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天津市滨海新区六所重点学校2016届高三数学毕业班联考试题 文


2016 年天津市滨海新区六所重点学校高三毕业班联考 数学试卷(文科)
参考公式: 柱体的体积公式 V ? sh ,其中 S 表示柱体的底面面积, h 表示柱体的高 球的体积公式 V ?

4 3 ?R ,其中 R 表示球的半径 3

一. 选择题:本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,有且只有 一个是正确的. 1. 已知全集 U= ?0, 1,,, 2 3 4? ,集合 A= ?1,, 2 3? , B ? ?2, 4? ,则 (CU A) ? B ? ( A.{1,2,4} B.{2,3,4} ) C.{0,2,4} )

D.{0,2,3,4} 开始

2. “ x ? 4 ”是“ | x ? 2 |? 1 ”成立的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) 否

S ? 1, k ? 1

k ? k ?1
S ? 2S ? k

3. 阅读右面的程序框图,当程序运行后,输出 S 的值为( A. 57 B. 84 C. 120 D. 247
2

k ? 5?
是 输出S 结束 )

4. 设实数 p 在 [0,5] 上随机地取值,使方程 x ? px ? 1 ? 0 有实根的概率为( A. 0.6 B. 0.5 ) C. 0.4 D. 0.3

0.1 5. 若 a ? 3 , b ? log? 2, c ? log 2 sin

2? ,则 a, b, c 大小关系为( 3
C. c ? a ? b

A. b ? c ? a

B. b ? a ? c

D. a ? b ? c )

6. 将 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象向右平移 A. y ? sin 2 x ? cos2 x C. y ? cos 2 x ? sin 2 x

? 个单位后,所得图象的解析式是( 4 B. y ? cos 2 x ? sin 2 x
D. y ? cos x sin x

1

7. 如图, F1 、 F2 是双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, a2 b2
A )

y B

过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于点 A 、 B . 若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线 C 的离心率为( A. 4 B. 7

2 3 C. 3

F1
D. 3

O

F2 x

8. 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ,函数 g ( x) ? f ( f ( x)) ? loga ( x ?1),(a ? 0, a ? 1) 在 0 , 1? 上有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围为( A. (1, )

?

)

3 2

B. (1, 2)

C. ( , 2)

3 2

D. (2, ??)

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题纸的相应横线上. 9. 已知 i 为虚 数单位,复数 z 满足 z (2 ? i ) ? 5i ,则 z 等于 10. 已知一个空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为 . cm .
3

11. 如下图, PA 是圆 O 的切线,切点为 A, PO 交圆 O 于 B、C 两点, PA ? 3, PB ? 1, 则 AC ? .

12. 已知各项不为 0 的等差数列 {an } 满足 a5 ? a7 ? a9 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,
2

且 b7

? a7 ,则 b2b8b11 的值等于



2

13. 已知实数 a , b 满足 a ? b ,且 ab ? 2 ,则

a2 ? b2 ? 1 的最小值是 a ?b



14. 已知菱形 ABCD 的边长为 2 , ?BAD ? 120? ,点 E , F 分别在边 BC 、 DC 上,

??? ? ???? ???? ???? ??? ? ??? ? DC ? 2DF , BE ? ?CE .若 AE ? AF ? 1 ,则实数 ? 的值为



三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 13 分) 某厂用甲、乙两种原料生产 A、B 两种产品,已知生产 1 吨 A 产品,1 吨 B 产品分别需要 的甲、乙原料数,每种产品可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示. 所需原料 产品 A 产品 (1 吨) 4 3 7 B 产品 (1 吨) 5 10 12 现有原料 (吨) 200 300

原料 甲原料(吨) 乙原料(吨) 利润(万元)

问:在现有原料下,A、B 产品应各生产多少吨才能使利润总额最大? 利润总额最大是多少万元?

16. (本题满分 13 分) 在△ABC 中,设内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,

? ? 3 . sin( ? C ) ? cos(C ? ) ? 3 6 2 (Ⅰ)求角 C;
(Ⅱ)若 c ? 2 3 且 sin A ? 2 sin B ,求△ABC 的面积.

17.(本题满分 13 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 平面AEC ? 平面 CDE , ?AEC =900 , F 为 DE 中点,且 DE ? 1 . (Ⅰ)求证: BE // 平面 ACF ; (Ⅱ)求证: CD ? DE ; (Ⅲ)求 FC 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

B
A

C
D

E

F
3

18.(本题满分 13 分)

设数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ,点 (n, Sn ) 在函数 f ( x) ? 2 x2 的图象上,数列 ?bn ? 满足:

b1 ? a1 , bn?1 (an?1 ? an ) ? bn .其中 n ? N ? .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

5 an ,求证:数列 ?cn ? 的前 n 项的和 Tn ? ( n ? N ? ). 9 bn

19. (本题满分 14 分)

x2 y2 3 椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右顶点的坐标分别为 A(?2,0) , B(2,0) , 离心率 e ? 2 a b
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程 ; (Ⅱ)设椭圆 C 的两焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 是椭圆 C 的上顶点,求 ?PF 1F 2 内切圆方程; (Ⅲ)若直线 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与椭圆交于 M 、 N 两点, 求证:直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x ? 4 上.

y

P

x
A

F1

O

F2

B

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? kx , g ( x) ? ln x
2

(Ⅰ)求函数 h( x ) ?

g ( x) 的单调递增区间; x

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间 ? 0, ??? 上恒成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)求证:

ln 2 ln 3 ln n 1 ? 4 ? ? ? 4 ? , n ? N *, 且n ? 2 . 4 2 3 n 2e

4

2016 年天津市滨海新区六所重点学校高三毕业班联考 数学试卷(文科)评分标准 一、选择题:C B C A D A B C 二、填空题:9. ?1 ? 2i 12. 8 三、解答题: 15. (本题满分 13 分) 解:设生产 A、B 产品分别为 x,y 吨,利润总额为 z 元,-------1 分 4x+5y≤200, ? ?3x+10y≤300, 由题意得? x≥0, ? ?y≥0, 目标函数为 z=7x+12y. 10.

7 ? 3

11. 14 .?

3

13. 2 5

1 2

-----------5 分

-----------6 分

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图: 目标函数可变形为 y ? ? 4 7 3 ∵- <- <- , 5 12 10 ∴当 y ? ?
7 1 x? z , 12 12

- ----8 分

? ?4x+5y=200, 7 1 1 x ? z 通过图中的点 A 时, z 最大,z 最大.解? ?3x+10y=300, ? 12 12 12

得点 A 坐标为(20,24). 将点 A(20,24)代入 z=7x+12y 得 zmax=7×20+12×24=428 万元.

---------11 分

-----------12 分

答:该厂生产 A,B 两种产品分别为 20 吨、24 吨时利润最大,最大利润为 428 万元. ----------13 分

5

16. (本题满分 13 分)

1 ? 3 ,所以 cos C ? , ? C ) ? cos(C ? ) ? 2 3 6 2 ? 因为在△ABC 中, 0 ? C ? ? ,所以 C ? . 3 (Ⅱ)因为 sin A ? 2 sin B ,所以 a ? 2b , 2 2 2 因为 c ? a ? b ? 2ab cos C , 1 2 2 2 2 2 所以 (2 3 ) ? 4b ? b ? 2 ? 2b ? ? 3b , 2 所以 b ? 2 ,所以 a ? 4 . 1 所以 S ?ABC ? ab sin C ? 2 3 . 2
(Ⅰ)因为 sin( 17. (本题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)连结 BD 和 AC 交于 O ,连结 OF , Q ABCD 为正 方形,? O 为 BD 中点, -------1 分

?

------- 3 分 -------- 5 分 --------6 分

------- 8 分 --------11 分 -------13 分

B
A

Q F 为 DE 中点,? OF // BE , -----------2 分 Q BE ? 平面 ACF , OF ? 平面 ACF

? BE // 平面 ACF .

M
C
F

----------3 分

E

(Ⅱ) Q AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,? AE ? CD ,

D -------- 4 分
---------5 分 --------6 分 ---------7 分 ------8 分 --------9 分 --------1 0 分

Q ABCD 为正方形,? CD ? AD ,

Q AE ? AD ? A,

AD, AE ? 平面 DAE ,? CD ? 平面 DAE ,

Q DE ? 平面 DAE ,? CD ? DE (Ⅲ)过 F 作 FM ? AD 于 M,连接 CM
Q CD ? 平面 DAE , CD ? 平面ABCD ? 平面ABCD ? 平面 DAE ,
又? 平面ABCD I 平面 DAE =AD, FM ? AD ? FM ? 平面 ABCD ,

? CM 是 FC 在平面 ABCD 上的射影, ?FCM 是 FC 与平面 ABCD 所成角,----11 分 3 ----------12 分 ? AD ? CD ? 2 , FC ? , FM ? 2 , 2 4
? sin ?FCM ?? FM ? 2
FC 6 18. (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知条件得 Sn ? 2n2 ,
----------13 分


6

当 n ? 1 时, a1 ? 2 当 n ? 2 时, Sn?1 ? (n ?1)2 , ② ①-②得: an ? 2n2 ? 2(n ?1)2 ,即 an ? 4n ? 2 , (n ? 2) , 又 a1 ? 2 ,∴ an ? 4n ? 2 ; ∵ b1 ? a1 , bn?1 (an?1 ? an ) ? bn ,∴ b1 ? 2,

-----------1 分 -----------2 分 -----------4 分 -----------5 分

1 bn ?1 1 ? ,∴ bn ? 2 ? ( ) n ?1 ; ----------6 分 4 bn 4
---------7 分

(Ⅱ)∵ cn ? ∴

an ? (2n ? 1)4n ?1 , bn

Tn ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 42 ? ?? (2n ? 3) ? 4n?2 ? (2n ?1) ? 4n?1 ,

4Tn ?
两式相减得

4 ? 3 ? 42 ? ?? (2n ? 5) ? 4n?2 ? (2n ? 3) ? 4n?1 ? (2n ?1) ? 4n ----9 分

5 5 5 ?3Tn ? 1 ? 2(4 ? 42 ? ? ? 4n ?1 ) ? (2n ? 1)4n ? ? ? (2n ? ) ? 4n ? ? -------12 分 3 3 3
∴ Tn ?

5 . 9

-------13 分

y
19. (本题满分 14 分)

3 2 c 3 2 解: (Ⅰ)? e ? ? , ? a ? c ,----------1 分 4 a 2
A

P

x
F1
O

F2

B

7

又? a ? 2,?c2 ? 3,

?b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ------------------2 分 2 x ? y 2 ? 1 ----------------------3 分 椭圆 E 的方程 4
(Ⅱ) | F 1F 2 为等腰三角形如图--------4 分 1F 2 |? 2 3, P(0,1),| PF 1 |?| PF 2 |? a ? 2 ??PF 所以 ?PF 1F 2 的内切圆的圆心在 y 轴上设圆心 (0, m), m ? 0 , ? R ? m, F 2 ( 3,0) ---5 分 直 线 PF2 的 方 程 x ? 3 y ?

3 ? 0 , 内 切 圆 与 直 线 PF2 相 切 , 圆 心 到 PF2 的 距 离
-----------7 分 ------------8 分

3 m? 3 | 解得 m ? 2 3 ? 3 ?m 2 ?内切圆的方程x2 ? ( y ? 2 3 ? 3)2 ? (2 3 ? 3)2 d? |
(其他解法酌情给分) (Ⅲ)将直线 l : y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 E 的方程

x2 ? y 2 ? 1并整理, 4 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 .? 直线过 (1, 0) ,?? ? 0 恒成立----------9 分 设直线 l 与椭圆 E 的 C 交点 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,
由根与系数的关系,得 x1 ? x2 ? 直线 AM 的方程为: y ?

8k 2 4k 2 ? 4 , x x ? . 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

------------10 分

y1 6 y1 ( x ? 2) ,它与直线 x ? 4 的交点坐标为 R(4, ) x1 ? 2 x1 ? 2 2 y2 同理可求得直线 BN 与直线 x ? 4 的交点坐标为 Q(4, ------------12 分 ). x2 ? 2 下面证明 P, R 两点重合,即证明 P, R 两点的纵坐标相等: ? y1 ? k ( x1 ?1), y2 ? k ( x2 ?1) , 6 y1 2 y2 6k ( x1 ? 1)( x2 ? 2) ? 2k ( x2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
? 2k[2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8] ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 2k [ 2k[2 4k 2 ? 4 8k 2 ? 5 ? 8] 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

8k 2 ? 8 ? 40k 2 ? 8 ? 32k 2 ] 1 ? 4k 2 ? 0 因此结论成立. ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 综上可知.直线 AM 与直线 BN 的交点住直线 x ? 4 上.
20. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵ h( x) ?

------------14 分

ln x 1 ? ln x ( x ? 0) ∴ h '( x) ? x x2

令 h '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e

8

ln x 的单调递增区间为 (0, e) -----------3 分 x ln x ln x ln x ,得k ? 2 , 令R( x) ? 2 则问题转化为 k 大于等于 R( x) 的最大值 (Ⅱ)由 kx ? x x x
故函数 h( x) ? ------------ 5 分 又 R '( x) ?

1 ? 2 ln x x3

------------6 分

令 R '( x) ? 0,x ? e 当 x 在区间(0,+ ? )内变化时, R '( x ) 、 R ( x) 变化情况如下表:

x
R '( x )
R( x)
由表知当 x ? 因此 k ?

(0, e ) + ↗

e
0

( e ,+ ? ) — ↘ ------------8 分 ------------9 分 ------------1 0 分 ------------12 分

1 2e 1 2e

e 时,函数 R( x) 有最大值,且最大值为

1 2e

ln x ln x 1 1 1 ? ? ? ,∴ , ( x ? 2) , 2 4 2e 2e x 2 x x ln 2 ln 3 ln n 1 1 1 1 ( 2 ? 2 ?? ? 2 ) , ∴ 4 ? 4 ??? 4 ? 2e 2 3 n 2 3 n
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 又∵

1 1 1 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? ? ??? , (n ? 2) 2 2 3 n 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n
1 2

1 1 1 1 1 ? ) ? 1? ? 1 2 3 n ?1 n n ln 2 ln 3 ln n 1 ∴ 4 ? 4 ??? 4 ? 2e 2 3 n
= (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

------------14 分

9


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