1<x2≤2,所以 f(x1)–f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 所以函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数;

f ( x) ? x ?
(2) 当且仅当 x ? 当0 ?

a ?2 ? 2 a ? 2, x

a 时等号成立,

a ? 2 ,即 0 ? a ? 4 时, f ( x) 的最小值为 2 a ? 2 ,

当 a ? 2 ,即 a ? 4 时, f ( x) 在 (0,2] 上单调递减,

a 所以当 x ? 2 时, f ( x) 取得最小值为 2 ,

f ( x) min
综上所述:

?2 a ? 2 ? ? ?a ? ?2

0 ? a ? 4, a ? 4.

21. (I)证明:根据题意,在 ?AOC 中, AC ? a ? 2 , AO ? CO ? 1 ,
2 2 2 所以 AC ? AO ? CO ,所以 AO ? CO ,因为 AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线,

所以 AO ? BD . 因为 BD

CO ? O , 所以 AO ? 平面BCD

(2):折叠后在△ ABD 中, BD ? AO , 在△ BCD 中, BD ? CO . 所以 ?AOC 是二面角 A ? BD ? C 的平面角, 即 ?AOC ? 150 . 在△ AOC 中, AO ? CO ? 1 , 过点 A 作 CO 的垂线交 CO 延长线于点 H ,因为 BD ? CO , BD ? AO ,且 CO 所以 BD ? 平面 AOC . 因为 AH ? 平面 AOC ,所以 BD ? AH . 又 CO ? AH ,且 CO BD ? O ,所以 AH ? 平面 BCD .连接 BH ,

AO ? O ,

?ABH 是 AB 与平面 BCD 所成角,因为 AH ? 1? sin 30? ?

1 , 2

1 2 所以 sin ?ABH ? 2 ? . 4 2
22. 【解析】(Ⅰ) 由题意知,所求动点 P ? x, y ? 为以 F ? ,0 ? 为焦点,直线 l : x ? ? 线,方程为 y 2 ? 2 x . (Ⅱ)因为圆心 M 在抛物线 y 2 ? 2 x 上,可设圆心 M ( 圆的方程为 ( x ?

?1 ?2

? ?

1 为准线的抛物 2

a2 a2 , a ) ,半径 r ? (1 ? ) 2 ? a 2 , 2 2

a2 2 a2 ) ? ( y ? a ) 2 ? (1 ? ) 2 ? a 2 , 2 2 令 x ? 0 ,得 B (0,1 ? a ) , D (0, ?1 ? a ) ,所以 | BD |? 2 ,所以弦长 | BD | 为定值.
(Ⅲ)设过 F 的直线方程为 y ? k ( x ? ) , G ( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,

1 2

1 ? k2 ? y ? k(x ? ) 2 2 2 由? 得 k x ? ( k ? 2) x ? ? 0, 2 4 2 ? ? y ? 2x
由韦达定理得 x1 ? x2 ? 1 ?

2 1 , x1 x2 ? , 2 k 4 2 , k2

所以 | GH |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ? 同理 | RS |? 2 ? 2k 2 . 所以四边形 GRHS 的面积 T ?

1? 2? 1 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2k ? ? 2 ? 2 ? k ? 2 ? ? 8 , 2? k ? k ? ?

即四边形 GRHS 面积的最小值为 8.


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